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数学建模常见评价模型简介

数学建模常见评价模型简介
数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介

评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型,如2005年全国赛A题长江水质的评价问题,2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型:层次分析模型,模糊综合评价模型,灰色关联分析模型,以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。

层次分析模型

层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求,将所包含的因素进行分类,一般按目标层、准则层和子准则层排列,构成一个层次结构,对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重,这样层层分析下去,直到最后一层,给出所有因素相对于总目标而言,按重要性程度的一个排序。其主要特征是,它合理地将定性与定量决策结合起来,按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。

运用层次分析法进行决策,可以分为以下四个步骤:

步骤1 建立层次分析结构模型

深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。

步骤2构造成对比较阵

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,借助1~9尺度,构造比较矩阵;

步骤3计算权向量并作一致性检验

由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验,若通过,则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)

组合权向量可作为决策的定量依据

通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。

例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。

步骤1 建立系统的递阶层次结构

将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。

图1 选择旅游地的层次结构

步骤2构造比较矩阵

元素之间两两对比,对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较,构造判断矩阵。

标度值 含义

1 两因素相比,具有同等重要性 3 两因素相比,前者比后者稍重要 5 两因素相比,前者比后者明显重要 7 两因素相比,前者比后者强烈重要 9 两因素相比,前者比后者极端重要

2、4、6、8

表示上述相邻判断的中间值

以上各数值的倒数

若指标i 与指标

j 比较相对重要性用上述之一数值标度,则指标j 与指标i 的

相对重要性用上述数值的倒数标度

表1 1~9标度的含义

设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性,记判断矩阵为A

???????

????

? ??=11

3

5

13

1112513131211714

155712334211A 显然,A 是正互反阵。

步骤3计算被比较元素对于该准则的相对权重

(1)一致阵的定义与性质 一致阵的定义

要由A 确定n C C C ,,,21 对目标O 的权向量,我们首先考察一致矩阵的性质。称满足n k j i a a a ik jk ij ,,2,1,,, ==?的正互反阵为一致阵。例如

?????????

? ??=n

n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A

2

1

2221

2

12111

一致矩阵的性质

矩阵A 的秩为1,A 的唯一非零特征根为n 。 矩阵A 的任一列向量是对应于n 的特征向量。 矩阵A 的归一化特征向量可作为权向量。

然而,我们构造的成对比较矩阵???????

????

? ??=11

3

5

131112513131211714

1

55712334211A 中,由212112==

C C a ,43113==C C a 可以得到83

223==C C

a ,而事实上723=a 。因此矩阵A 并不是一致阵,事实上在大多情况下我们构造的成对比较矩阵都不是一致阵。对于这样的矩阵我们如何来确定权向量呢?我们通常的作法是:对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A ,建议用对应于最大特征根λ的特征向量作为权向量。

(2)一致性检验(确定成对比较阵不一致的允许范围),计算权向量。

已知n 阶一致阵的唯一非零特征根为n ,可证:n 阶正互反阵最大特征根

n ≥λ, 且n =λ时为一致阵。

一致性指标:1

--=n n

CI λ,CI 越大,不一致性越严重。

随机一致性指标:随机产生多个矩阵,将每个矩阵的一致性指标相加然后取平均值得到RI 。

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

1.49

1.51

表2 Saaty 的随机一致性指标

注:标2中的n 表示成对比较阵的维数。

一致性比率 如果1.0<=RI

CI

CR ,构造的成对比较矩阵A 通过一致性检验。 步骤4计算组合权向量

记第2层(准则层)对第1层(目标层)的权向量为

()

T

n

w w w )

2()2(1)2(,, =

同样求第3层(方案层)对第2层每一元素(准则层)的权向量

()

n k w w w T

km

k k ,,2,1,,,)3()3(1)3( == 构造矩阵

()

)

3()3(1)3(,,n

w w W = 则第3层(方案层)对第1层(目标层)的组合权向量

)2()3()3(w W w =

以此类推,第s 层对第1层的组合权向量

)2()3()1()()(w W W W w s s s -=

其中()p W 是由第p 层对第p -1层权向量按列组成的矩阵。 层次分析法的应用

1、应用领域:经济计划和管理,能源政策和分配,人才选拔和评价,生产决策,交通运输,科研选题,产业结构,教育,医疗,环境,军事等。

2、处理问题类型:决策、评价、分析、预测等。

3、建立层次分析结构模型是关键一步,要有主要决策层参与。

4、构造成对比较阵是数量依据,应由经验丰富、判断力强的专家给出。 层次分析法的若干问题

2. 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法? 不完全层次结构

上层每一元素与下层所有元素相关联,这种层次结构称为完全层次结构,否则称为不完全层次结构,不完全层次结构又分为两种,一种为不完全层次出现在准则层与子准则层之间,这种不完全结构容易处理,我们将不支配的那些因素的权向量分别简单的置0,就可以用完全层次结构的办法处理,但如果不完全结构

出现在准则层与方案层之间,则处理起来就有些麻烦,我们看下面的例子。 例 评价教师贡献的层次结构(图3),该图中21,C C 支配元素的数目不等,此层次结构称为不完全层次结构。

设第2层对第1层权向量()()()

()

T

w w w 22212,=已定,第3层对第2层权向量

()()()()()

T

w w w w 0,,,31331231131=,()()()()

T

w w w 32432332,,0,0=已得,讨论由()()()()()

323132,,w w W w =计

算第3层对第1层权向量()3w 的方法。

图3评价教师贡献的层次结构

我们首先考察一个特例:若21,C C 重要性相同, 则()

T

w

??

?

??=21,212,4

321,,,P P P P 能力相同, ()

()T

T

w w ??? ?

?=??? ??=21,21,0,0,0,31,31,313231,则公正的评价应为:1:2:1:1:::4321P P P P 。

若不考虑支配元素数目不等的影响,仍用)2()3()3(w W w =计算,则

()

T

w ??

?

??=41,125,61,613 意味着支配元素越多权重越大,显然是不合理的。

用支配元素数21,n n 对()2w 加权修正,修正为()

2w ,再计算()3w 。

令()

)

2(22)2(1

1)

2(2

2)2(1

1)

2((,~w n w n w n w n w

T

+=

,再用)

2()3()3(~w

W w =计算。本例中

T

w

n n ??? ??===52,53~,2,3)

2(21,计算得()T

w ??

?

??=51,52,51,513,表明支配元素越多权贡献O

教学C 1 科研C 2

P 2 P 1 P 3 P 4

重越小与公正的评价相吻合。 成对比较阵残缺时的处理

专家或有关人士由于某种原因会无法或不愿对某两个因素给出相互对比的结果ij a ,于是成对比较阵出现残缺。如何对此作修正,以便继续进行权向量的计算呢?

例 设一成对比较阵为?????

??

?

??=12

12121

21θθA ,θ为残缺元素,试对此残缺阵进行处理。

解 构造辅助矩阵?????

???

?

??=12

12121

211

331w w w w C ,因此由 w Cw w Aw λλ=?= (1)

但是,C 中包含未知量31,w w ,(1)式无法求解,进而将A 修正为???????

?

??=22102121

022A ,

不难验证w w A λ=,进而求得

()T

w 1429.0,2857.0,5714.0,3==λ。

注:一般地,由残缺阵()ij a A =构造修正阵()

ij a A =的方法是令

模糊综合评价模型

模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学。这里模糊性是指客观事

物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性。比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文

水平“很高”与“较高”等等。从一个等级到另一个等级间没有一个明 确的分界,中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程,这个现象叫中介过渡。由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性。

模糊综合评价是以模糊数学为基础。应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清,不易定量的因素定量化,进行综合评价的一种方法。 一、单因素模糊综合评价的步骤

(1)根据评价目的确定评价指标(Evaluation Indicator )集合

{}m u u u U ,,,21 =

例如:评价某项科研成果,评价指标集合为={学术水平,社会效益,经济效益}。

(2)给出评价等级(Evaluation Grade )集合

{}n v v v V ,,,21 =

例如:评价某项科研成果,评价等级集合为={很好,好,一般,差}。 (3)确定各评价指标的权重(Weight )

{}m w μμμ,,,21 =

权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度,且

∑=1i

μ

例如:假设评价科研成果,评价指标集合={学术水平,社会效益,经济效益}

其各因素权重设为

{}4.0,3.0,3.0=w

(4)确定评价矩阵R

请该领域专家若干位,分别对此项成果每一因素进行单因素评价(One-Way Evaluation ),例如对学术水平,有50%的专家认为“很好”,30%的专家认为“好”,20%的专家认为“一般”,由此得出学术水平的单因素评价结果为

()0,2.0,3.0,5.01=R

同样如果社会效益,经济效益两项单因素评价结果分别为

()1.0,2.0,4.0,3.02=R

()2.0,3.0,2.0,2.03=R

那么该项成果的评价矩阵为

????

? ??=????? ??=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R

(5)进行综合评价

通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S 。设

m j W ?=1)(μ,n m ji r R ?=)(那么

()()n mn m m n n m s s s r r r r r r r r r R w S ,,,,,,212

1

22221

11211

21 =??

??

?

?

?

??==μμμ 其中“ ”为模糊合成算子。进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子,模糊

合成算子通常有四种 (1)),(∨∧M 算子

(){}n k r r s jk

j m

j jk j m

j k ,,2,1,,min max )(11

=∧=≤≤=∨μμ=,符号“∧”为取小,

“∨”为取大。运算过程为首先对每个下标j 求出j μ与jk r 的最小值,然后从这些最小值里面取最大值。 (2)),(∨?M 算子

{}n k r r s jk j m

j jk j m

j k ,,2,1,max )(11

=??=≤≤=∨μμ=

(3)),(⊕∧M 算子

“⊕”是有界和运算,即在有界限制下的普通加法运算.对t 个实数

t x x x ,,,21 有?

??

???=⊕⊕⊕∑=t i i t x x x x 121,1min ,利用),(⊕∧M 算子,有

()n k r s m j jk j k ,,2,1,,min ,1min 1 =?

??

???=∑=μ

(4)),(⊕?M 算子

n k r s m j jk j k ,,2,1,,1min 1 =???

?

??=∑=μ

以上四个算子在综合评价中的特点是如下表:

表 12 1. 如何确定权向量w 1)层次分析法 2)归一化法

归一化公式:()1,1,2,,i i

i n i

i i

S S w i n S S ===∑

其中i w 为评价参数i 的监测值;i S 为评价参数i 的n 级标准的算术平均值,则权

重集为{}n w w w w ,,,21 =

2. 如何确定评价矩阵R 1)专家评价法 2)层次分析法 (6)得出综合结论

通过对模糊评判向量S 的分析作出综合结论.一般可以采用以下三种方法: 1. 最大隶属原则

模糊评判集()n S S S S ,,,21 = 中i S 为等级i v 对模糊评判集S 的隶属度,按最大隶属度原则作出综合结论,即()n S S S M ,,max ,21 =,M 所对应的元素为综合评价结果。该方法虽简单易行,但只考虑隶属度最大的点,其它点没有考虑,损失的信息较多.

二、多级模糊综合评判

有些情况因为要考虑的因素太多,而权重难以细分,或因各权重都太小,使得评价失去实际意义,为此可根据因素集中各指标的相互关系,把因素集按不同

属性分为几类.可先在因素较少的每一类(二级因素集)中进行综合评判,然后再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判.如果二级因素集中有些类含的因素过多,可对它再作分类,得到三级以至更多级的综合评判模型,注意要逐级分别确定每类的权重。 以二级综合评判为例给出其数学模型: 设第一级评价因素集为

{}m u u u U ,,,21 =

各评价因素相应的权重集为

{}m W μμμ,,,21 =

第二级评价因素集为

{}ik i i i u u u U ,,,21 =,m i ,,2,1 =

相应的权重集为

{}ik i i i W μμμ,,,21 =

相应的单因素评判矩阵为:

[]

n

k j

l i r R ?=,k l ,,2,1 =

二级综合评判数学模型为

?

??????

??=m m

R W R W R W W B

22

11

数学建模常用模型方法总结精品

【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 (优化模型) 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素:①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归

传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型,如2005年全国赛A题长江水质的评价问题,2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型:层次分析模型,模糊综合评价模型,灰色关联分析模型,以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求,将所包含的因素进行分类,一般按目标层、准则层和子准则层排列,构成一个层次结构,对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重,这样层层分析下去,直到最后一层,给出所有因素相对于总目标而言,按重要性程度的一个排序。其主要特征是,它合理地将定性与定量决策结合起来,按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策,可以分为以下四个步骤: 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,借助1~9尺度,构造比较矩阵; 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验,若通过,则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。

数学建模综合评价方法

所谓指标就就是用来评价系统的参量.例如,在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等,就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标.一般说来,任何—个指标都反映与刻画事物的—个侧面. 从指标值的特征瞧,指标可以分为定性指标与定量指标.定性指标就是用定性的语言作为指标描述值,定量指标就是用具体数据作为指标值.例如,旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 与1A 之分,则旅游景区质量等级就是定性指标;而景区年旅客接待量、门票收入等就就是定量指标. 从指标值的变化对评价目的的影响来瞧,可以将指标分为以下四类: (1)极大型指标(又称为效益型指标)就是指标值越大越好的指标; (2)极小型指标(又称为成本型指标)就是指标值越小越好的指标; (3)居中型指标就是指标值既不就是越大越好,也不就是越小越好,而就是适中为最好的指标; (4) 区间型指标就是指标值取在某个区间内为最好的指标. 例如,在评价企业的经济效益时,利润作为指标,其值越大,经济效益就越好,这就就是效益型指标;而管理费用作为指标,其值越小,经济效益就越好,所以管理费用就是成本型指标.再如建筑工程招标中,投标报价既不能太高又不能太低,其值的变化范围一般就是 (10%,5%)-+× 标的价,超过此范围的都将被淘汰,因此投标报价为区间型指标.投标工期既不能太长又不能太短,就就是居中型指标. 在实际中,不论按什么方式对指标进行分类,不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换 8、2、4 评价指标的预处理方法 一般情况下,在综合评价指标中,各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级,从而使得各指标之间存在着不可公度性,给综合评价带来了诸多不便.为了尽可能地反映实际情况,消除由于各项指标间的这些差别带来的影响,避免出现不合理的评价结果,就需要对评价指标进行一定的预处理,包括对指标的一致化处理与无量纲化处理. 1.指标的一致化处理 所谓一致化处理就就是将评价指标的类型进行统一.一般来说,在评价指标体系中,可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标与区间型指标,它们都具有不同的特点.如产量、利润、成绩等极大型指标就是希望取值越大越好;而成本、费用、缺陷等极小型指标则就是希望取值越小越好;对于室内温度、空气湿度等居中型指标就是既不期望取值太大,也不期望取值太小,而就是居中为好.若指标体系中存在不同类型的指标,必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理.例如,将各类指标都转化为极大型指标,或极小型指标.一般的做法就是将非极大型指标转化为极大型指标.但就是,在不同的指标权重确定方法与评价模型中,指标一致化处理也有差异. (1) 极小型指标化为极大型指标 对极小型指标j x ,将其转化为极大型指标时,只需对指标j x 取倒数: 1j j x x '= , 或做平移变换: j j j x M x '=-,

数学建模模糊综合评价法

学科评价模型(模糊综合评价法) 摘要:该模型研究的是某高校学科的评价的问题,基于所给的学科统计数据作出综合分析。基于此对未来学科的发展提供理论上的依据。 对于问题1、采用层次分析法,通过建立对比矩阵,得出影响评价值各因素的所占的权重。然后将各因素值进行标准化。在可共度的基础上求出所对应学科的评价值,最后确定学科的综合排名。(将问题1中的部分结果进行阐述) (或者是先对二级评价因素运用层次分析法得出其对应的各因素的权重(只选取一组代表性的即可),然后再次运用层次分析法或者是模糊层次分析法对每一学科进行计算,得出其权重系数)。通过利用matlab确定的各二级评价因素的比较矩阵的特征根分别为:4.2433、2、4.1407、3.0858、10.7434、7.3738、3.0246、1 对于问题2、基于问题一中已经获得的对学科的评价值,为了更加明了的展现各一级因素的作用,采用求解相关性系数的显著性,找出对学科评价有显著性作用的一级评价因素。同时鉴于从文献中已经有的获得的已经有的权重分配,对比通过模型求得的数值,来验证所建模型和求解过程是否合理。 对于问题3、主成份分析法,由于在此种情况下考虑的是科研型或者教学型的高校,因此在评价因素中势必会有很大的差别和区分。所以在求解评价值的时候不能够等同问题1中的方法和结果,需要重新建立模型,消除或者忽略某些因素的影响和作用(将问题三的部分结果进行阐述)。 一、问题重述

学科的水平、地位是评价高等学校层次的一个重要指标,而学科间水平的评价对于学科本身的发展有着极其重要的作用。而一个显著的方面就是在录取学生方面,通常情况下一个好的专业可以录取到相对起点较高的学生,而且它还可以使得各学科能更加深入的了解到本学科的地位和不足之处,可以更好的促进该学科的发展。学科的评价是为了恰当的学科竞争,而学科间的竞争是高等教育发展的动力,所以合理评价学科的竞争力有着极其重要的作用。鉴于学科评价的两种方法:因素分析法和内涵解析法。本模型基于某大学(科研与教学并重型高校)的13个学科在某一时期内的调查数据,包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 通过计算每一级、每一个评价因素所占的权重,确定某一学科在评价是各因素所占的比重,构建评价等级所对应的函数。通过数值分析得出学科的评价值。需要解决一下几个问题: 1、根据已给数据建立学科评价模型,要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析,给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型祸教学型高校,请给出相应的学科评价模 型。 二、符号说明与基本假设 2.1符号说明 符号说明 S——评价数(评价所依据的最终数值) X——影响评价数值的一级因素所构成的矩阵

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢?随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98 年美国赛A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的

模糊综合评价法的数学建模方法简介_任丽华

8 《商场现代化》2006年7月(中旬刊)总第473期 20世纪80年代初,汪培庄提出了对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价模型,此模型以它简单实用的特点迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面,广大实际工作者运用此模型取得了一个又一个的成果。本文简单介绍模糊综合评价法的数学模型方法。 一、构造评价指标体系 模糊综合评价的第一步就是根据具体情况建立评价指标体系的层次结构图,如图所示: 二、确定评价指标体系的权重 确定各指标的权重是模糊综合评价法的步骤之一。本文根据绿色供应链评价体系的层次结构特点,采用层次分析法确定其权重。尽管层次分析法中也选用了专家调查法,具有一定的主观性,但是由于本文在使用该方法的过程中,对多位专家的调查进行了数学处理,并对处理后的结果进行了一致性检验,笔者认为,运用层次分析法能够从很大程度上消除主观因素带来的影响,使权重的确定更加具有客观性,也更加符合实际情况。 在此设各级指标的权重都用百分数表示,且第一级指标各指标的权重为Wi,i=1,2,…,n,n为一级指标个数。一级指标权重向量为: W=(W1,…,Wi,…Wn) 各一级指标所包含的二级指标权重向量为: W=(Wi1,…,Wis,…Wim),m为各一级指标所包含的二级指标个数,s=1,2,…,m。 各二级指标所包含的三级指标权重向量为: Wis=(Wis1,…Wis2,…Wimq),q为各二级指标所包含的三级指标个数。三、确定评价指标体系的权重建立模糊综合评价因素集将因素集X作一种划分,即把X分为n个因素子集X1,X2,…Xn,并且必须满足: 同时,对于任意的i≠j,i,j=1,2,…,均有 即对因素X的划分既要把因素集的诸评价指标分完,而任一个评 价指标又应只在一个子因素集Xi中。 再以Xi表示的第i个子因素指标集又有ki个评价指标即:Xi={Xi1,Xi2,…,XiKi},i=1,2,…,n 这样,由于每个Xi含有Ki个评价指标,于是总因素指标集X其有 个评价指标。 四、 进行单因素评价,建立模糊关系矩阵R 在上一步构造了模糊子集后,需要对评价目标从每个因素集Xi上进行量化,即确定从单因素来看评价目标对各模糊子集的隶属度,进而得到模糊关系矩阵: 其中si(i=1,2,…,m)表示第i个方案,而矩阵R中第h行第j列元素rhj表示指标Xih在方案sj下的隶属度。对于隶属度的确定可分为两种 情况:定量指标和定性指标。 (1)定量指标隶属度的确定 对于成本型评价因素可以用下式计算: 对于效益型评价因素可以用下式计算:对于区间型评价因素可以用下式计算:上面三个式子中:f(x)为特征值,sup(f),inf(f)分别为对应于同一个指标的所有特征值的上下界,即是同一指标特征值的最大值和最小 模糊综合评价法的数学建模方法简介 任丽华 东营职业学院 [摘 要] 本文一种数学模型方法构造了一种对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价法,主要从构造评价指标体系,确定评价指标体系的权重,确定评价指标体系的权重,建立模糊综合评价因素集,进行单因素评价、建立模糊关系矩阵R,计算模糊评价结果向量B等五个方面介绍这种评价方法。 [关键词] 绿色供应链绩效评价 模糊综合评价法 数学模型方法 流通论坛

数学建模中常见的十大模型讲课稿

数学建模中常见的十 大模型

精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢?随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98 年美国赛A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年A 题逢山开路,山体海拔高度的 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除

教师评价模型_数学建模教学提纲

教师评价模型_数学建 模

教师评价模型 一、摘要 学校是一个充满着评价人的场所,每时每刻都在对各个人进行评价。毫不 夸张地说评价教师是学校里每个人的“日常功课”。 由于教师职业劳动的特殊性,它是复杂劳动。不能仅仅用工作量来评价 教师的劳动,同时评价教师的人员纷繁复杂,方式多种多样。评价教师的标准 往往束缚着学校的教学质量,教师教学的积极性。所以教师评价的确定就显的 很重要。 新课程强调:评价的功能应从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整;评 价内容应从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能;评价主体应从单一 转向多元。 那么如何公正、客观地评价教师的同时,有效地保护教师的教学积极性和 帮助提高学校的办学水平呢? 此模型的建立改变了以往同类模型的多种弊端,从另一角度更加合理地分析、评价,就是为了更公平,公正地对教师做出合理的评价,从而促进学生发 展和教师提高。 本模型主要用了模糊数学模型和对各项评价付权重的方法进行建模分析。 从(1)教师对自己的评价,(2)学生对教师的评价;(3)由专家组对教师的评价的角度出发,通过量化,加权,得出结果。然后确定三方面的比重来评价 教师。同时通过确定教师自评与他人评价的比值范围,而确定这次评价是否有效。 在各个方面采用的数学模型如下:

1、教师对自己的评价: 教师对自己的满意度,既体现教师的主人翁意识也保护教师的教学积 极性。 16 1160i i i P Q D ( i ∈[1,16]) (Q 表示教师自评的得分 Pi 表示教师对自己各项符合度而打的分数 Di 表示对教师自评要求各项所加给的权重 ) 2、学生对教师的评价: 表明以学生为主体,体现了模型的客观性,公平、公开的原则。 90j i ij i d c a ij a =ij n u ij a =A (U ,V ) ( U 为评价的主要因素, V 为评价因素分等。 C i 为学生对教师的各项评价要求所付的权重 N 为填写有效调查表的人数) 3、由专家组成通过听课对教师的评价: 表明专家对教师指导性,帮助教师提高教学水平。体现了评价的权威 性,真实性。同时也是作为教师提拔的一个方面。 (1)建立综合评价矩阵51ij ij ik k c g c (2)综合评价 B=A ⊕R=(b 1,b 2,……,b m )

数学建模各种分析报告方法

现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系,即将相关比较密切的几个变量归在同一类中,每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的,即不是具体的变量),以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术,我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些,以及它们的影响力(权重)运用这种研究技术,我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术,在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用:a,了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用,c,和判别分析一起使用,比如当变量很多,个案数不多,直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。(reduce dimensionality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合,而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差,而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括:各个共同因子之间不相关,特殊因子(specific factor)之间也不相关,共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中,当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候,的主成分一般是独特的;而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中,因子个数需要分析者指定(spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中,成分的数量是一定的,一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比,由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子,在解释方面更加有优势。大致说来,当需要寻找潜在的因子,并对这些因子进行解释的时候,更加倾向于使用因子分析,并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量(新的变量几乎带有原来所有变量的信息)来进入后续的分析,则可以使用主成分分析。当然,这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说,主成分分析主要是作为一种探索性的技术,在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用:a,了解数据。(screening the data),b,

数学建模中常见的十大模型

数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法,竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法:模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。

8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只能处理离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关,即使问题与图形无关,论文中也会需要图片来说明问题,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题,对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案,根本不可能去求解析解,那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣取决于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。

数学建模论文《学科评价模型》

答卷编号(参赛学校填写): 答卷编号(竞赛组委会填写): 论文题目:学科评价模型(A) 组别:本科生 参赛队员信息(必填): 姓名专业班级及学号联系电话参赛队员1 08生物技术一班0886 参赛队员2 08生物技术一班1680 参赛队员3 08生物技术一班0698

答卷编号(参赛学校填写): 答卷编号(竞赛组委会填写): 评阅情况(学校评阅专家填写):学校评阅1. 学校评阅2. 学校评阅3. 评阅情况(省赛评阅专家填写):省赛评阅1. 省赛评阅2. 省赛评阅3.

学科评价模型 摘要本学科评价模型采用了指标体系法,其所具有的客观公正性使之成为目前大学学科评价的主流方法。学科评价一方面取决于指标体系本身设计是否科学,另一方面则取决于原始数据和指标的可比性。由于本题目并没有给出具体的哪13个学科,而不同学科之间在某些方面存在着不同程度上的差异性。所以,我们采用层次分析法分配权重以及灰色多层次分析法处理数据,从而使评价结果更加客观公正。学科评价应分类别、分层次进行,不同的类别和层次适用于不同的情形。比如科研教学并重型高校的学科评价模型与科研型或者教学型高校的学科评价模型会有所区别。同时,在学科评价体系中,指标分级是必要的,我们将题目所给的指标分为三级。通过模型的建立及求解,我们得出了各学科各指标的评价结果,以及各学科的综合实力评价结果,并对结果进行横向分析和纵向分析,为大学学科评估及资源优化提供了较为合理的依据。 关键词层次分析法,权重, 灰色多层次分析法,关联度

一 问题的重述 学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标,而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用,它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处,可以更好的促进该学科的发展。因此,如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学(科研与教学并重型高校)的13个学科在一段时期内的调查数据,包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 1、根据已给数据建立学科评价模型,要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析,给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型或教学型高校,请给出相应的学科评价模型。 二 合理的假设 1、假设各学科所属领域以及学科特点的差异不对本评估体系产生影响 2、假设某些权威杂志对特定的学科没有偏重 3、假设国家和社会对各学科没有任何偏重 4、假设各学科培养出的人才素质没有差异 5、假设专家对学科各指标相对重要性的评判合理、客观、全面。 三 符号的说明 ijk C :各级指标 ik C :(i=1,2,3····n;k=1,2,····m)第i 个参评学科中第k 个指标的原始数据 *k C :最优指标集 S :综合分析评价值 A :目标向量 ij D :表示i D 对j D 的相对重要性数值 ij P :判断矩阵)3,2,1,m 3,2,1(n j i :特征向量 max :最大特征值 CR :判断矩阵的随机一致性比率 CI :判断矩阵的一般一致性指标 RI :平均随机一致性指标 i W :各个分向量的权重系数 *W :第三指标权重分配矩阵

数学建模_四大模型总结

四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题:n 个物品,对物品i ,体积为i w ,背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题:n 个物品,对物品i ,价值为i p ,体积为i w ,背包容量为W 。如何选取物品装入背包,是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有:资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题:n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题(常以机器布局问题为例):n 台机器要布置在n 个地方,机器i 与k 之间的物流量为ik f ,位置j 与l 之间的距离为jl d ,如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题:有n 个城市,城市i 与j 之间的距离为ij d ,找一条经过n 个城市的巡回(每个城市经过且只经过一次,最后回到出发点),使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题(也称车辆计划):已知n 个客户的位置坐标和货物需求,在

高中常见数学模型案例(最新整理)

高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出:“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数学建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用,两个变量或几个变量,凡能找到它们之间的联系,并用数学形式表示出来,建立起一个函数关系(数学模型),然后运用函数的有关知识去解决实际问题,这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1:某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析:欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式,关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ,则售价为b (1-20%),因为原价为a ,所以进价为a (1-25%) 解:依题意,有化简得,所以25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b a b 4 5=,即x a bx y ??==2.0452.0+ ∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2:某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地,在B 地停留1h 后,再以50km/h 的速度返回A 地,把汽车离开A 地的路x (km )表示为时间t (h )的函数,并画出函数的图像。 分析:根据路程=速度×时间,可得出路程x 和时间t 得函数关系式x (t );同样,可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量,从B 地返回时速度为负值,重点应注意如何画这两个函数的图像,要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解:汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是:,图略。 ?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是:,图略。 ?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v 3、二次函数问题 例3:有L 米长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等小矩形组成的矩形,试问小矩形的长、宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并具体标出窗框面积的最大值。

数学建模常用算法模型

按模型的数学方法分: 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分: 静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分: 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分: 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分: 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分: 国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目(离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策) 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 (该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 (比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具)

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 (建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现) 4、图论算法 (这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备) 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 (这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 (这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法 (当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法 (很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法 (如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用)10、图象处理算法 (赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理) 算法简介 1、灰色预测模型(必掌握)

数学建模的经典模板

一、摘要 内容: (1)用1、2句话说明原问题中要解决的问题; (2)建立了什么模型(在数学上属于什么类型),建模的思想(思路),模型特点;(3)算法思想(求解思路),特色; (4)主要结果(数值结果,结论);(回答题目的全部“问题”) (5)模型优点,结果检验;模型检验,灵敏度分析,有无改进,推广 要求 (1)特色和创新之处必须在这里强调; (2)长度 (3)要确保准确、简明、条理、清晰、突出特色和创新点; 二、问题的提出 内容: 用自己的语言阐述背景,条件,要求;重点列出‘问题’也即要求; 要求: (1)不是题目的完整拷贝 (2)根据自己的理解,用自己的语言清楚简明的阐述背景、条件和要求; 三、条件假设 内容 (1)根据题目中的条件做出假设 (2)根据题目中的要求做出假设; 要求 (1)合理性最重要; (2)假设合理且全面,但不欣赏罗列大量的无关假设,关键性假设不能缺; (3)合理假设作用: 简化问题,明确问题,限定模型的适用范围 四、符号约定 五、问题分析 1.名词解释 2.问题的背景分析 3.问题分析 六、模型建立 抽象要求

(1)模型的主要类别:初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、优化模型、决策模型、图论模型等 (2)几种常见的建模目的:(对应相对(1)的方法) 描述或解释现实世界的各类现象,常采用机理型分析方法,探索研究对象的内在规律性; 预测感兴趣的时间爱你是否会发生,或者事物的房展趋势,常采用数理统计或模拟的方法; 优化管理、决策或者控制事物,需要合理地定义可量化的评价指标及评价方法; (3)建模过程常见的几个要点: 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式; (4)模型的要求: 明确、合理、简洁、具有一般性; 例如:有些论文不给出明确的模型,只是就赛题所给的特殊情况,用凑得方法给出结果,虽然结果大致对,但缺乏一般性,不是建模的正确思路;((与第三点对应))(5)鼓励创新,特别欣赏独树一帜、标新立异,但要合理 (6)避免出现罗列一系列的模型,又不做评价的现象; 具体要求: (1)基本模型:首先要有数学模型:数学公式、方案等;基本模型,要求完整,正确,简明 (2)简化模型:要明确说明,简化思想,依据;简化后的模型尽可能给出; 七、模型求解 每一块内容包括:计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称 写作要求: 1、需要建立数学命题时:命题叙述要符合数学命题的表述规范,尽可能论证严密 2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件,说明采用此软件的理由,软件名称 3、计算过程,中间结果可要可不要的,不要列出 4、设法算出合理的数值结果 5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时,分析原因,对算法、计算方法、或模型进行修正、改进 7、题目中要求回答的问题,数值结果,结论,须一一列出 8、列数据问题:考虑是否需要列出多组数据,或额外数据对数据进行比较、分析,为各种方案的提出提供依据 9、结果表示:要集中,一目了然,直观,便于比较分析 ▲数值结果表示:精心设计表格;可能的话,用图形图表形式 ▲求解方案,用图示更好 10、必要时对问题解答,作定性或规律性的讨论。最后结论要明确

常用数学建模方法

数学建模常用方法以及常见题型 核心提示: 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)I=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。

2.时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。 3.回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)I=1,2,…,n,确定函数的表达式,于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。 三、仿真和其他方法 1.计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。 ②连续系统仿真--有解析达式或系统结构图。 2.因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构。 3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统。 数学建模题型 赛题题型结构形式有三个基本组成部分: 一、实际问题背景 1.涉及面宽--有社会,经济,管理,生活,环境,自然现象,工程技术,现代科学中出现的新问题等。 2.一般都有一个比较确切的现实问题。

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