教学目的：
1.掌握棱台。圆台的体积，并灵活的应用。
2.了解球的表面积公式的推导过程，了解球的体积公式的推导过程，体会其基本思想方法；
3.会用球的体积公式343
V R π=解决有关问题，会用球的表面积公式24S R π=解决有关问题
教学重点和难点：
球的表面积公式、球的体积公式及其应用.棱台，圆台的体积的运算。
授课类型：新授课 1 球的表面积：
设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,i S S S ??? 表示，则球的表面积:
S =12i S S S ?+?+++?
以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ?可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积13
i i i V h S =??，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:
11221(3
)i i V h S h S h S ≈??+??++??+ ，
又∵i h R ≈，且S =12i S S S ?+?+++? ∴可得13
V R S ≈
?，
又∵343V R π=，∴13R S ?343R π=， ∴2
4S R π=即为球的表面积公式
2．球的体积：
如图，把垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积圆柱的高就是“薄圆片”的厚度R n ，底面就是“薄圆片”的下底面 由勾股定理可得，第i 层（由下向上数），“薄圆片”的下底面半径是
22[(1)]i R r R i n
=-?-，1,2,3,,i n = ，
∴第i 层“薄圆片”的体积是
32
21[1()]i i R R i V r n n n ππ-=?=-，1,2,3,,i n = ， ∴半球体积是
12n V V V V ≈+++ 半球 32222212(1){1[1][1][1]}R n n n n n
π-=+-+-++- 3
222
212[](1)R n n n n π++=-+- 3
221(1)(21)[]R n n n n n n n
π-??-=-? ∴半球的体积311(1)(2)[1]6
n n V R π--≈?-半球 ① 容易看出，当n 不断变大时，①式越来越精确，若n 变为无穷大时，
1n 趋向于0， 311(1)(2)[1]6n n V R π--≈?-半球3312133
R R ππ??→-= ??? 由此，可由①式推出球的体积公式343V R π=
．
教案 教学过 （课前检测、预习新知、课 学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2cm，试求截面BCD的面积． 解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． 如图：
《圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征》教学设计一、教学目标 ?知识与技能：、通过实物操作，增强学生的直观感知。 、能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 、会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 、理解简单组合体的概念，会表示生活中见到的几何体的主要几何特征。 ?过程与方法：、让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、 圆台、球的几何结构特征。 、让学生感受圆柱、圆锥、圆台之间的关系； 、让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 ?情感态度与价值观：、使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生 学习的积极性，感悟数学的应用价值，同时提高学生的观察能力。 、培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 ?重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 ?难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 、实物图片模型、几何画板、幻灯片。 四、教学过程 ◆温故而知新 想一想：棱柱、棱锥、棱台各有什么几何结构特征？棱柱、棱锥、棱台都是多面体，三者关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？ 看一看：下面这些几何体是如何形成的？它们的结构特征是什么？
◆ 探究新知阅读课本第、页，回答下列问题 ● 探究一、圆柱（ ）的结构特征 思考：圆柱是怎样形成的？它是由几个面围成的?面与面相交形成了几条交线 ?交线是什么图形? 生活中你见到的圆柱体还有哪些？ 思考：什么是圆柱的轴、底面、侧面、母线？请你结合定义在上面的图中标示这些量。“在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．”这句话正确吗？上图的圆柱可记作： 讲解：圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋 转体，我们称它为圆柱。 圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； 圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做母线。 圆柱的表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图可表示为圆柱O O / 。 （让学生据一些生活中的实例，帮助理解） 注：圆柱和棱柱统称为柱体。 O O 记作：圆柱
《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》习题 1．下列说法中，正确的是（） A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 4．正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为( ) A.32a2 B． a2 C. 12a2 D. 13a2 5．在下面4个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是 ________．(把你认为正确的序号都填上) 6．如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三 棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥． 7．如图所示，侧棱长为23的正三棱锥V—ABC中，∠AVB＝∠BVC ＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值． 8．一棱锥的底面积为S2，用一个平行于底面的平面去截棱锥，其截面
面积为S1，现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两 部分之比为γ，求截面面积． 答案： 1．A 2.B 3.D 4.C 5．①② 6．解 过A1、B 、C 三点作一个平面，再过A1、B 、C1作一个平面，就把三棱台ABC —A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC ，B —A1B1C1，A1—BCC1. 7．解 将三棱锥沿侧棱V A 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF 周长的最小值，取AA1的中点D ，则VD ⊥AA1，∠A VD ＝60°，可求AD ＝3，则AA1＝6.故△AEF 周长的最小值为6. 8．解 设截面面积为S 0，以S 1、S 0、S 2为底面的锥体的高分别为h 1、h 0、h 2. 由棱锥截面的性质得h 1∶h 0∶h 2＝S 1∶S 0∶S 2， ∴γ＝h 0－h 1h 2－h 0＝S 0－S 1S 2－S 0 . 由此可得S 0＝ S 1＋γS 21＋γ. ∴S 0＝? ????S 1＋γS 21＋γ2.
教案 主编：林鹤审核人：备课人：林鹤备课时间：使用时间： 课题 1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征课型新授课课时共___课时第___课时 学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体. 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征. 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别． 学情分析 重点难点 重点：棱柱、棱锥的几何结构特征 难点：利用棱柱、棱柱的几何特征进行解题易混易错点 学生认知基础 教学过程（课前检测、预习新知、课堂导学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面 的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱 的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱 长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体 的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
. §1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的 结构特征 一、核心知识点 探究1：多面体的相关概念 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A .具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转 体: 探究3：棱柱的结构特征 1.概念：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism ）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 关键点：侧棱平行且相等 注意点：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱。 2.分类： 新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 拓展：正棱柱与直棱柱 常见四棱柱的关系 O ' /O A /A 轴 面 D 顶点 棱 A B 'C 'D 'A 'C B
. 3.表示：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱ABCD —A B C D ''''. 例 1.关于棱柱，下列说法正确的是( D ) A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，侧棱也互相平行 探究4：棱锥的结构特征 1.概念：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高； 关键点：侧棱交于一点 2.分类：棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等。 3.表示：棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S ABCDE -. 拓展：1.正棱锥 2. 四面体、正四面体与正三棱锥 探究5：棱台的结构特征 1.概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高. 关键特征：各侧棱延长后交于一点，也是判断棱台的方法 2.分类：类似于棱锥. 3.表示：棱台可以用上、下底面的字母表示 拓展：正多面体 二、典型题型 三、当堂检测（时量：5分钟满分：10分） 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）. A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体 2.棱台不具有的性质是（）. A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 3.已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（）. A.E F D C B A? ? ? ? ? B.E D F B C A? ? ? ? ? C.E F D B A C? ? ? ? ? D.它们之间不都存在包含关系 4.长方体三条棱长分别是AA'=1AB=2， 4 AD=，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是_____________. 5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________. 四、课后作业 1. 已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高(侧面三角形的高)SM=n，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积. 2. 在边长a为正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形
如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等
分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。 从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。
则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。 计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡
1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π
球的表面积和体积 1．球的表面积公式:Ｓ球面=4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式:V球＝错误!πR3（R为球半径) 球的表面积和体积的计算 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为1２πcm2，试求此球的表面积. 若截面不过球的半径的中点,而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直,若此截面的面积为π,试求此球的表面积和体积. 球的表面积及体积的应用 一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少？ 有关球的切、接问题 求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球,内切球的体积.
有三个球，第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 一个球内有相距9 cｍ的两个平行截面，面积分别为49π cm2和4００π cm2,求球的表面积． 基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.错误! B.1Ｃ．2 D.３ 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的_＿__＿___倍． 3.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为４８π cm2,试求此球的表面积和体积. 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( ) A．3∶π Ｂ．２∶πＣ.１∶２π D.1∶3π 5.（２０13·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是３，4,5，且它的８个顶点都在同一球
球的体积和表面积 一、教材分析 本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用． 二、教学目标 知识与技能 （1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识． （2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心． 三、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算． 四、学法和教学用具 学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤． 教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识． 五、教学设计 创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道， 只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到 水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌 鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了 小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们 知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考． ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球 的体积和面积公式． 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行．【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥
3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。
分析：圆柱体积： 圆柱侧面积： 因此：球体体积： 球体表面积： 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式： 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为，下底面积为 高为。 易知：∽，设， 则 由相似三角形的性质得：
即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得： 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得： 即： ∴ 4、球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公 式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形 如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式 S=1/4周长×周长） S =（÷4）× = ㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。
从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。 则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式）V =πR平方×周长的1/4 = ×× 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程：？ S =（×） = ㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有㎡的面积。 计算过程：？
球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4 3 πR3(R为球半径) 球的表面积和体积的计算 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积． 若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积． 球的表面积及体积的应用 一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥取出后，圆锥水面的高是多少？ 圆柱形容器的壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？ 有关球的切、接问题
求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，切球的体积． 有三个球，第一个球切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 一个球有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积． 基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于() A.1 2B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为() A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π
5．(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ） A ．3或8 B ．8或11 C ．5或8 D ．3或11 2.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60o ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( ) A ． 24π B.32π C. 48π D.192π 3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．π3 C ．π2 D ．π 4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A. 3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263 +
球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝4 3πR 3(其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一 球的表面积和体积 例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝256 3 π. (2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500 3π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π 3 答案 D
解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝4 3πR 3 ＝323 π. 题型二 球的截面问题 例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B.43π C.46π D.63π 答案 B 解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝4 3 π(3)3＝43π. 跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________. 答案 9π 解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知， 得??? xy ＝3，yz ＝5， zx ＝ 15， 解得??? x ＝3，y ＝1， z ＝ 5. 所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝3 2， 所以S 球＝4πR 2＝9π. 题型三 球的组合体与三视图 例3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》教案 教学目标 1．认识棱柱、棱锥和棱台的几何特征，了解棱柱、棱锥和棱台的概念，会画简单的棱柱、棱锥和棱台； 2．用运动的观点形成棱柱、棱锥和棱台的概念，用运动变化的观点理解棱柱、棱锥和棱台的概念和相互之间的关系； 3．重视立体几何知识和平面几何知识间的＂类比＂；体会＂空间问题转化为平面问题＂的＂转化＂思想； 4．接受观察、比较、归纳、分析等一般的科学方法的运用． 教学重点 1．形成棱柱、棱锥和棱台的概念； 2．作棱柱、棱锥和棱台的直观图形． 教学难点 1．用运动的观点形成棱柱、棱锥和棱台的概念，用运动变化的观点理解棱柱、棱锥和棱台的概念和相互之间的关系； 2.棱台的画法和判断． 教学过程 空间图形与我们的生活息息相关。请学生自己观察周围，说说我们身边有哪些立体图形。 这些立体图形我们可以大致的分为以下几种，棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球.这节课我们先一起来学习《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》． 仔细观察回答问题 【问题1】图中这些几何体可以分成几类?每一类各有哪些图形? （1）（2）（3）（4）（5）（6） （7）（8）（9）（10）（11）（12）学生总结后得出这些几何体可以分为三类． 第一类有（1），（2），（5），（8）；第二类有（4），（6），（7），（12）；
第三类有（3），（9），（10），（11）． 【问题2】请学生观察第一类几何体，思考以下几何体是有什么共同特点，是怎样形成的？ （1） （2） （5） （8） （1）观察上面的几何体，它们有什么共同特点？ 答：①这些立体图形中有两个相对的面是全等的多边形，并且是平行的． ②其他的面都是平行四边形． （2）从平移的观点看，图中这些几何体是怎样形成的呢？（课件演示） 答：图（1）可以看作是一个三角形按某一确定方向平移得到的立体图形． 图（2）可以看作是一个四边形按某一确定方向平移得到的立体图形． 图（5）可以看作是一个五边形按某一确定方向平移得到的立体图形． 图（8）可以看作是一个六边形按某一确定方向平移得到的立体图形． 像这类立体图形，我们在数学上把它称作棱柱 （一）棱柱 1．棱柱的概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 2．棱柱的元素： 底面：平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面． 侧面：多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面． 侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱． 3．棱柱的性质：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形． 4．棱柱的分类： （1）按底面的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。即底面是几边形就为几棱柱． （2）按侧面是否与底面垂直分：不垂直的叫做斜棱柱，垂直的叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。例如正方体就是正四棱柱. 5．棱柱的表示：图（1）三棱柱'''C B A ABC -；图（8）六棱柱 ''''''F E D C B A ABCDEF - 下面我们继续讨论第二类图形，看看它们又有什么特征与前面的图进行对比发生了什么变化？
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 知识梳理 1.棱柱和圆柱统称为柱体. (1)棱柱的本质特征: ①有两个面(所在平面)互相平行；②其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行. (2)棱柱的性质: ①棱的性质:侧棱都平行,并且长度都相等.②面的性质:侧面是平行四边形；两个底面平行,是全等多边形.平行于底面的截面与底面全等. (3)圆柱的特征: ①有两个底面互相平行,且为形状、大小一样的圆；②侧面为曲面,展开为矩形. 2.棱锥和圆锥统称为锥体. (1)棱锥的本质特征: ①有一个面是多边形;②其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (2)圆锥的特征: ①只有一个顶点,只有一个底面为圆面；②侧面为曲面,展开为扇形. 3.棱台和圆台统称为台体. (1)棱台的性质: ①棱的性质:侧棱延长之后,必相交于一点.②面的性质:侧面是梯形；两个底面平行,是全等的多边形. (2)圆台的性质: ①上下底面平行,为半径不等的圆形;②侧面展开图为一个扇环. 4.(1)球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. (2)球的性质:球被任意一个平面所截得的截面是一个圆面. 知识导学 本节知识是从生活实际中引申出来的,所以,在学习这一部分之前可以先制作一些模型,观察这些模型,进行总结,得出相应的结论,然后根据结论对照图形,加深对几何体性质的理解. 对于柱、锥、台体的形状特征可以利用下列口诀加以记忆:底面平行又全等,可能圆柱或棱柱;棱锥圆锥摘掉帽,一个台体就出炉. 对于台体的有关问题,可以结合锥体的性质解决,而不要把台体和锥体独立起来,有时候把台体补成一个锥体可以在锥体中进行计算.而面积较小的平面可以看成与锥体的一个与底面平行的截面,根据它们之间的相似比计算其中的元素,这是常用的处理方法. 四棱柱是最常见的一种棱柱,包括长方体与正方体，它们都是四棱柱的一种特殊情形.要注意特殊四棱柱的特殊性质及它们之间的联系. 球是平面图形圆在空间的延伸,因此在研究球的性质时,应注意与圆的性质的类比.球又是旋转体,由于旋转体是轴对称几何体,故解题时常利用它的轴截面图形,从而化空间问题为平面问题.熟练掌握大圆的半径、截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球问题的关键. 疑难突破 1.怎样解决与球有关的接、切问题? 剖析：解决与球有关的接、切问题时,一般作一个适当的截面,将问题转化为平面问题解决,这类截面通常指球的大圆、多面体的对角面等,在这个截面中应包括几何体的主要元素,且这个截面必须能反映出各元素之间的关系. 2.锥体和台体之间的联系.
教案
(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积．解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？
解设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点． 13．已知正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7. (1)求侧面上的斜高； (2)求一个侧面的面积； (3)求底面的面积． . 4．棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高． (2)由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． (3)正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 例：已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．
棱柱棱锥棱台练习题 1．有四个集合：A＝{棱柱}，B＝{四棱柱}，C＝{长方体}，D＝{正方体}，它们之间的包含关系是( ) A．C?D?A?B B．D?C?B?A C．C?A?D?B D．B?D?C?A 2.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.用一个平面去截四棱锥，不可能得到( ) A．棱锥B．棱柱C．棱台D．四面体 4.一个正三棱锥的底面边长为3，高为6，则它的侧棱长为( ) A．2 B．2 3 C．3 D．4 5．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( ) A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥 ： 6．设有四个命题 甲：有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱； 乙：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥； 丙：用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台； 丁：侧面都是长方形的棱柱叫长方体． 其中，真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( ) A．底面为平行四边形的四棱柱 B．五棱锥 C．无平行平面的六面体 D．斜三棱柱 8.下列命题正确的是( ) （ A．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 9.下图中不可能围成正方体的是( ) 10.所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体，正四面体ABCD的棱长为a，M、N分别为棱BC、AD的中点，则MN的长度为( ) A．a a 11.下列命题中，正确的是( ) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 | 12.下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为( )