三角函数
一．教学目标
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2
π
±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
二．教学内容
1．任意角的概念
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、象限角、轴线角 3．弧度制
角α的弧度数的绝对值是：r l
=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。角度制与弧度制的换
算主要抓住180rad π?
=。
弧度与角度互换公式：1rad ＝π
180° 1°＝
180
π（rad ）
弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2
||2
12
1r r l S α=
=。
【注意】：
①无论用“弧度”还是“角度”作单位，角的大小是一个与半径的大小无关的定值；②在解题过程中
“弧度”与“角度”不能混用，如0
=230,k k Z απ+∈或0=90,4
k k Z πβ?+∈都不规范。
4．三角函数定义
利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:
（1）y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）y x
叫做α的正切,记做t a n α
,即 tan (0)y
x x α=
≠。
【注意】：三角函数值的符号满足：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的规律。
5．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线。 【注意】：
①正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负； ②余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负。
③当角终边在x 轴上时，正切线变成一个点，当角终边在y 轴上时，正切线不存在。
6．同角三角函数关系式
（1）平方关系：2
2
sin cos 1αα+= （2）倒数关系：tan αcot α=1,
（3）商数关系：sin tan cos α
αα
=
【注意】：
a 的终边
P(x,y
O
x
y
② 同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立。 ②同角三角函数的基本关系式必须在定义域允许的范围内成立。
7．诱导公式
总口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”。其中“奇、偶”是指()2
k k Z π
α?
+∈中的k 的奇偶性；
“符号”是把任意角α当成锐角时，原函数值的符号。 【注意】：
①应用诱导公式，重点是“函数名称”和“正负号”的正确判断。
②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：负化正、大化小、小化锐、锐求值。
三．典例解析
『题型』1：象限角
例1．已知角?=45α；
（1）在区间]0,720[??-内找出所有与角α有相同终边的角β；
（2）集合00|18045,2k
M x x k Z ??==
?+∈???
?，00
|18045,4k N x x k Z ??==?+∈????
那么两集合的关系是什么？ 解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈??+?， 则令 ?≤??+?≤?-036045720k ， 得 ?-≤??≤?-45360765k 解得 360
45360
765-
≤≤-
k 从而2-=k 或1-=k
代回?-=675β或?-=315β
（2）因为{}Z k k x x M ∈??+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而
集合{}Z k k x x N ∈??+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N ?。
『题型』2：三角函数定义
例2．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。
『题型』3：诱导公式
例3．()2
tan cot cos x x x +=( )
（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x
解：∵()22
2
22
sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x
x x x x x x x x x x x +??+=+
=? ?
?
?
cos cot sin x x x
=
= 故选D ；
例4．化简：
(1)
sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)
αααααα-++--+++-+-
；
（2）
sin()sin()()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。
解析：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)
cos k k k k απαπαπαπα++-=
=
+-。
②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]
cos k k k k απαπαπαπα
+++-+==-++-+。
『题型』4：同角三角函数的基本关系式
例5．证明：111sin (1tan )cos (1)tan sin cos θθθθ
θ
θ
+++
=
+
；
证明：左边=
sin cos sin(1)cos(1)
cos sin
θθθθ
θθ
+++
=
22
sin cos sin cos
cos sin
θθθθ
θθ+++
=
22
sin cos (sin)(cos)
cos sin
θθθθ
θθ
+++
=
2222 sin cos cos sin sin cos
θθθθ
θθ
++
+
=
11 sin cos
θθ
+
=右边
四．课堂练习
1、在ABC
?中，若6
,3
,
60=
=
=
∠AB
AC
B ，则=
∠A．
75
2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为.
2
1
3. 锐角△ABC中，A≥B，且tan3tan
A B
=，则A B
-的最大值为．
6
π
4．求证：
cos1sin
1sin cos
x x
x x
+
=
-
。
五．教学总结
学习本节内容时要注意如下几点：
（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；
（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。
齐桓晋文之事 一、导入： 在两千多年前，我国的思想领域曾经历过一个辉煌的时代，真正的做到了百花齐放，百家争鸣。以后任何一个时代，我们在思想领域的变革都没有当时那么巨大，形式都没有当时那么多样，内容都没有那么自由。这个时代是：春秋战国时期。大家能举出当时比较有代表性的派别吗？其中的儒家思想对我国文化乃至政治的影响都可以说是空前绝后的。儒家思想的代表人物是孔子和孟子，他们分别被称为“圣人”和“亚圣”。孔子大家都非常熟悉，而对他的再传弟子孟子就可能不太了解了。有谁能说说孟子的有关情况。 二、关于孟子： 1、孟子其人 孟子（前372—前289年），名轲，字子舆，战国时邹（现山东邹县东南）人。 孟子是战国时儒家学派的代表人物，曾受业于子思（孔子的孙子）的门人，30岁左右收徒讲学。44岁开始周游列国，晚年回到家乡讲学著述，直到去世。后世统治者都把他作为尊崇的偶像，到元、明时被称为“亚圣”。 2、《孟子》其书 《孟子》共七篇，分别为《梁惠王》、《公孙丑》、《滕文公》、《离娄》、《万章》、《告子》、《尽心》。各章又都分为上下两篇。作为一部语录体著作，它记录的是有关孟子重要思想的一些言论。到南宋时，朱熹把它与《礼记》中的《大学》、《中庸》两篇以及《论语》合为“四书”，把读经的传统推向更加狭窄的胡同，成为后世（如明、清两代）科举考试八股文的唯一的取材依据。 3、孟子思想 ①性本善（凡人都可以为尧舜） ②民为贵，社稷次之，君为轻（民本） ③穷则独善其身，达则兼济天下（封建时代士大夫出世进退的准则） ④富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈（对国君傲然视之） ⑤劳心者治人，劳力者治于人。治于人者食于人，治人者食人，天下之通义也 [思考：为什么孟子的思想会被后世接受呢？]任何一种哲学，都会创立自己的理想世界。比起道家的小国寡民、佛家的因果报应来说，儒家的集大成思想家孟子的理想世界则诱人得多。孟子提出了一幅君民同乐、仁义并施的王道乐土和太平盛世的理想图景。这对于王者来说，自然是最好不过了，有什么比百姓归附，国力强盛更令他们满意的呢？对于老百姓来说，也是如此，有谁不乐意做太平盛世的人呢？ 4、《孟子》的时代意义 当时的社会背景：①争地以战，杀人盈野；争城以战，杀人盈城 ②庖有肥肉，厩有肥马；民有饥色，野有饿莩 时代意义：孟子的思想具有着明显的进步性。其思想核心就是“民本思想”。民贵君轻，在今天看来，它至少包括重视国家利益，反对特权意识、保护人民等多方面的含义。这种社会变革时期的新观念，正符合人民的愿望，具有一定的人道主义精神，至今在我们的思想领域里有着重大影响。孟子的追求是一种对社会出路的探索，他的求真的追求精神也是值得今天我们学习的。另外，《孟子》的散文成就极高，作为文化精粹，我们当然有研究、借鉴、继承和发扬的必要。 5、“王道”和“霸道” 这是先秦时代一对相对的概念。“王道”是儒家提出的以仁义治天下的政治主张；霸道指君主凭借武力、刑法、权势等进行统治。孟子所处的时代是沿着霸道的方向前进的，凡是行法家主张，讲求耕战，富国强兵，便取得胜利。司马迁《史记?孟子荀卿列传》说：“当世之时，秦用商君，富国强兵。楚、魏用吴起，战胜弱敌。齐宣王用孙子、田忌之徒，而诸侯东面朝齐。天下方务于合纵连横，以攻伐为贤；而孟轲乃述唐虞三代之德，是以所如者不合。” 三、课文分析 齐宣王问曰：“齐桓、晋文之事，可得闻乎？”见面即问称霸的事，说明有称霸的意图。避免了平铺直叙，形成了迂回曲折、波澜起伏的论辩风格。孟子对曰：“仲尼之徒无道桓文之事者，是以后世无传焉，臣未之闻也。岔开话题，为下文宣讲“王道”铺垫。无以，则王乎？”提出并明确话题，以问“霸道”开始，转入说“王道”。 辩论技巧：掌握对方心理，进而因势利导。 孟子能掌握齐宣王问霸政的目的只是想统一天下，故立即引导他讨论可达到统一天下的方法——行王道（仁政），促使宣王有兴趣与孟子继续谈下去。“保民而王”，国家富强正合于宣王之意，故他便有更大兴趣讨论王道，保民之道了。 曰：“德何如，则可以王（wàng）矣？”语意急切，欲称霸之心昭然若揭，同时也显示了其畏难心理。曰：“保民而王，莫之能御也。”曰：“若寡人者，可以保民乎哉？”语意急切，欲称霸之心昭然若揭，同时也显示了其畏难心理。曰：“可。”曰：“何由知吾可也？”语意急切，欲称霸之心昭然若揭。曰：“臣闻之胡龁(húhé)曰：‘王坐于堂上，有牵牛而过堂下者。王见之，曰：“牛何之？”对曰：“将以衅(xìn)钟。”王曰：“舍之！吾不忍其觳觫(húsǜ)，若无罪而就死地。”对曰：“然则废衅钟与？”曰：“何可废也？以羊易之。”’不识有诸？”曰：“有之。”不
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
人教版高中数学必修1精品教案(整套) 课题：集合的含义与表示(1) 课型：新授课 教学目标： （1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征； （2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系； （3）掌握常用数集及其记法； 教学重点：掌握集合的基本概念； 教学难点：元素与集合的关系； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学
（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流； （3）非负奇数； （4）方程 的解； （5）某校2007级新生； （6）血压很高的人； （7）著名的数学家； （8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9）全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a A 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4 A，等等。 6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 ７．常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；
§3 解三角形的实际应用举例 教学目标 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。 2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === 2、余弦定理：,cos 22 2 2 A bc c b a -+=?bc a c b A 2cos 2 22-+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=，?ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、例题讲解 引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。 解：0 60=A 0 75=B ∴0 45=C 由正弦定理知 045 sin 10 60sin =BC 6545 sin 60sin 100 ==?BC 海里 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设 计时需要 计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为 /02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）． 分析：这个问题就是在ABC ?中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m, 750 600 C B A
求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。 解：由余弦定理，得 答：顶杠BC 长约为1.89m. 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。 练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东0 20, 30分钟后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东0 65方向上,求灯塔S 和B 处的距离.（保留到0.1） 解：16=AB 由正弦定理知 020 sin 45sin BS AB = 7.745 sin 20 sin 100 ≈= BS 海里 答：灯塔S 和B 处的距离约为7.7海里 例2.测量高度问题 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C ，D 两处， 测得烟囱的仰角分别是0 45=α和0 60=β, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m. 求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？ 分析：因为B A AA AB 11+=，又m AA 5.11= 所以只要求出B A 1即可 解：在11D BC ?中， 0001112060180=-=∠C BD ，00011154560=-=∠BD C D C B A 1.40m 1.95m 6020/ 600 ?S B A 1150 450 650200 A 1α β D 1C 1D C B A
《齐桓晋文之事》教案 教材分析： 《齐桓晋文之事》为必修五第四单元“以天下为己任”中的首篇，是孟子晚年第二次到齐国和齐宣王的一次谈话记录。它较为系统地阐明了孟子行仁政而王天下的政治主张，充分表现出孟子文章的曲折尽情、气盛言和的特色，洋溢着一种波澜壮阔的气势美，而且在论证的过程中又富有逻辑的力量。学习时，须用心体会。 学情分析： 本文篇幅较长，说理迂回，学生理解有一定难度。但是，在单元三中学生刚学的《逍遥 游》与本文同属先秦诸子散文。晨练四中古文“桓公问治民于管子”中爱民的思想，又与 本文大有相通之处。再加上本学期学生刚在历史课文中学过孟子思想，文章中又有些有趣的譬喻，所以本文对学生来说是“熟悉的陌生人”。 教学目标： 1、学生能有效积累王、保等重点文言实词，之、以等重点文言虚词；能正确识别文中 的倒装句等特殊句式；能准确翻译“老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼”等重要句 子。 2、学生能理解孟子的“保民而王”的仁政思想，及“制民之产”的具体措施。 3、学生能总结并鉴赏本文中孟子善于设喻、迂回曲折、层层深入的的论辩特色。 教学重点 目标 1 、2 教学难点 目标 2 、3 课时安排 2课时 第一课时 一、介绍 1、孟子其人 孟子，名轲，字子舆，战国时邹（现山东邹县东南）人，战国时儒家学派的代表人物。 曾受业于子思（孔子的孙子）的门人， 30 岁左右收徒讲学。 44 岁开始周游列国，游说诸侯，宣扬“仁政”，但是始终不受重用，然而他傲视诸侯，决不苟同，晚年回到家乡讲学着述，直 到去世。后世统治者都把他作为尊崇的偶像，到元、明时被称为“亚圣”。 2、《孟子》其书 《孟子》共七篇，分别为《梁惠王》、《公孙丑》、《滕文公》、《离娄》、《万章》、《告子》、《尽心》。各章又都分为上下两篇。作为一部语录体着作，它记录的是有关孟子重要思想的 一些言论。到南宋时，朱熹把它与《礼记》中的《大学》、《中庸》两篇以及《论语》合为“四书”。 3、孟子思想 ①性本善（凡人皆可成尧舜） ②民本思想（民为贵，社稷次之，君为轻） ③封建时代士大夫出世进退的准则（穷则独善其身，达则兼济天下） ④富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。 ⑤劳心者治人，劳力者治于人。治于人者食于人，治人者食人，天下之通义也。
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°
高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1．1．1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B
齐桓晋文之事教案 题目:齐桓晋文之事教案 一、《齐桓晋文之事》学习要点 （一）简介《孟子》和孟子的生平思想及散文特点 1、关于《孟子》 《孟子》是记录战国时代思想家孟轲的思想和政治言论的书，一般认为是孟子和他的门徒合著。全书共七篇（即《梁惠王》《公孙丑》《滕文公》《离娄》《万章》《告子》《尽心》，各篇又都分上下两篇），共261章。是儒家经典之一，也是先秦诸子散文中重要作品。 2、孟子的生平思想 孟子（前372—前289），名轲，字子舆，战国时邹（今山东邹县）人。他曾受业于子思（孔子之孙）的门人，三十岁左右聚徒讲学，四十四岁开始周游列国，宣扬“仁政”“王道”，因主张不被采纳，退而讲学著述，直到去世。孟子受到尊崇，被后人称为“亚圣”，与“圣人”孔子并称为“孔孟”。 孟子继承了孔子的学说并有所发展，他主张实行仁政，抨击暴政（联系学过的课文《寡人之于国也》），提出了系统的仁政学说。他提出了“民为贵，社稷次之，君为轻”的民本思想。孟子主张人性是善的。要通过学养保持善性，在道德上具备仁、义、礼、智，能做到“舍生取义”——可以为正
义而献身。孟子有治国平天下的抱负，也有“有所不为”的操守，他提出的“穷则独善其身，达则兼善天下”，成为封建时代士人的秘世准则。孟子一身正气，决不附和权贵，他称赞“富贵不能淫（放纵），贫贱不能移，威武不能屈”的节操。 3、孟子散文特点 孟子的文章感情强烈，雄辩有力，气势磅礴。他说：我知言，我善养吾浩然之气。其为气也，至大至刚，以直养而无害，则塞乎天地之间。 孟子的文章善设机（智）巧（妙），引人入彀（诱引论敌进入预先构想的范围处在自己的掌握控制之中而驳服他）；善用譬喻，生动说理。 孟子的散文对后世产生了巨大影响。 4、课文背景 课文记录孟子游历齐国时和齐宣王的一次谈话，是一篇语录体论辩文。孟子游说齐宣王放弃当时以功伐取胜的霸道，施行王道，从而集中阐述了他的仁政主张，描绘了一幅“保民而王”的社会蓝图。 《齐桓晋文之事》选自《孟子·梁惠王上》，称“齐桓晋文之事章”（261章之一）。 （二）课文内容 1、内容结构
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 齐桓晋文之事[情感目标] 1、体悟孟子当仁不让的治世精神。 2、领会孟子耐心细致的工作态度和巧妙灵活的工作方法。 3、理解孟子的民本思想和同情广大劳动人民的深切情怀。 [认知目标] 1、学习课文中重要的实词、虚词及句式。 2、学习孟子迂回曲折的论辩方法。 3、学习比喻在文章中的运用和重要作用。 [技能目标] 1、能够理顺思路错综的文章的理路。 2、善于切分课文这样的没有明显标志的长文章。 3、能够运用简单的比喻进行论辩。 教学过程： 一、谈话导入： 简介孟子，问学生喜不喜欢读《孟子》，引入对《孟子》的介绍，学生自读165页《孟子》简介，导入课文。 相关知识补充：1、孟子与《孟子》 孟子（前372—前289年），名轲，字子舆，战国时邹（现山东邹县东南）人。 孟子是战国时儒家学派的代表人物，曾受业于子思（孔子的孙子）的门人，30岁左右收徒讲学。44岁开始周游列国，晚年回到家乡讲学著述，直到去世。后世统治者都把他作为尊崇的偶像，到元、明时被称为“亚圣”。 《孟子》共七篇，分别为《梁惠王》、《公孙丑》、《滕文公》、《离娄》、《万章》、《告子》、《尽心》。各章又都分为上下两篇。作为一部语录体著作，它记录的是有关孟子重要思想的一些言论。到南宋时，朱熹把它与《礼记》中的《大学》、《中庸》两篇以及《论语》合为“四书”，把读经的传统推向更加狭窄的胡同，成为后世（如明、清两代）科举考试八股文的唯一的取材依据。 2、《孟子》的思想和当时的社会 任何一种哲学，都会创立自己的理想世界。比起道家的小国寡民、佛家的因果报应来说，儒家的集大成思想家孟子的理想世界则诱人得多。孟子提出了一幅君民同乐、仁义并施的王道乐土和太平盛世的理想图景。这对于王者来说，自然是最好不过了，有什么比百姓归附，国力强盛更令他们满意的呢？对于老百姓来说，也是如此，有谁不乐意做太平盛世的人呢？ 孟子的思想能够流传久远的原因还远不只于此。在孟子的大思想的统摄之下，孟子的“王道”思想，宣传仁政，还提出“民为贵，社稷次之，君为轻”的民本思想，这充分体现了社会的民主和文明的正当的进步趋势，反映了大多数人的愿望，顺应了时代潮流，这就使他的学说有着深厚的民众基础，容易为多数人接受；而作为统治者，既然能够“王天下”，那么，这种学说就正好可以用来作为自己统治社会的工具，所以，他们会极力推行孟子的学说。 孟子的哲学人格也与他人不同，他主张人性本善，进而十分强调个人修养，提出了“穷则独善其身，达则兼济天下”的封建士大夫的出世进退准则。这种思想当然是具有更大的麻醉作用，所以，封建时代的知识分子（当时的社会精英）总是缺乏进取精神和改革社会的意识，容易被故纸堆埋没，而封建统治者也正好以此来约束全社会。 最后，长期以来，孟子轻视体力劳动和体力劳动者的思想也在很大程度上迎合了中国的士大夫阶层，从而使他的学说得以更加久远地流传。且听听他的一些说法：“无君子莫治野人，无野人莫养君子。”“劳心者治人，劳力者治于人。治于人者食于人，治人者食人，天下之通义也。” 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部） 目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）…………………………………………………… 21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用……………………………………… 模块一：解三角形复习 正弦定理 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形那么斜三角形怎么办 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化 →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： [ ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin A = c a sin B =c b sin C =1 即 c =sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形 （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有 sin sin CD a B b A ==,则 sin sin a b A B = . 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高），从而sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==. 两边同除以 12abc 即得： sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D ===， 同理 sin b B =2R ，sin c C ＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得….. , ④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题： ① 出示例1：在?ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案
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