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高考数学讲义压轴题讲义

2014年三轮复习

压轴题

【例1】（2013北京高考理）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n 项的最大值记为n A ，

第n 项之后各项12n n a a ++L ，

，的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（I ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=），

写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；

（II ）设d 为非负整数，证明：(123)n d d n =-=L ，，

，的充分必要条件为{}n a 为公差为d 的等差数列；

（III ）证明：若121(123)n a d n ===L ，

，，，，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

压轴题

【练1】（2014海淀二模）对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值

的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，

2(1,3,3)(1,3,3)f =.

（Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值；

（Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n =L 时，恒有n d d =，求d 的所有可能取

值；

（Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.

【练2】（2014西城二模）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*

n a ∈N ，1n n a a +<. 设

*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .

（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，L ，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；

（Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=L ，求12q b b b +++L 的值.（用,,p q A 表示）

【例2】（2012北京高考理）设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大

于1，且所有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．

对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1)i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和

(1)j n ≤≤；记()k A 为1()r A ，2()r A ，L ，()m r A ，1()c A ，2()c A ，L ，()n c A 中的最小值．

（Ⅰ）对如下表A ，求()k A 的值；

（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如

求()k A 的最大值．

（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．

【练3】（2011西城二模理）若m A A A ,,,21Λ为集合2}(,,2,1{≥=n n A Λ且)n ∈*

N 的子集，且满足两

个条件：

①12m A A A A =U UL U ；

②对任意的A y x ?},{，至少存在一个},,3,2,1{m i Λ∈，使

}{},{x y x A i =I 或}{y .则称集合组m A A A ,,,21Λ具有性质

P .

如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为

??∈=)

)(1l l kl A k A k a .

（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不

是请说明理由；

集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===.

（Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再

依此表格分别写出集合123,,A A A ；

（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A L 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值

及12||||||t A A A ++L 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）

【例3】（2011北京高考理）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，数列n

A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++.

（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列n A ；

（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；

（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，

写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

【练4】（2014丰台期末理20）已知数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构

成的新数列称为数列{}n a 的排序数列，例如：数列123,,a a a 满足231a a a <<，则排序数列为2，3，1.

（Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列；

（Ⅱ）求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列；（Ⅲ）若数列{}n a 的排序数列仍为{}n a ，那么是否一定存在一项k a k =，证明你的结论.

【例4】（2010北京高考理）已知集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥K K .对于

12(,,,)n A a a a =K ，12(,,,)n n B b b b S =∈K ，定义A 与B 的差为A 与B 之间的距离为

(,)||n

i i i d A B a b ==-∑

（Ⅰ）证明：，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数

（Ⅲ）设P ，P 中有m(m≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d (P).

证明：d (P)≤

2(1)

m -.

【练5】已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =L L 是正整数1,2,3,,n L 的一个排列}(2)n ≥，函数

1,0,()1,0.

x g x x >?=?-

对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈L L ，

10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b L 为排列12,,,n a a a L 的生成列；排列12,,,n

a a a L 为排列12,,,n

b b b L 的母列．

（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；

（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a L 和1

2,,,n a a a '''L 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a L ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a L 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a L 变换为各项满意指数均为非负数的排列．

【例5】（2009北京高考理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥L L 具有性质P ；对任意

的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A .

（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

（Ⅱ）证明：11a =，且12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++L L ；（Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列

【练6】 (2013年一模东城普通高中示范校联考理20)已知数集{,,,}(,)

n n A a a a a a a n =≤<<<≥121203L L 具有性质P ：对,()i j i j n ?≤≤≤1，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A . （1）分别判断数集{,,}013与数集{,,,}0246是否具有性质P ，说明理由；（2）求证：n n n

a a a a +++=122

L ；

（3）已知数集{,,,}A a a a =128L 具有性质P . 证明数列,,,a a a 128L 是等差数列.

【例6】（2008北京高考理）对于每项均是正整数的数列12n A a a a L ：，，

，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---L ，，，

，．对于每项均是非负整数的数列12m B b b b L ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得

到数列2()T B ；又定义222

1212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++L L ．设0A 是每项均为正整

数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==L ，

，，．（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，

1()()k k S A S A +=．

【练7】已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a L ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=L ．若存

在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列

00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++L L ．设1()i i A T A +=，0,1,2i =L ．

（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ；（Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个

L 14243

；

（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列

,0,0,,0n n 个

L 14243

．设1m m m n S a a a +=+++L ，

1,2,,m n =L ，求证[

](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1

m S

m +的最大整数．

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；