连续六次摸到白球后的思考
浙江省嘉兴市教育研究院
朱国荣邱正平
一、案例背景
“可能性”（概率）是新课程中新增加的内容，“可能与一定”是学生学习“可能性”的第一节内容。通过教学要让学生初步了解在现实世界中，有些事件在满足相应条件后，一定会发生（或不可能发生），而有些事件则可能发生，也可能不发生。比如在一个盒子里放入两个黄球，任意摸一次，一定能摸到黄球，不可能摸到白球；如果放入一个白球、一个黄球，任意摸一次，则可能摸到白球，也可能摸到黄球（即可能性）。
在多次教学实践中我感悟到，原有生活经验使学生对“可能性”有了一定的认识，但学生的生活经验反过来也会干扰对“可能性”的数学化理解。
二、情境描述
在一个不透明的盒子中，放入一个白球、一个黄球，任意摸一次，结果会怎样？这是我在执教“可能与一定”一课时提出的问题。
学生的回答是：“可能摸到白球，也可能摸到黄球。”
为了“确认是这样”，我请一位学生摸一次，结果摸到的是白球。接着，我又请一位学生摸一次，摸之前我请学生们猜一猜这一次会摸到什么颜色的球，大部分学生认为应该是黄球了！结果这位学生摸到的还是白球。第三次请学生摸，再猜，这时更多的学生认为一定是黄球了。但第三位学生摸到的竟然还是白球！这时，教室里一片惊讶声：“怎么会这样？”“这怎么可能？”
第四位学生再摸，白球！
第五位，还是白球！
第六位，依然是白球！
我的额头开始冒汗，心里也暗暗嘀咕：“怎么会这样？”一个念头禁不住从脑海中冒了出来：“这课要上砸了！”
到了第七位，那位胖胖的小男生终于“争气”地摸到了黄球。
我终于舒了一口气，提着的心总算放了下来。
教学顺利地转入了下一个环节。
三、课后反思
“可能性”一课我已经上过好多次了，但这样的情形还是第一次发生。连续六次摸到白球，怎么会这样呢？课上，我茫然不知所措，课后，我们进行了反思，结果为自己额头冒汗感到羞愧，更为没有抓住教学中生成的好材料及时组织学生讨论感到汗颜。
第一次摸到了白球，第二次摸到的应该是黄球；连续两次摸到的都是白球，那么第三次摸到的就一定是黄球了。对一个三年级的小学生而言，作出这样的判断一点儿都不奇怪。在后来一次听课时，我也看到了类似的情形：这位教师组织摸球活动，也是放一个白球、一个黄球，摸之前要求先猜可能会摸到什么颜色的球，并作好记录。我正好坐在一个小男生的边上，第一次他猜摸到黄球，而摸到的也正好是黄球，他兴奋地举了举握紧的拳头。猜第二次时他毫不犹豫地在白球一拦里打上了“√”，我赶紧和他交流：师：这次你怎么猜是白球了？
生：因为刚才这次摸到的是黄球，我想这次一定会摸到白球了。
这位小男生迫不及待地进行第二次摸球，果然是白球！他又一次兴奋地举起了拳头。
那么，学生为什么会作出这样肯定的判断呢？显然，这是因为学生对随机现象发生可能性的模糊理解。对“可能摸到什么颜色的球”这个随机事件而言，学生的生活经验足够支撑他们作出这样的判断：要么摸到白球，要么摸到黄球。而且学生还会直觉地意识到：摸到两种颜色球的可能性是相等的。但可能性相等是什么意思呢？很多学生是这样理解的：如果摸两次，那么一次摸到白球，另一次摸到黄球。我想，这就是学生作出上述判断的原因所在。
那么，可能性真可以这样理解吗？回答是否定的。数学上，对上述摸球这个随机现象发生可能性的描述有两种办法，一是用数据来刻画（即概率），摸到黄球或白球的可能性各为二分之一；二是用重复摸球的统计结果来描述（即频率），摸一次，可能摸到什么球，这具有随机性（无法事先确定），但如果重复不断地摸，只要摸的次数“足够多”，就可以发现摸到统计结果呈现一定的规律性，即摸到白球和摸到黄球的次数大致相等。通过以上阐述可以知道，下一次会摸到什么球，这是无法事先确定的，也就是说，每一次摸球，摸到黄球或白球的可能性都存在。但一个人在作出判断时，往往会有受到自我心理活动的影响，如当连续多次摸到白球时，就会产生下一次“应该摸到黄球了”的心理期望。
可见，第一次摸到白球，第二次应该摸到黄球，这反映了学生的生活经验和心理期
望对随机现象的理解产生的干扰。从数学角度分析，连续六次摸到白球（甚至更多）是完全可能发生的，这反映了随机现象的可能发生结果的随机性。事实上，连续六次摸到白球比一次摸到白球、另一次摸到黄球更有利于学生感悟随机现象的本质。比如，听课时那个小男孩摸球活动的结果已经给他理解可能性的含义带来了负面影响。而在我的教学中，连续六次摸到白球（这是可遇而不可求的）给教学生成了精彩的、富有价值的材料，但我没有把它利用好，错过了让学生感悟随机现象本质的绝佳机会。反思后，我们认为，在七次摸球过程中应及时组织讨论和反思。如在连续三次摸到白球后，可以组织讨论：怎么会连续三次摸到白球？你有什么想法？通过讨论使学生感悟到每次摸球的结果在摸之前是无法确定的，连续多次摸到白球也是有可能发生的，前一次摸球的结果并不会对后一次产生影响，从而初步感悟随机事件的发生和人的心理期望没有任何关系，进一步理解随机现象的本质。又如当第六位学生依然摸到白球时，可以再次组织讨论：真的摸不到黄球吗？从而使学生明确：盒子里有黄球，只要不停地摸下去，是一定能摸到黄球的（如果摸的次数足够多，那么摸到白球和摸到黄球的次数大致相等，当然，这已是后续学习的内容了）。在第七位学生摸到黄球后，可以引导学生反思，让他们说说对“可能摸到白球，也可能摸到黄球”这句话的认识，从而使学生深刻地理解可能性的含义。我想，如果再有这样一次机会，我就能够这样处理了，可是这种情况再次发生的可能性实在是太小了，但这绝对不是不可能发生的。
上述教学同时引发了我们对教师自身数学素养思考。概率一直是高等数学领域的内容，小学教师在师范的学习中并没有这样的知识储备。“可能性”作为新课程新增加的数学内容，对大部分教师而言都是比较陌生的。以其昏昏，使人昭昭，显然要误人子弟。“可能性”有关内容，我上过许多次，也听过许多次，自己犯过不少错误，也看到不少老师犯的错误，感触颇深。新课程的实施给教师自身的数学素养提出了新的、更高的要求，需要教师加强学习，不断充电。只有这样，才能正确把握教学目标，才能合理组织教学活动，才能处惊不乱，及时抓住课堂教学中生成的精彩材料，让学生在数学活动中体验、感悟数学知识的本质，引领和发展学生的数学思维。
“猜想”出一片精彩
——运用“猜想——验证”探究学习策略学习《商不变性质》
平阳县昆阳一小吴恢銮
一、问题提出
随着新课改的不断深入,“新课堂”确实出现了无限生机，虽然我还没有执教新教材，也感到无比的欣慰。由于教学工作的关系，除了经常到一、二年级听新教材的课外，我也经常去听使用老教材的课。我发现了其中的一些问题，使用老教材的老师更多的还进行着传授式的教学，师问生答的封闭式教学模式仍然根深蒂固。在这种模式里学习的学生基础知识与技能掌握的比较扎实，但学生主动提问、探求创造的意识明显不足，尤其到了高年级的学生，课堂上不愿主动举手，不愿合作交流，更危险的是学生丧失了探究的能力。针对这种弊端，我们老师应该及时更新自己的教学理念，用新理念实践我们的老教材，让他们也能充满学习的活力，充满探究的欲望，充满大胆猜想小心验证的勇气和精神。在自己的教学实践中，我构建了“猜想——验证”探究学习策略教学模式，着重来培养学生提出问题、解决问题的能力。两年来，我认真研究了省编教材，梳理出部分适合使用这种学习策略的内容，并积极实践。以下就是我运用“猜想——验证”探究学习策略教学《商不变性质》的案例和反思：
二、案例描述
（一）、创设情景提出猜想
1、创设情景
师：四（2）的老师请班长为同学们分本子，要求班长做到公平，先来了两位同学，老师拿了6本本子分给这两位同学。后来，又来了4位同学，老师对班长说“你动动脑筋，看着办吧！”只见班长拿了12本本子分给这4位同学，老师和同学们会心地笑了。最后，又来了12位同学，你们替班长动动脑筋，一共要拿几本本子分才公平呢？
师：你能用算式来表示这个分本子的过程吗？
生列式出：
6÷2=3 12÷4=3 36÷12=3
师：你发现这些除法算式有什么特点？
生1：它们的商都是3。
生2：但被除数和商都变了
……
2、提出猜想
师：在除法运算中，凭你的经验，被除数和除数都变化时，你们认为商会怎样？
生1：商可能会变，也可能不会变
生2：商有可能变小，也有可能变大。
师：今天这节课我们先来研究要使商不变，被除数和除数可能会怎么变化呢，同学们可以根据自己的经验，在小组内轻声讨论一下，再提出一个猜想问题。
同组学生在队长的带领下，组织讨论，分别列出了几个猜想问题。
猜想1（第3、、5组）：要使商不变，我们认为被除数和除数可能是增加一个数，这是从刚才分本子的时候想到的。
猜想2（第1、4组）：要使商不变，我们认为被除数和除数也有可能是减少一个数。
猜想3（第6组）：要使商不变，我们认为被除数和除数是扩大几倍。
猜想4（第8组）：要使商不变，被除数和除数也有可能是缩小几倍，这也可以从分本子的算式里，从后向前看，有这样的变化。
猜想5（第7组）：我们组也是，只是认为被除数和除数扩大或缩小一个相同的数，商才不变。
（二）协同验证发现规律
师：同学们凭自己的经验和直觉提出了5个猜想问题，是不是都对呢？我们还没有经过验证，所以也就不好肯定哪个猜想是成立的。下面，你们根据自己的兴趣和能力选择1个或几个猜想问题，先每个同学独立举例验证，然后同学们充分发挥小组的力量，互相启发，互相辩说。
等老师布臵好小组合作的任务和注意事项后，每个小组在队长的带领下，投入了合作探究过程中，下面是通过摄像机聚焦合作学习过程的实录
情景一:
验证猜想1的小组（要使商不变，被除数和除数可能是增加一个数）
在每个学生举例验证后，队长组织同伴交流自己的发现，并互相辩说：
生1：我认为有可能，你看，36÷12=3，而（36+0）÷（12+0）=3
生2：（大家哈哈笑）这不是等于没有增加吗，竹篮子打水一场空。
生3：可以的，你看，21÷21=1，而（21+4）÷（21+4）=1
生4：这只是一个特殊的例子，从我举得一些例子来看，好像不行，你看，
40÷8=5，而（40+2）÷（8+2）=4 (2)
生5：你们增加的都是一个相同的数，我这个例子不一样，24÷6=4，而（24+4）÷（6+1）=4，
生1：哎，怎么这么怪，我认为这个猜想对一半，我们不是加了“可能”吗？
生2：队长，今天你怎么一句话也不说呀。
生6：不是，我在想，老师以前说过，如果用举例来验证数学问题，我们只要举出一个反例就可以证明这句话是不对的。
生2：所以我认为，这个猜想只要这样改就对了，相同的被除数和除数增加相同的数，商是不变的，而且永远是1。
生4：如果被除数和除数不同，增加一个相同的数，零除外，商肯定会变。
生5：根据我的举例，我发现，被除数和除数如果增加的不是一个相同的数，商会有两种情况，可能会变，也可能不会变。
生6：你们的发现我都赞成，等一会汇报的时候，让生2、生5一起汇报，我们补充,怎么样?
情景二:
验证猜想3的小组（要使商不变,被除数和除数要扩大几倍。）
生1：(这位学生很兴奋,可能是对自己的发现很有把握)我先说吧,我认为这个猜想是对的，从分本子的算式可以得到验证，12÷4=3，而（12×3）÷（4×3）=3 生2：我不赞同，你扩大的都是3倍，如果不是一样的话，就不一定了
生3：是这样的，你们看，18÷2=9，而（18×4）÷（2×2）=18，结果变了。
生3：我认为也是不全对，如果不是扩大一个相同的数，就不能保证商不变。
生4：我赞同你的看法，只要是扩大一个相同的数，商才不会变。
生5：那也不一定……
生2：那你举出一个反例看。
生5：我只是凭感觉。
生1：证明对错不能“跟着感觉走”
生6：（很激动）我想到了，如果同时乘一个0，任何数乘0结果都为0，难道还能说商不变吗（大家对生6的发现投去了佩服的眼光，片刻后，又分成了两派）生4：这里又不是乘，而是扩大，扩大0倍，不算的。
生5：老师说过的，扩大就是乘的意思，可以的。（生5拉出老师的话给自己撑腰，
其他反对的同学也一下子找不出理由了，可是过了一会儿……）
生3：我认为还有问题，你看，20÷2=10，而（18×2）÷（2÷2）=20
生6：你这里是除了，一个扩大，一个缩小，不行。
生3：所以像刚才那样说还是不对的，我认为应该再加上同时扩大。
生2：厉害。
生5：经过大家的讨论，我们的猜想不完全对，应该这样说，要使商不变，被除数和除数应该同时扩大一个相同的数。
生2：“0”还要除外。
大家一起喊着：“0”要除外，哈哈！
………………
（三）全班交流共同评介（略）
（四）巩固拓展课外延伸（略）
三、实践反思
说起“猜想”，我们也就会联想到著名的“歌德巴赫猜想”。虽然学生的学习过程，并非要出现像“歌德巴赫猜想”那样的著名推断，但应具有知识的“再发现”和“再创造”过程。我们的教学要注重引导学生进行积极的猜想和验证，这不仅仅是学生进行知识再发现和再创造的良好开端，更是学生主动发现问题、解决问题的有效方式。
1、“猜想——验证”探究学习策略是学生主动发现问题、解决问题的有效方式。
在课堂内，哪些内容更适合于学生运用该策略学习呢？实践告诉我们，学习任务的难度比较高，一般需要较多人的努力才能完成的内容更适合于学生运用“猜想-验证”探究学习策略，这有利于学生提问能力和探究能力的培养。像“商不变性质”的内容，具有很大的探究空间，而且难度较高，研究范围比较宽泛，仅仅以个人的力量去发现商不变性质的规律，会显的力不从心，而且不管是深度还是广度都会受到限制。而采用猜想-验证探究学习策略后，老师通过创设一个充满挑战和童趣的问题情景，让学生主动发现问题，并提出若个个猜想问题，通过协同验证，互相辩说，发现规律，这样集个人智慧和小组力量为一体，共享小组智慧资源；然后通过全班交流、争辩、启发，进一步完善认知，把“商不变性质”鲜活的烙印在脑海里；最后让学生对研究的内容再提出新的问题，通过课外延伸，以小课题研究的形式，拓展“商不变性质”的外延，同时也提高学生提问、解决问题的能力，体验研究的乐趣。实践证明，只要定准内容，“猜想-验证”探究学习策略是学生主动发现问题、解决问题的有效方式。在这个学习过程中，学
生有了更大的自由思维空间，学生可以根据自己的个性思维提出猜想问题，可以根据自己的学习能力验证、推理、操作，小组成员又可以协同帮忙，全班同学又可以共享智慧资源，达到资源互补的实效。
2、“猜想-验证”探究学习让学生经历思维活动的“三步曲”。
从心理学角度看，“猜想”是一项思维活动，是学生有方向的猜测和判断，包含了理性的思考和直觉的判断；从学生的学习过程来看，猜想应是学生有效学习的良好准备，它包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机和良好情感。通过教学实践我们发现：运用“猜想-验证”探究学习策略，学生要经历思维活动的“三步曲”：
(1)提问——猜想的开始。让每个学生在已有的知识经验、能力水平和学习方法的基础上提出问题，并进行积极的猜想，这有助于提高学生的学习兴趣，活跃思维，促进智力的发展与提高。比如这节课的开始，我首先让学生观察除法算式，然后问：“在除法运算中，凭你的经验，被除数和除数都变化时，你们认为商会怎样？”于是，学生就开始积极思考，提出了自己初步的猜想，有的认为商可能会变，也可能不会变，有的认为商有可能变小，也有可能变大。但此时的猜想是很表面的，更多的是凭直觉。
(2)假设——猜想的深入。问题提出后，学生经过反复思考、联想、顿悟，结合已有的知识和生活经验提出自己的假设。假设，从思维角度讲，就是一种猜想。这样的思维过程，是充分发挥学生创新能力和主体意识的过程。这节课，在学生提出初步猜想后，老师及时引导：“今天这节课我们先来研究要使商不变，被除数和除数可能会怎么变化呢，同学们可以根据自己的经验，在小组内轻声讨论一下，再提出一个猜想问题”，把学生引向猜想的深处，同组学生在队长的带领下，组织讨论，提出了5个猜想问题。
(3)实践——猜想的验证。只有猜想没有验证，那只能是空想。把猜想与探索实践紧密结合，可以产生猜想的良性循环。不同的学生会有不同的猜想，但都是学生的主动思维的过程，都包含着创新因素。学生提出5种猜想后，我紧接着问：“同学们提出了5个猜想问题，是不是都对呢？我们还没有经过验证，所以也就不好肯定哪个猜想是成立的。下面，你们根据自己的兴趣和能力选择1个或几个猜想问题，先每个同学独立举例验证，然后同学们充分发挥小组的力量，互相启发，互相辩说，来说明自己的猜想是否成立。”学生很有兴趣的投入了协同验证的探究学习过程。
3、“猜想-验证”探究学习策略还有利于学生暴露思维问题。
学生猜想后，需要验证。而验证涉及到多种思维方式，如反向思维、发散思维、甚至创造思维。在这过程中，学生会暴露出很多问题，其中很多问题其他同学是很难预见
的，但因为通过小组互相启发、互相辩说的环节，难于预见的问题发现了，也得到了比较理想的解决，这样也有利于老师从容应付，生成智慧。当然，小组还不能解决的问题，再拿到全班争辩，这样的问题就更有研究的价值，可以成为最佳的生成资源。
例如，（见情景一、二）刚开始学生对自己的猜想问题认识并不是很深，仅仅通过一两个例子就得出了结论，暴露了思维不严谨的问题，但通过小组充足时间的争辩、反驳、论证，逐步完善认知，最后达成了一致的看法。
四、问题讨论
（1）就这节课看，学生的思维已基本暴露。但如果估计学生会暴露的问题结果没有暴露，老师怎么办？
（2）在“猜想——验证”的过程中放手让学生探索，这样比较费时，而要很好的完成教学目标，我们该怎么对待这种现象？
（3）改变学习方式后，书本上的作业没有完成，该怎么看待？
（4）在猜想与验证的过程中如何处理好“放”和“收”的关系。
创设生活情境促进自主探究
—《小数乘法的意义》教学片断的反思
枝江市安福寺小学李爱华
[背景与导读]
《小数乘法的意义》一课是义务教育新课标教材中四年级的教学内容，它是在整数乘法意义的基础上的进一步扩展，其教学目标是引导学生通过具体情境和实际操作，了解小数乘法的意义，并能结合意义计算简单的小数乘整数的得数。教材在编排上注意体现新的教学理念，设计了丰富的生活背景素材，为学生主动从事观察、提问、计算、合作、交流等数学活动，提供了大量的信息，满足了学生多样化的学习需求，同时也让学生感受到数学知识与日常生活的密切联系。教师在教学中要引导学生认真观察，积极思考，主动提出问题，置学生于开放的情景活动之中，让其自主探索解决问题的策略，使学生的数学思维能力和创新精神得到培养。
[片断与反思]
片断一：创设购物情境，启发学生提出问题。
师：同学们，你们喜欢逛超市吗？
生：（兴奋地）喜欢！
师：现在就让我们一起到大家熟悉的北山超市去看一看。
（出示情境图）
师：从这个货架上，你看到了什么？用数学的眼光去观察，你能提出哪些数学问题？
生1：每根棒棒糖0.20元，3根棒棒糖多少元？
生2：每包饼干1.2元，买4包饼干多少元？
生3：每包方便面0.80元，买2包方便面多少元？
生4：每千克苹果3.00元，买1.50千克苹果多少元？
生5：每千克橘子4.00元，买2.5千克橘子多少元？
师：太棒了！一点点时间，大家提出了这么多的问题。这些问题在平时的生活中经常会遇到，我们就把它们作为今天研究的问题，好不好？
生：（异口同声）好！
反思:数学来源于生活。从学生的生活经验和已有的知识出发，将数学活动与他们
的生活、学习实际相连，创设购物的生活情境，引导学生进行观察、思考，让他们从生动、具体的背景材料中去发现、去探索与之相关的数学问题，这不仅能够较好地激发学生的学习兴趣和求知欲望，而且能使他们积极主动地参与数学活动，自觉地用数学的思维方式来观察和解决生活中的实际问题。
片断二：自主探索、合作交流、建立数学模型
师：你们看，这几个问题是老师一个一个地讲给你们听呢，还是你们自己来研究？
生：（齐声）自己研究。
师：那这几个问题，你们可以选择自己最感兴趣的来研究，也可以一个一个地来研究，好吗？
生：好。
（生独立思考、探索研究）
师：同学们都很有自己的见解，想不想把你们想法跟别人交流交流？
生：想！
师：好，让我们各抒己见吧！
生1：我研究的是第一个问题，算式是0.2×3，因为每根棒棒糖0.20元，3根棒棒糖就是3个0.2，这和整数乘法意义相同，所以用乘法计算。
师：0.2×3等于多少呢？你会计算吗？
生1：会，我用3个0.2相加，0.2＋0.2＋0.2=0.6元。
生2：我是这样想的，0.2=2角，2×3角=6（角）=0.6元。
生3：我用的是画图的方法：一个正方形代表1元，平均分成10份，每份就是0.1元，每根棒棒糖0.2元，就涂2份，3根就涂6份，也就是0.6元。
生4：从他们的计算结果中，我发现了一个规律，可以直接用整数乘法计算，再看因数中有一位小数，积就有一位小数。
师：厉害！你们竟然有这么多的好方法，真令老师佩服，特别是这位同学还发现了计算的规律，这对于今后的学习是很有帮助的。
生5：我选择的是第四个问题，我想每千克苹果3.00元，这是苹果单价，1.5千克是苹果的数量，根据单价×数量=总价，列式为3×1.5。
师：那么怎样算出它的得数呢？
生5：1千克苹果是3元，0.5千克就是1.5元，合起来就是4.5元。
生6：也可以用1.5+1.5+1.5=4.5（元）
生7：先用3×15=45，再看因数中有一位小数，所以积也有一位小数，即4.5元……
反思:教师重视学生自主探究发现的过程，放手让学生自由地思考，探究计算方法，对于0.2×3＝0.6，3×1.5＝4.5，同学们利用自己的生活经验和已有知识，用自己的思维方式，积极主动地去尝试，不同的学生用不同的想法解决问题，可谓殊途同归。在探究过程中，由于学生已从他人的思想方法中得到启发，他们都能利用连加的方法，单位换算成整数计算的方法，以及用几何模型涂一涂的方法来计算小数乘整数的结果，进一步理解小数乘法的意义。教师能尊重学生的不同想法，并鼓励学生大胆发现规律，应用规律，只有学生亲自经历探索过程而发现数学知识，才会印象深刻，掌握牢固，运用自如，同时思维的主动性和创造性才能得到充分的发挥，才能体验到经过努力获得知识的成功的喜悦。
片断三：运用新知识，深化理解，拓展延伸
师：（出示课本第4页第2题）你能根据今天所学的知识，说一说这几道小数乘法算式的意义吗？
生1：0.3×4表示4个0.3是多少？
生2：5×0.3表示5个0.3是多少？
……
师：谁能说明每幅图所表示的意思？
生：每个正方形代表“1”，平均分成10份，每份是0.1，平均分成100份，每小格代表0.01。
师：现在让咱们动手涂一涂。
（学生独立涂一涂，填写得数）
师：根据涂的结果，你发现了什么？
（全班反馈）
师：我们知道了0.01×10＝0.1，0.01×100＝1,那么0.01×1000＝?
生:0.01×100＝1,那么0.01×1000，结果扩大10倍得10。
师：你能计算6×2.5吗？请在小组内与同学交流你的想法。
生1：2.5＋2.5＋2.5＋2.5＋2.5＋2.5=15
生2：6×2＝12，6×0.5＝3，12＋3＝15
……
师：小数乘法的用处可大了，在我们的生活中到处都有小数乘法，请同学们课后也去找一找这样的例子，并用今天所学的知识去解决，把你找到的结果写到数学日记里。
反思:教学既要注重过程，也要注重结果，所以必须及时有效地搞好课堂训练。在这个环节中，我设计了多层次练习，从多种角度训练学生运用所学知识解决生活中的实际问题的能力。通过实际操作涂一涂，不仅有助于进一步理解小数乘法的意义，同时体现了数和形的结合。鼓励学生自己在生活中寻找能用小数乘法解决的问题，写下有意义的数学日记，做到了数学来源于生活，又应用于生活。
〔点评与拓展〕
将教学内容放置在具体的生活情境中，给学生创造结合实际提出问题和进行探索的空间，是这个教学案例的突出特点。借助“购物”情境，让学生提出小数乘法的计算问题，使学生体会到小数与日常生活的密切联系，并组织学生自主探讨，合作交流小数乘法的意义及计算方法，使一个“枯燥”的内容变得丰富多彩。在探索中，鼓励算法多样化，尊重学生的选择，教师真正是为了学生的学服务，为学生独立思考，敢于创新提供了空间。
由此可见，实施新课程是一个培养学生创造力的开放的课堂，只有我们的教学不断创新发展，才能更好地走进新课程，才能培养出具有创新精神和实践能力的接班人。
教学案例反思
一、什么是教学案例反思
教学反思是教师以自己的教学活动过程为思考对象，来对自己所做出的行为、决策以及由此所产生的结果进行审视和分析的过程，是一种通过提高参与者的自我觉察水平来促进能力发展的途径。
这里所说的反思与通常所说的静坐冥想式的反思不同，它往往不是一个人独处放松和回忆漫想，而是一种需要认真思索乃至极大努力的过程，而且常常需要教师合作进行。另外，反思不简单是教学经验的总结，它是伴随整个教学过程的监视、分析和解决问题的活动。
有人提出了以下三种反思：对于活动的反思。这是个体在行为完成之后对自己的行动、想法和做法的反思；活动中的反思。个体在行为过程中对自己的表现、想法、做法进行反思；为活动反思。这种反思是以上两种反思的结果，以上述两种反思为基础来指导以后的活动。
二、案例的基本特征
案例是事件，是对教育教学过程中一个实际情境的描述。案例讲述的应该是一个一个的故事，叙述的是故事产生、发展的历程，是对事物或现象的动态性的把握。
案例是含有问题或疑难情境在内的事件。事件只是案例的必要条件，而不是充分条件，换句话说，事件还只是案例的基本素材，并不是说所有的事件都可成为案例，能够成之为案例的事件，必须包含有问题在内，并且也包含有解决这些问题的策略与方法。
案例是典型性的事件。除了“问题或疑难情境”这样一个基本要素，作为案例的事件还需具有一定的典型性，要能够从这个事件的解决当中说明、诠释类似事件，要能够给读者带来这样或那样的启示、体会。
案例是真实发生的事件。案例虽然展示的是一个饶有趣味的故事，要与故事一样生动有趣，但案例与故事也有一个根本性的区别，那就是故事是可以杜撰的，而案例是不能杜撰的，它所反映的是真实发生的事件，是事件的真实再现。
三、案例的组成要素
（一）主题与背景——每个案例都提炼出一个鲜明的主题，它通常应关系到课堂教
学的核心理念、常见问题、困扰事件，要富有时代性、体现改革精神。
（二）情境描述——案例描述可以是一个片段，也可以是完整的过程,但决不是课堂实录。案例的主题无论是多么深刻、故事是多么复杂，它都应该以一种有趣的，引人入胜的方式来讲述。案例描述不能杜撰，它应来源于教师真实的经验（情境故事，教学事件）、面对的问题；当然，具体情节要经适当调整与改编，因为只有这样才能紧紧环绕主题并凸显了讨论的焦点。
（三）问题讨论——提出建议讨论的问题，如学科知识问题、评价学生的学习效果、教学方法和情境问题、扩展问题。
（四）诠释与研究——对案例作多角度的解读，可包括对课堂教学行为作技术分析，教师的课后反思、观点以及启示等。案例研究所得结论可在这一部分展开，而重点应该在这一部分。
（五）案例可以是单个的，也可以是多个的。例如横向的差别比较，纵向的改变和进步，各有不同的作用。
四、案例的创作途径
教学案例的创作有三种情形。
一种是精心研制：先确定研究的主题，再进行教学设计，把相关理论或教学策略自觉地镶嵌在教学设计之中，并实施之；然后根据课堂现实进行案例研究与创作。这一类案例，教师的课后反思，着重围绕研究主题，针对教学设计（理想）与课堂现实（实际）之间的落差（或超越了预设的目标，或没达成预设的目标），以及处理课堂偶发事件的方法与得失，分析原因，总结经验，寻找对策，或提出新的问题与困惑。
一种是“无心栽花”。事先没有确定的研究主题，甚至也没想创作什么案例，但所上的某一堂课感动了教师自己，因此课后就他把课堂发生的真实感人的故事写了下来。这类案例，我们常常能够看到师生精彩互动，看到教师的教育智慧。这样的案例看似偶然，有不可预见性，但偶然中有必然，也有一些规律，可以通过案例的形式总结经验，应用有关的理论进行诠释。
一种是“借鸡生蛋”。利用现有的教学资源——教学录像，针对某个教学热点难点问题，选择某些课题的教学片段，来加工成教学案例。
回归学生的思考才有效
——《长方形面积的计算》对比研究
【案例背景】
《长方形面积的计算》是人教版数学三下的内容，之前学生已经知道了面积的含义，初步认识了面积单位，会用面积单位直接测量面积。这一内容是学生学习面积计算的起始教材，也是学习平行四边形、三角形等面积计算的基础，具有重要的地位。
我们在调研中发现，教师在教学这一内容时出现了两类问题。一类是教师以电脑替代学生思考。有的教师用课件显示放大的1平方厘米和1平方分米，缩小的1平方米正方形，让学生观察单位面积，这样不利于学生重现单位面积的大小。教学中，教师让学生估计课件显示的一个长方形中可以摆几个1平方厘米的正方形，学生估计的结果相差悬殊。这怪不得学生，因为他们头脑中1平方厘米是放大的，怎样能正确估计长方形可以摆几个呢？
另一类问题是，教师“抢”在学生前面，说出本该引导学生通过操作、思考说出的话。例如，教学“用单位面积铺长方形，数出有几个面积单位”这个内容时，学生都是用满铺的方法，即用面积单位把长方形铺满，然后通过计算得出面积，一时没有想到用不满铺的方法。此时，教师出示了自己的摆法——只摆一行和一列，然后对学生说：“老师有一种办法，也能知道它的面积，谁能说说为什么？”学生说不出所以然，教师又不给学生思考时间，急着解释。结果，当教师出示另一个长方形时，原来期待的是学生也会像自己那样去想，学生的回答却是不着边际。原因很简单，学生的思维根本还没有到这个份上，教师的思考代替不了学生。
为此，我们在嘉兴市级研讨会上进行了另辟蹊径的研究，取得了实效。
【精彩回放】
师：（出示1个边长9厘米的正方形）请估计一下它有多大？
生：1平方分米。
师：1平方分米是怎样的图形？
生：边长1分米的正方形。
师：请来测量一下，看是不是边长1分米的正方形。
生：（测量）边长才9厘米，它不是1平方分米。
师：请找出合适的正方形，测量并确认是1平方分米。
（学生从学具中找出。）
师：想象一下4平方分米是怎样一个图形？它的面积有多大？
生1：4个1平方分米排成一行，是长4分米、宽1分米的长方形，面积是4平方分米。
生2：4个1平方分米排成二行，是边长2分米的正方形，面积是4平方分米。
师：12个1平方分米，可以组成怎样的长方形？面积有多少大？
生1：12个1平方分米排成一行。是长12分米、宽1分米的长方形，面积是12平方分米。
生2：12个1平方分米排成二行。是长6分米、宽2分米的长方形，面积是12平方分米。
生3：12个1平方分米排成三行。是长4分米、宽3分米的长方形，面积是12平方分米。
师：长5分米、宽2分米的长方形，面积是多少平方分米？为什么？
生1：面积是10平方分米，因为用1平方分米的正方形摆10个正好摆满。
生2：面积是10平方分米，因为它就是有10个1平方分米排成了2排，每排5个。
师：谁能举例说明？
生：长6分米、宽3分米的长方形，面积是18平方分米。可以想成这个长方形是由18个1平方分米的正方形摆成的，每排摆6个，摆了3排。
师：现在，对长方形的面积，你有什么新的认识？
生：长方形的面积就是含有多少个单位面积的大小。
师：观察我们刚才逐步形成的表格，关于长方形面积的计算方法，你有什么发现吗？
(图略)
生：长方形的面积=长×宽。
师：请验算一下刚才我们思考过的题目，面积是不是可以这样算呢？
生：都是可以用“长×宽”计算长方形的面积。
师：你还能够举例子说明吗？
……
【赏析与反思】
回归学生的思考才有效，即数学教学只有充分尊重学生，重视知识建构，才能找到学习的突破口。上述课例主要有三大亮点：
1.寻找真实起点。
学习长方形的面积计算，实际上是学习面积单位的一个继续和延伸。学习面积计算的真实起点，是学生对面积单位的认识。因此，巧妙设计了一个边长9厘米的正方形，让学生辨别大小，在这个过程中，重现面积单位的特征，进一步夯实了学习面积计算的基础，找准了学习的真实起点。
2.顺应真实需要。
想像图形大小再摆出来验证更符合学生的学习的内在需要。教学创新之处，就是激发学生“摆”的积极性，让他们自己有操作的冲动，并且付诸行动。如，4个1平方厘米摆出2个长方形（正方形），12个1平方厘米摆出3个不同的长方形。学生在想像和操作的过程中，逐步体会到，虽然长方形形状变得不同，但是因为包含的单位面积不变，那么它的大小也一样。
3.突出真实感悟。
实物摆出的图形大小才具有真实感，长方形面积的大小就是包含了几个面积单位。学生通过自己动手动脑，获得了认识，并经过独立思考、共同讨论，发现了长方形面积的计算方法。教学中，学生通过主动参与，积极探究，认知水平、实践能力得到培养。如，针对“想象一下4平方分米是怎样1个图形？它的面积有多大？”“12个1平方分米，又可以组成怎样的长方形？面积有多少大？”等问题，学生积极参与，通过思考、操作、体会，逐步形成长方形面积的计算方法，效果显著。
（作者单位系浙江省桐乡市第二实验小学）