23
a -<< 2．以（5，6）和（3，－4）为直径端点的圆的方程是
（ ）
A ．07242
2
=+-++y x y x B ．06482
2
=-+++y x y x C ．05242
2
=-+-+y x y x
D ．09282
2
=---+y x y x
三、点与圆的位置关系 1.判断方法：
（1）点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系
d r ?点在圆外 （2）点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?
（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-?
2 点与圆的最值问题
（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+
（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+
练习（1）平面内一点与圆上的点距离最大值为8，最小值为2，则圆的半径为_____________
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）
（1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?<
eg 设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
.
①r d =时，l 与C 相切； ②r d 时，l 与C 相交；，③r d 时，l 与C 相离.
1、若点P （a,b)在圆C ：12
2
=+y x 的外部，则有直线01=++by ax 与圆C 的位置关系是（ C ） A 相切 B 相离 C 相交 D 相交或相切
2．已知直线ax －by ＋c ＝0(ax ≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形( B )
A ．是锐角三角形
B ．是直角三角形
C ．是钝角三角形
D ．不存在 3.若直线y x k =-+与曲线2
1x y =--恰有一个公共点，则k 的取值范围.
2. 直线与圆相切
1 常见思路
（1）圆心到直线的距离等于半径 （2）联立方程组，利用判别式等于0
2 常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外
如定点()00,P x y ，圆：()()222
x a y b r -+-=，[()()22
2
00x a y b r -+->]
第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-
第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆2
2
46120x y x y +--+=的切线，求切线方程.
答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上
1） 若点()00x y ，在圆2
2
2
x y r +=上，则切线方程为200x x y y r +=
会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2） 若点()00x y ，在圆()()2
2
2
x a y b r -+-=上，则切线方程为
()()()()200x a x a y b y b r --+--=
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，2
2
2
AP CP r AP =-?=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP AC r k k ?=?
?=-?
1．过点P (2,3)引圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的切线，其方程是( D ) A ．x ＝2 B ．12x －5y ＋9＝0
C ．5x －12y ＋26＝0
D ．x ＝2和12x －5y －9＝0 3）求直线上的点作圆的切线最小值
eg ．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则|PM |的最小值__4____．
重要结论 (1)已知圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++
++=表示过两个切点的切点弦方程．
五、直线与圆相交有关弦长问题
（1）求弦长及弦长的应用问题
垂径定理．．．．
及勾股定理——常用
弦长公式：12l x =-=
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题
（4）已知圆心角和弦长的题（转化成点到直线距离公式）
1、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ C ）
(A)22 (B)4 (C)24 (D)2。
2、圆02422=++-+F y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为C ，若∠ACB ＝90?，则F 的值等于（ ） A ．－22 B ．22 C ．3 D ．－3
3、若圆()()2
2
2
35x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值
范围是__()4,6_______________.
5）、直线与圆的最大最小值（最大值d+r ，最小值d-r ）
1圆01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ B ）
A 2
B 21+
C 2
2
2+
D 221+ 6）过定点的最大弦最小弦问题
1．山东高考题)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．206
C ．30 6
D ．40 6
2、已知圆C:2
2
(1)(3)16x y -+-=,直线:(23)(4)220l m x m y m ++++-= （Ⅰ） 当m=1时直线l 与圆C 是怎么样的位置关系?
（Ⅱ） 当m 取任意实数时,直线l 和圆的位置关系有无不变性，试说明理由。
（Ⅲ） 请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短,并求截得的弦最短时m 的值以及弦的长度a . 解：(1)当m=1时, :0l x y +=与圆C 相交
(2)直线: :(23)(4)220l m x m y m ++++-=可变形(22)(342)0m x y x y ++++-=
220,2
3420,2x y x x y y ++==-???
?
+-==??
由解得。 因此直线l 恒过定点P （-2，2），圆心C （1，3），半径r=4,
而22
(21)(23)1016--+-=<，
所以直线l 过圆C 2
2
(1)(3)16x y -+-=内一定点(2,2)P -, 故不论m 取何值,直线l 和圆总相交
(3)当直线l 垂直于CP 时,截得的弦最短,此时11cp k k =-,
321123cp k -=
=+，23
34
l m k m +∴=-=-+,得9m =-.
∴ 最短弦长为a ===
所以9m =-， a =
3、已知圆C ：()()22
1225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点；
（2）求其中弦长最短的直线方程.
六、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（d 为圆心距）
（1）12d r r >+?外离 （2）12d r r =+?外切 （3）1212r r d r r -<<+?相交 （4）12d r r =-?内切 （5）12d r r <-?内含
练习1、已知圆221:1O x y +=与圆()()22
2:3416O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为（ C ）
A 、相交
B 、内切
C 、外切
D 、相离
2.两圆公共弦所在直线方程
圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：22
2220x y D x E y F ++++=，
则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：
若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.
1．过两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程 （ ）
A ．x +y+2=0
B ．x +y-2=0
C ．5x +3y-2=0
D ．不存在
2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )
A ．x ＋y －1＝0
B ．2x －y ＋1＝0
C ．x －2y ＋1＝0
D ．x －y ＋1＝0
3.圆系问题
（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：22
2220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为
()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）
说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） （2）过直线0Ax By C ++=与圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为
()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=
（3）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线
（4）两圆上的点最小距离和最大距离
最小距离为O1O2-r1-r2 最大距离为O1O2+r1+r2 1．已知点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是____．
七、对称问题（圆关于点、直线对称的圆的方程） 圆关于点、直线对称方法 1、确定圆心坐标，半径不变
2、设对称圆上任意一点坐标为（x,y ）找出x ，y 等量关系就是所求圆的方程
练习1.若圆()
222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，22
40D E F +-<，故舍去）
2：已知点A 是圆C :2
2
450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.
3.圆()()2
2131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.
4：已知圆1C ：()()2
2
421x y -+-=与圆2C ：()()2
2
241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.
5 圆()()2
2311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.
6、已知直线l ：y x b =+与圆C ：2
2
1x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反
射后与圆C 相切于点247,2525B ??
???
？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 相关轨迹问题（设所求点坐标为（x ，y ）得出关系式就是所求轨迹）
八 、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x ，y 满足方程2
2
410x y x +-+=，求：
（1）
5
y
x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）
（3）22
x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
Eg 1设P ),(y x 是圆4)3(2
2=+-y x 上任一点，则
x
y
的最小值是（ ） A 0 B 552-
C 5
5
- D 1- 2设(),P x y 为圆()2
2
11x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____.
答案：1c ≥
（数形结合和参数方程两种方法均可！）
3、已知实数y x ,满足方程0142
2
=+-+x y x （1）求
x
y
的最大值和最小值； （2）求2
2y x +的最大值和最小值.
九 、圆的参数方程（用来求最大最小值）
()222cos 0sin x r x y r r y r θ
θ
=?+=>??
=?，θ为参数 ()()
()22
2
cos 0sin x a r x a y b r r y b r θ
θ=+?-+-=>??
=+?
，θ为参数 1．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则x －y 的最大值和最小值分别是________和________．2＋6，2－6
十 圆上点到直线距离为定值的点的个数
圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ， 圆上的点到直线的距离为D 1 当直线与圆相离或相切时（d ≥r ） D=d-r 或D=d+r ，存在1个点 d-r2 当直线与圆相交时(d
当 D=r+d 1个点
当d=0时,d=r 或d ≠0 且r-d1．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有____3____个．
2． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，
则实数c 的取值范围是________．（-13，,13）
十一、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
例：过圆2
2
1x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆2
2
1x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点
在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.
十二 直线与圆联立（求交点坐标关系式）
1．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．
[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP k OQ ＝－1，即y 1x 1·y 2
x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.①
又(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组
?????
x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0
的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③
∵P 、Q 是在直线x ＋2y －3＝0上，
∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝1
4[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]．
将③代入，得y 1y 2＝m ＋12
5
.④
将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，∴m ＝3.
十三、阿波罗尼斯圆
()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ
()()2
2
22
y a x y a x +-=++λ 化简得：2
222
221211??? ??-=+???
? ??-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-???
? ??-+λλ
λλ，半径为，的圆
1. 已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为
2
1
，求点M 的轨迹方程 2 已知两点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2P B ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积 等于___．4π
3（2008江苏13）满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值 22
十四 空间坐标系
1. 空间两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z 间的距离公式为222121212()()()x x y y z z -+-+-
●2. 空间两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z 的中点坐标为:121212
(
,,)222
x x y y z z +++. ●3. 对称问题，常用对称的定义求解。一般地，点P (x , y , z ) 关于坐标平面xOy 、yOz 、zOx 的对称点的坐标分别为(x , y , ?z )、(?x , y , z )、(x , ?y , z )；关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为 (x , ?y , ?z )、(?x , y , ?z )、(?x , ?y , z )；关于原点的对称点的坐标为(?x , ?y , ?z ). eg 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)-
