习题一
1. 下列函数是否相等,为什么?
222(1)()();(2)sin (31),sin (31);
1
(3)(),() 1.
1
f x
g x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域
211
(1)arctan ;(2);
lg(1)
(3); (4)arccos(2sin ).
1
y y x x x
y y x x ==-==-
解: (1)要使函数有意义,必须
40
0x x -≥??≠?
即 4
0x x ≤??≠?
所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U .
(2)要使函数有意义,必须
30
lg(1)010x x x +≥??
-≠??->?
即 301x x x ≥-??
≠??
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
210x -≠ 即 1x ≠±
所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U .
(4)要使函数有意义,必须
12sin 1x -≤≤ 即 11
sin 22
x -≤≤
即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数).
也即ππ
ππ66
k x k -+≤≤+ (k 为整数).
所以函数的定义域是ππ
[π,π]66
k k -++, k 为整数.
3. 求函数1
sin ,0
0,
0x y x
x ?≠?=??=?的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,
1
x
可以是不为零的任意实数,此时,1
sin
x
可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 没1()1x
f x x
-=+,求1(0),(),().f f x f x -
解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-=
=+--1111().11
1x x f x x x
-
-==++ 5.设1,
10()1,02
x f x x x -≤
+≤≤?,求(1)f x -.
解: 1,
1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤
6. 设()2,()ln x
f x
g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x .
解: ()
ln (())2
2,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?
()
2(())2
2,
(())()ln ()ln ln(ln ).
x
f x f f x
g g x g x g x x x x x ====
7. 证明:3
()21f x x =-
和()g x =
. 证:由3
21y x =-
解得x =
故函数3
()21f x x =-
的反函数是)y x =
∈R ,
这与()g x =数,所以3
()21f x x =-
和()g x =
. 8. 求下列函数的反函数及其定义域:
2531(1); (2)ln(2)1;
1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x x
y y x x
y y x x +-=
=+++==+∈ 解: (1)由11x
y x
-=
+解得11y x y -=+,
所以函数11x y x -=
+的反函数为1(1)1x
y x x
-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1
e
2y x -=-,
所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1
e
2()x y x -=-∈ R .
(3)由25
3
x y +=解得31
(log 5)2
x y =
- 所以,函数25
3x y +=的反函数为31(log 5)(0)2
y x x =-> .
(4)由3
1cos y x =+
得cos x =
,又[0,π]x ∈,
故x =
又由1cos 1x -≤≤得3
01cos 2x ≤+≤,
即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3
1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数
为(02)y x =≤≤.
9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
2
(1); (2)ln 1x
y y x x x =
=++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有2
1
122
x x x x ≤=+, 故(,),x ?∈-∞+∞有12y ≤.即函数2
1x
y x =+有上界. 又因为函数2
1x
y x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函
数必有下界,因而函数2
1x
y x =+有界.
又由121212122222
1212()(1)
11(1)(1)
x x x x x x y y x x x x ---=
-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数2
1x
y x =
+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),
10,0M x ?>?>Q 且12;e 0M x M x >?>>,使2ln x M >.
取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<
故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:
22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -==-+
解
: (1)()()f x f x -===Q
()f x ∴=.
(2)222222()e
e sin()e e sin (e e sin )()x
x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-Q
∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数.
11. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.
(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,
有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=-
故()()f x f x --为奇函数.
12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).
解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;
又每批有产品610x 件,库存数为6
102x 件,库存费为6100.052x ?元. 设总费用为,则63
100.05
102y x x
?=+.
13. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系. 解: 当x 能被20整除,即[
]2020x x =时,邮资0.802025
x x
y =?=;
当x 不能被20整除时,即[
]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ??
=?+????
. 综上所述有,02000;2520
200.80,02000.120
2020x x
x x y x x x x ???
<≤=??????
=?
??????<≤≠
+?
?????????且且 其中
20x ??????,120x ??
+????
分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角?=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值
S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:
011
()(2cot )(cot )22
S h AD BC h h BC BC h BC h ??=
+=++=+ 从而 0
cot S BC h h
?=
-.
000()
22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40
L AB BC CD AB CD S h h
BC h h S S h h h h ?????=++==+=+---=+=+ o o
由0
0,cot 0S h BC h h
?>=
->
得定义域为. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
5
1224
12
(1)(1);(2)sin (12);1
(3)(110);(4).
1arcsin 2x
y x y x y y x
-=+=+=+=+
解: (1)124
(1)y x =+是由12
4
,1y u u x ==+复合而成.
(2)2
sin (12)y x =+是由2
,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)5
12(110)x y -=+是由152
,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.
(4)11arcsin 2y x
=+是由1
,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.
16. 证明:
11(1)arcsin h ln(h ln ,1121x
x x x x x
+=+=-<<-
证: (1)由e e sinh 2
x x y x --==得2e 2e 10x x
y --=
解方程2e
2e 10x
x y --=
得e x y =
因为e 0x >,
所以e x y =
ln(x y =
所以sinh y x =
的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞
(2)由e e tanh e e x x x x
y x ---==+得21e 1x
y y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y ++==--;
又由
101y
y
+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为
11arctan h ln (11).21x
y x x x
+==-<<-
17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:
1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357---- L L L
解: 1
(1),1
n n x n -=+当n →∞时,1n x →.
1
(2)cos π2
n n x n -=,
当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.
21
(3)(1)21
n
n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 18. 对下列数列求lim n n a x →∞
=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有
n x a ε-<:
1π
(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2
n n n x x n εε====
解: (1)lim 0n n a x →∞
==,0ε?>,要使11π0sin
2n n x n n ε-=
<<,只须1n ε>.取1N ε??
=????
,则当n N >时,必有0n x ε-<.
当0.001ε=时,110000.001N ??
==????
或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞
==,0ε?>,
要使0n x ε-=
=
<=<
1
ε
>即2
1
n ε>
即可.
取21N ε??
=
????
,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 8
21
100.0001N ?
?
==????
或大于108的整数. 19. 根据数列极限的定义证明:
21313(1)lim
0;(2)lim ;212
(3)lim 1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 678L 个
证: (1)0ε?>,要使
2211
0n n ε=<-,只
要n >.
取N =,则当n>N 时,恒有
21
0n
ε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε?>,要使
555313,2(21)4212n n n n n ε-=
<<<-++只要5n ε>,取5N ε??
=????
,则当n>N 时,恒有
313
212
n n ε-<-+.故313lim
212n n n →∞-=+. (3) 0ε?>,要
使
2221a n ε=<<-,只
要n >,
取n =,则当n>N 时,
1ε<,
从而1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有
10.99991
n <-64748L 个
,故0ε?>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-678L 个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-??=????
则当n N >时,恒有,0.9991
n ε<-678L 个故lim 0.9991n n →∞
=678
L 个
.
20. 若lim n n x a →∞
=,证明lim n n x a →∞
=,并举反例说明反之不一定成立.
证: lim 0n n x →∞
=Q ,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<.
而 n n x x a a ε-<-<
0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<,
由极限的定义知lim .n n x a →∞
=
但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,n n n n x x →∞
=-=但lim n n x →∞
不存在.
21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:
1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1n
n n n
x x x n x x n x ++=====+
=+L L 证
: (1)12x =
12k x +=<=. 故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界. 又1n n n x x x +-= 0>,又由2n x < <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的. 由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞ =, 则a = 于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞ ∴=. (2) 因为110x =>,且111n n n x x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界 又 11 111 1111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+---??? ?++ -=-= ? ?++++? ?? ? 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 122113 1,1,022 x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +> 所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞ =, 则11a a a =+ +， 解得 1122 a a +-= =(不合题意，舍去). 所以 1lim 2 n n x →∞ += 22. 用函数极限定义证明： 22222102 sin 314 (1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141 (4)lim 2; (5)lim sin 0. 21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→- --===-++-==+ 证：(1)0ε?>,要使 1sin sin 0x x x x x ε= ≤<-, 只须1 x ε > ,取1 X ε > ，则当x X >时，必有 sin 0x x ε<-, 故sin lim 0x x x →+∞=. (2)0ε?>,要使 2222 131331 3||44 x x x x ε-=<<-++, 只须x > 取X = X x >时，必有 22 31 34 x x ε-<-+, 故22 31 lim 34 x x x →∞-=+. (3) 0ε?>,要使 24 (4)22 x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则 当02x δ<<+时，必有24 (4)2 x x ε-<--+, 故224 lim 42 x x x →--=-+. (4) 0ε?>,要使 2 1142221221 x x x x ε-==<+-++, 只须12 2x ε <+ ，取2εδ=，则 当102x δ<<+时，必有2 14221 x x ε-<-+ 故2 12 14lim 221x x x →- -=+. (5) 0ε?>,要使 11 sin 0sin x x x x x ε=≤<-, 只要取δε=，则 当00x δ<<-时，必有1 sin 0x x ε<-, 故0 1 lim sin 0x x x →=. 23. 求下列极限： 222423123242233(1)lim ;(2)lim ;131 1(3)lim ;(4)lim ; 2131 1(1)(2)(3)(5)lim ;(6)lim ;215x x x x x n x x x x x x x x x x x x x x n n n x n →→→∞→∞→∞→∞-++-+-----++++++ (7)若211lim 2 21x x ax b x →∞ ??+=-- ?+??，求a 和b . 解：()()2 23 2 233 lim 33933(1)lim 1lim 915 1x x x x x x x →→→---===+++. 22 21 42424211 2 2 22 3 33422424lim() 11(2)lim 2.31lim(31)1311 1 111 (3)lim lim . 11212 21111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-?+- -==----??-- ?-??== =-+?? -+-+ ???222222121lim 21)lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞??++ ? +??===+?? ++ ??? Q 由无穷大与无穷小的关系知， 21 lim 21 x x x →∞+=∞+. 3(1)(2)(3)1123(6)lim lim 1115511123lim lim lim .11155 n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++?????? =+++ ??????????? ??????=??=+++ ? ? ??????? 24. 解:因为221(1)()(1) 11 x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知21 1lim 21x x ax b x →∞ ??+=-- ?+?? 知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为 1 2 ，于是 10a -= 且 ()1 12 a b -+= 解得 3 1,2 a b ==- . 25. 利用夹逼定理求下列数列的极限: (1)lim[(1)],01;k k n n n k →∞ +-<< (2)n 其中11,,,m a a a L 为给定的正常数; 1 (3)lim(123); (4)n n n n n →∞ ++ 解: 1111(1)0(1)(1)1(1)1k k k k k k n n n n n n n -???? <+-=<=+-+-???????? Q 而lim 00n →∞ =,当1k <时,11 lim 0k n n -→∞= lim[(1)]0k k n n n →∞ ∴+-=. (2)记12max{,,,}m a a a a =L 则有 <即 1n a m a < 而 1lim , lim ,n n n a a m a a →∞ →∞ =?= 故 n a = 即 12lim max{,,,}m n a a a =L . (3)111(3)(123)(33)n n n n n n n <++ n n n +<++< 而 1lim33,lim3 3n n n n +→∞ →∞== 故 1lim(123)3n n n n →∞ ++=. (4)111n <<+Q 而 1 lim10,lim(1)1n n n →∞ →∞ =+= 故 1n =. 26. 通过恒等变形求下列极限： 222 2214123(1)11(1)lim ; (2)lim ;1222168(3)lim ; (4)lim ;154n n n x x n n x x x x x x x →∞→∞→→++++-??+++ ??? -+-+--+ L L 3 22 33π54 2 2(5)lim ; 1cot lim ; 2cot cot (9)lim(1)(1)(1)(1);(10)n x x x x x x x x x x x x x →+∞ →→→→∞---+++< L 12231100113(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)1(13)lim ; (14)lim x x x x a x x x x x x x x a x x →→→→→-+??- ?---??+-3 sin 00; sin (15)lim(12); (16)lim ln . x x x x x x →→+ 解：22123(1)(1)11 1(1)lim lim lim .1222 n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--??===- ???L 1 22 1112244411112(2)lim lim 2.11 2212 21(1)(3)lim lim lim(1)0. 11 68(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13 n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→→→→??- ? ????==+++ ???--+-==-=---+---===-+---L 3 2 2 2200 0(5)lim lim lim 2. (1lim lim(1 2.x x x x x x x x x →+∞ →→→=====-+=-- 5555x x x x →→→→==== = 3333ππ 4 4 22π4 22π4 1cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot ) (1cot )(1cot cot ) lim (1cot )(11cot cot )1cot cot 3lim . 2cot cot 4x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→ → --=---+--++=-+++++==++ 1 2 2222(9)lim(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1) lim 111lim .11n n n x x x x x x x x x x x x x x x +→∞ →∞→∞+++<-+++=--==-- L L 111 1 1 (1(1(10)lim (1)11 . 234! n x n x x x n n -→-→→-====???? L L 2222311122 111321 3(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2) lim lim 1. (1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-??==- ?-++-++--??-+-+===--++++ 2 2 12211 2 2 1 lim(1)(1)(12)lim 0 1lim(1) 1 lim .(1) x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞- Q 1 log (1)(13)log (1)a x a x x x +=+Q 而10 lim(1).x x x e →+= 而1limlog log ln a a u e u e a →== 0log (1)1 lim .ln a x x x a →+∴= (14)令1,x u a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →. 所以00011 lim lim ln log (1)log (1)lim x x u a a u a u a u x u u →→→-===++(利用(13)题的结果). 11 22000 3 3 6ln(12)ln(12) sin sin 2sin 0 lim 6ln(12)6lim limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12) lime lime e e e e . x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→++→→→??+??+??+====== (16)令sin x u x = ， 则00sin lim lim 1x x x u x →→== 而1 limln 0u u →= 所以0 sin limln 0.x x x →= 27. 利用重要极限10 lim(1)e u u u →+=，求下列极限： 22 21 2 3 2 cot 00 113(1)lim ;(2)lim ; 12(3)lim(13tan ) ;(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim . ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→∞ →+????+ ? ?-????+-+- 解：111 2 2 2 2111(1)lim lim e 1lim 11x x x x x x x x x →∞→∞→∞??????????====+++ ????? ? ??????????? 10 221 21 5 53555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞??+??? ?????==?++?? ? ? ?+ ?---?? ?? ????-???? 10 25 51051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞????????=?=?=+?? ?+?? ?-???? ??-???? 2 223 3 1 1 2cot 323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )x x x x x x x x x →→→?? ??+===+??+?????? [][] [] cos 21 1cos 2122 2 1 cos 21 2 1cos 21 20 22 03 33 ln ln cos21(cos21)0 3(cos21) ln 1(cos21)0 cos213lim lim ln 1(cos21)2sin 3lim ln lim (4)lim(cos 2) lim e lim e lim e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→???? ??+-???? →→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212 2 01(cos21)sin 6ln e lim 6116e e e . x x x x x -→????? ?+-?????? -?? ?-??-? ?=== 2 2 222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2. x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+?? +-=??=+ ??? ??????==?+ ? ?+ ? ?????? ?== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →. 1 1 100 0111 1 lim lim 1.ln ln(1) ln e ln lim ln(1) lim(1)x t t t t t x t x t t t →→→→-=-=- =- =- =-+??++???? 28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限： ()11 00 2(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .sin cos 1x x x x x x x x x x x x a b c x x x x →→→∞→∞?? +++ ?????? ?++ ? ????? 解：(1)令1(e )x x y x =+，则1 ln ln(e )x y x x =+ 于是： ()0000 ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim 1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→?? ++ ?????===++ ??? e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2 x x x x x x x x x x x x x →→→??? ???==+?+?++ ? ???????? ?=+?= 即() lim ln 2x y →= 即20lim e x y →= 即()1 20 lim e e x x x x →=+. (2)令1 3x x x x a b c y ?? ++= ??? ，则1ln ln 3x x x a b c y x ++= 于是 003 3 3 303 3 00001lim(ln )lim ln 3 13lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x x x x x x x x x a b c x x x a b c x x x x x x x a b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=????++-=?? + ??????? ++-??++-=?+ ??? ??---++=?++ ?+? ?3 3331 (ln ln ln )ln e ln 3 x x x a b c a b c ++-????-?? ??????? =++?= 即0 lim(ln )ln x y →= 即( ) lim ln x y →= 故0 lim x y →=即 1 lim 3x x x x x a b c →??++= ??? (3)令11sin cos x y x x ??=+ ?? ?，则11ln ln sin cos y x x x ??=+ ??? 于是 1 1sin cos 11 11sin cos 11 11sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x ??+- ? ??+-→∞→∞+-→∞→∞????????=?? ++- ??????????? ??? ???=?++-+- ? ????????? ??- ?=-? ? ??? 111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞??????????++- ??????????? 2 111 sin 2ln e (10)ln e 1lim lim 1 1x x x x x x →∞→∞???? ? ???=?=-?= ?- ? ? ? ? 即limln 1x y →∞ = 从而() lim ln 1x y →∞ = 故lim e x y →∞ = 即 11lim e sin cos x x x x →∞??=+ ??? . (4)令211x y x ??=+ ??? ，则21ln ln 1y x x ??=+ ??? 于是： 2 2 22 1 222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0 x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞??????==+?? ?+ ??????? ??? ?==?++ ? ?????=?= 即 () lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞ →∞ == lim 1x y →∞∴= 即21lim 11x x x →∞?? =+ ??? . 29. 当0x →时，2 2x x -与2 3 x x -相比，哪个是高阶无穷小量？ 解：232 200lim lim 022x x x x x x x x x →→--==--Q ∴当0x →时，2 3 x x -是比2 2x x -高阶的无穷小量. 30. 当1x →时，无穷小量1x -与2 21 (1)1,(2) (1)2 x x --是否同阶？是否等价？ 解：211111 (1)lim lim 112 x x x x x →→-== -+Q ∴当1x →时，1x -是与2 1x -同阶的无穷小. 2111 (1) 12(2)lim lim 112 x x x x x →→-+==-Q ∴当1x →时，1x -是与2 1(1)2 x -等价的无穷小. 31. 利用0sin lim 1x x x →=或等价无穷小量求下列极限： 00 2000sin (1)lim ;(2)lim cot ; sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ; 2 x x x x x n n x n mx x x nx x x x x x x →→→→→→∞- 22102 320020041arctan (7)lim ;(8)lim ; arcsin(12)sin arcsin 2 tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβ→→→→→→-----+ 222200; an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim . ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x →→+-+- 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin lim lim .sin x x mx mx m nx nx n →→== 00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim 1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→=?===-=== (4)因为当0x → 时，2 2 2 1ln(1e sin )~e sin 1~ 2 x x x x x +,所以 2 220 0002e sin sin lim lim 2e lim 2.12 x x x x x x x x x x x →→→→??==?= ??? (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以 00arctan 33lim lim 3x x x x x x →→==. sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .2 22n n n n n n n n n x x x x x x x x →∞→∞→∞=? == (7)因为当1 2 x →时，arcsin(12)~12x x --,所以 2211112 2 2 2 4141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→ ---+===-+=---- (8)因为当0x →时，2 2 arctan ~,sin ~,arcsin ~,22 x x x x x x 所以 22 00arctan lim lim 2sin arcsin 22 x x x x x x x x →→==?. (9)因为当0x →时，2 331sin ~,1cos ~ ,sin ~2 x x x x x x -,所以 2 33300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11 lim .2cos 2 x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→?--==?== (10)因为当0x →时，sin ~ ,sin ~ 2 2 2 2 x x x x αβ αβ αβ αβ ++--，所以 1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠?? 欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? + 暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分） 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值. 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） -- 《高等数学1（一)》课程考试试卷(A 卷参考答案) 注意:1、本试卷共3页; ２、考试时间:120分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方。 一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共２０分） 1. 与函数()f x =[ C ]. Ａ．lnx B. 21 ()2 ln x C ．lnx Ｄ.ln x 2．若(1)(2)(3)(4)(5) lim (32) x x x x x x x αβ→∞-----=-,则α与β的值为［ D ]. Ａ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C.511,3αβ== D ．51 5,3 αβ== ３．设函数()y f x =在点0x 处可导,dy 为()f x 在0x 处的微分,当自变量x 由0x 增加 到0x x +?时， 极限0lim x y dy x ?→?-?等于[ B ]． A ．－１ Ｂ.0 C ．1 D.∞ 4.若()f x 在x a =的某个邻域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ]. A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 Ｂ．0(2)() lim h f a h f a h h →+-+存在 Ｃ.0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D.0()() lim h f a f a h h →--存在 5．已知函数1sin ,0(),0 x x f x x ax b x ?>? =??+≤?在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ]． A.1,1a b == B.0,a b R =∈ C ．,0a R b ∈= D.,a R b R ∈∈ 6.若函数32 ()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-,则下列结论中正确的 是[ B ]. Ａ.3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点 B.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极小值点 C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点 D.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极大值点 ７．设1 ()1f x x = -，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ Ｃ ]. A.11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．1 1 (1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+- C. 12,(01)(1)n n x x θθ++<<- D.1 1 (1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<- 8.若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ? 等于[ Ｄ ]． A.sin 2cos2x x x C ++ B ．sin 2cos2x x x C -+ Ｃ．1sin 2cos 22x x x C - + D.1 sin 2cos 22 x x x C ++ 9．若非零向量,,a b c 满足0a b ?=与0a c ?=，则b c ?等于[ A ]． A ．0 B ．-1 C.1 D.3 10.直线20 20 x y z x y z -+=?? +-=?与平面1x y z ++=的位置关系是[ Ｃ ］. A ．直线在平面内 B ．平行 C ．垂直 D.相交但不垂直 二.填空题(每小题2分，共１0分) 1.一质点作直线运动，其运动规律为42 6s t t t =-+,则速度增加的时刻t = １ . 2．若21 arctan (1)2 y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . ３．已知 21a dx x π+∞ -∞=+?，则a = １ . ４．已知()x f x e =，则()f lnx dx x '=? x C + ． 5.设向量,,m n p 满足0m n p ++=,且6m =，8n =,10p =,则 m n n p p m ?+?+?= 1４4 ． 三．求解下列各题（每小题5分，共10分） 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学试题 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1)(x)= x-1，则[]?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,131,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x →∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13. 设2ln 2,6 a a π==?则___________. 14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=??，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设1x y x ??= ???，求dy. 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z= 即所求点为M （0，0， 149 ）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=---- 自考高等数学一试题及答案 10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(一) 试卷 (课程代码 00020) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共l0小题。每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。1．方程x2-3x+2=0的根为 3. 极限 A．-2 B．0 C．2 D. ∞ 4．函数的所有间断点是 A．x=0 B. x=-1 C． z=0，z=1 D．x=-1，z=1 6．曲线y=sinx在点(0，O)处的切线方程是 A，y=x B．y=-X C．y=1/2 x D．y=-1/2 x )=0，则f(x) 7．设函数f(x)可导，且f’(x 在x=x 处 A．一定有极大值 B．一 定有极小值 C．不～定有极值 D．一 定没有极值 8．曲线y=x3—3x2+2的拐点为 A．(0，1) B．(1，O) C．(0， 2) D．(2，O) 9．不定积分 A.see x+x B．sec x+x+C A． 23．求不定积分 24．计算二重积分，，其中D是由直线x=1、y=1及x轴、y轴所围成的平面区域． 第十章多元函数积分学（Ⅰ） f x在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数() 了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积 设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为 f ( i i ) i (i 1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y )处的面密度为(x y ) 这里 (x y )0且在D 上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地 看作均匀薄片的质量 ( i i ) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M σηξρ?≈=∑),(1 将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 i i i n i M σηξρλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点( i i ) 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f (x y )在 闭区域D 上的二重积分 记作 σ d y x f D ??),( 即 习题十三 1. 求下列函数在所示点的导数： (1)()sin cos t f t t ??= ???，在点π4t =； 解：( )π4f ?? ?'= - ? (2)()22,x y g x y x y +??= ? ?+?? ，在点()(),1,2x y =； 解：()111,224g ??= ??? (3)sin cos u v u T u v v v ???? ?= ? ??? ??? ，在点π1u v ????= ? ?????； 解：1010101T -???? ?'=- ? ?π?? ??? (4)2222232u x y v x x y w x y y ?=-?=-??=-? 在点()3,2-. 解：6 26 6362-?? ?- ? ?--?? 2. 设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z ??????. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ????????????=+=+=????????????， 3. 若r =()()21,,,,3n r r f r r n r ?????≥. 解： ()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r r r -'?=?=?=?=?= 4. 求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点. 解：()()()() 54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42------- 5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略 6. 计算下列向量场A 的散度与旋度： (1)()222222,,y z z x x y =+++A ； 解：()0,2,,y z z x x y --- (2)()222,,x y z x y z x y z =A ； 解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ?? = ???A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ??--- ??? 7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。 8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符?推导） 解：略。 9. 证明：场()()()()2,2,2y z x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数. 解：略。 10. 若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38 π 11. 设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周221,0x y z +==； 解：2π (2)沿圆周()2251,0x y z -+==. 解：2π 194 习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ ,,343 αβγ===的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343 xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == AB 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313 αβγ= == (5,1,2) (5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) 2105 u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故 4312982105.13131313 u l ?=?+?+?=? 3. 求函数222 21x y z a b ?? =-+ ??? 在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 195 法线斜率为cos a b ?=. 于是tan sin ??== ∵ 2222,,z z x y x a y b ??=-=-?? ∴ 2222z l a b ??=- -= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x －x 2)(4y －y 2); (4)z =(x 2+y 2)2 2() e x y -+; (5)z =xy (a －x －y ),a ≠0. 解：（1）解方程组2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6 在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8. (2)解方程组22 2e (2241)0 2e (1)0x x x y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??- ??? . 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++=+= 在点1 ,12??- ??? 处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ?? =-- ??? . (3) 解方程组2 2 (62)(4)0 (6)(42)0x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y )高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
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