函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与导数

1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．

【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲

线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-

(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-

（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2

t

x t x =-=或

因为0t ≠，以下分两种情况讨论：

（1）若0,,t

t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t f x -∞-+∞ ???的单调递减区间是

,2t t ??

- ???

。 （2）若0,t

t t >-<

则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t f x -∞-+∞ ???

的单调递减区间是,.2t - ???

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?? ???内的单调递减，在,2t ??

+∞ ?

??

内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22

t

t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+<

所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当01,022t t <

<<<即时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ??

???

内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ??

∈=-+-≤-< ???

2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>

所以(),12t f x ??

???

在内存在零点。

若()3377(1,2),110.244t t f t t t ??

∈=-+-<-+< ???

(0)10f t =->

所以()0,2t f x ??

???

在内存在零点。

所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

2. 已知函数21()3

2

f x x =+，()h x =．

（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)2

4

f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6

f n h n h h h n -++

+≥

． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+．

令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．

当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，

故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)2

4f x h a x h x --=---， 即为4222log (1)log log 4log 4a x

x a x x x

--=---=-，且,

14,x a x

<

①当14a <≤时，1x a <<，则14a x

x x

--=

-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ?=-+=->，此时620435a

x a ±-==±-，∵1x a <<，

此时方程仅有一解35x a =--．

②当4a >时，14x <<，由14a x

x x

--=-，得2640x x a -++=，

364(4)204a a ?=-+=-，

若45a <<，则0?>，方程有两解35x a =±-； 若5a =时，则0?=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解．

方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-， 即222

1log (1)log 4log 2

x x a x -+-=-，10,

40,

0,(1)(4).

x x a x x x a x ->??->???

->??--=-?214,(3) 5.x x a a x ?<

?

=--+? ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--； ②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-； ③当5a =时，原方程有一解3x =； ④当1a ≤或5a >时，原方程无解． （Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n ++

+=++

+，

1431

()()666

n f n h n n +-

=-． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1

()()6

n S f n h n =-（*n ∈N ）

从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341

166k k k k k a S S k k -+-=-=

--． 又1

[(43)(41)1]6

k a k k k k k -=+---22

16(43)(41)1k k k k =?++--

10

6=

>．

即对任意2k ≥时，有k a >，又因为11a ==，所以1212n a a a n +++≥+++． 则(1)(2)()n S h h h n ≥+++，故原不等式成立．

3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．

注：e 为自然对数的底数．

【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知

识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中 所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x

-+'=-+=-

由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞

（Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增， 要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，

只要222

(1)11,()f a e f e a e ae e =-≥-??=-+≤? 解得.a e =

4. 设2

1)(ax e x f x

+=，其中a 为正实数.

（Ⅰ）当3

4

=

a 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.

【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得.)

1(1)(2

22ax ax

ax e x f x

+-+=' ① （I ）当34

=

a ，若.2

1,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知

所以,231=

x 是极小值点,2

1

2=x 是极大值点.

（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，

知0122≥+-ax ax

在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤

5. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…

是自然对数的底数）。 （I ）求实数b 的值；

（II ）求函数f （x ）的单调区间；

（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m

M]，直线y=t 与曲线y=f （x ）（x ∈[1

e

，e]）都有公共点？若存在，求出最

小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概

括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。 解：（I ）由()22,f e b ==得

（II ）由（I ）可得()2ln .f x ax ax x =-++ 从而'()ln .f x a x =

0a ≠因为，故：

（1）当0,a >时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<<<>时由得由得 综上，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞， 单调递减区间为（0，1）；

当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为(1,)+∞。

（III ）当a=1时，()2ln ,'()ln .f x x x x f x x =-++=

由（II ）可得，当x 在区间1

(,)e 内变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：

又22,'()([,])f x x e e e

-<=∈所以函数的值域为[1，2]。

据经可得，若1,

2

m M =??=?，则对每一个[,]t m M ∈，直线y=t 与曲线

1

()([,])y f x x e e

=∈都有公共点。

并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞，直线y t =与曲线1

()([,])y f x x e e

=∈都没有

公共点。

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个

[,]t m M ∈，直线y=t

与曲线1

()([,])y f x x e e

=∈都有公共点。

6. 设函数32()2f x x a x b x a =+++，2

()32

gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。 （I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；

（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fx g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。 【解析】20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数

学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分） 解：（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-

由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线， 故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====

由此得8820,2,

1281, 5.a b a a a b b +++==-????

++==??解得

所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=

（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+

依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ， 故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根。

所以1

94(2)0,.4

m m ?=-->>-即

又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，

特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m < 由韦达定理，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故 对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x

则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又 所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0。

于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，

综上，m 的取值范围是1

(,0).4

-