傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法
最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到“傅里叶级数”了，我曾经觉得这个公式非常繁琐，用到的时候就去翻书查看，没法自己信心满满的写出来。现在我找到诀窍了，可以不需要任何参考书，给我一个周期函数，我可以马上写出它的傅里叶级数。诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。
1. 什么是投影
我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？
我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv 这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是 (u-cv)T v = 0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。
c T T u v v v = （1）
2. 向量在一组正交基上的展开
在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式
1122u c v c v =+ （2）
从图上来看，(2) 式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以 (2) 式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式： 12121122;T T T T u v u v c c v v v v == （3）
3. 傅里叶级数的几何意义
现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把 (1) 式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为： 01
()(cos
sin )n n n n x n x f x a a b l l ππ∞==++∑（4） 其中系数表达式如下：
0();
2()cos ,1
()sin
,1l l l l n l l n f x dx
a l n x
f x l a n l n x
f x l b n l
ππ---==≥=≥??? （5）
我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x) 可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开， 22{1,cos ,sin ,cos ,sin ,}x x x x l l l l
ππππ （6）
这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（inner product ）为零。 “内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间 [a,b] 上的两个实函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为
,:()()b
a u v u x v x dx <>=? （7） 正交基 (6) 中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面 (5) 式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。
现在的问题是我们不能直接用 (1) 式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把 (1) 式中分子分母的点积分别替换成 (7) 式。那么 (5) 式中的所有系数马上可以轻松的写出：
022()(),1;1,12,cos ()cos ()cos ,1cos ,cos cos ,sin ()sin ()si sin ,sin sin l l
l l l l
l l l l n l l l l n l l f x dx f x dx f a l dx n x n x n x f f x dx f x dx l l l a n n x n x n x l dx l l l
n x n x f f x dx f x l l b n x n x n x dx l l l πππππππππππ--------<>===<><>===≥<><>===<>????????n ,1l l n x dx l n l π-≥? (8)
值得注意的是，(8) 式中所有积分可以在任意一个长度是2l 的区间内进行。也就是说，不管是 [-l,l] 还是 [0,2l]，答案都是一样的。
有同学会说，老师上课教的是对 (4) 式两边乘以1，cos(n πx/l)，或 sin(n πx/l), 然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到 (5) 式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。
熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何
投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数的复数形式为：
/()in x l n n f x c e π∞=-∞=
∑ （9）
其中系数表达式如下：
/(),2l
in x l l n f x e dx
c n Z l π-=?∈? （10）
这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数，
//2/2/{1,,,,,}i x l i x l i x l i x l e e e e ππππ-- （11）
我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。对于定义在区间 [a,b] 上的两个复函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为 ,:()()b
a u v u x v x dx <>=?（12） 其中v 加上划线意思是它的共轭。(10) 中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。 现在我们同样可以把原函数分别投影到 (11) 中的每个函数所在的“坐标轴”来求出对应的“坐标”，也就是系数cn ：
///////()(),,,2l l in x l in x l in x l l l n l in x l in x l in x l in x l l
f x e dx f x e dx f e c n Z e e l e e dx πππππππ---<>===?∈<>??? （13）
这里我想强调一下这个“正交基”的重要性。在一个有限维的向量空间，给定任何向量都可以被一组基展开，它可以不必是正交的，这个时候展开项中的系数（也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标）需要求解一个线性方程组来得到。只有当这组基是正交的时候，这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出，也就是 (1) 式。同样的，在无限维的函数空间，我们可以把一个函数在某个“基”中展开，但是只有在“正交基”中，展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。
最后做一个总结，不管是向量 u 还是函数 u ，他们都可以被一组正交基{vn ：n=1,...,N}（有限个向量）或{vn ：n=1,...,∞}(无限个函数）展开如下: ,,n n
n n n n u c v u v c v v =<>=<>
∑ （14） 上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。而 (14) 式中内积的定义视情况而定，在有限维的向量空间（实数域），向量 u 和 v 的内积是点积 uTv ；在无
限维的函数空间，函数u(x) 和v(x) 的内积的通用形式是(12)，如果它们是实函数，那么(12) 就可以简化成(7) 的形式。
我们可以看到，用几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为我相信所有人都能理解投影的概念；同时，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想要遗忘都难了。我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系，尝试着用不同的角度去看待同一个问题，我相信这么做是很有好处的。
后记（写于2013年3月28号）：
这篇文章的核心思想其实是来自MIT的教授 Gilbert Strang 写的《Introduction to Linear Algebra》这本书（第三版）。我在好几个月前重新学了一遍线性代数，就是看 MIT 的开放课程，授课老师是 Gilbert，他用的书就是上面提到这本。我从没有如此享受过数学课。以前学的数学课似乎老师更注重数学运算和推导，而不是讨论数学背后的本质。Gilbert 的讲课方式讲究原理，也就是"why”，而不是"how”，同时也有非常有趣的应用。有兴趣的同学可以去听听这门课。对于这篇文章提到的从几何观点来看傅里叶级数的思想，相关内容可以在书本最后关于傅里叶级数的讨论中找到。值得注意的是，Gilbert 默认函数周期是2PI，而且没有涉及复数形式。这篇文章主要是把几何投影与傅里叶级数的概念整合在了一起，考虑了一般的周期函数，同时涉及了傅里叶级数的复数形式，希望能对一些朋友有所帮助。
表2－1 几种典型波形的傅立叶变换表 名称 波形函数()f t 波形图 频谱函数()F ω 频谱图 矩形脉冲 ,2 0, 2 E t t τ τ ?
名称 波形函数()f t 波形图 频谱函数()F ω 频谱图 梯形脉冲 1 111 110, 22,222, 222, 222t E t t E t E t t τττττττττττττ? ≥?? ???+-<<- ??-?? ?? ?-<?
本文集资料共4个分类：学习方法、记忆方法、快速阅读、潜能开发。每个分类都有多个资料，可在百度文库、新浪爱问共享、豆丁文库中直接搜索：“学习方法：”“记忆方法：”“快速阅读：”“潜能开发：”，即可找到更多资料。 １．弄清公式结构 例二项展开式为： （ａ＋ｂ）ｎ 2 n-2 2 = Cn0 ＋C a b C a b + …＋C abn-1＋C bn。 n 对公式右边作如下分析：（１）共有（ｎ＋１）项，全带正号；（２）每项 由三部分的积组成，呈Ｃａｂ的形式；（３）ａ的指数从高到低（ｎ到０）；（４） ｂ的指数从低到高（０到ｎ）；（５）Ｃ的下标恒为ｎ，上示从低到高，明白以 上五点后，学生即可逐步写出这个公式。开始可能慢了些，但熟练后，即可 直接写出二项展开式。 ２．赋予一个名称，或使用一个记号 有时候，为了加深对某个公式的印象，可以自己赋予某一公式的部件以 一个合适的名称，也可以使用一个恰当的记号。经过这种刺激，反而使学生 记住这一公式。 例如，点（ｘ０，ｙ０）到直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离ｄ由下公式计算： |Ax0??By0??C| d = A2??B2 此外，分子容易记住：把点代入直线方程一般式的左边后，再取绝对值。 但分母可能要忘却，我们称 A2??B2为（该直线方程的）法化因子。由于 此名称关系，学生就会记住：还要除以一个叫法化因子的东西——而这正是 我们的目的。 当然，名称也并非胡撰的。事实上，直线方程在化为法线方程时，确实 需要除以 A2??B2，故称其为法化因子。 数学上有些公式，或是不常用到，或是重要性相对来说较为次要。这些 公式，不必一定全部记住，只要记住其大概的推导方向，或推导方法。直到
【数学公式记忆的简单方法】数学公式有什么记忆方法 在数学中，把一些常用的表示基本数量关系的等式作为数学公式，记忆数学公式是学习数学的基础，你知道有哪些简单的记忆方法吗?下面由小编给你带来关于数学公式记忆的简单方法，希望对你有帮助! 数学公式记忆的简单方法 1. 用语言描述公式 比如我们前面描述向量的数量积公式横坐标之积与纵坐标之积的和， 再比如同底数幂相乘的公式，可直接描述为底数不变，指数相加，幂的乘方公式，可直接描述为底数不变，指数相乘。 可能这些还不足以简洁神奇，那么奇变偶不变，符号看象限，这聊聊十字，就概括了六组几十个诱导公式，简直是高中数学中的神诀，朗朗上口，轻松记忆，很多高中生毕业后，可能数学知识忘了，但这句口诀，终身难忘。 2. 抓住公式特征 比如两角和的余弦公式 公式特征相当明显，即两个余弦乘积减去两个正弦乘积，用谐音科科减赛赛或者哭哭减笑笑就很好记 再比如，一个不常用但一旦用了就很方便的公式
公式特征是sin上面1-cos，或者sin下面1+cos，根据这个特征，可谐音记作山上一剑客，山下一侠客，生动好记，还有些趣味。当然这些，都需要我们自己去琢磨这些公式的特征 3. 运用类比和比较记忆 比如上面两角和的余弦公式记住了，那么两角差的余弦公式可以类比记忆， 哭哭加笑笑，同时还可类比记忆两角和与差的正弦公式、正切公式，诸如此类 再比如，学过等差数列后，你熟悉了等差数列的性质，可以根据等比数列的定义，去理解记忆等比数列的性质，例如，等差数列的下标和如果一样，那么它们的和相等，到了等比数列这，就是它们的积相等了; 再如，等差数列前n项和有一个公式是n乘以中间项，那么类比到等比数列，可得相似结论：等比数列前n项积，等于中间项的n次方。诸如此类，类比在数列的学习中，是一种特别重要的思想 数学公式记忆口诀 有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。 异号相加大减小，大数决定和符号。 互为相反数求和，结果是零须记好。 【注】大减小是指绝对值的大小。 有理数的减法运算
2017财务管理公式如何快速记忆 财务管理公式记忆方法 规律一：财务指标的命名是有原则的，有以下2种命名法： 1、先念分子，后念分母法，就是比率或比(某某比率或某某比);比如负债资产比率=负债/资产，也可以省略地称呼其为负债资产比。 2、先念分母，后念分子法，就是率 比如资产负债率=负债/资产 现在大家就可以轻而易举地记住很多的财务指标了，甚至看到指标的名称就知道该如何去计算它，很实用的规律哦。 读者可以试着看以下的一些指标快速地写出它的公式了：总资产息税前利润率，销售净利率，负债权益比率 规律二：如果分子分母来自于同一张报表，则数值同用年初数、年末数或同期数，以保持口径一致;如果分子来源于损益表，分母来源于资产负债表，则分母要用平均数。 原因是：损益表的数字都是时期数，而资产负债表的数字都是时点数，时期数/时点数则会由于口径不同，无法相除，因此需要将分母进行换算。经过(期初+期末)/2的简单算术平均以后，将时点数换算为时期数，分子分母就都是时期数了，则就可以进行除法运算。可是有时分母会直接使用期末数，此时有两种可能的情况： 1、该期末数与期初数完全相等或大致相等，可以将其影响不大的差异额忽略不计。比如分母直接使用期末数500万时，此时暗示期初数也是500万，则(期初+期末)/2=(500+500)/2=500万，这时分母就可以直接使用期末数。或者期初数为500.10万时，则可将0.10万忽略不计，与上例同理。 2、该指标要跟与之相比较的指标保持口径一致。比如，本企业要用计算出来的权益净利率去与同行业的A企业相比，而A企业计算权益净利率时分母用的是期末数，则为了保持双方的可比性，本企业也应采用期末数来作为分母，就不使用平均数作为分母了。 规律三：周转率指标的命名规律。 分子一般是销售收入或主营业务收入，分母是什么，则该公式就叫某某周转率，比如流动资产周转率和存货周转率。
数学公式的记忆步骤和方法 2011年11月03日 09:10 爱学网江苏在线 １．弄清公式结构 例二项展开式为： （ａ＋ｂ）ｎ 2 n-2 2 = Cn0 ＋C a b C a b + …＋C abn-1＋C bn。 n 对公式右边作如下分析：（１）共有（ｎ＋１）项，全带正号；（２）每项 由三部分的积组成，呈Ｃａｂ的形式；（３）ａ的指数从高到低（ｎ到０）；（４）ｂ的指数从低到高（０到ｎ）；（５）Ｃ的下标恒为ｎ，上示从低到高，明白以 上五点后，学生即可逐步写出这个公式。开始可能慢了些，但熟练后，即可 直接写出二项展开式。 ２．赋予一个名称，或使用一个记号 有时候，为了加深对某个公式的印象，可以自己赋予某一公式的部件以 一个合适的名称，也可以使用一个恰当的记号。经过这种刺激，反而使学生 记住这一公式。 例如，点（ｘ０，ｙ０）到直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离ｄ由下公式计算： |Ax0??By0??C| d = A2??B2 此外，分子容易记住：把点代入直线方程一般式的左边后，再取绝对值。 但分母可能要忘却，我们称 A2??B2为（该直线方程的）法化因子。由于 此名称关系，学生就会记住：还要除以一个叫法化因子的东西——而这正是 我们的目的。 当然，名称也并非胡撰的。事实上，直线方程在化为法线方程时，确实 需要除以 A2??B2，故称其为法化因子。 数学上有些公式，或是不常用到，或是重要性相对来说较为次要。这些 公式，不必一定全部记住，只要记住其大概的推导方向，或推导方法。直到
要用时，临时推导一下即可。 ? ４．利用图表 某些公式，可以制成一个图或一个表，借此，可较为轻松地记住这些公 式。 例如，初学“同角三角函数间关系”对其中关系式可能较难记忆，右图 可以协助记忆： ①对角线上两个三角函数乘积为１。 如ｓｉｎα?ｃｓｃα＝１。 ②带阴影的三角形中，上面两个顶点上的值的平方和等于下面顶点上的 值的平方。 如ｓｉｎ２ａ＋ｃｏｓ２α＝１。 ③六角形任一顶点上的函数值等于与它相邻的二个顶点函数值的乘积。 如ｓｉｓα＝ｔｇα?ｃｏｓα。 ５．代入特殊值 例如，对某学生来说，正弦函数的三倍角公式是甲？还是乙？ 甲：ｓｉｎ３α＝３ｓｉｎα－４ｓｉｎ３α， 乙：ｓｉｎ３α＝４ｓｉｎ３α－３ｓｉｎα． 他记不准了（主要该生把它与ｃｏｓ３α的公式混淆起来了）。这好办，令α= 30°null,null,u65292X从甲得1 = 3× 成立。 12- 4×18= 1，真，而乙为1 = -1，不对，故认定甲 这里特别要注意，特殊值必须选好，要能区分，又要易于计算。如选α ＝６０°null,null,u65292X则无从区分。 ６．编制口决 有时候，为了记住某个公式，或为了正确地使用公式，可以根据公式的 特点编制一些口诀，运用口诀就可以较方便地解决这种记忆。 例：三角学中有所谓诱导公式，它由５４个公式组成。如果记住这５４个公式，脍炙人口的口诀“奇变偶不变，符号看象限”就完全解决了这一问题。７．记住一般的公式。 有些公式，是更一般公式的特例。因此，单独记住它是不妥的。这似乎 是“就事论事”。更主要的是，没能更深刻地揭示事物的本质，故还不如记
数学公式记忆的简单方法 1. 用语言描述公式 比如我们前面描述向量的数量积公式“横坐标之积与纵坐标之积的和”， 再比如同底数幂相乘的公式，可直接描述为“底数不变，指数相加”，幂的乘方公式，可直接描述为“底数不变，指数相乘”。 可能这些还不足以简洁神奇，那么“奇变偶不变，符号看象限”，这聊聊十字，就概 括了六组几十个诱导公式，简直是高中数学中的“神诀”，朗朗上口，轻松记忆，很多高 中生毕业后，可能数学知识忘了，但这句口诀，终身难忘。 2. 抓住公式特征 比如两角和的余弦公式 公式特征相当明显，即两个余弦乘积减去两个正弦乘积，用谐音“科科减赛赛”或者“哭哭减笑笑”就很好记 再比如，一个不常用但一旦用了就很方便的公式 公式特征是“sin上面1-cos，或者sin下面1+cos”，根据这个特征，可谐音记作“山上一剑客，山下一侠客”，生动好记，还有些趣味。当然这些，都需要我们自己去琢 磨这些公式的特征 3. 运用类比和比较记忆 比如上面两角和的余弦公式记住了，那么两角差的余弦公式可以类比记忆， “哭哭加笑笑”，同时还可类比记忆两角和与差的正弦公式、正切公式，诸如此类 再比如，学过等差数列后，你熟悉了等差数列的性质，可以根据等比数列的定义，去 理解记忆等比数列的性质，例如，等差数列的下标和如果一样，那么它们的和相等，到了 等比数列这，就是它们的积相等了; 再如，等差数列前n项和有一个公式是n乘以中间项，那么类比到等比数列，可得相 似结论：等比数列前n项积，等于中间项的n次方。诸如此类，类比在数列的学习中，是 一种特别重要的思想 有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。 异号相加大减小，大数决定和符号。
三角函数诱导公式及记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 二、 （一）基本关系 1、倒数关系 tanα ·cotα=1 s inα ·cscα=1 cosα ·secα=1 2、商的关系 sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanα cosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα 3、平方关系 sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α （二）同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 （一）常用的诱导公式 1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα，k∈z cos（2kπ+α）=cosα，k∈z tan（2kπ+α）=tanα，k∈z cot（2kπ+α）=cotα，k∈z sec（2kπ+α）=secα，k∈z csc（2kπ+α）=cscα，k∈z 2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα sec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα 3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα cos（－α）= cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec (—α) = secα csc (—α) =—cscα 4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）= sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα 5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）= cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sec (2π—α) = secαcsc (2π—α) =—cscα
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
三角函数公式及其记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 （一）基本关系 1、倒数关系 1cot tan =?αα 1csc sin =?αα 1sec cos =?αα 2、商的关系 αααtan cos sin = ααα tan csc sec = αααcot sin cos = αα α cot sec csc = 3、平方关系 1cos sin 22=+αα αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+ （二）同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面 顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 （一）常用的诱导公式 1、公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： z k k ∈=+,sin )2sin(ααπ z k k ∈=+,cos )2cos(ααπ z k k ∈=+,tan )2tan(ααπ z k k ∈=+,cot )2cot(ααπ z k k ∈=+,sec )2sec(ααπ z k k ∈=+,csc )2csc(ααπ 2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπcot )cot(=+ ααπsec )sec(-=+ ααπcsc )csc(-=+ 3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- ααtan )tan(-=- ααcot )cot(-=- ααsec )sec(=- ααcsc )csc(-=-
The Elements of Style by William Strunk, Jr. Professor of English Cornell University Privately Printed Ithaca, New York 1918 Copyright 1918 By William Strunk, Jr. Press of W. P. Humphrey, Geneva, N.Y.
Parental Note Dear Parent, This workbook was created to be used along side Strunk & White's Elements of Style handbook. If you do not have this handbook, you can use this work book alone. Each lesson is designed to be completed weekly. Most lessons ask the student to write sentences demonstrating a particular rule. Other lessons ask the student to write a summary or narration from a literature or history text. There are 18 lessons in this workbook and each lesson should be practiced for one to two weeks to ensure that the student understands the rule and can demonstrate the ability to use it in daily writing. The text in this workbook is from the 1st Edition, 1918. Although this handbook is currently in print (4th ed.) the references from the 1st Edition can give your student valuable practice in the art of writing well. Permission has been granted to reproduce this workbook for use in the home. This text may not be redistributed or resold. Carol Hepburn Phoenix, AZ
常用公式轻松记忆 1 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 2、单价×数量＝总量 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 3、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率4、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、长方形 C周长S面积a边长
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 3、三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 4、平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 5、梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 (2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数)小学奥数公式和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数和倍问题的公式
和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题的公式
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
数学常用的记忆方法有哪些 一、分类记忆法 遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。例如求导公式有18个，就可以分成四组来记:1常数与幂函数的导数2个;2指数与对数函数的导数4个;3三 角函数的导数6个;4反三角函数的导数6个。求导法则有7个，可分为两组来记：1和、差、积、商复合函数的导数4个;2反函数、隐函数、幂指数函数的导数3个。 二、推理记忆法 许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，而其余可利 用推理得到，这种记忆称为推理记忆。例如，平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推理得它的任一对角线把它平分成两个全等三角形，继而又推得它的对边相等，对 角相等，相邻角互补，两条对角线互相平分等性质。 三、标志记忆法 在学习某一章节知识时，先看一遍，对于重要部分用彩笔在下面画上波浪线，再记忆时，就不需要将整个章节的内容从头到尾逐字逐句的，只要看划重点的地方并在它的启示 下就能记住本章节主要内容，这种记忆称为标志记忆。 四、回想记忆法 在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆。在实际记忆时，回想记忆法与标志记忆法是配合使用的。 1 有理数的加法运算： 同号相加一边倒;异号相加“大”减“小”， 符号跟着大的跑;绝对值相等“零”正好. 2 合并同类项： 合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样. 3 去、添括号法则： 去括号、添括号，关键看符号，
括号前面是正号，去、添括号不变号， 括号前面是负号，去、添括号都变号. 4 一元一次方程： 已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒. 5 平方差公式： 平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆. 6 完全平方公式： 完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央; 首±尾括号带平方，尾项符号随中央. 7 因式分解： 一提公因式二套公式三分组，细看几项不离谱， 两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎， 四项仔细看清楚，若有三个平方数项， 就用一三来分组，否则二二去分组， 五项、六项更多项，二三、三三试分组， 以上若都行不通，拆项、添项看清楚. 8 单项式运算： 加、减、乘、除、乘开方，三级运算分得清， 系数进行同级运算，指数运算降级进行. 9
一、绘图 1、二维图形 1）plot plot（x1，y1，‘s1’，x2，y2，‘s2’） 2）fplot fplot（‘fun’，[xmin，xmax]，tol） 3）ezplot ezplot （‘fun’，[xmin，xmax]） 4）subplot subplot（m，n，k） 5）polar polar（theta，rho，‘s’） 2、三维绘图 1）plot3（x，y，z） 2）mesh（x，y，z）%与meshgrid配合使用 3）surf（x，y，z） 二、数学函数(P401-403) sin, cos, tan, cot, sec, csc,（三角函数） asin, acos, atan, acot, asec, acsc, （反三角函数） sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch,（双曲函数） asinh, acosh, atanh, acoth, asech, acsch,（反双曲函数） sqrt(平方根), pow2(平方指数), exp (指数函数)， log, log10, log2(自然、常用、平方对数) abs(绝对值或复数模) round(四舍五入取整), fix(向零取整), floor(向–∞取整) , ceil(向+∞取整), sign(符号函数),mod(求模),rem(求余数), real(取实部),imag(取虚部),angle(取辐角),rats(有理逼近)。 max (最大) min (最小) sum (求和) length (长度) mean (求平均值) median (求中间值) prod (求乘积) sort (从小到大排列) zeros(零阵) ones(全为1阵) eye(单位阵) rand(均匀随机) randn(正态随机) diag(对角) triu(上三角) tril(下三角） size(大小) det(行列式值) rank(秩) inv(逆矩阵) eig(特征值) norm(范数) cond(条件数) 三、插值与数值积分 1、种插值方法： 1)、拉格朗日多项式插值、 2)、分段线性插值 interp1(x0,y0,x) 3)、三次样条插值 spline(x0,y0,x)
初中数学公式怎么记_快速记忆方法 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《初中数学公式怎么记_快速记忆方法》的内容，具体内容：数学公式是数学基础知识的重要组成部分，数学公式凝聚着数学中的全部精华，那么，你知道怎么记忆数学公式吗?现在，我来告诉你快速有效地记忆数学公式的方法。初一数学公式的快速记忆方... 数学公式是数学基础知识的重要组成部分，数学公式凝聚着数学中的全部精华，那么，你知道怎么记忆数学公式吗?现在，我来告诉你快速有效地记忆数学公式的方法。 初一数学公式的快速记忆方法 初一数学公式是初一数学基础知识的重要组成部分，因为初一数学公式是概念的继续和发展，是定理定律的集中表现，初一数学公式凝聚着数学中的全部精华，同时它又是我们解初一数学题或证题的依据和工具。很多初一的同学有些题目不是不会做，而是因为没有记住初一数学公式，或者是把公式记混了才做不出来。在这里为大家介绍一下应该如何记忆初一数学公式! 1、从初一数学公式的来源进行记忆。 有些同学只侧重于记忆和运用公式的结论，对数学公式的来源不够重视。大家应该在数学公式推证过程中，对公式的来龙去脉有较清楚的了解，这样不但在学习中增加许多知识，还能有助于对数学公式的记忆和运用。掌握了数学公式的推证方法，明确了数学公式的脉络，万一某个公式忘记
了，也能迅速地推证出来。 2、从公式的本质特征进行记忆。 对初一数学公式的认识不能停留在表面的认识上，要重视数学公式的来源，和初一数学公式本身的内在规律，我们必须深入地理解公式的实质极其全部含义，掌握它们的基本特征和重要性质。利用公式的本质特征记忆公式，还应有意识地训练自己能够用语言准确地叙述数学公式，这样有利于对公式的理解和记忆。如果能用简练明确的口诀把公式中主要数量关系突出地表达出来，这更是记忆数学公式行之有效的方法。 3、从初一数学公式之间的比较进行记忆。 对于有联系的或容易混淆的公式，可以根据公式的不同特点，进行适当的对照比较，揭示其内在联系，找到它们的异同点，这样可以对公式有更加清晰的印象又可有效地防止某些类似数学公式的混淆。当然，要真正达到熟记初一数学公式，还要及时复习，反复运用，在运用中牢固掌握。 30个初中数学公式的记忆方法 初中数学公式1.有理数的加法运算 同号相加一边倒;异号相加"大"减"小"，符号跟着大的跑;绝对值相等"零"正好。 【注】"大"减"小"是指绝对值的大小。 初中数学公式2.合并同类项 合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。 初中数学公式3.去、添括号法则 去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。 非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的
按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
傅里叶级数的三角函数展开式 （n=1, 2, 3，…） 傅立叶系数： 式中Ｔ--周期；0--基频, 0=2/T。 三角函数展开式的另一种形式：周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法 频谱图 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图 解： 解： 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 幅频谱图相频谱图
二、周期信号傅里叶级数的复指数形式 欧拉公式 或 傅立叶级数的复指数形式 复数傅里叶系数的表达式 其中a n，b n的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。 一般c n是个复数。 因为a n是n的偶函数，b n是n的奇函数，因此# 即：实部相等，虚部相反，c n与c-n共轭。 c n的复指数形式 共轭性还可以表示为 即：c n与c-n模相等，相角相反。 傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0
6个利息公式记忆方法:死死记住两个公式 1.知现值，求将来值 n i P F )1(+?= （F/P ，i ，n ） i---计息期复利率；n---计息的期数；p---现值；F---终值 F 一次支付现金流量图 2.知将来值，求等额年金。 1 )1(-+?=n i i F A （A/F ，i ，n ） A---年金，发生在（或折算为）某一特定时间序列各计息期末（不包括零期）的等额资金序列价值 其余的公式现场推导，只用2分钟，就都有了。 3.知将来值，求现值。 由1得：n i F P -+?=)1( （P/F ，i ，n ） 4.知等额年金，求将来值。 由2得：i i A F n 1)1(-+?= （F/A ，i ，n ） 5.知现值，求等额年金。 1代入2得：1 )1()1(-++??=n n i i i P A （A/P ，i ，n ）
6.知等额年金，求现值。 2变换代入1或由5得：n n i i i A P ) 1(1)1(+?-+?= （P/A ，i ，n ） 一、 等值计算公式的使用注意事项 （1）计息期数为时点或时标，本期末即等于下期初。0点就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余类推。 （2）P 是在第一计息期开始时（0期）发生 （3）F 发生在考察期期末，即n 期末 （4）各期的等额支付A ，发生在各期期末 （5）当问题包括P 与A 时，系列的第一个A 与P 隔一期。即P 发生在系列A 的前一期 （6）当问题包括A 与 F 时，系列的最后一个A 是与F 同时发生。不能把A 定在每期期初，因为公式的建立与它是不相符的。 F 注意：使用公式一定要和图式符合，不符合时折算到符合图式后再套用公式。
初中数学公式记忆口诀 一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。 恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。（a-b）2n+1＝-（b-a）2n+1（a-b）2n＝（b-a）2n 平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。 因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。 “代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大） 有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。 去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。 单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。 一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。 一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找初一。 一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大（鱼）于（吃）取两边,小（鱼）于（吃）取中间。 分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。 分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。 最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指
十种初中物理公式记忆方法 1、理象记忆法：如当车起步和刹车时，人向后、前倾倒的现象，来记忆惯性概念。 2、浓缩记忆法：如光的反射定律可浓缩成"三线共面、两角相等，平面镜成像规律可浓缩为"物象对称、左右相反。" 3、口诀记忆法：如"物体有惯性，惯性物属性，大小看质量，不论动与静。 4、比较记忆法：如惯性与惯性定律、像与影、蒸发与沸腾、压力与压强、串联与并联等，比较区别与联系，找出异同。 5、推导记忆法：如推导液体内部压强的计算公式。 即p=F/S=G/S=mg/s=pvg/s=pshg/=pgh 6、归类记忆法：如单位时间通过的路程叫速度，单位时间里做功的多少叫功率，单位体积的某种物质的质量叫密度，单位面积的压力叫压强等，都可以归纳为"单位……的……叫……"类。 7、顾名思义法：如根据浮力"、"拉力"、"支持力"等名称，易记住这些力的方向。 8、因果(条件记忆法：如判定使用左、右手定则的条件时，可根据由于在磁场中有电流，而产生力，就用左手定则若是电力在磁场中运动，而产生电流，就用右手定则。 9、图表记忆法：可采用小卡片、转动纸板、列表格等方式，将知识内容分类归纳小结编成图表记忆。 10、实践记忆法：如制作测力计，可以帮助同学们记在弹簧的伸长与外力成正比的知识。记忆的方法，千法万法都应当在理解的基础上运用，要活记活用，不可死记硬背。 把我个人学物理的心得总结一下，如下； 1.要熟记公式概念一些常见的物理模型 2.掌握解决问题的常规方法，这些方法老师在课堂上都会有总结 3.其实，物理的各种题，万变不离其宗，总结起来也没几个题，运动与力（实际物体受力分析与运动，电磁场带电粒子的运动等），功能转化，电路问题 4.建议错题经常看，可以避免重复犯同一个错误 5.要都背知识点，只有当你记住之后才谈得上如何去用 6.最后送你一首诗：题意读三遍，题图画傍边 已知未知都标上，状态过程动画现 受力运动都分清，隐含临界是关键
初中物理重要公式的口诀记忆 （一）口诀 速度、密度、重力、压强，浮力、杠杆、功、效率， 燃烧、吸放、热平衡，热机效率、电功率 焦耳、欧姆、串并联，牢记常数与规律。 （二）简单解释 速度——速度公式v=s/t 密度——密度公式ρ=m/v 重——重力公式G=mg 浮力——浮力公式F浮= G排=m排g=ρ液gV排 杠杆——杠杆公式F1×L1= F2×L2动力×动力臂=阻力×阻力臂 功——功的计算W=Fs 功率——功率公式P=W/t 效率——机械效率计算η＝W有/W总 燃烧——完全燃烧产生的热量Q=mq 吸放——吸热放热公式Q=cm(t-t°) 热平衡——热平衡方程Q放＝Q吸 热机效率——热机效率计算η＝Q有效利用/Q燃料 电功——电功率计算W=UIt 电功率——电功率公式P=W/t=UI 焦耳——焦耳定律公式Q＝I的平方*Rt 欧姆——欧姆定律公式I＝U/R 串并联——串连与并联电路计算 串联电路：电流I I=I1=I2 电压U U=U1+U2 电阻R R=R1+R2 并联电路：电流I I=I1+I2 电压U U=U1=U2 电阻R 1/R=1/R1+1/R2 （三）常数——真空中光速3×10的8次方米／秒 15°C空气中声速340米／秒 人耳区分回声：≥0．1s 重力加速度：g＝9．8N/kg≈10N/kg 标准大气压值：760毫米水银柱高＝1．01×105Pa 水的密度：ρ＝1．0×103kg/m3 水的凝固点：0℃ 水的沸点：100℃ 水的比热容：C＝4．2×103J/(kg?℃) 元电荷：e＝1．6×10-19C 一节干电池电压：1．5V 一节铅蓄电池电压：2V 对于人体的安全电压：≤36V（不高于36V） 动力电路的电压：380V 家庭电路电压：220V