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斐波那契数列

斐波那契数列
斐波那契数列

斐波那契数列

姓名:林秋照学号:092312113

比萨的列奥纳多,又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo,1175年-1250年),意大利数学家,是西方第一个研究斐波那契数的人,并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲,1202年,莱昂纳多斐波那契向世人介绍了斐波那契数列,是为了解决“兔子繁殖问题”提出的。斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题:一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:

第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;

两个月后,生下一对小兔总数共有两对;

三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;

……

依次类推可以列出下表:

表中数字1,1,2,3,5,8---构成了一个序列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘书》中提出的,这个级数的通项公式,除了具有an+2=an+an+1的性质外,还可以证明通项公式为:an=1/√5 [(1/2+√5/2)^ n-(1/2-√5/2)^n](n=1,2,3.....)(√5表示根号5)

这个通项公式中虽然所有的an都是正整数,可是它们却是由一

些无理数表示出来的。

即在较高的序列,两个连续的“斐波纳契数”的序列相互分割

将接近黄金比例(1.618:1或1:0.618)。

例如:233/144,987/610、、、、

斐波那契数列还有两个有趣的性质

⒈斐波那契数列中任一项的平方数都等于

兔子问题

跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1;

⒉任取相邻的四个斐波那契数,中间两数之积(内积)与两边两数之积(外积)相差

1.

同样我们还可以有t阶斐波那契数列,通过递推数列a(n+t)=a(n+t-1)+a(n+t-2)+...+a(n),其中a⑴=a⑵=1,以及对于3-t<=n<=0,有a(n)=0.

给出了t阶斐波那契数列的通项公式:

[r^(n-1)(r-1)/((t+1)r-2t)],其中r是方程x^{t+1}-2x^t+1=0的唯一一个大于1的正数根(可以看出r非常接近2)

斐波那契数列(意大利语:Successione di Fibonacci),又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>=2,n∈N*),用文字来说,就是斐波那契数列由0 和1 开始,之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。

这个数列可以用一个简单的递推式和两个初始条件来定义:

当n>1时,F(n)=F(n-1)+F(n-2)

F(0)=0,F(1)=1

在这个数列中的数字,被称为斐波那契数。2是第3个斐波那契数。这个级数与大自然植物的关系极为密切。几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字:菠萝表皮方块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线,它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字(如左旋8行,右旋13行);还有向日葵花盘……倘若两组螺线条数完全相同,岂不更加严格对称?可大自然偏不!直到最近的1993年,人们才对这个古老而重要的级数给出真正满意的解释:此级数中任何相邻的两个数,次第相除,其比率都最为接近0.618034……这个值,它的极限就是所谓的"黄金分割数"。

自从斐波那契数列提出以来,不仅在自然界发现了许多和斐波那契数列相关的例子,而且人们还利用斐波那契数列来预测商品和证券的价格;在计算机科学领域,斐波那契数列也有许多令人感兴趣的应用,在本篇中我们要找到一个求第n个斐波那契数的精确公式,然

后来讨论一下计算斐波那契数列的算法。主要讨论三种方法递归、迭代、和通项公式三种方法。

第一种方法:递归法

实现代码:

#include

#include

Int fib(int n)

{

if(n <= 1)

{

return n;

}

else

{

return fib(n - 1) + fib(n - 2);

}

}

概述递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用.是指函数/过程/子程序在运行过程中直接或间接调用自身而产生的重入现象.递归是计算机科学的一个重要概念,递归的方法是程序设计中有效的方法,采用递归编写程序能使程序变得简洁和清晰.。

定义:

一般定义:程序调用自身的编程技巧称为递归(recursion)。

一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法,它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解,递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算,大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。一般来说,递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时,递归前进;当边界条件满足时,递归返回。注意:

(1) 递归就是在过程或函数里调用自身;

(2) 在使用递归策略时,必须有一个明确的递归结束条件,称为递归出口。

其它定义:

递归的另一种定义:递归,就是用自己的简单情况,定义自己,即自己调用自己。

在数学和计算机科学中,递归指由一种(或多种)简单的基本情况定义的一类对象或方法,并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。例如,下列为某人祖先的递归定义:某人的双亲是他的祖先(基本情况)。某人祖先的双亲同样是某人的祖先(递归步骤)。斐波那契数列是典型的递归案例:Fib(0) = 0 [基本情况] Fib(1) = 1 [基本情况] 对所有n > 1的整数:Fib(n) = (Fib(n-1) + Fib(n-2)) [递归定义] 尽管有许多数学函数均可以递归表示,但在实际应用中,递归定义的高开销往往会让人望而却步。

阶乘(1) = 1 [基本情况] 对所有n > 1的整数:阶乘(n) = (n * 阶乘(n-1)) [递归定义] 一种便于理解的心理模型,是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如:你怎样才能移动100个箱子?答案:你首先移动一个箱子,并记下它移动到的位置,然后再去解决较小的问题:你怎样才能移动99个箱子?最终,你的问题将变为怎样移动一个箱子,而这是你已经知道该怎么做的。

如此的定义在数学中十分常见。例如,集合论对自然数的正式定义是:1是一个自然数,每个自然数都有一个后继,这一个后继也是自然数。

递归应用递归算法一般用于解决三类问题:

(1)数据的定义是按递归定义的。(Fibonacci函数)

(2)问题解法按递归算法实现。(回溯)

(3)数据的结构形式是按递归定义的。(树的遍历,图的搜索)

递归的缺点:

递归算法解题的运行效率较低。在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。

这种方法的优点是简洁和容易理解,缺点是时间复杂度太大,随着n的增大,运算时间将会急剧增加。因此在很多场合这种方法是不可取的。

第二种方法:迭代法

实现代码:

#include

int f(int n);

int main()

{

int n;

scanf("%d",&n);

f(n);

}

int f(int n)

{

int i,f1=1,f2=1,f3;

if(n<=0)

{

printf("输入错误.\n");

}

else if(n==1||n==2)

{

printf("1");

}

{

for(i=0;i

{

f3=f1+f2; //f1表示当前的值

f2=f1;

f1=f3;

}

printf("%d\n",f1);

}

}

利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:

一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

第三种方法:通项公式

这种方法是最没技术含量的方法,只要你知道通项公式照着把它翻译成编程语言就可以了,优点不言而喻。

fib(n) = pow(((1 + sqrt(5)) / 2.0),n) / sqrt(5) - pow(((1 - sqrt(5)) / 2.0),n) / sqrt(5));

这三种方法各有优缺点,使用哪种方法根据实际情况确定。从时间复杂度上来说O(通向公式法)

由于水平有限,在百度后找到了另外的方法:

矩阵法:

void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod)

{

int tmp[4];

tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];

tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];

tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];

tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];

c[0][0]=tmp[0]%mod;

c[0][1]=tmp[1]%mod;

c[1][0]=tmp[2]%mod;

c[1][1]=tmp[3]%mod;

}//计算矩阵乘法,c=a*b

int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数{

if(n==0)return 0;

else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0,第1,2项为1 int a[2][2]={{1,1},{1,0}};

int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵

int s;

n-=2;

while(n>0)

{

if(n%2 == 1)

multiply(result,result,a,mod);

multiply(a,a,a,mod);

n /= 2;

}//二分法求矩阵幂

s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果

return s;

}

int fib3(int index) //借用vector实现

{

if(index<1)

{

return -1;

}

vector a(2,1); //创建一个含有2个元素都为1的向量 a.reserve(3);

for(int i=2;i

{

a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));

a.pop_back();

}

return a.at(0);

}

int fib4(int index) //队列实现

{

if(index<1)

{

return -1;

}

queueq;

q.push(1);

q.push(1);

for(int i=2;i

{

q.push(q.front()+q.back()); q.pop();

}

return q.back();

}

斐波那契数列

第1章绪论 布置的作业共6题: 基础知识题:1.6 1.7 1.8 1.10 算法设计题:1.17 1.20 一、基础知识题 ◆1.6 ③在程序设计中,常用下列三种不同的出错处理方式: (1)用exit语句终止执行并报告错误; (2)以函数的返回值区别正确返回或错误返回; (3)设置一个整型变量的函数参数以区别正确返回或某种错误返回。 试讨论这三种方法各自的优缺点。] 答题思路:查错和容错能力 答:程序出错处理是指发现错误并根据出错的原因作出适当的处理,处理的目的是找到出错的原因。出错的原因一般包括缺乏某些资源和程序设计有问题两类。如果是前者,程序仍然可以继续运行,只是处于等待资源或执行其他流程的状态。如果是后者,则需要修改源代码。

◆1.7 ③在程序设计中,可采用下列三种方法实现输出和输入: (1)通过scanf和printf语句; (2)通过函数的参数显式传递; (3)通过全局变量隐式传递。 试讨论这三种方法的优缺点。 答题思路:错误局部化(软件模块化)、执行效率(内存开销) 答:在正规的软件设计中,要求各模块之间以恰当的方式进行调用,以便使各模块中出现的错误局部化。 其是方式3,在出现错误时查错的开销将很大,尽量不使用。

◆1.8 ④设n为正整数,试确定下列各程序段中前置以记号@的语句的频度。评析:频度≠时间复杂度 注意:(1)、(2)、(3)三个程序段中任何两段都不等效(即k和i的终值不相同 )

书后附有答案 标答:程序段(8)取自著名的McCarthy91函数 ? ??≤+>-=100 ))1((10010)(x x M M x x x M 对任何 x ≤100,M(x)=91。此程序实质上是一个双重循环,对每个y(>0)值,@语句执行11次,其中10次是执行x++。 刘解:请注意x 的初值已经是91了,必须加到101才能终止程序的循环。if 语句从x=91开始直到x=101都执行,共执行11次,其中10次是执行x++。

斐波那契数列资料

斐波那契数列

斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列:1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子? 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得: F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到: 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可: 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它,斐波那契数列的一些性质 也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即:

黄金分割与斐波那契数列

第八讲 黄金分割与斐波那契数列 一、 黄金分割 1. 黄金分割的概念 把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是(√5-1):2,取其小数点后三位的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和,因此称为黄金分割,也称为中外比。这是一个十分有趣的数字。 德国天文学家开普勒(J.Kepler )曾说“几何学有两大宝藏,其一为毕氏定理,其二为将一线段分成外内比。前者如黄金,后者如珍珠。” 所谓将一线段分成“中外比(或称中末比或外内比)”,这是欧几里得在《几何原本》(公元前三世纪前后)里的说法: A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less. 分一线段为二线段,当整体线段比大线段等于大线段比小线段时,则称此线段被分为中外比。 关于黄金分割的历史,可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他们已经研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论。而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数学帕乔利称之为神圣比例,并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称之为神圣分割。当时,人们都还是称之为“中外比”,直到19世纪初,黄金分割这个名称才出现。 黄金分割在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲,受到了欧洲人的欢迎,他们称之为“金法”,17世纪欧洲的一位数学家,甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”,也就是我们常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”,中国也有记载。虽然没有古希腊的早,但它是中国古代数学家独立创造的,后来传入了印度。经考证,欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的,而不是直接从古希腊传入的。 2. 黄金分割的尺规作图 设线段为AB 。作BD ⊥AB ,且 ,连AD 。以D 为圆心,DB 为半径作圆弧,交AB BD 2 1

斐波那契数列的通项公式推导解析

斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题,我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时,会觉得这个题的解题技巧很妙,甚至有点非夷所思,但如果把同类型问题多做几个,你就会发现原来所谓的技巧,其实是一种再正常不过的想法,是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法,进一步就会形成解题的思想,所以我对于数学爱好者建议,做题时要把同类型题多种总结和分析,这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题,进行对比分析。 例1在数列中,,求数列的通项。(普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题) 分析:此题可分两步来进行,首先由构造一个等比数列,其中 ,并写出的通项;然后利用,两边同除以得 ,由累加法,就可求出数列的通项。 解:( 设,则()所以数列为等比数列,且首项为 ,公比为3。所以。 于是有,两边都除以得 设,则有 由累加法可得

因为所以() 于是有。 总结:上面的求解过程实质,求是一个把已知条件逐步化简的过程,由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系,进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列,其中,,求数列的通项。 解:首先我们要构造一个等比数列,于是设 则有。(1) 则由已知得(2) 对照(1)(2)两式得解得或。 我们取前一解,就会有。 设,则有 所以数列为等比数列,首项为,公比为

所以。即(3) 再次构造等比数列,设 则有 对照(3)式,可得所以 x=. 于是有 设,则有数列为等比数列,首项为,公比为,于是= 所以有。

斐波那契数列的性质

斐波那契数列的性质 一、通项公式:a n = 5〔1+ 52〕n - 5 〔1? 52〕n 二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立:a p a q - a u a v = (-1)p+1a u-p a q-u 三、a n +1a n?1 - a n 2 = (?1)n (n >= 1, n 属于 N) 四、a 2n +1 = a n +12 + a n 2 (n 属于N ) 五、a n +12 - a n?12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N) 六、a n +m = a n?1a m + a n a m +1 (n >= 1, n 和m 属于N) 七、a 2n +2a 2n?1 - a 2n a 2n +1 = 1(n >= 1, n 属于N) 八、a m +n 2 - a m?n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1) 九、a n?1?a n +2 - a n ?a n +1 = (?1)n (n >= 2) 十、{f 2n f 2n +1} 有极限且等于黄金分割率 5 ?12

下面是一篇文章:

斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。) 有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。 奇妙的属性 随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如第四项3是奇数,但它是偶数项,第五项5是奇数,它是奇数项,如果认为数字3和5都是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通) 如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64

小学奥数 斐波那契数列典型例题

拓展目标: 一:周期问题的解决方法 (1)找出排列规律,确定排列周期。 (2)确定排列周期后,用总数除以周期。 ①如果没有余数,正好有整数个周期,那么结果为周期里的最后一个 ②如果有余数,即比整数个周期多n个,那么结果为下一个周期的第n个。 例1: (1)1,2,1,2,1,2,…那么第18个数是多少? 这个数列的周期是2,1829 ÷=,所以第18个数是2.(2)1,2,3,1,2,3,1,2,3,…那么第16个数是多少? 这个数列的周期是3,16351 ÷=???,所以第16个数是1.二:斐波那契数列 斐波那契是 的有关兔子的问题:

假设一对刚出生的小兔,一个月后就能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么,由一对刚出生的兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢? 斐波那契数列(兔子数列) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … 你看出是什么规律:。【前两项等于1,而从第三项起,每一项是其前两项之和,则称该数列为斐波那契数列】 【巩固】 (1)2,2,4,6,10,16,(),() (2)34,21,13,8,5,(),2,() 例1:有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34…..这个有趣的“兔子”数列,在前120个数中有个偶数?个奇数?第2004个数是数(奇或偶)?

【解析】120÷3=40 2004÷3=668 【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列,第500个数是奇数还是偶数? 例2:(10秒钟算出结果!) (1)1+1+2+3+5+8+13+21+34+55= (2)1+2+3+5+8+13+21+34+55+89= 数学家发现:连续10个斐波那契数之和,必定等于第7个数的11 倍! 巩固:34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584== 例3:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … (1)这列数中第2013个数的个位数字是几? 分析:相加,只管个位,发现60个数一循环

浅谈斐波那契数列的真善美

浅谈斐波那契数列的真善美 小七怪小组 摘要自斐波那契数列产生至今,人们对其研究的热情经久不衰。本文探究斐波那契数列的真、善、美,简单介绍斐波那契数列到底真在何处、善在何处、美在何处,并且得出斐波那契数列真、善、美三者之间的联系。 关键词斐波那契数列真善美 一、斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道著名的兔子繁殖问题。问题是这样的:如果每对兔子(一雄一雌) 每月能生殖一对小兔子( 也是一雄一雌,下同)每对兔子第一个月没有生殖能力,但从第二个月以后便能每月生一对小兔子假定这些兔子都没有死亡现象,那么从第一对刚出生的兔子开始,12个月以后会有多少对兔子呢? 这个问题的解释如下:第一个月只有一对兔子;第二个月仍然只有一对兔子;第三个月这对兔子生了一对小兔子,共有1+l =2 对兔子;第四个月最初的一对兔子又生一对兔子,共有2+l =3对兔子;则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是: l , l , 2 , 3 , 5 , 8 ,13 , 21 , 34 , 55 ,89,144 , …… , 后人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波那契,将这个兔子数列称为斐波那契数列,学术界又称为黄金分割数列。 二、斐波那契数列与真 何为真?“真有两个含义, 一是指客观世界存在的客观物质, 二是指客观世界的本质规律。”[1]在自然界中,许多事物本身蕴含的规律都跟斐波那契数列有关。例如树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,之后才萌发新枝。因此,一株树苗在一 段时间间隔后,例如一年,会长出一条新枝; 第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后, 老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生 的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个 年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这就是 图1 树木生长与斐波那契数列

(完整版)斐波那契数列、走台阶问题

走台阶问题 如: 总共100级台阶(任意级都行),小明每次可选择走1步、2步或者3步,问走完这100级台阶总共有多少种走法? 解析: 这个问题本质上是斐波那契数列,假设只有一个台阶,那么只有一种跳法,那就是一次跳一级,f(1)=1;如果有两个台阶,那么有两种跳法,第一种跳法是一次跳一级,第二种跳法是一次跳两 级,f(2)=2。如果有大于2级的n级台阶,那么假如第一次跳一级台阶,剩下还有n-1级台阶,有f(n-1)种跳法,假如第一次条2级台阶,剩下n-2级台阶,有f(n-2)种跳法。这就表示f(n)=f(n- 1)+f(n-2)。将上面的斐波那契数列代码稍微改一下就是本题的答案f(n)=f(n-1)+f(n+2) 斐波那契数列 斐波那契数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 递推数列显然这是一个线性。 数学定义: 递归斐波纳契数列以如下被以的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*) 由兔子生殖问题引出、生物 (计算科学)

特性: 这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。 特别指出:第1项是0,第2项是第一个1。 代码: public class Test { static final int s = 100; //自定义的台阶数 static int compute(int stair){ if ( stair <= 0){ return0; } if (stair == 1){ return1; } if (stair == 2){ return2; } return compute(stair-1) + compute(stair-2); //return 递归进行计算 --->递归思想进行数据计算处理 在斐波那契数列中后一项的值等于前两项的和 } public static void main(String args[]) { System.out.println("共有" + compute(s) + "种走法"); } } return compute(stair-1) + compute(stair-2); 在return子句中调用调用compute函数 由斐波那契数列特性得到最后的值 分值拆分

斐波那契数列中的数学美

最美丽的数列------斐波那挈数列 数学科学院宋博文1100500163 在原理课上,我们了解了斐波那挈数列,在课余生活中,我再读小说<达芬奇密码>时,提到了斐波那挈数列,它是被一个艺术家当作线索留给他人的,当时不知道他为什么被艺术家这么看重,以至于可以上升到生命的高度,因此我对斐波那挈数列产生了浓厚的兴趣,所以我结合了老师上课讲的东西,以及自己课下的了解,对斐波那挈数列有了一些认识,现在总结在这里,展示自己学到了什么. 在课上老师讲了斐波那挈数列是由意大利数学家,斐波那挈发明的.当时他是用一个形象的故事为例子而引入的斐波那挈数列. 兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子? 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下: 第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对; 两个月后,生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对; ------ 依次类推可以列出下表: 经过月数:---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数:---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144 表中数字1,1,2,3,5,8---构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。 这个特点的证明:每月的大兔子数为上月的兔子数,每月的小兔子数为上月的大兔子数,即上上月的兔子数,相加。 斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外,还可以证明通项公式为:an=(1/√5)*[(1+√5/2)^n-(1-√5/2)^n](n=1,2,3.....) 因此斐波那挈数列又叫做兔子数列,我想这个例子真的让我感到数学源于生活,生活的需要是我们不段地通过现象发现数学问题,而不是为了学习而学习,我想斐波那挈不可能真的是通过兔子来发现的这个问题,但他是伟大的数学家,他想告诉我们这种数学问题的本质. 回到正体,提到了斐波那挈的伟大,现在我们在了解一下斐波那挈,我再课下了解到他竟叫做列昂纳多斐波那挈,与列昂纳多达芬奇,并被誉为比萨的列昂纳多.我想数学家有艺术家的称号,并不是一件简单的事. 直观的讲斐波那挈数列1、1、2、3、5、8、13、21、……从第三项开始,每一项都等于前两项之和,有趣的是这样的完全是自然数的数列,竟然可以用无理数来表达的,我记得老师当时好像讲过这一点但是当时好像并不太在意这一点,因为觉得这没什么,但是当我了解到,随着数列项的增加,前一项与后一项之比愈来愈逼近黄金分割的数值0.618时我却是被震惊到了,因为数学可以表达美,我想这是我们不得不赞叹的地方,当数学创造了好多的奇迹时,我想可能会很少人注意到我们数学本质是可以回归到自然的,这样的事例还有很多, 在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的

斐波那契数列的来历

斐波那契是意大利的数学家.他是一个商人的儿子.儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚,在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识,从而对数学产生了浓厚的兴趣. 长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识.回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版. 这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道"兔子数目"的问题是这样的: 一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子? 这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列". 你能把兔子的对数计算出来吗? 解: 可以这么推算: 第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子. 第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子. 第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子. 第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子.

第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子. …… 以此类推,可知: 每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和. 我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算起,每个月后他所拥有的兔子对数便是: 仔细观察两行数发现它们是很有规律的: 每行数,相邻的三项中,前两项的和便是第三项. 有趣的是: 雏菊花花蕊的蜗形小花,有21条向右转,有34条向左转,而21和34,恰是斐波那契数列中相邻的两项;松果树和菠萝表面的凸起,它们的排列也分别成5:8和8:13这样的比例,也是斐波契数列中相邻两项的比. 这个数列不仅在数学,生物学中,还在物理,化学中经常出现,而且它还具有很奇特的数学性质,真是令人叫绝!

浅谈斐波那契数列在生活中的应用

浅谈斐波那契数列在生活中的应用 发表时间:2019-07-29T11:38:49.093Z 来源:《基层建设》2019年第14期作者:孙烨赵倩[导读] 摘要:数学是一门来自生活又高于生活的科学,数学研究是人类社会进步的动力。 山东协和学院山东济南 250107摘要:数学是一门来自生活又高于生活的科学,数学研究是人类社会进步的动力。数列知识在生活中也有着广泛的应用,例如生物种群数量的变化,银行的利息计算,人口增长,粮食增长、住房建设等,都会用到数学知识。本文介绍斐波那契数列的简单情况,可以帮助学生提高对数列的知识。数列是数学学习中一个非常重要的分支,并且因为数列的研究和计算与社会经济和资源生活紧密相关,加上灵活 多变的计算,有趣的问题等,都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词:斐波那契数列应用黄金分割 1 引言 数列在我们的生活中具有广泛的应用,例如资源计算等问题,并且在解决诸如投资分配,汇率计算和资源利用分配等问题方面具有无可比拟的优势。本文将简要介绍数列广泛应用,分析斐波那契数在上述几个生活领域中的应用。 斐波那契数列在现实生活中被广泛使用,研究它以使其服务于我们的生活具有很大的意义。 人类很早就看到了大自然的数学特征:蜜蜂的繁殖规律,树枝、钢琴音阶的排列以及花瓣在花托边缘的对称分布、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称性……,所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。对自然、社会和生活中的许多现象的解释,通常可归因于斐波那契数列上来。 斐波那契数列在数学理论中有许多有趣的特性,似乎在自然界中也存在着这个性质,都被斐波那契数列支持。 2 斐波那契数列的应用 (1)斐波那契数列和花瓣数花瓣数是极有特征的。多数情况下,花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,55,…这些数恰好是斐波那契数列的某些项,例如,海棠2瓣花瓣,铁栏、百合花和兰花以及茉莉花都有3瓣花瓣,洋紫荆、黄蝉和蝴蝶兰是5瓣花瓣。万寿菊的花瓣有13瓣;至良属的植物有5瓣花瓣;许多翠雀属植物有8瓣花瓣;雏菊属植物有89、55或者34个瓣花瓣。 (2)斐波那契数列和仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片的厚度以及控制仙人掌情况的其他因素,并将数据输入计算机,结果发现仙人掌的斐波那契序列结构使仙人掌能够最大限度地减少能量消耗并适应干旱沙漠中的生长环境。 (3)斐波那契数列和向日葵种子排列向日葵种子的排列是典型的数学模型。仔细观察向日葵盘,你会发现两组螺旋,一组顺时针旋转,另一组螺旋逆时针旋转,彼此嵌套。虽然不同向日葵品种的种子选装方向和螺旋线的数量有所不同,但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字,每组数字就是斐波那契序列中的两个相邻数字。前一个数字是顺时针旋转的线数,后一个数字是逆时针旋转的线数。回想起向日葵。种子全都紧密排列在花盘当中,每个种子都保证按照适合的角度生长大小还基本保持一致又疏密得当,与此同时,螺旋的数目也是斐波那契序列中的数字,世界如此繁琐,却又如此的井然有序。 (4)斐波那契数列与台阶问题当只有一个台阶时,只有一种移动方式,F1=1两个台阶,有2种走法,一步上两个台阶或者一阶一阶的上,所以F2=2。三个台阶时,走法有一步一阶,2阶再1阶,1阶再2阶,因此,F3=3。四个台阶时,走法有(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)(0,2,2),共5种方法,所以F4=5依此类推,有数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...斐波那契与自然,生活和科学上有很多联系,但是从这几个例子中,我们可以看到斐波那契数列的应用的广泛性,我们可以看到数学之美无处不在。它是一门科学,同时也是一种艺术,一种语言,它就像一朵盛开的茉莉花,白皙而优雅,简言而之,数学伴随着自然生活共同发展。 (5)斐波那契数列与蜜蜂的家谱蜜蜂的“家谱”:蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有一个母亲,没有父亲,因为蜂后所产的卵,未受精的孵化为雄蜂,受精的孵化为雌蜂(即工蜂或蜂后)。人们在追踪雄蜂的家谱时,发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是斐波那契数列的第n项f(n)。 (6)黄金分割与斐波那契的联系斐波那契和黄金比例(也称黄金分割,Φ,取三位小数1.618)密切相关。黄金法则,也称为黄金比率,是指将直线分成两部分,使得一部分与整体的比率等于剩余部分与该部分的比率,即0.618/1=0.382/0.618。0.618是斐波那契数列相邻两项之比的近似值,一般称之为黄金分割数。这是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯于公元前6世纪由提出,后被著名的希腊美学家柏拉图称为“黄金比例率”。 (7)斐波那契数列和鳞片的关系菠萝果实上的菱形鳞片排成一列,8排向左倾斜,13排向右倾斜;挪威云杉的球果在一个方向上有3排鳞片,在另一个方向上有5排鳞片;常见的落叶松是一种针叶树,松果上有鳞片,两个方向也排成5行8行;美国松树松鳞片在两个方向上排成3行和5行。 (8)影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可以说是是每个人都知道,在电影这种通俗艺术中也经常的出现,例如在风靡一时的《达芬奇密码》当中它就作为一个重要的符号和情节线索出现,在《魔法玩具城》当中也出现过。由此可见此数列就像黄金分割那样的流行。可是虽说叫得上名,大多数人并没有深入理解研究。在电视剧中也经常看到斐波那契数列的影子,比如:日剧《考试之神》的第五回,义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题。还在FOX热播美剧《Fringe》中也是多次引用,甚至被当做全剧宣传海报的主要设计元素。 3 结束语 除了上文中涉及的几个方面外,斐波那契数列在生活的其他领域当中例如现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有着广泛的应用。这个奥秘神奇的序列就在我们生活中任何常见的事物中隐藏,植被如一朵向日葵,一棵花菜,宏观如飓风以及星系,微观小至细胞的分裂,斐波那契数列都有存在。而且,通过对上文数列在生活中应用的几个方面的分析,也希望能激发大家对斐波那契数列的兴趣,感受数学的魅力。

斐波那契提出的问题

斐波那契是欧洲中世纪颇具影响的数学家,公元1170年生于意大利的比萨,早年曾就读于阿尔及尔东部的小港布日,后来又以商人的身份游历了埃及、希腊、叙利亚等地,掌握了当时较为先进的阿拉伯算术、代数和古希腊的数学成果,经过整理研究和发展之后,把它们介绍到欧洲。公元1202年,斐波那契的传世之作《算法之术》出版。在这部名著中,斐波那契提出了以下饶有趣味的问题:假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子,一年内能繁殖成多少对兔子?图 1 逐月推算,我们可以得到数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。这个数列后来便以斐波那契的名字命名。数列中的每一项,则称为“斐波那契数”。第十三位的斐波那契数,即为一对刚出生的小兔,一年内所能繁殖成的兔子的对数。这个数字等于233。从斐波那契数的构造明显看出:斐被那契数列从第三项起,每项都等于前面两项的和。假定第n项斐波那契数为,于是我们有:通过以上关系式,我们可以一步一个脚印地算出任意,不过,当n很大时,推算是很费事的。我们必须找到更为科学的计算方法。为此,我们在以下一列数中去导求满足关系式的解答。解上述q的一元二次方程得: [!--empirenews.page--] 。据此,设,并结合,可确定α,β,从而可以求出:以上公式是法国数学家比内首先求得的,通称比内公式。令人惊奇的是,比内公式中的是用无理数的幂表示的,然而它所得的结果却是整数。读者不信,可以找几个n的值代进去试试看!斐波那契数列有许多奇妙的性质,其中有一个性质是这样的:有兴趣的读者,不难自行证明上述等式。斐波那契数列的上述性质,常被用来构造一些极为有趣的智力游戏。例如,美国《科学美国人》杂志就曾刊载过一则故事:一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯,对他的地毯匠朋友说:“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺,宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异,因为商者之间面积相差达一平方英尺呢!可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的!这真是不可思议的事!亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢?斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用。例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔(如图4),例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式

用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式 斐波那契 (Fibonacci) 数列是着名的数列,有很高的实用价值。多年来,学者们一直在探究它的通项公式的求解方法,已经涌现出了多种方法。但据笔者们所知,这些方法大都需要比较高深的数学知识,例如组合数学的方法、概率的方等等,让人比较难理解,不容易接受。基于此,研究给出了一种简易的初等数学方法,先探求它们的特征多项式,然后通过求解线性方程组的思想,得出它们的通项公式。这种方法深入浅出,有一定的实用价值。 1.斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道着名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子(一雄一雌)每月能生殖一对小兔子(也是一雄一雌,下同),每对兔子第一个月没有生殖能力,但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象,那么从第一对刚出生的兔子开始,12 个月以后会有多少对兔子呢解释说明为:一个月:只有一对兔子;第二个月:仍然只有一对兔子;第三个月:这对兔子生了一对小兔子,共有1+1=2 对兔子.第四个月:最初的一对兔子又生一对兔子,共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……,人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契,将这个兔子数列称为斐波那契数列,即把 1,1,2,3,5,8,13,21,34…这样的数列称为斐波那契数列。 2.斐波那契数列的定义 定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121==F F ,21--+=n n n F F F (对所有的正整数n ≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。

斐波那契数列

斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列: 1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子? 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公 式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得: F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1)

又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到: 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可: 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它,斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即: 根据斐波那契数列通项公式,可以得到 因为n是趋向于正无限的,因此我们可以知道: 那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉,即 这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。

高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程

斐波那契数列 斐波那契数列,又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义:F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368........ 自然中的斐波那契数列 这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的定义者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契,生于公元1170年,卒于1250年,籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《算盘全书》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点于阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式::F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式

斐波那契数列的通项公式推导

斐波那契数列的通项公式推导 一个新的数学题初次接触时,会觉得这个题的解题技巧很妙,甚至有点非夷所思,但如果把同类型问题多做几个,你就会发现原来所谓的技巧,其实是一种再正常不过的想法,是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法,进一步就会形成解题的思想,所以我对于数学爱好者建议,做题时要把同类型题多种总结和分析,这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题,进行对比分析。 例1 在数列{}n a 中,1=5a ,2=2a ,13=23n n n a a a --+ (3)n ≥,求数列{}n a 的通项。 (普通高中课程标准实验教科书人教A 版必修5第69页6题) 分析:此题可分两步来进行,首先由构造一个等比数列,其中 ,并写出的通项;然后利用,两边同除以得 ,由累加法,就可求出数列{}n a 的通项。 解:( 设,则()所以数列 为等比数列,且首项为 ,公比为3。所以 。 于是有,两边都除以得 设,则有 由累加法可得 因为 所以() 于是有。 总结:上面的求解过程实质,求是一个把已知条件逐步化简的过程,由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系,进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列{}n a ,其中,,求数列{}n a 的通项。

解:首先我们要构造一个等比数列,于是设 则有。(1) 则由已知得(2) 对照(1)(2)两式得解得或。 我们取前一解,就会有。 设,则有 所以数列为等比数列,首项为,公比为 所以。即(3) 再次构造等比数列,设 则有 对照(3)式,可得所以 x=. 于是有 设,则有数列为等比数列,首项为,公比为,于是= 所以有。

浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 99数学本四班 莫少勇 指导教师 孙丽英 摘 要 本文从菲波那契数列出发,通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用,提高学生对数学的欣赏能力,初步建立数学建模的思想,从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci 数列 黄金数 优选法 数学美不仅有形式的和谐美,而且有内容的严谨美;不仅有语言的简明、精巧美,而且有公式、定理的结构整体美;不仅有逻辑、抽象美,而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派,首先从数的比例中求出美的形式,发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现,它又被誉为“黄金数列”。 一. F ibonacci 数列的由来 Fibonacci 数列的提出,当时是和兔子的繁殖问题有关的,它是一个很重要的数学模型。这个问题是:有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,而所生小兔亦在第二个月成年,第三个月生产另一对小兔,以后亦每月生产小兔一对,假定每产一对小兔必为一雌一雄,且均无死亡,试问一年后共有小兔几对? 对于n=1,2,……,令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数,B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子(简称小兔和大兔)的对数,则F n = A n +B n 根据题设,有 显然,F 1=1,F 2=1,而且从第三个月开始,每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和,于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式: ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n 若我们规定F 0=1,则上式可变为 ?? ?==∈≥+=1F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n 这就是Fibonacci 数列的通常定义,也就是数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……, 这串数列的特点是:其中任一个数都是前两数之和。 这个兔子问题是意大利数学家梁拿多(Leomardo )在他所著的《算盘全集》中提出的,而梁拿多又名菲波纳契(Fibonacci ),所以这个数列称作菲波纳契数列,其中每一项称作Fibonacci 数。 它的通项是F n =51[(25 1+)n+1-(251-)n+1 ],由法国数学家比内(Binet )求出的。 二.Fibonacci 数列的内涵 (1)Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。 证法一:

斐波那契数列通项求法

斐波那契数列通项求法 为求得費波那西數列的一般表达式,可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。 初等代数解法 已知 ? a 1 = 1 ? a 2 = 1 ? a n = a n ? 1 + a n ? 2 首先构建等比数列 设a n + αa n ? 1 = β(a n ? 1 + αa n ? 2) 化简得 a n = (β ? α)a n ? 1 + αβa n ? 2 比较系数可得: 不妨设β > 0,α > 0 解得: 所以有a n + αa n ? 1 = β(a n ? 1 + αa n ? 2), 即 为等比数列。 求出数列{a n + αa n ? 1} 由以上可得:

变形得:。令 求数列{b n}进而得到{a n} 设,解得。故数列为等比数列 即。而,故有 又有和 可得 得出a n表达式 线性代数解法 构建一个矩阵方程 设J n为第n个月有生育能力的兔子数量,A n为这一月份的兔子数量。

上式表达了两个月之间,兔子数目之间的关系。而要求的是,A n+1的表达式。求矩阵的特征值:λ 行列式:-λ*(1-λ)-1*1=λ2-λ-1 当行列式的值为0,解得λ1=或λ2= 特征矢量 将两个特征值代入 求特征矢量得 = = 分解首矢量 第一个月的情况是兔子一对,新生0对。 将它分解为用特征矢量表示。

(4)用数学归纳法证明 从 = 可得 (5) 化简矩阵方程 将(4)代入(5) 根据 3 求A的表达式 现在在6的基础上,可以很快求出A n+1的表达式,将两个特征值代入 6 中

(7) (7)即为A n+1的表达式 近似值 用计算机求解 可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题,一种已知数列中的某一项,求序数。第二种是已知序数,求该项的值。 可通过递归递推的算法解决此两个问题。事实上当n相当巨大的时候,O(n)的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵加速这一技巧。

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