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高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数优化训练北师大版4解析

高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数优化训练北师大版4解析
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数优化训练北师大版4解析

3.2 两角和与差的三角函数

5分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.cos α=21-,sin β=2

3-,α∈(2π,π),β∈(23π,2π),则cos (α-β)的值是( )

A.1

B.-1

C.2

D.0

解析:由α∈(2π,π),β∈(23π,2π),cos α=21-,sin β=23-得sin α=23,cos β=21cos(α-β)=cos α2cos β+sin α2sin β=)4

3(41-+-=-1. 答案:B

2.化简sin (A-B )2cosB+cos (A-B )2sinB 的结果应为( )

A.1

B.cosA

C.sinA

D.sinA2cosB 解析:原式 =sin(A-B+B)=sinA.

答案:C

3.已知cos θ=53-

,θ∈(2π,π),则sin(θ+3

π)=_______________. 解析:∵cos θ=53-,θ∈(2

π,π), ∴sin θ=54. ∴sin(θ+3π)=sin θcos 3π+cos θsin 3π=54321+(53-)323=10

334-. 答案: 10

334- 4.已知锐角α,β满足sin α=

55,cos β=10103,求cos(α-β)的值. 解:∵sin α=5

5,α为锐角, ∴cos α=5

52511sin 12=-=-α. ∵cos β=10

103,β为锐角, ∴sin β=10101091cos

12=-=-β.

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=10

2710105510103552=?+?. 10分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.)4cos(cos sin παα

α-+的化简结果为( ) A.2 B.2- C.22 D.2

2- 解析:原式=2)cos (sin 2

2cos sin 4sin sin 4cos cos cos sin =++=?+?+ααααπ

απ

αα

α. 答案:A

2.sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为( ) A.21 B.22 C.21- D.22- 解析:原式=-(cos23°cos22°- sin22°sin23°)=-cos45°=2

2-

. 答案:D 3.sin

9

2sin 9sin 92cos 187ππππ-=__________________. 解析:92187πππ-=,18

7cos )92cos(9sin ππππ=-=. 原式变形为2

16sin )92187sin(92sin 187cos 92cos 18sin ==-=-7πππππππ. 答案:2

1 4.已知2π<β<α<43π,cos (α-β)=1312,sin (α+β)=53-,求sin2α的值与cos2α的值.

解:(α+β)+(α-β)=2α,

2π<β<α<43π,则π<α+β<23π,0<α-β<4

π. ∵cos(α-β)=1312,sin (α+β)=5

3-, ∴sin (α-β)=135,cos (α+β)=5

4-,sin2α=sin [(α+β)+(α-β)]=65

56135)54(131253-=?-+?-, cos2α=cos [(α+β)+(α-β)]=653353131254-=+?-.

5.化简:3sin α-cos α.

解:3sin α-cos α=2(2

3sin α21-cos α)=2(sin α2cos 6π-cos α2sin 6π)=2sin(α-6

π). 6.已知α、β均为锐角,cos α=71,cos(α+β)=14

11-,求cos β的值. 解:∵α、β均为锐角,∴0<α+β<π.

∵cos α=71,cos(α+β)=14

11-, ∴sin α=7

344911=-, sin(α+β)=1435)1411(1)(cos 122=-

-=+-βα. ∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=1411-32

1734143571=?+. 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.已知sin α2sin β=1,那么cos (α+β)的值等于( )

A.-1

B.0

C.1

D.±1

解析:正弦函数的值域为[-1,1].由sin α2sin β=1,得sin α=1且sin β=1或sin α=-1且sin β=-1,只有这两种情况.

∴cos(α+β)=cos α2cos β-sin α2sin β=-1.

答案:A

2.要使sin α-3cos α=

m m --464有意义,则m 的取值范围是( ) A.(-∞,3

7] B.(1,+∞) C.[-1,37] D.(-∞,-1]∪[3

7,+∞) 解析:sin α-3cos α=2sin (α-3

π)=m m --464. 利用三角函数的有界性,由-1≤sin(α-3

π)≤1,求得-1≤m≤37. 答案:C

3.若cos α=

1715,α∈(23π,2π),则cos(3

π-α)=__________________. 解析:∵cos α=1715,α∈(23π,2π),

∴sin α=178cos 12-

=--α. ∴cos(3π-α)=cos 3πcos α+sin 3

πsin α =2131715+233(178-)=34

3815-. 答案:34

3815- 4.已知sin α=

21,sin β=31,则sin(α+β)2sin(α-β)=_______________. 解析:sin(α+β)2sin(α-β)

=(sin α2cos β+cos α2sin β)2(sin α2cos β-cos α2sin β)

=sin 2α2cos 2β-cos 2α2sin 2β

=sin 2α(1-sin 2β)-(1-sin 2α)2sin 2β

=sin 2α-sin 2β =

36

59141=-. 答案:365 5.在△ABC 中,sinA=cosB2cosC,且B≠2π,C≠2

π,求tanB+tanC 的值. 解:在△ABC 中,A+B+C=π,B+C=π-A.

sinA=sin (π-A )=sin (B+C )=sinB2cosC+cosB2sinC=cosB2cosC,

即sinB2cosC+cosB2sinC=cosB2cosC. ∵B≠2π,C≠2

π,∴cosB≠0,cosC≠0.上式两边同除以cosB2cosC,得tanB+tanC=1. 6.求证:cos53°+3sin53°=2cos7°.

证明:左=cos53°+3sin53°= 2(21cos53° +2

3sin53°)=2(sin30°cos53°+cos30°sin53°)=2sin (30°+53°)=2sin83°=2cos7°=右.

7.在△ABC 中,已知sinA2sinB<cosA2cosB,试判定三角形的形状.

解:∵sinA2sinB<cosA2cosB,∴cosA2cosB -sinA2sinB=cos(A+B )>0. ∴cos C=cos [π-(A+B )]=-cos (A+B )<0.

∵0<C <π,∴角C 为钝角,则△ABC 为钝角三角形.

8.化简下列各式:

(1)cos α3-sin α;

(2)sin α-cos α; (3)cos(4π+φ)-cos(4

π-φ).

解:(1)cos α-3sin α=2(

21cos α-23sin α)=2(cos αcos 3π-sin αsin 3π)=2cos(α+3π).

(2)sin α-cos α=)cos 22sin 22(2αα-=)4sin cos 4cos (sin 2π

απ

α-=

)4sin(2πα-

. (3)cos(

4π+φ)-cos(4π-φ)=(cos 4πcos φ-sin 4πsin φ)-(cos 4πcos φ+sin 4πsin φ)=-2s in 4

π2sin φ =2-sin φ.

9.已知锐角α、β满足cos α=

54,cos(α+β)=53,求sin β. 解:∵α为锐角,且cos α=5

4, ∴sin α=53)54(1cos 122=-=-α.

∵α、β为锐角,且cos(α+β)=5

3, ∴0<α+β<π,sin(α+β)=5

4)53

(1)(cos 122=-=+-βα. ∴sin β=sin [(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=

5425453-253=257.

高中数学公式三角函数公式大全

高中数学公式:三角函数公式大全三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全: 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a

=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa

三角函数恒等变换(整理)

高考数学(文)难题专项训练:三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m ( ) A .θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ,若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈,有 D l x ∈+,且)()(x f l x f ≥+,则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题: ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数; ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数; ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数,那么实数m 的取值范围是),2[+∞; ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数,当30<

4. 在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>, bc a c b 3222+=+,若0

高中数学三角函数知识点(复习)

三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合: . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式:. 4、扇形面积公式:. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: 2、 设点为角终边上任意一点,那么:(设),,, 3、 ,,在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 5、特殊角0°,30°,45°,60°, 1、平方关系:. 2、商数关系:. 3、倒数关系: §1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限”) 1、 诱导公式一: (其中:)

2、 诱导公式二: 3、诱导公式三: 4、诱导公式四: 5、诱导公式五: 6、诱导公式六: §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为:

§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

图象

定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程: 对称中心 对称轴方程: 对称中心

1、记住正切函数的图象: 2、记住余切函数的图象:

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:

函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式:

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号

高中数学三角函数知识点总结(非常好用)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + —

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1。(2)商数关系:αα cos sin =tan α (z k k ∈+≠ ,2 ππ α) 6.诱导公式:记忆口诀:2 k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ' ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

三角函数公式大全关系

三角函数公式大全关系: 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 (sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ) 证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ) 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦: sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

高中数学教案三角函数的图象与性质

高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 (一)三角函数的性质 1、三角函数的定义域,值域或最值问题; 2、三角函数的奇偶性及单调性问题;常见题型为:三角函数为奇 函数(或偶函数)的充要条件的应用;寻求三角函数的单调区间;比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性;寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. (二)三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换; 2、型三角函数的图象问题;重点是“五点法”作草

图的逆用:由给出的一段函数图象求函数解析式; 3、三角函数图象的对称轴或对称中心:寻求或应用; 4、利用函数图象解决应用问题. (三)化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y=sinx,y=tanx;偶函数:y=cosx. (2)型三角函数的奇偶性 (ⅰ)g(x)=(x∈R) g(x)为偶函数 由此得; 同理,为奇函数 . (ⅱ) 为偶函数;为奇函 数 . 3、周期性 (1)基本公式

(ⅰ)基本三角函数的周期y=sinx,y=cosx的周期为;y=tanx,y=cotx的周期为 . (ⅱ)型三角函数的周期 的周期为; 的周期为 . (2)认知 (ⅰ)型函数的周期 的周期为; 的周期为 . (ⅱ)的周期 的周期为; 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对y=的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变.注意这一点及(ⅰ)的区别. (ⅱ)若函数为型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”. (ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明. (3)特殊情形研究

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数(初等函数二) ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<, 则sin y r α= ,cos x r α= ,()tan 0y x x α= ≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α=M P ,cos α=O M ,tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系:()2 2 1sin cos 1αα+=

高中数学三角函数与三角恒等变换(知识点)

三角函数与三角恒等变换(知识点) 1.⑴ 角度制与弧度制的互化:π弧度180=,1180 π =弧度,1弧度180 ( )π ='5718≈. ⑵ 弧长公式:||l R α=;扇形面积公式:211 ||22 S R Rl α= =. 2.三角函数定义: ⑴ 设α是一个任意角,终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么y 叫作α的正弦,记作sin α;x 叫作α的 余弦,记作cos α; y x 叫作α的正切,记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ,设||OP r =,则: sin ,cos ,y x r r αα==tan y x α=. 三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3.三角函数线: 正弦线:MP ; 余弦线:OM ; 正切线: AT . 4 六组诱导公式统一为“()2 k Z α±∈” ,记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 5.同角三角函数基本关系:22sin cos 1αα+=(平方关系);sin tan cos α αα =(商数关系). 6.两角和与差的正弦、余弦、正切:① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; ② cos()cos cos sin sin αβαβ αβ±=; ③ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= . 7.二倍角公式:① sin22sin cos ααα=; ② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα= -=-=-; ③ 2 2tan tan 21tan α αα =-. 变形:21cos2sin 2αα-=;21cos2cos 2 α α+=. (降次公式) 8.化一:sin cos )y a x b x x x =+)x ?+. 9. 物理意义:物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ω?=+∈+∞,其中0,0A ω>>. 振幅为A ,表示物体离开平衡位置的最大距离;周期为2T π ω = ,表示物体往返运动一次所需的时间;频率为12f T ω π = = ,表示物体在单位时间内往返运动的次数;x ω?+为相位;?为初相.

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化: ,23600π= ,1800 π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式:r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: 记忆口诀:一全正,二正弦,三两切,四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1 (2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式: 记忆口诀:把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. x y O — + + — + y O — + + —

三角函数公式大全

两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式:sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a -

高中数学三角函数

三角函数常见题 1、A,B,C为三角形内角,已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC,求角A 解:1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明:(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆,原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A,B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时,y有最小值1此时{x|x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时,y有最小值1此时{x|x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC,若(2c-b)tanB=btanA,求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入

高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理

《三角函数恒等变换》知识归纳与整理 一、 基本公式 1、必须掌握的基本公式 (1) 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± (2) 二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= (3) 半角的三角函数 212 C S α α -± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式 (1) 积化和差 ][2 1 )()(C C C C βαβαβ α-++=

=S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-= (2) 和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- (3) 万能公式(全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式) T T S 2 2 212α α α += T T C 22 2 211α α α+-= T T T 2 2 212α α α- = (4) 辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++=+x x b x a b a 其中:a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式: ① ) 4 sin(2cos sin π + =+x x x

高中数学必修三角函数知识点与题型总结

高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

三角函数典型考题归类 1.根据解析式研究函数性质 例1(天津理)已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ,. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间π3π84?? ????,上的最小值和最大值. 【相关高考1】(湖南文)已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?. 求:(I )函数()f x 的最小正周期;(II )函数()f x 的单调增区间. 【相关高考2】(湖南理)已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?,1()1sin 22g x x =+. (I )设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴,求0()g x 的值.(II )求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间. 2.根据函数性质确定函数解析式 例2(江西)如图,函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ,,≤≤的图象与y 轴相交于点(0,且 该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值; (2)已知点π02A ?? ??? ,,点P 是该函数图象上一点,点00()Q x y ,是PA 的中点,当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ,时,求0x 的值. 【相关高考1】(辽宁)已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ,(其中0ω>),(I )求函数()f x 的值域;(II )(文)若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ,求函数()y f x =的单调增区间.

数学三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y =αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

高中数学三角函数知识点

高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 r y =α sin ; r x = αcos ; x y = α tan ; y x = α cot ; x r = α sec ;. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o

高中数学三角函数变换公式

正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 同角三角函数间的基本关系式: ·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式: ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) ·

倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式: sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式: sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2) cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2) tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式: sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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