1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是
BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG 上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABE和△DAF中，?
?
?
?
?
∠
=
∠
=
∠
=
∠
3
4
1
2
DA AB
，
∴△ABE≌△DAF.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠4=90o
∵∠3=∠4,
∴∠1+∠3=90o
∴∠AFD=90o
在正方形ABCD中，AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30o
在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 ,
∴AF=3
, DF =1,
由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1,
∴EF=AF-AE=
1 3-
.
2、如图，
,
AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F
=⊥=∠
于点，，平分交于点
，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以
证明．
【解析】
（1）
ADB ADC
△≌△、
ABD ABE
△≌△、AFD AFE
△≌△、
BFD BFE
△≌△、
ABE ACD
△≌△（写出其中的三对即
可）.
（2）以
△ADB≌ADC为例证明．
证明：
,90
AD BC ADB ADC
⊥∴∠=∠=
Q°.
在Rt
ADB
△和Rt ADC
△中，
,,
AB AC AD AD
==
Q
∴Rt ADB
△≌Rt ADC
△.
3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上
一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数.
A
C
B
D
E
F
G
1
4
2
3
【解析】
（1）∵∠ABC=90° ∴∠CBF=∠ABE=90°
在Rt △ABE 和Rt △CBF 中
∵AE=CF, AB=BC ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90° ∴ ∠CAB=∠AC B=45°
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°. 由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60° 4、已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE=CD ，∠ACD=∠BCE,
求证：AE=BD ．
题20图 【解析】
∵点C 是线段AB 的中点， ∴AC=BC ， ∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD
CE CD ?=?
∠=∠??=?
，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE=BD. 5、如图10，已知
ADE
Rt ABC Rt ???，
?=∠=∠90ADE ABC ,
BC 与DE 相交于点F ，连接EB CD ,．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：EF CF
=．
【解析】 （1）ABE ADC ??
?,EBF CDF ???
（2）证法一：连接CE
∵ADE Rt ABC Rt ??
? ∴AE AC =
∴AEC ACE ∠=∠ 又∵ADE Rt ABC Rt ??
?
∴AED ACB ∠=∠ ∴
B C
E
F
第22题图
AED AEC ACB ACE ∠-∠=∠-∠
即DEC BCE ∠=∠
∴EF CF
=
证法二：∵ADE Rt ABC Rt ???
∴
EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,,
∴
DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠
即EAB CAD ∠=∠ ∴)(SAS AEB ACD ??
?
∴ABE ADC EB CD
∠=∠=,
又∵ABC ADE ∠=∠
∴EBF CDF
∠=∠
又∵BFE DFC ∠=∠ ∴)(AAD EBF CDF ∠?∠
∴EF CF
=
6、如图，点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，BC ＝ED ，∠BCD ＝∠EDC ． （1）求证：AB=AE ；
（2）连接BE ，请指出BE 与AF 、BE 与CD 分别有怎样的关系？
（只需写出结论，不必证明）． 【解析】
（1）证明：联结AC 、AD
∵点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，∴AC=AD ∴∠ACD=∠ADC ∵∠BCD ＝∠EDC
∴∠ACB ＝∠ADE ∵BC=DE ，AC=AD
∴△ABC ≌△AED ∴AB=AE
（2）BE ⊥AF,BE//CD,AF 平分BE
7、如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． (1)求证：OE=OF ；
(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图1
F M O C
D
B
A
E
图2
F
M
O
C
D
B
A
E
【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形．
∴∠BOE=∠AOF ＝90?．OB ＝OA 又∵AM
⊥
BE ，∴
∠
MEA+
∠
MAE ＝
90?=∠AFO+∠MAE
∴∠MEA ＝∠AFO
∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ∴OE=OF
A
B
C
E
(2)OE ＝OF 成立
证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BOE=∠AOF ＝90?．OB ＝OA 又∵AM
⊥
BE ，∴
∠
F+
∠
MBF ＝
90?=∠B+∠OBE 又∵∠MBF ＝∠OBE ∴∠F ＝∠E
∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ∴OE=OF
8、如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边?ABC 边
AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，
（1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过
程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时?PBQ 是直角三角形？
（3）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射
线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，
则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
【解析】
（1）
∠CMQ
=∠=∠=CAP B AC AB ，等边三角形中，Θ
又由条件得
AP=BQ ，∴
ABQ
?≌
CAP ?(SAS)
∴ACP BAQ ∠=∠
∴
60=∠=∠+∠=∠+∠=∠BAC CAM BAQ CAM ACP CMQ
（2）设时间为t ，则AB=BQ=t ，PB=4-t
当
3
4
,24,2,609000=
=-=∴=∠=∠t t t BQ PB B PQB 得时，Θ
当
2
),4(22,2,609000=-==∴=∠=∠t t t PQ BQ B BPQ 得时，Θ
∴当第
3
4
秒或第2秒时，?PBQ 为直角三角形 （3）0120=∠CMQ 不变。
60=∠=∠=CAP B AC AB ，等边三角形中，Θ ∴0120=∠=∠ACQ PBC
又由条件得
BP=CQ ，∴
PBC
?≌
(SAS)
又
B 在
同一条直线上，点E 在边AC 上.
（1）直线DE 与AB 有怎样的位置关系？请证明你的结论；
C 图1
（2）如图（1）若?DCE 沿着直线DB 向右平移多少距离时，点E 恰好落在边AB 上，求平移距离DD ，
； （3）在?DCE 沿着直线DB 向右平移的过程中，使?DCE 与?ACB 的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x ，这个四边形的面积为
y ，
求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域. 【解析】 解：（1）点 M
（2）经过t 秒时，NB t =，2OM
t = 则
3CN t =-，42AM t =-
∵BCA ∠=MAQ ∠=45o
∴ 3QN CN t ==-
∴
1 PQ t =+
∴
11
(42)(1)22
AMQ S AM PQ t t =
=-+g △2
2t t =-++
∴2
2
19
224
S t t t ??=-++=--+ ???
∵02t ≤≤∴当1
2
t =
时，S 的值最大． （3）存在．
设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CN t =-，
42AM t =-
∴BCA ∠=MAQ ∠=45o
①若90
AQM
∠=o
，则PQ 是等腰Rt △MQA
底边MA 上的高 ∴
PQ
是
底
边
MA
的中线
∴1
2
PQ AP MA ==
∴11(42)2t
t +=-∴12
t = ∴点M 的坐标为（1，0）
②若90QMA ∠=o
，此时QM 与QP 重合 ∴QM
QP MA ==
∴142t t +=- ∴1t
=
∴点M 的坐标为（2，0）
10、如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，
BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：ACF BDE ???。
【解析】
Q AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=o
在Rt ACE ?与Rt BDF ?中
Q AE BF AC BD
=??=? ∴Rt ACE Rt BDF ???(HL)
∴A B ∠=∠
Q AE BF =
∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =
在ACF ?与BDE ?中
D
E A C D E
A B C （1）
D ，
D E
A B C
备用图
Q AF BE A B AC BD =??
∠=∠??=?
∴ACF BDE ???(SAS)
11、如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，
且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。
【解析】
延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF
在ABE ?与FDE ?中
Q AE FE
AEB FED BE DE =??
∠=∠??=? ∴ABE FDE ???(SAS) ∴B EDF ∠=∠
Q ADF ADB EDF
∠=∠+∠，
ADC BAD B ∠=∠+∠
又Q
ADB BAD ∠=∠
∴ADF ADC ∠=∠
Q AB DF =，AB CD = ∴DF DC =
在ADF ?与ADC ?中
Q AD AD ADF ADC DF DC =??
∠=∠??=? ∴ADF ADC ???(SAS) ∴AF AC =
又Q
2AF AE =
∴2AC AE =。
12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 【解析】
在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB
∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE
∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE