小升初数学·立体几何
完美编辑版
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小升初数学拓展与提高——立体几何
内容提要
板块一、基本立体图形认知
板块二、立体染色及最短线路问题
板块三、套模法、切片法及立体旋转问题
璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米。则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。(取π=3 .14) （提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）
例2.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米(π=
例3.图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？
例4.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组
a，圆柱底面半径是，r和圆周率π所表示的
，
)立方厘米。
π
π
0.25毫米的铜
(纸卷得
)，它的外直径是
50厘米。这
(
100毫升，每分钟输毫
12分钟时
【阶段总结1】1. 柱体的体积：底面积×高；锥体的体积：
1
3
×底面积×高。
2. 根据展开图、三视图还原原立体图形的能力，立体图形、展开图对照分析能力。
3. 简易立体图形的画法。
例8.右图是456
??正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
例8．拓展：一个长方体体积462立方厘米，在它的表面涂上一层油漆，然后把它切成棱长1厘米的正方体若干，长宽高为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有二面油漆的正方体______个．
例9.将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有
_________个，最少有________个。
例10.如图两只小蚂蚁都在一个棱长为10的正方体A点处，现在它们要爬向C点，其中一只小蚂蚁去探路，寻找一条沿正方体表面爬行的最短路线，并留下脚印，以便第二只小蚂蚁沿这条最短路线也爬到C点，同学们，你们能不能帮第一只小蚂蚁找到最短路线呢，这两只小蚂蚁所走的最短路线的乘积是多少呢？（提示：勾股定理）
例11.如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体A点处，现在它要沿长方体表面爬向C点，同学们，你们能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢，最短路线的长度是多少？
【阶段总结2】
1. 立体染色问题，例8的那个表格还记得吗？
2. 立体最短线路问题，例10、例11
例12.用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那么粘成这个立体最多需要______块小立方体，该立方体的表面积为______。
提示图：
例13.如图，ABCD是矩形，
6cm
BC=，10cm
AB=，对角线AC、BD相交O。E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米(
π取3)
例14.如图，ABCD是矩形，
6cm
BC=，10cm
AB=，对角线AC、BD相交O。图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
【阶段总结3】
1. 求镂空图形表面积：组合体法、透视法等等。
求镂空图形体积：切片法，组合体法。
2. 理解圆柱体、圆锥体、圆台分别是由什么图形旋转得到的。
测试题
1. 一个长方体如果长增加3cm，
体积就增加3
45cm，如果宽增加5cm，体积就增加3
90cm，如果高增加4cm，体积就增加
3
48cm，求原长方体的表面
积。
2. 甲、乙两个圆柱形水桶容积一
样大，甲桶底圆半径与乙桶底
圆半径比为3:2，乙桶比甲桶
高1.5米，则乙桶的高度
为。
3. 如图，工地上堆放了180块
砖，这个砖堆有两面靠墙。如
果要把这个砖堆的表面涂满白
色，那么，被涂上白色的砖共
有块。
4. 从三个方向看一个立方体如下图，求H、X、Y对面分别是什么字母
5. 某种长方体形的集装箱，它的
长宽高的比是4:3:2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方
米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低
为0.4元，一个集装箱可以节省
6.5元，则集装箱总的表面积是
平方米，体积是立方
米。
6. 小红把10个棱长均为1的小正
方体按如图的位置堆放，结果
又把标有字母的小正方体搬走
了，这时表面积为。补充训练：
7.用棱长l厘米的小正方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的图形都如图所示，那么这的立体最多可以用______块小正方体粘成．
8.用若干个棱长为1的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均如图所示，那么这个几何体至少由
______个小正方体铁块焊接而成．
9.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B
点，最少要用______秒钟．
10. 用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一种吗它最少需要多少个小立方块最多需要多少个小立方块
2 求不规则立体图形的表面积与体积
【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．
求挖洞后木块的表面积和体积．
【例8】（★★★）如图是
一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米
3 水位问题
【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶
颈），如下图．已知它的
容积为π立方厘米．当瓶
子正放时，瓶内的酒精的
液面高为6厘米．瓶子倒
放时，空余部分的高为2
厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米合多少升
【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方
体水桶，其中装有
2
1
容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米?2厘米?3
厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？
4 计数问题
【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
5 三维视图的问题
【例13】现有一个棱长为1cm 的正方体，一个长宽为1cm 高为2cm 的长方体，三个长宽为1cm 高为3cm 的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。 例：
6 其他常考题型
【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？
【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC 表示用平面截正方体
的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC 的四条边。
6、（★★）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？
7、（★★）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
8、（★★★）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越
好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？
解：如图，可有如下三种情况比