综合练习题1（函数、极限与连续部分）
1．填空题 （1）函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .
（2）函数24)
2ln(1
)(x x x f -++=
的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-?--
（3）函数74)2(2
++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2
+=x x f
（4）若函数??
???
≥<+=0,0
,13sin )(x k x x
x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2
-=-，则=)(x f ．答案：1)(2
-=x x f
（6）函数1
3
22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x
（7）=∞→x
x x 1
sin lim ．答案：1
（8）若2sin 4sin lim 0=→kx
x
x ，则=k ．答案：2=k
2．单项选择题
（1）设函数2
e e x
x y +=-，则该函数是（ ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 答案：B
（2）下列函数中为奇函数是（
）．
A ．x x sin
B ．2
e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2
x x +
答案：C
（3）函数)5ln(4
+++=x x x
y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x
答案：D
（4）设1)1(2
-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2
x
C ．)2(-x x
D ．)1)(2(-+x x 答案：C
（5）当=k （ ）时，函数???=≠+=0,
,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：D
（6）当=k （ ）时，函数???=≠+=0,
,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1- 答案：B （7）函数2
33
)(2
+--=
x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x
B ．3=x
C ．3,2,1===x x x
D ．无间断点 答案：A 3．计算题
（1）4
2
3lim 222-+-→x x x x ． 解：41
21lim )2)(2()1)(2(lim 4
23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3
29
lim 223---→x x x x
解：2
3
4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 332
23==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4
58
6lim 224+-+-→x x x x x
解：3
2
12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 442
24=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x
综合练习题2（导数与微分部分）
1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．
答案：
2
1 （2）曲线x
x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y
（3）已知x
x x f 3)(3
+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2
x x x f +='
)3(f '=27（)3ln 1+
（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(=
'，)(x f ''=21x
- （5）若x
x x f -=e )(，则='')0(f
．
答案：x
x x x f --+-=''e e 2)(
='')0(f 2-
2.单项选择题 （1）若x x f x
cos e
)(-=，则)0(f '=（ ）．
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e
()('+'='='---x x x x f x x x
)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---
所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0
-=+-=- 答案：C
（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．
12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1
d x
x 答案：B
（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos '
C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'
D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D
（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．
A ．2
3cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C
3．计算题
（1）设x
x y 12
e =，求y '．
解： )1
(e e 2212
1x
x x y x
x -+=')12(e 1
-=x x
（2）设x x y 3
cos 4sin +=，求y '.
解：)sin (cos 34cos 42
x x x y -+='
x x x 2
cos sin 34cos 4-=
（3）设x
y x 2
e 1
+
=+，求y '. 解：21
21
(21e
x
x y x -
+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.
解：)sin (cos 12321x x x y -+
=' x x tan 2
3
21
-= 综合练习题3（导数应用部分）
1．填空题
（1）函数y x =-312
()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞
（2）函数1)(2
+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a
2．单项选择题
（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）
A ．单调增加
B ．单调减少
C ．先增后减
D ．先减后增 答案：D
（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C
（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B
（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x
e C ．2
x D ．x -3
答案：B
3．应用题（以几何应用为主）
（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知
22108
,108x
h h x ==
所以 x x x
x x xh x y 432
108442222+=?+=+=
令 0432
22=-='x
x y ，解得唯一驻点6=x 。
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点也
是最小值点。故当6=x m ，36
108
2==h m 时用料最省.
（2）用钢板焊接一个容积为43m 底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/ m 2，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？
解：设水箱的底边长为x m ，高为h m ，表面积为S m 2，且有24
x
h =
所以 ,16
4)(22x
x xh x x S +
=+= 2162)(x
x x S -
=' 令 0)(='x S ，得2=x . 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当2=x m ,1=h m 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）
（3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x m ，高为h m ，所用材料（容器的表面积）为y m 2。由已知
2232,
32x
h h x =
= 所以 x x x
x x xh x y 12832442
2
22+=?+=+= 令 0128
22
=-
='x x y ，解得唯一驻点4=x 。 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以4=x 是函数的极小值点也
是最小值点。故当4=x m ，24
32
2==h m 时用料最省.
请结合作业和复习指导中的题目进行复习。
综合练习题4（一元函数积分部分）
1．填空题 （1）若)(x f 的一个原函数为2
ln x ，则=)(x f . 答案：
x
2 （2）若
?+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f ． 答案：x 2cos 2
（3）若______________d os ?
=x x c 答案：c x +sin （4）=?
-2
de x
．
答案：c x +-2
e
（5）='?
x x d )(sin ．
答案：c x +sin （6）若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x f d )32( ． 答案：
c x F +-)32(2
1
（7）若
?
+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x xf d )1(2 ．
答案：c x F +--)1(2
1
2 （8） .______d )2cos (sin 1
1
2=+-?
-x x x x x
答案：3
2- （9）
=+?e 12
d )1ln(d d x x x
. 答案：0 （10）x x d e 0
2?
∞
-= ．
答案：
2
1
2．单项选择题
（1）下列等式成立的是（ ）．
A ．)(d )(d x f x x f =?
B ．)(d )(x f x x f ='?
C ．
)(d )(d d
x f x x f x =?
D ．)()(d x f x f =? 答案：C
（2）以下等式成立的是（ ）
A ． )1d(d ln x
x x = B ．)(cos d d sin x x x =
C ．x x
x
d d = D ．3ln 3d d 3x
x
x =
答案：D
（3）=''?
x x f x d )(（ ）
A. c x f x f x +-')()(
B. c x f x +')(
C.
c x f x +')(2
12
D. c x f x +'+)()1( 答案：A
（4）下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A ．x x
x d 2
e e 1
1?--- B ．x x
x d 2e e 11?--+ C ．
x x x d )cos (3?-
+π
π
D ．x x x d )sin (2?-+π
π
答案：A
（5）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=?
a
a
x x f -d )(（ ）
A ．0
B ．?
-d )(a
x x f C ．?a
x x f 0
d )( D ．?0-d )(2a
x x f
答案：A
（6）下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．
?∞
+0d in x x s B ．?
∞
+1
d 1x x
C ．
?
∞
+1
d 1
x x
D ．?∞+-02d e x x
答案：D
3．计算题
（1）x x d )12(10?
-
解：c x x x x x +-=--=
-??
11
1010
)12(22
1)1d(2)12(21d )12( （2）
x x x d 1
sin
2?
解：
c x x x x x x +=-=??
1cos 1d 1sin d 1
sin
2
（3）
c x
d x x
x
x x
+==??
e
2e 2d e
(4)
x x x d )e 4(e 22
ln 0
+?
解：
)e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 0
22
ln 0
x x x x x ++=+?
?
=3
130)125216(31)
e 4(31
2
ln 0
3=-=+x (5)
x x x
d ln 51e
1?+
解：27)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 511
21e
1=-=+=++=+??e
e x x d x x x x
(6)
x x x d e 10
?
解：
1e e d e e
d e 10
10
10
10
=-=-=??
x
x x x
x x x x
(7)
?
π20
d sin x x x
解：
1sin d cos cos d sin 20
20
20
20
==+-=ππππ??
x
x x x x x x x
综合练习题5（积分应用部分）
1．填空题
(1)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为
x
1，且曲线过)5,4(，则该曲线的
方程是 . 答案：12+=x y
(2)由定积分的几何意义知，
x x a a
d 0
2
2
?
-= . 答案：
4
2
a π
(3)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 答案：x
y e = (4)微分方程03=+'y y 的通解为 . 答案：x
c y 3e -=
(5)微分方程x y xy
y sin 4)(7)
4(3
=+''的阶数为 ． 答案：4
2.单项选择题
(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
A ．y = x 2 + 3
B ．y = x 2
+ 4
C ．22
+=x y D ．12
+=x y
答案：A
(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2
B ．x
xy y y e 2=+'
C ．y
y x y e ='+'' D ．x y y x y x
ln e sin ='-''
答案：D
(3)微分方程0='y 的通解为（ ）．
A ．Cx y =
B ．
C x y += C ．C y =
D ．0=y
答案：C
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）
A. y x x y +=d d ；
B. y xy x y +=d d ；
C. x xy x y sin d d +=；
D. )(d d x y x x
y +=
答案：B