四色原理简介
这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。
四色定理的诞生过程
世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1 865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决
提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。
肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了5 0国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。
证明方法
证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour
和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。
简易证明
四色定理：将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字，即至多存在四个两两相邻的区域。
证明：
假设：任意多个相邻区域的组合区域中，不存在任何内部区域。
给定区域A、B，且A、B相邻，因为A、B间不存在内部区域，则A、B必然相交于一条曲线，曲线端点为a、b。外部两条为曲线aAb、aBb将相邻区域A，B围成一个组合区域，视为X。
任意第三个区域C与A、B两两相邻，则必然与X相邻，同理C与X只相交于曲线a1b1，产生曲线的端点为a1，b1。
若a1、b1同时在aAb或aBb其中一条曲线上，则有两种情况：
1、区域C只与A，B其中一个区域相交
2、区域C与其中一个区域的组合区域包含另一个区域，与假设矛盾。
所以a1，b1必然分别在aAb，aBb两条曲线上，则区域C必将与X相交于曲线a1a b1或a1b b1，即相交曲线包含a或b点。
令A、B、C三个区域组成的组合区域为Y。
任意区域D，与A、B、C三个区域两两相邻，如上图，则D必将与Y相邻，由上述证明可知，则D与Y的相交曲线必将至少包括a、a1、b1中的两点，无论是那两点，则D必将与A、B、C其中某两个区域包含第三个区域，即必将有一个区域成为内部区域，与假设矛盾。
即得出结论一，四个两两相邻的区域中至少有一个区域属于内部区域。
因为内部区域与外部区域无法相邻，所以不存在一个外部区域E，使得A、B、C、D、E五个区域两两相邻。（结论二）
假设，存在一个内部区域F，使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻。
因为A、B、C、D、F中，至少有一个是外部区域。以A为例，A为外部区域，因为A与其他四个区域两两相邻，则A必然与四个区域分别相交于至少一条曲线。
若将A移除，则另外四个区域分别与A相交的曲线就与外界相通，即四个区域都变为外部区域，而四个区域又是两两相邻的，与结论一相悖。
即得出结论三，不存在一个内部区域F，使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻。
因为平面中，除了内部区域都是外部区域，所以通过结论二和结论三得出结论四，即不存在一个区域G，使得A、B、C、D、G五个区域两两相邻。即至多存在四个两两相邻的区域。
四色定理得证！
注释：
内部区域：即完全包含于其它区域的区域。
外部区域：存在边际曲线不包含于任何其它区域的区域。
组合区域：有两个或多个区域共同覆盖的区域。
四色定理的重要
四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。
缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”
四色定理成立区划意义重大
摘要：地图着色只用四色即可区划相邻地区的问题，是近代三大数学难题之一。求证四色问题，需要数学，地理学，区划学等各方面的知识。我在创新区划学说，并取得重大发明之后，创新性思维和系统性论证四色定理成立。同时为我区划创新的科学性及其技术应用，奠定了科学基础。
我用地图区划，几何求证，图论推倒，图形拼合，地理分析综合论证四色定理成立，互相可以联想，参证，并发现许多奥妙和定理。由自然数集奇偶性，必然导致二色偶区环图，三色奇区环图，三色三区环图具有环闭性，四色区环图无必然性，五色区环图无必然性，因而四色定理成立。进而猜想三维空间五色定理成立。
本论文实际上是综合多学科进行数学难题论证的结果。使得四色定理的证明过程由浅入深，由简入繁，由一至无穷，由直观入抽象。因此具有很大的实用价值和应用范围。教育工作者可以启迪大中小学生提高对数和形的深刻认识。科技工作者可以正确应用定理进行工程设计和规划制定。尤其是区划学科得到广泛应用。使地图，地理，行政，组织，军队，交通，旅游，自然，经济，城建，工程，各项分类分级区划都按最优原则合理安排，从而大大提高全国人民的工作效率。
关键词：图，奇，偶，区划，相邻，相隔，唯一性，环闭性，二色偶环，三色奇环。
定理综合：由自然数集奇偶性质，推论定理如下：
定理一：一点偶线形成二色2k区环图。定理二：一点奇线形成三色2k+1区环图。定理三：一点或面外三色三区环图，因相邻不隔具有环闭性。定理四：四区环图必有二图相隔可用同色无环闭性。定理五：四色区环图无必然性，不都成相邻不隔关系。定理六：二交点三线“工”形相邻四区环图只用三色区划。定理七：偶点图相邻各色区划。定理九：四色四区奇面三环图，因相邻不隔具有唯一性。定理十：二维四方图的一维环闭合形成三色环，必使另一维环相隔。定理十一：中环二边内环和外环相隔可以使用相同三色。定理十二：内中外三环之间任一区图不会相邻四色区图。定理十三：任一图同时相邻四图，必有二图相隔可用同色。定理十四：任二图同时相邻在三色环中必会形成二图相隔可用同色。定理十五：五色区划图无必然性。不都成相邻不隔关系。定理十六：四色定理成立具有必然性，这是系统归纳的结果。
结论解密：图内多点可作一组平行线，形成左右区划二色邻隔环，又使某一图相邻左右二图相邻相隔，并且在圆环面上因奇数形成三色区划。同时具有环闭性。地球面上的经线可作为平行线绕地球一周成环。各经线又在南北极交于圆心。
图外多点可做一组同心圆环线，形成内外相邻二色区划，又使某一圆环图相邻内外二圆环图形成内中外相邻相隔。但圆环线的三色环闭性，使得内外二环相隔可使用
相同三色环。地球面上的纬线可作为同心圆环线不再成环，分别在南北极终止于圆心。
这就是球面二维四方相对二个邻隔环互有不同的原因。其中一组邻隔环闭合必使另一组邻隔环相隔。这就是五图之间，其中一组三图形成三色环闭性。必使另二图相隔可用同色的原因。也是任何一图至多相邻三色环，不会相邻四色环的原因。因而使得五色定理不具有必然性，而在三维空间成立具有必然性，所以地图区划四色定理成立。
德·摩尔根：地图四色定理
地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德?摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W. Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德?摩尔根致哈密顿信的主要部分，译自J．Fauve1 and J.Gr ay（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp．597～598。
德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日）
我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会出现画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域。但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。如果您能举出一个简单的反例来，说明我像一头蠢驴，那我只好重蹈史芬克斯的覆辙了……。
最新进展:
万有图形色数规律
摘要: 中华民族曾是大自然钟秀的国土和人民,所以很早就有了"道为一，一分二，二生三，三化万物"的哲理思想。我以深思发现：“奇偶成一，一分为二，二和生三、三变化四、四四进位，层层优化，和谐发展，天道自然。”我进而很自然地用完全数学归纳法，证明了人类进行跨世纪猜想论证的世界科学难题，即地图区划四色问题，使其成为真奇美的四色定理。
人们长期以来把周易理论：“太极分二仪，二仪分四象，四象分八卦”。看作二进位制。我则深入研究把其看作自然空间不同维数的最优进位单位。由此我发现：宇宙时空最优进位制是，一维的二进位制，二维的四进位制，三位的八进位制，四维的十六进制。在其不同维数领域有其特优的实用价值。
我科学地证明：一色区划图在0维原点系统成立是太极元一色定理。二色区划图在一维曲线系统成立是罗盘仪二色定理。四色区划图在二维曲面系统成立是地球图四色定理。八色区划图在三维空间系统成立是万物象八色定理。十六色区划图在四维时空系统成立是宇宙规十六色定理。由此成为万有曲面的拓扑不变色数标准模型。我就此创新了人类千年以来梦寐以求的宇宙万物曲面分类定理，相对证明数学大师庞加莱猜想是个错误命题，因而无解。同时展示了完美的万有图形色数规律。
我还发现：物理色谱：一维二色分黑白，二维四色分红黄蓝黑，三维八色分红橙黄绿青蓝紫黑。而在0维系统为混沌中性一色为灰。因为事物总是随时间和空间的位置的改变而作始终运动，所以八色彩也因此始终形成不同深浅颜色分十六色及其倍数色。我把图形色数进行了有机有序的完美统一。
我的万有图形色数理论构成了系统科学的区划论，思想的协调论，行动的优化论。因为其产生于人类千百年的实践经验和科学文化知识结累，以及本人数十年的追索研究。因此一旦上升为定理，必然形成自然科学人文知识的完美和谐的标准模型。将象罗盘一样统一人们的思想和行动以和谐发展，从而成为一种科学规仪。
我在自然时空最优境界的研究成果，展示了地球和宇宙的各维图形色数的系统区划分类定理。其统一色数推导公式是：N=2+K，即N色数=2奇偶数+K维数。这是美妙的构思，划时代的贡献。相比爱因斯坦的质能转换公式E=mc2，刚好一世纪。其也必将产生世纪性意义和影响，永远灿烂辉煌，闪亮于全中国，造福于全人类。
关键词：奇偶、图形、色数、色谱、进位、维数、系统、区划、分类。
地球区划图的奥秘——四色定理
摘要：全球众多的数学家和科学爱好者，进行跨世纪猜想论证的四色定理。本人因发明了邻隔环思想系统区划论，并根据数学完全归纳法进行论证，终于获得了合理的证明，从而揭开了最迷人的形图色数，在二维可平面区划的奥秘。
我用地图区划，几何求证，图论推导，图形拼合，地理分析，综合论证了四色定理成立。相互可以联想，参证，并发现许多地球的奥秘和定理。由自然数的奇偶性，必然导致一色一区划图，二色偶区划环图，三色奇区环图，三色三区一环图具有简单环闭性，四色四区二环图有复式环闭性，五色区划图无必然性。因而四色定理在二维曲面系统必然成立。进而科学猜想五色定理在三维空间成立。
关键词：图、奇、偶、区划、相邻、相隔、二色偶环、三色奇环、四色区划。
定理1. 1区划0环在一维可直线曲面图为1色图。
定理2. n区划0环在一维可直线曲面图为2色图。
定理3. 奇区划1环在二维可平面曲面图为3色图。
定理4. n区划2环在二维可平面曲面图为4色图。
定理5. 偶点图区划2色偶区图为3色图。
定理6. 奇点图区划3色奇区图为4色图。
定理7. 1图区划4色2环图仍为4色图。
定理8. 2图区划3色1环图仅为4色图。
定理9. 3色3区1环图各区相邻不隔有单环闭性。
定理10. 4色4区2环图各区相邻不隔有复环闭性。
定理11. 4方图的1环成3色环必相隔另1环。
定理12. 相隔的2环可使用相同的3色环区图。
定理13. 内中外3环任1图仅相邻3色区划图。
定理14. 2色区划图在一维直线系统有必然性成立二色定理。
定理15. 4色区划图在二维平面系统有必然性成立四色定理。
定理16. 5色区划图在二维平面系统无必然性而在三维成立。
宇宙万物图的奥秘——十六色定理
摘要：一百年前数学大师庞加莱创造了代数拓扑学，并且提出了闻名的猜想以求万有曲面分类定理。他先断言：如果两个闭流形有相同的Betti数和挠系数，它们就同胚。但在三维流形他增加单连通作为条件，即：每一个单连通的闭的能定向的三维流形同胚于三维球。庞加莱猜想曾被推广成：每一个单连通的闭的n维流形，如果具有n维球的Betti数和挠系数，它就同胚于n维球。推广的各维猜想已被证明。只剩n=3的庞加莱猜想成为干年难题。因为人类梦寐以求的是对宇宙万有曲面进行分类。本人论证宇宙万有曲面色数分类定理，创造万有曲面的拓扑不变色数正确模型。从而相对证明庞加莱猜想是个错误命题，因而无可能解。
关键词：图、环、圈、区划、曲面、联通、二维、三维、四维、
定理1. 1区划0环在一维曲面图为1色图。
定理2. 2区划0环在一维曲面图为2色图。
定理3. 3区划1环在二维曲面图为3色图。
定理4. 0圈1联通2环二维曲面图为4色图。
定理5. 1圈2联通3环三维曲面图为5色图。
定理6. 2圈3联通4环三维曲面图为6色图。
定理7. 3圈4联通5环三维曲面图为7色图。
定理8. 4圈5联通6环三维曲面图为8色图。
定理9. 2色区划图在一维直线系统有必然性成立二色定理。
定理10. 4色区划图在二维平面系统有必然性成立四色定理。
定理11. 8色区划图在三维立面系统有必然性成立八色定理。
定理12. 16色区划图在四维超面系统有必然性成立十六色定理。
定理13. 4圈5联通在三维空间相邻不隔有复环闭性。
定理14. 5圈区划在三维空间因相隔同色性仍为8色图。
定理15. 9色区划图在三维系统无必然性而在四维成立。
定理16. 二维和三维空间万有曲面图有K+2色统一性。
宏伟的原创性科学发现和发明——万有图形色数
罗永海中国上海市黄浦区黄河路215弄54支弄22号
伟大的中国创造了宏伟的四大发明。罗盘为人类进步指明了方向，火药把载人航天器射向太空，造纸和印刷把媒体覆盖全球。后三项大发明已有数百万人们投身于两弹一星工程和电脑以及互联网系统，并且不断拓展而获得巨大成功，由此极大地推进了人类的巨大生产力。但人类则为首项大发明罗盘在二维和三维空间以至四维时空的拓展，以求证明地球区划四色定理和宇宙万有色数分类定理，却百思不解，以至无法求得地球区划四色奥秘，乃至宇宙万有色数奥秘。
本世纪伊始，在巴黎召开的国际数学大会上，美国数学界已向全世纪公民宣布，悬赏100万美元的千年数学难题，以求破解庞加莱猜想，最终求得宇宙万有色数分类定理。2005年中国数学网站举行的世界最迷人的数学难题评选。最终评选出数论“哥德巴赫猜想”，和图论“四色猜想”为最迷人数学难题前两名。而后者，我以完全数学归纳法证明其成立四色定理，并且其真是我们人类唯一的家园—地球的色数奥秘。同时也证明美国人的电脑以枚举归纳法论证四色定理，只是徒有虚名。我的智慧发现：不可避免图集仅仅是一个构形。我命名其为罗华三色环圆，并与罗中金三角点成为一对双生子。因为三色环圆具有特殊的封密性和完美性，任何几何图都最终可分为三角形图，而三角形图再分也是如此不可避免构图。
格物致知，天道自然。这才是检验定理的标准。因此，只要翻开地图就可智慧发现到处都是金三角点和三色环圆。自然数奇偶性为其完全归纳证明。所以，红黄绿蓝黑白灰，最简单的点线面，构成了既奇巧复杂，又和谐分级的地图构形。这就是人类所要最终寻求的地球表面构形的奥妙，乃至拓展到宇宙万有构形的奥秘。同时也把图形色数各学科和谐统一了。
今年是联合国提倡的“地球国际年”——“认识地球和谐发展”。本人创新了宇宙万有图形色数规律：其在一维直线是二色定理，在二维曲面是四色定量，在三维空间是八色定理，在四维时空是十六色定理。我把伟大发明罗盘指南针拓展为地球区划图，万物八卦象，宇宙色数规。并使中国古代朴素的周易理论：“太极分二仪，二仪分四象，四象分八卦。”赋予了创新的内容，使其成为系统科学区划论，其本质就是人们的路线图和领导的规划图。源于自然规律，人类关系和国家区划，凝聚成思想协调论和行动优化论。博大精深的万有图形色数规律，具有指明方向并且显示和谐标准的伟大意义。
然而两年来，我尽了所有精力，仍无法通过国家各大部委和科研院校以及报刊媒体，来把如此重要的科学研究成果，敬献给祖国人民和党政领导。这一耽搁已给祖国带来很大损失，毕竟许多的工程实践和物质建设，仍还是在并不文明和科学地进行着。因此我希望人们在为万有图形色数规律和定理的推广和实行的过程中，都能尽自己的一份贡献，并享受其真理的智慧的光辉。
有诗为证：图内图外图环图，四色区划显神奇。
系统邻隔二维分，东西南北三色齐。
多少奇巧繁化简，大小和谐类变级。
创优环球新区划，精彩奥秘在偶奇。
关键词：图形、色数、系统、区划、分类、奇巧、和谐、优化。
2006年4月,正在主讲"神经网络"的科大信息学院陈贤富老师突然被自己在黑板上随便画的 5 阶Hopfield联想记忆模型"惊"了片刻.为何5 阶Hopfield联想记忆模型(K5)具有奇特的、"立体的美感"?! 被这一瞬间的灵感触发, 联想起著名的四色问题,陈贤富博士针对任意简单连通图的k染色问题展开了持续的思索和研究, 终于提出了基于不可约肯普链团的k色猜想, 并于最近彻底攻克"格思里四色猜想"的数学证明问题. 此外,在机器证明方面,陈贤富博士也提出了一个将人类卓越的归纳推理能力与计算机高速的计算能力相结合的证明四色猜想的新方法。基本思路是让机器证明一个规模相当小的染色特例问题（在个人电脑上可以简单方便地验证），再运用数学归纳法，将机器证明的特例归纳推广到一般情形。真可谓"殊途同归,一通百达!"
中国科学技术大学信息科学学院陈贤富博士已于一个月前彻底解决世界数学名
题----四色猜想的理论证明问题! 2008年3月19日, 陈贤富博士在中国科学技术大学首次报告四色猜想的理论证明!
同年，秋屏先生也于媒体发表了《四色猜想的书面常规证明》（正文网址：http: //https://www.doczj.com/doc/e54936329.html,/s/blog_4d2e0dd801009uzq.html），至此一百四十多年前的四色猜想，已被中国人完全彻底地证明出，可谓数学界的一大盛事。不仅如此，秋屏先生还于媒体发表了《最少着色色种次序猜想》（正文网址：
https://www.doczj.com/doc/e54936329.html,/s/blog_4d2e0dd801009uzz.html），此猜想比四色猜想更完善，更具实用价值和意义。
利用三角形和数学归纳法证明
四色猜想的证明
摘要：将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图，根据三角形的稳定性，利用数学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜色。
定理：在平面图中,对不同顶点进行着色,相邻顶点着不同颜色,不相邻顶点着相同颜色,则最多需4种颜色。
证明：在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面，那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最稳定、密闭的图形。
由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将图1分解为４个△ABC。
在平面图中的无数点中，任取相邻三点构成各点相邻的△ABC（见图2），则需3种颜色A B C,在平面图中再任取一点 D 与 A B C 三点相邻,同时D又与A B C三点相连后形成三角形。任取一点E与A、B、C、D四色相连，E必与四色之一色相同即E点在△ABD中与C色相同、在△ACD中与B色相同、在△BCD中与A 色相同、在△ABC外与D色相同，E与另外三色相连形成新的三角形。
在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三点相连且又形成新的三角形。
继续选取一点进行着色，该点同样最多与三角形的三点相连且又形成新的三角形，该点至少为四色中的一色。逐点（第n点）着色至将所有点（第n+1点）着色只须A、B、C、D四色其中一色。
图的着色方法：任意一张地图，将孤立的点用一种颜色着色（Ａ色），不能形成密闭图形的相连的点用两种颜色（Ａ、Ｂ色）。将剩余的点不相连的用虚线使其相连形成许多三角形，完全不相连的图不进行相连。任取相连三点着三种颜色（Ａ、Ｂ、Ｃ色），再取与其相连的点，如果与Ａ、Ｂ、Ｃ三色的点都相连着Ｄ色，否则着与其不相连的其中一色，用虚线相连的点可以用同一种颜色也可以用两种颜色，依次取与着色的点相连的点用以上方法进行着色。这样对所有的点进行着色最多用四色（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ色）。
《电路原理》复习资料 一、填空题 1、 图1-1所示电路中，I 1 = 4 A ，I 2 = -1 A 。 2、 图1-2所示电路， U 1 = 4 V ，U 2 = -10 V 。 3、 图1-3所示电路，开关闭合前电路处于稳态，()+0u = -4 V ， + 0d d t u C = -20000V/s 。 4、 图1-4（a ）所示电路，其端口的戴维南等效电路图1-4（b ）所示，其中u OC = 8 V ， R eq = 2 Ω。 5、图1所示电路中理想电流源的功率为 -60W 图1-1 6Ω 图 1-3 μF 1' 1Ω 图1-4 (a) (b) ' U 1图1-2
6、图2所示电路中电流I 为 －1.5A 。 7、图3所示电路中电流U 为 115V 。 二、单选题（每小题2分，共24分） 1、设电路元件的电压和电流分别为u 和i ，则( B ). （A ）i 的参考方向应与u 的参考方向一致 （B ）u 和i 的参考方向可独立地任意指定 （C ）乘积“u i ”一定是指元件吸收的功率 （D ）乘积“u i ”一定是指元件发出的功率 2、如图2.1所示，在指定的电压u 和电流i 的正方向下，电感电压u 和电流i 的约束方程为(A ). （A ）0.002di dt - （B ）0.002di dt （C ）0.02di dt - （D ）0.02di dt 图2.1 题2图 3、电路分析中所讨论的电路一般均指( A ). （A ）由理想电路元件构成的抽象电路 （B ）由实际电路元件构成的抽象电路 （C ）由理想电路元件构成的实际电路 （D ）由实际电路元件构成的实际电路 4、图2.2所示电路中100V 电压源提供的功率为100W ，则电压U 为( C ). （A ）40V （B ）60V （C ）20V （D ） -60V 图2.2 题4图 图2.3 题5图 5、图2.3所示电路中I 的表达式正确的是（ A ）. （A ）S U I I R =- （B ）S U I I R =+ （C ）U I R =- （D ）S U I I R =-- 6、下面说法正确的是（ A ）. （A ）叠加原理只适用于线性电路 （B ）叠加原理只适用于非线性电路 （C ）叠加原理适用于线性和非线性电路 （D ）欧姆定律适用于非线性电路 7、图2.4所示电路中电流比 A B I I 为（ B ）.
7.1 Ferrite-to-Austenite Transformation in Austenitic Stainless Steel Welds 7.1.1 Primary Solidification Modes The welds of austenitic stainless steels normally have an austenite (fcc) matrix with varying amounts of δ-ferrite (bcc). A proper amount of δ-ferrite in austenitic stainless steel welds is essential-too much δ-ferrite (≥10 vol %) tends to reduce the ductility, toughness, and corrosion resistance, while too little δ-ferrite (≤5 vol %) can result in solidification cracking. A.Phase Diagram Figure 7.1 The Fe-Cr-Ni ternary system: (a) liquidus surface; (b) solidus surface Figure 7.1 shows the ternary phase diagram of the Fe-Cr-Ni system. The heavy curved line in Figure 7.1a represents the trough on the liquidus surface, which is called the line of twofold saturation. The line declines from the binary Fe-Ni peritectic
《电路理论》试卷 考试形式：闭卷考试 姓名：学号：专业层次：学习中心: 试卷说明： 1.考试时间为90分钟，请掌握好答题时间； 2.答题之前，请将试卷上的姓名、学号、专业层次和学习中心填写清楚； 3.本试卷所有试题答案写在答题卷上； 4.答题完毕，请将试卷和答题卷展开、正面向上交回，不得带出考场； 5.考试中心提示：请遵守考场纪律，参与公平竞争！ 第一部分客观题部分 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．电阻与电感元件并联，它们的电流有效值分别为3A 和4A，则它们总的电流有效值为（ C ）。 A．7A B．6A C．5A D．4A 2．关于理想电感元件的伏安关系，下列各式正确的有（ D ）。 A．u=ωLi B．u=Li C．u=jωLi D．u=Ldi/dt 3．应用叠加定理时，理想电流源不作用时视为（ B ）。 A．短路B．开路C．电阻D．理想电流源 4．在正弦交流电路中提高感性负载功率因数的方法是（ D ）。 A．负载串联电感B．负载串联电容C．负载并联电感D．负载并联电容5．任意一个相量乘以j相当于该相量（ A ）。 A．逆时针旋转90度B．顺时针旋转90度C．逆时针旋转60度D．顺时针旋转60度6．如图1-2所示，i=2A，u=30V，则元件的功率大小和对此二端电路的描述正确的是（ B ） 图1-2 A．P=15W,吸收功率B．P=60W,吸收功率 C．P=15W,放出功率D．P=60W,放出功率 7．三相对称电源星型联结，相、线电压的关系为（ A ）。 A．线电压是相电压的3倍，且线电压滞后对应相电压30°
B ．相电压是线电压的31 倍，且相电压滞后对应线电压30° C ．线电压是相电压的2倍，且线电压滞后对应相电压30° D ．相电压是线电压的21 倍，且相电压滞后对应线电压30° 8．图1-8电路中电阻R 吸收的功率P 等于（ C ） A ．3W B ．4W C ．9W D ．12W 图1-8 9．应用戴维宁定理和诺顿定理将图1-9中的电路化为等效电压源，则为（ B ）。 图1-9 A B C D 10．和电压源并联的电阻对外电路（ B ），和电流源串联的电阻对外电路（ B ）。 A ．起作用；不起作用 B ．不起作用；不起作用 C ． 不起作用；起作用 C ．起作用；起作用 二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．并联的负载电阻愈多，则总电阻愈小，电路中总电流和总功率愈小。（ N ） 2．独立电源可作为能量源输出功率，但不能作为负载吸收功率。（ N ） 3．当电动势和结点电压的参考方向相反时取正号，相同时取负号，与各支路电流的参考方向无关。（ Y ） 4．功率的计算也符合叠加原理。（ N ） 5．和电压源并联的电流源对外电路不起作用。（ Y ） 6．等效电源的电流Is 就是有源二端网络的短路电流，即将a,b 两端短接后其中的电流。Ω2Ω 1
第一部分直流电阻电路一、电压电流的参考方向、功率 U 图1 关联参考方向图2 非关联参考方向 在电压、电流采用关联参考方向下，二端元件或二端网络吸收的功率为P=UI； 在电流、电压采用非关联参考方向时，二端元件或二端网络吸收的功率为P=-UI。 例1计算图3中各元件的功率，并指出该元件是提供能量还是消耗能量。 u u= -u=10 (a) 图3 解：(a)图中，电压、电流为关联参考方向，故元件A吸收的功率为 p=ui=10×(-1)= -10W<0 A发出功率10W，提供能量 (b)图中，电压、电流为关联参考方向，故元件B吸收的功率为 p=ui=(-10)×(-1)=10W >0 B吸收功率10W，消耗能量 (c)图中，电压、电流为非关联参考方向，故元件C吸收的功率为 p=-ui= -10×2= -20W <0 C发出功率20W，提供能量 例2 试求下图电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。 其它例子参考教材第一章作业1-5，1-7，1-8 二、KCL、KVL KCL：对电路中任一节点，在任一瞬时，流入或者流出该节点的所有支路电流的代数和恒为零，即Σi =0； KVL：对电路中的任一回路，在任一瞬时，沿着任一方向(顺时针或逆时针)绕行一周，该回路中所有支路电压的代数和恒为零。即Σu=0。 例3如图4中，已知U1=3V，U2=4V，U3=5V，试求U4及U5。 解：对网孔1，设回路绕行方向为顺时针，有 -U1+U2-U5=0 得U5=U2-U1=4-3=1V 对网孔2，设回路绕行方向为顺时针，有 U5+U3-U4=0 得U4=U5+U3=1+5=6V 三、理想电路元件 理想电压源，理想电流源，电阻元件，电容元件，电感元件，线性受控源 掌握这些基本元件的VCR 关系，对储能元件，会计算储能元件的能量。 图4
4.3 Microsegregation and Banding 4.3.1 Microsegregation Solute redistribution during solidification results in microsegregation across cells or dendrite arms. The analysis of solute redistribution during the directional solidification of a liquid metal (Section 4.1) can be applied to solute redistribution duri ng the solidificati on of an in tercellular or in terde ndritic liquid duri ng weldi ng (or casting).The total volume of material in directional solidification (Figures 434.5) is now a volume element in a cell or a dendrite arm, as shown in Figure4.13. Within the volume eleme nt the S/L in terface is still pla nar eve n though the overall structure is cellular or den dritic. The volume eleme nt covers the regi on from the cen terl ine of the cell or den drite arm to the boun dary betwee n cells or den drite arms. Solidificati on beg ins in the volume eleme nt whe n the tip of the cell or den drite arm reachesthe volume eleme nt. canterline of coll b oundary botwean cell& or dendrite arm element or dendrite arms (a) (b) Figure 4.14 Microsegregation profiles across cells or dendrite arms: (a) k < 1; (b) k > 1. The case of the equilibrium partition ratio k < 1 is shown in Figure 4.14a. No complete liquid diffusion, no solid .diffusion distance J 1 limited liquid diffusion, no solid qiffuskjn 一> (a) (b) Figure 4.13 Volume eleme nts for microsegregati on an alysis: (a) cellular solidification; (b) dendritic solidification. complete liquid & solid diffusion t( limited liquid diffusion, no solid.diffusion A C o kC.. complete liquid & solid diffusion complete liquid ditfusion, o solid diffuson i /
金属熔焊原理 一．基础题： 1焊接参数包括：焊接电流、电弧电压、焊接速度、线能量等。 2焊条的平均熔化速度、熔敷速度均与电流成正比。 3短路过渡的熔滴质量和过渡周期主要取决于电弧长（电弧电压），随电弧长度的增加，熔滴质量与过渡周期增大。当电弧长度到达一定值时，熔滴质量与过渡周期突然增大，这说明熔滴的过渡形式发生了变化，如果电弧长度不变，增大电流则过渡频率增高，熔滴变细。 4一般情况下，增大焊接电流，熔宽减小，熔深增大；增大电弧电压，熔宽增大，熔深减小。5熔池的温度分布极其不均匀（熔池中部温度最高）。 6焊接方法的保护方式：手弧焊（气-渣联合保护），埋弧焊、电渣焊（熔渣保护），氩弧焊CO2焊、等离子焊（气体保护）。 7焊接化学冶金过程是分区域连续进行的。 8焊接化学冶金反应区：手工焊有药皮反应区、熔滴反应区、熔池反应区三个反应区；熔化极气保焊只有熔滴和熔池两个反应区；不填充金属的气焊、钨极氩弧焊和电子束焊只有熔池反应区。 9熔滴阶段的反应时间随焊接电流的增加而变短，随电弧电压的增加而变长。 10焊接材料只影响焊缝成分而不影响热影响区。 11焊接区周围的空气是气相中氮的主要来源。 12熔渣在焊接过程中的作用：机械保护、改善焊接工艺性能、冶金处理。 13分理论中酸碱性以1为界点，原子理论中，以0为界点。 14影响FeO分配系数的主要因素有：温度和熔渣的性质。 15焊缝金属的脱氧方式：先期脱氧、沉淀脱氧、扩散脱氧。
16脱硫比脱磷更困难。 17随焊芯中碳含量的增加，焊接时不仅焊缝中的气孔、裂纹倾向增大，并伴有较大飞溅，是焊接稳定性下降。 18焊条的冶金性能是指其脱氧、去氢、脱硫磷、掺合金、抗气孔及抗裂纹的能力，最终反映在焊缝金属的化学成分、力学性能和焊接缺陷的形成等方面。 19焊剂按制造方法分为：熔炼焊剂和非熔炼焊剂。 20焊丝的分类：实芯焊丝和药芯焊丝。 21焊接中的偏析形式：显微偏析、区域偏析、层状偏析。 22相变组织（二次结晶组织）主要取决于焊缝化学成分和冷却条件。 23焊接热循环的基本参数：加热速度、最高加热速度、相变温度以上停留的时间、冷却速度或冷却时间t8/5、t8/3、t100。 24产生冷裂纹的三要素：拘束应力、淬硬组织、氢的作用 25冷裂纹的断口组织，宏观上看冷裂纹的断口具有淬硬性断裂的特征，表面有金属光泽，呈人字形发展，从微观上看，裂纹多起源于粗大奥氏体晶粒的晶界交错处。 26冷裂纹的种类：延迟裂纹、淬硬脆化裂纹、低塑性脆化裂纹。 27熔滴过度的作用力：重力、表面张力、电磁压缩力及电弧吹力等。 二．名词解释： 1焊接温度场：焊接过程中某一瞬时间焊接接头上个点的温度分布状态。 2焊缝金属的熔合比：熔化焊时，被熔化的母材在焊缝金属中所占的百分比。 3药皮重量系数：单位长度药皮与焊芯的质量比。 4随温度降低黏度缓慢增加的称为长渣。随温度降低黏度迅速降低的称为短渣。 5合金元素的过度系数：指某合金元素在熔敷金属中的实际质量分数与其在焊材中的原始质
金属熔焊原理考点 一．基础题： 1 焊接参数包括：焊接电流、电弧电压、焊接速度、线能量等。（参照课本P15图1-6） 2 焊条的平均熔化速度、熔敷速度均与电流成正比。 3 短路过渡的熔滴质量和过渡周期主要取决于电弧长（电弧电压），随电弧长度的增加，熔滴质量与过渡周期增大。当电弧长度到达一定值时，熔滴质量与过渡周期突然增大，这说明熔滴的过渡形式发生了变化，如果电弧长度不变，增大电流则过渡频率增高，熔滴变细。 4 一般情况下，增大焊接电流，熔宽减小，熔深增大；增大电弧电压，熔宽增大，熔深减小。 5 熔池的温度分布极其不均匀（熔池中部温度最高）。 6 焊接方法的保护方式：手弧焊（气-渣联合保护），埋弧焊、电渣焊（熔渣保护），氩弧焊 CO2焊、等离子焊（气体保护）。 7 焊接化学冶金过程是分区域连续进行的。 8 焊接化学冶金反应区：手工焊有药皮反应区、熔滴反应区、熔池反应区三个反应区；熔化极气保焊只有熔滴和熔池两个反应区；不填充金属的气焊、钨极氩弧焊和电子束焊只有熔池反应区。 9 熔滴阶段的反应时间随焊接电流的增加而变短，随电弧电压的增加而变长。 10 焊接材料只影响焊缝成分而不影响热影响区。 11 焊接区周围的空气是气相中氮的主要来源。 12 熔渣在焊接过程中的作用：机械保护、改善焊接工艺性能、冶金处理。 13 分子理论中酸碱性以1为界点，原子理论中，以0为界点。 14影响FeO分配系数的主要因素有：温度和熔渣的性质。 15焊缝金属的脱氧方式：先期脱氧、沉淀脱氧、扩散脱氧。 16脱硫比脱磷更困难。 17随焊芯中碳含量的增加，焊接时不仅焊缝中的气孔、裂纹倾向增大，并伴有较大飞溅，是焊接稳定性下降。 18焊条的冶金性能是指其脱氧、去氢、脱硫磷、掺合金、抗气孔及抗裂纹的能力，最终反映在焊缝金属的化学成分、力学性能和焊接缺陷的形成等方面。 19 焊剂按制造方法分为：熔炼焊剂和非熔炼焊剂。 20 焊丝的分类：实芯焊丝和药芯焊丝。 21 焊接中的偏析形式：显微偏析、区域偏析、层状偏析。 22 相变组织（二次结晶组织）主要取决于焊缝化学成分和冷却条件。 23焊接热循环的基本参数：加热速度、最高加热速度、相变温度以上停留的时间、冷却速度或冷却时间t8/5、t8/3、t100。 24 产生冷裂纹的三要素：拘束应力、淬硬组织、氢的作用 25冷裂纹的断口组织，宏观上看冷裂纹的断口具有淬硬性断裂的特征，表面有金属光泽，呈人字形发展，从微观上看，裂纹多起源于粗大奥氏体晶粒的晶界交错处。 26 冷裂纹的种类：延迟裂纹、淬硬脆化裂纹、低塑性脆化裂纹。 27 熔滴过度的作用力：重力、表面张力、电磁压缩力及电弧吹力等。 28活性熔渣对焊缝金属的氧化形式：扩散氧化、置换氧化。 29 熔合比影响焊缝的化学成分、金属组织和机械性能。局部熔化的母材将对焊缝的成分起到稀释作用。 30 焊接过程中对金属的保护有气保护、气-渣联合保护、渣保护、自保护。 二．名词解释： 1 焊接温度场：焊接过程中某一瞬时间焊接接头上个点的温度分布状态。 2 焊缝金属的熔合比：熔化焊时，被熔化的母材在焊缝金属中所占的百分比。 3 药皮重量系数：单位长度药皮与焊芯的质量比。 4 随温度降低黏度缓慢增加的称为长渣。随温度降低黏度迅速降低的称为短渣。 5 合金元素的过度系数：指某合金元素在熔敷金属中的实际质量分数与其在焊材中的原始质量分数之
《电路原理》试题A 卷 一、 填空：要求有计算过程。(每空5分，共15分) 1、图1所示电路中理想电流源的功率为 。(4分) 2、图2所示电路中电流I 为 。 3、图3所示电路中电流U 为 。 二、 分别用节点法、网孔法和戴维南定理求图4所示电路中的电流I 。 图4 图5 图6 三、 求图5所示电路中的电压U ab 。(10分) 四、 含理想变压器电路如图6，V U S 00100∠=? ，求负载R 上电压有效值U 。(10分) 五、求图7中各二端网络的等效电阻。(15分) 图7 六、电路如图8所示，开关K 闭合前电路已稳定，用三要素法求K 闭合后的u c (t)。(10分)
七、(10分) 电路如图9所示。已知：U=8V，Z 1=1-j0.5Ω，Z 2 =1+j1Ω， Z 3 =3-j1Ω。 (1) 求输入阻抗Zi； (2) 求 ? 1 I。 图8 图9
《电路原理》试题B卷 一、选择题(单选)：(20分) 1、电阻与电感元件并联，它们的电流有效值分别为3A 和4A，则它们总的电流有效值为( ) 。 A、7A B、6A C、5A D、4A 2、关于理想电感元件的伏安关系，下列各式正确的有( ) A、u=ωLi B、u=Li C、u=jωLi D、u=Ldi/dt 3、耦合电感的顺串时等效电感为( ) 。 A、L eq =L 1 +L 2 +2M B、L eq =L 1 +L 2 -2M C、L eq =L 1 L 2 -M2 D、 L eq =L 1 L 2 -M2 4、单口网络，其入端阻抗形式是Z=R+jX，当X<0时,单口网络呈( ) A、电阻性质 B、电感性质 C、电容性质 二、填空：(每空2分，共14分) 1、图1.1所示电路中理想电流源吸收的功率为。 2、图1.2所示电路中电阻的单位为Ω，则电流I为。 3、已知i=10cos(100t-30。)A，u=5sin(100t-60。)A,则 i、u的相位差为且i u。 4、为提高电路的功率因数，对容性负载，应并接元件。 5、三相对称电路，当负载为星形接法时，相电压与线电压的关系为相电流与 线电流的关系为。 三、电路见图3，用网孔分析法求I。(10分)
华南理工大学网络教育学院期末考试 《电路原理》模 拟 试 题 注意事项： 1.本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟，闭卷； 2.考前请将密封线各项信息填写清楚； 3.所有答案请直接做在试卷上，做在草稿纸上无效； 4.考试结束，试卷、草稿纸一并交回。 一、单项选择题（每小题2分，共70分） 1、电路和及其对应的欧姆定律表达式分别如图1-1、图1- 2、图1-3所示，其中表达式正确的是（ b ）。 （a ）图1-1 （b ）图1-2 （c ）图1-3 图 1图 2 图 3图1-1 图1-2 图1-3 2、在图1-4所示电路中，已知U ＝4V ，电流I =－2A ，则电阻值R 为（ b ）。 （a ）-2Ω （b ）2Ω （c ）-8Ω 3、在图1-5所示电路中， U S ，I S 均为正值，其工作状态是（ b ）。 （a ）电压源发出功率 （b ）电流源发出功率 （c ）电压源和电流源都不发出功率 4、图1-6所示电路中的等效电阻R AB 为（ b ）。 （a ）4Ω （b ）5Ω （c ）6Ω R U I S 图1-6 5、在计算非线性电阻电路的电压和电流时，叠加定理（ a ）。 （a ）不可以用 （b ）可以用 （c ）有条件地使用 6、理想运放工作于线性区时，以下描述正确的是（ c ）。 （a ）只具有虚短路性质 （b ）只具有虚断路性质 （c ）同时具有虚短路和虚断路性质 7、用△–Y 等效变换法，求图1-7中A 、B 端的等效电阻R AB 为（ b ）。 （a ）6Ω （b ）7Ω （c ）9Ω 8、图1-8所示电路中，每个电阻R 均为8Ω，则等效电阻R AB 为（ a ）。 （a ）3Ω （b ）4Ω （c ）6Ω
A 卷 一、 填空：要求有计算过程。(每空5分，共15分) 1、图1所示电路中理想电流源的功率为 。(4分) 2、图2所示电路中电流I 为 。 3、图3所示电路中电流U 为 。 二、 分别用节点法、网孔法和戴维南定理求图4所示电路中的电流I 。 图4 图5 图6 三、 求图5所示电路中的电压U ab 。(10分) 四、 含理想变压器电路如图6，V U S 00100∠=? ，求负载R 上电压有效值U 。(10分) 五、求图7中各二端网络的等效电阻。(15分) 图7 六、电路如图8所示，开关K 闭合前电路已稳定，用三要素法求K 闭合后的u c (t)。(10分) 七、(10分) 电路如图9所示。已知：U=8V ，Z 1=1-j0.5Ω，Z 2=1+j1Ω， Z 3=3-j1Ω。 (1) 求输入阻抗Zi ； (2) 求? 1I 。 图8 图9 A 卷答案
一、填空：(每题5分，共15分) 1、-60W 2、－1.5A 3、115V 二、选择题：(每种方法10分，共计30分。要求有计算过程。) I=6A 三、U ab=60V (10分) 四、U=8.01V(10分) 五、(a)36Ω；(b)12Ω；(c)－6Ω。(每题5分，共15分) 六、用三要素法求K闭合后的u c(t)。(共10分) 解：uc(0+)=5V (2分) uc(∞)=10V (2分) τ=RC=10s (2分) uc(t)=10-5e-0.1t V (4分) 七、(共10分) 解：(1)Zi=2Ω(5分) (2) I1=4∠0A (5分) B卷 一、选择题(单选)：(20分) 1、电阻与电感元件并联，它们的电流有效值分别为3A 和4A，则它们总的电流有效值为( ) 。 A、7A B、6A C、5A D、4A 2、关于理想电感元件的伏安关系，下列各式正确的有( )
金属熔焊原理 一、单项选择题 1．焊接过程中出现的热量传播和分布现象，叫【焊接热过程】 17. 熔池的主要尺寸为熔池长度、最大宽度和【.最大熔深】 30.埋弧焊时，隔离空气保护焊缝金属的是【熔渣】 31.焊条电弧焊的三个反应区包括药皮反应区、熔滴反应区和【熔池反应区】 32.用光焊丝焊接性能达不到要求，是由于【没有保护】 33.以焊剂熔化形成的熔渣进行保护的焊接方法是【埋弧焊】 34.硫的主要危害是【产生结晶裂纹】 35. 熔渣的熔点是指【熔渣开始熔化的温度】 36. 氟化物有利于减少焊缝中的【氢含量】 37.靠熔渣进行保护的焊接方法是【等离子焊】 38.光焊丝焊接没有保护其焊缝质量【达不到要求】 39. 杂质硫对焊缝的危害是【产生热裂纹】 40. 熔渣开始熔化的温度是【熔渣的熔点】 41. 氟有利于除去焊缝中的【氢】 56．焊接易淬火钢时，热影响区的过热区会形成脆硬的【马氏体组织】 57．熔合区性能下降的主要原因是由于该区存在着物理不均匀性【化学不均性】58．导致易淬火钢热影响区出现脆化的组织是【马氏体组织】 59．紧邻熔合区的晶粒粗化区域是【过热区】 60．熔池金属凝固结晶后形成【焊缝】 61．容易产生脆化的组织是【马氏体组织】 62．焊缝的晶粒粗化多产生在【过热区】 63．熔池金属结晶后形成的是【焊缝】 67．热裂纹又可分为结晶裂纹、液化裂纹和【多边化裂纹】 68．气泡成核如不能长大，会在焊缝中形成【气孔】 69．大量扩散氢的存在易使焊件产生【延迟裂纹】 70．焊接熔池中气体来不及析出易造成【析出型气孔】 71．扩散氢易使焊缝产生【冷裂纹】 72．气孔缺陷是由于气体【来不及溢出产生的】 82．焊条是涂有药皮的，供焊条电弧焊使用的熔化【电极】 83．按结构，焊丝可分为实芯焊丝和【药芯焊丝】 二、填空题 2．焊接过程中某一瞬间焊件上各点的温度分布是（焊接温度场） 3．焊接热源的功率和密度须足够使焊件（局部熔化） 4. 目前应用最广的的焊接热源是（电弧） 5. 先进的焊接技术要求热源能够进行（高速焊接)
电路原理—2 一、单项选择题（每小题2分，共40分）从每小题的四个备选答案中，选出 一个正确答案，并将正确答案的号码填入题干的括号内。 1.图示电路中电流 s i等于（） 1) 1.5 A 2) -1.5A 3) 3A 4) -3A 2.图示电路中电流I等于（） 1)2A 2)-2A 3)3A 4)-3A 3.图示直流稳态电路中电压U等于（） 1)12V 2)-12V 3)10V S i Ω 2 A i1 = 16 Ω 6Ω 2 Ω 2 V 12 Ω 3 Ω 2
4) -10V 4. 图示电路中电压U 等于（ ） 1) 2V 2) -2V 3) 6V 4) -6V 5. 图示电路中5V 电压源发出的功率P 等于（ ） 1) 15W 2) -15W 3) 30W 4) -30W 6. 图示电路中负载电阻L R 获得的最大功率为（ ） 1) 2W 2) 4W 3) 8W 4) 16W V 6A 3+- V 55.0 2L
7. 图示单口网络的输入电阻等于（ ） 1) 3Ω 2) 4Ω 3) 6Ω 4) 12Ω 8. 图示单口网络的等效电阻ab R 等于（ ） 1) 2Ω 2) 3Ω 3) 4Ω 4) 6Ω 9. 图示电路中开关闭合后电容的稳态电压()∞c u 等于（ ） 1) -2V 2) 2V 3) -5V 4) 8V S 2.0 S a b Ω 3Ω :a b
10. 图示电路的开关闭合后的时间常数等于（ ） 1) 0.5s 2) 1s 3) 2s 4) 4s 11. 图示电路在开关闭合后电流()t i 等于（ ） 1) 3t e 5.0- A 2) 3(t e 31--) A 3) 3(t e 21--) A 4) 3(t e 5.01--) A 12. 图示正弦电流电路中电流()t i 等于（ ） 1) 2)1.532cos( +t A 2) 2)1.532cos( -t A 3) 2)9.362cos( +t A 4) 2)9.362cos( -t A 13. 图示正弦电流电路中电流()t i R 的有效值等于（ U V t t u S )2cos(10)( =L i ?H 2H 26
熔焊原理及金属材料焊接 什么是焊接：焊接是通过加热或加压，或两者并用，并且用或不用填充材料，使工件达到结合的一种方法。 宏观上焊接的两个特点： 1.需要外界能量。 2.焊接结合的不可拆卸性。 微观上的特点：焊接件之间达成原子间的结合。即就是原来分开的工件，经过焊接后在为微观上形成一个整体。（两工件间建立了金属键） 我们主要学习研究与熔焊有关的基本理论及应用 焊接接头示意图：1.焊缝 2.熔合区 3.热影响区 4.母材 焊缝：焊接时焊件经过焊接形成的结合部分。 热影响区：母材因受热的影响（但未熔化）而发生组织与力学性能的变化区域叫热影响区。 熔合区：焊缝与热影响之间的过渡区。 第一章焊接区温度的变化 1.焊接区温度的变化 加热是是实现熔焊的必要条件。 通过对焊件进行局部加热，使焊接区的金属熔化、冷却后形成牢固接头。但加热也必将引起焊接区金属的成分、组织与性能的变化，
其结果必将决定焊接的质量。上述变化的程度则主要取决于温度变化的情况，。因此能主动控制焊接质量，首先就应掌握焊接区温度变化的规律，即掌握温度与空间位置和温度与时间的关系。 焊接热源：电弧热、化学热、电阻热、摩擦热、等离子热、电子束、激光束、高频感应热等。 热源的性能不仅影响焊接质量，而且对焊接生产率有着决定性的作用。 理想的焊接热源应该是具有加热面积小、功率密度大、加热温度高等的特点。 2.焊接温度场 热量的传导共有对流、对流和辐射三中基本方式。 在熔焊过程中三种方式都存在，热源的热量传递主要通过对流与辐射，母材与焊丝获得热量后在内部的传递则以传导为主。 影响焊接温度场的因素： 热源的性质、焊接参数、被焊金属的热物理性能、被焊金属的几何尺寸。 3.焊接热循环： 在焊接热源的的作用下，焊件上某一点的温度随时间的变化。叫做焊接热循环。 焊接热循环讨论的对象是焊件上某一点的温度与时间的关系。这一关系决定了改点的加热速度、保温时间和冷却速度，对接头的组织与性能都有明显的影响。
第一章 3、焊接化学冶金与炼钢相比,在原材料和反应条件主要有哪些不同？， （1）原材料不同：普通冶金材料的原材料主要是矿石、废钢铁和焦炭等；而焊接化学冶金的原材料主要是焊条、焊丝和焊剂等. （2）反应条件不同：普通化学冶金是对金属熔炼加工过程,是在放牧特定的炉中进行的；而焊接化学冶金过程是金属在焊接条件下,再熔炼的过程,焊接时焊缝相当于高炉. ①焊条熔化和过渡特性以及熔池的物理参数，不仅对焊接工艺和生产率有很大影响，而且对焊接冶金也有显著影响，同时在冶炼方面给焊接冶金带来许多特点。 ②焊接过程中必须对焊接区内的金属进行保护，这是焊接化学冶金的特点。 ③焊接化学冶金过程是分区域（或阶段）连续进行的，且各区的反应条件也有较大的差异，因而也就影响到各区反应进行的可能性、方向、速度和限度。 ④焊接化学冶金过程与焊接工艺条件有密切的关系。改变焊接工艺条件 必然引起冶金反应条件的变化，因而就影响到冶金反应的过程。 ⑤焊接化学冶金系统是一个复杂的高温多相反应系统。根据焊接方法不同，组成系统的相也不同。焊接化学冶金系统的不平衡性是焊接化学冶金过程的又一特点。 4、调控焊缝化学成分有哪两种手段?它们怎样影响焊缝化学成分? （1）对熔化金属进行冶金处理（2）改变融合比.怎样影响焊缝化学成分：（1）对熔化金属进行冶金处理,也就是说,通过调整焊接材料的成分和性能,控制冶金 反应的发展,来获得预期要求的焊接成分；（2）在焊接金属中局部熔化的母材所占的比例称为熔合比,改变熔合比可以改变焊缝金属的化学成分. 5、焊接区内气体的主要来源是什么？它们是怎样产生的？ 答：焊接区内气体的主要来源是焊接材料，同时还有热源周围的空气，焊丝表面上和母材坡口附近的铁皮、铁锈、油污、油漆和吸附水等，在焊接时也会析出气体。 产生： ①、直接输送和侵入焊接区内的气体。 ②、有机物的分解和燃烧。 ③、碳酸盐和高价氧化物的分解。 ④、材料的蒸发。 ⑤、气体（包括简单气体和复杂气体）的分解。 10、氮对焊缝质量有哪些影响？控制焊缝含氮量的主要措施是什么？ 答：氮对焊接质量的影响： a在碳钢焊缝中氮是有害的杂质，是促使焊缝产生气孔的主要原因之一。 b氮是提高低碳钢和低合金钢焊缝金属强度、降低塑性和韧性的元素。 c氮是促进焊缝金属时效脆化的元素。 控制焊缝含氮量的主要措施： a、控制氮的主要措施是加强保护，防止空气与金属作用； b、在药皮中加入造气剂（如碳酸盐、有机物等），形成气渣联合保护，可使
第一章电路基本概念和电路定律1.1 选择题 1——5CBBBA 6——10DACDC 11——15BCACA 16——20AAABA 21——25DBCCD 26——30DDDAC 1.2 填空题 1. 小 2．短开 3. 开短 4. KCL 电流KVL 电压 5. u=Ri 6. u=-Ri 7. 电流电压 8. 电压电流电流电压 9. 电源含有控制量 10. U=-I-25 11. u= us+R(i+is) 12. u= -us+R(-i+is) 13.0 Us/R 14. Us 0
15. [R/(R+Rs)]/Us Us/R+Rs 16.1V 17.7 Q 18.1 Q 19.4V 20.-0.5A 21.4A 22.-5A 23.8V 24.19V 25.4A 26.5V 27. -5V 28.4V -8V 29. x 0 TO 30. U+=U- I+=I-=0 第二章电阻电路的等效变换2.1 选择题 1 ——5BABCC 6——1 0BADCB 11——15CDACB 16——20DAACC 21——25DBBAD
26——30CBDBC 2.2 填空题 1.12 2.16 3.3 4 4.8 2 5.2.4 6. 越大 7. 越小 8.54 9.72 10.24 11.80 12.7 13.4 14.24 15.2 16.10 17. Us=10V 电压源
18. Is=5A 电流源 19. Us=8V 电压源 20. Is=4A 电流源 21.3 22.18 23.30 24. 变小 25.15 26.3 27. -6 28. 串并联Y- △等效 29. Us=10V 电压源 30. Is=5A 电流源 第三章电阻电路的分析方法3.1 选择题 1——5BCCBC 6——10DAABA 11——15BBDCA 16——20BBCDC 21——25CDADC 26——30CBBAD 3.2 填空题 1.KCL KVL 伏安
不锈钢焊接常见缺陷及预防措施 摘要：本文简单阐述了不锈钢焊接件在焊接过程中所产生的常见缺陷及预防措施；主要根据不锈钢的金相组织的不同及焊接时产生的缺陷类型不同，探讨了影响不锈钢钢焊接性的原因，从而制定相关的缺陷预防措施。通过结果分析，可以通过选择合理的焊接工艺参数、正确选择焊接材料、提高焊工技能等一系列措施来预防不锈钢钢焊接常见缺陷的产生。 关键词：焊接缺陷; 产生原理；预防措施 不锈钢的焊接性 1、不锈钢的焊接性 1）焊接接头的抗腐蚀性 (l）整体腐蚀。任何不锈钢在腐蚀性介质作用下，其工作表面总会有腐蚀现象产生，这种腐蚀叫整体腐蚀。 (2）晶间腐蚀易发生在奥氏体不锈钢中。晶间腐蚀发生于晶粒边界，所以叫晶间腐蚀。这种腐蚀可以发生在热影响区、焊缝或焊合线上，是奥氏体金属最危险的破坏形式之一
目录 一、绪论 1 二、本论 1 （一）不锈钢焊接缺陷 1 1.不锈钢焊接缺陷的概念及分类 1 2.不锈钢常见缺陷的特征 1 （二）影响不锈钢焊接的因素 1 1.焊接前的准备 1 2.焊接参数 1 (三)不锈钢焊接缺陷的形成原因及分析预防措施 1 1.气孔产生的原因及解决方法 1 2 .裂纹产生的原因及解决方法 1 3.电弧产生的偏吹及解决方法1 三、结论 1 致谢 1 参考文献 1 一、绪论
随着工业技术的发展，焊接技术被广泛用于大型与高参数设备制造中。焊接是大型安装工程建设中的一项关键工作，其质量的好坏、效率的高低直接影响工程的安全运行和制造工期。因此确保焊接质量、预防焊接热裂纹的产生成为一个重要的课题。 实践证明，母材及焊接材料的质量、坡口加工和装配精度、坡口表面清理状况、焊接设备、焊接工艺参数、焊接工艺规程、焊接技术水平、外部环境等，任何一个环节处理不当，都会产生焊接缺陷，影响焊接质量。 本文阐述了常见焊接热裂纹的预防措施，从而更好的制定不锈钢焊接的预防措施二、本论 （一）不锈钢焊接缺陷 1.1 焊接缺陷的概念及分类 焊接缺陷是指焊接过程中在焊接接头中产生的金属不连续、不致密或连接不良的现象。它直接影响产品质量和安全可靠性，造成焊接结构的实效，以至发生破坏事故。 常见焊接缺陷分为在宏观上可分为七种： （1）裂纹在焊接应力及其它致脆因素共同作用下，焊接接头中局部地区的金属原子结合力遭到破坏而形成的新界面而产生缝隙； （2）气孔焊接时，熔池中的气泡在时未能逸出而残留下来所形成的空穴； （3）未熔合熔焊时，焊道与母材之间或焊道之间未完全熔化结合的部分；点焊时母材与母材之间未完全熔化结合的部分； （4）未焊透焊接时接头根部未完全熔透的现象； （5）夹渣焊后残留在焊缝中的熔渣； （6）夹钨焊接过程中，由于某些原因，使钨极强烈的发热，端部熔化、蒸发，使钨极过渡到焊缝中，并残留在焊缝内形成夹钨； （7）形状缺陷焊缝表面形状可以反映出来的不良状态。
1.如图所示，若已知元件A 吸收功率6 W ，则电压U 为____3__V 。 2. 理想电压源电压由 本身 决定，电流的大小由 电压源以及外电路 决定。 3.电感两端的电压跟 成正比。 4. 电路如图所示，则R P 吸 = 10w 。 5.电流与电压为关联参考方向是指 电压与电流同向 。 实验室中的交流电压表和电流表，其读值是交流电的 有效值 6. 参考方向不同时，其表达式符号也不同，但实际方向 相同 。 7. 当选择不同的电位参考点时，电路中各点电位将 改变 ，但任意两点间 电压 不变 。 8. 下图中，u 和i 是 关联 参考方向，当P= - ui < 0时，其实际上是 发出 功率。 9.电动势是指外力（非静电力）克服电场力把 正电荷 从负极经电源内部移到 正极所作的功称为电源的电动势。 10.在电路中，元件或支路的u ，i 通常采用相同的参考方向，称之为 关联参考 方向 . 11.电压数值上等于电路中 电动势 的差值。 12. 电位具有相对性，其大小正负相对于 参考点 而言。 13.电阻均为9Ω的Δ形电阻网络，若等效为Y 形网络，各电阻的阻值应为 3 Ω。 14、实际电压源模型“20V 、1Ω”等效为电流源模型时，其电流源=S I 20 A ， 内阻=i R 1 Ω。 15.根据不同控制量与被控制量共有以下4种受控源：电压控制电压源、 电压控 电流源 、 电流控电压源 、 电流控电流源 。 16. 实际电路的几何 近似于其工作信号波长，这种电路称集总 参数电路。 17、对于一个具有n 个结点、b 条支路的电路，若运用支路电流法分析，则需列 出 b-n+1 个独立的KVL 方程。 18、电压源两端的电压与流过它的电流及外电路 无关 。 （填写有关/无关）。 19、流过电压源的电流与外电路 有关 。（填写有关/无关） 20、电压源中的电流的大小由 电压源本身和 外电路 共同 决定 21、在叠加的各分电路中，不作用的电压源用 短路 代替。 22、在叠加的各分电路中，不作用的电流源用 开路 代替。 23、已知电路如图所示，则结点a 的结点电压方程为（1/R1+1/R2+1/R3）
第五章 一、简述焊接裂纹的种类及其特征和产生的原因。 按产生裂纹的本质来分，焊接裂纹可分为五大类： 1、热裂纹 产生：在焊接时高温下产生。 特征：宏观看, 沿焊缝的轴向成纵向分布（连续或继续）也可看到缝横向裂纹，裂口均有较明显的氧化色彩，表面无光泽，微观看，沿晶粒边界（包括亚晶界）分布，属于沿晶断裂性质。热裂纹又分为结晶裂纹、液化裂纹和多边化裂纹等三类。 2、再热裂纹 产生：由于重新加热（热处理）过程中产生称再热裂纹—消除应力处理裂纹。 特征：多发生的低合金高强钢、珠光体耐热钢、奥氏体不锈钢和某些镍基合金的焊接热影响区粗晶部位。再热裂纹的敏感温度，视钢种的不同约550～650℃。 3、冷裂纹 产生：温度区间在+100℃～-75℃之间。 特征（断口）：宏观断口具有发亮的金属光泽的脆性断裂特征。微观看：晶间断裂，但也可穿晶（晶内）断裂，也可晶间和穿晶混合断裂。冷裂纹又分为延迟裂纹、淬硬脆化裂纹（淬火裂纹）、低塑性脆化裂纹等三类。 4、层状撕裂 产生：由于轧制母材内部存在有分层的夹杂物(特别是硫化物夹杂物）和焊接时产生的垂直轧制方向的应力，使热影响区附近地方产生呈“台阶”状的层状断裂并有穿晶发展。 特征：它属于低温开裂，一般低合金钢，撕裂的温度不超过400℃；常发生在厚壁结构的T型接头、十字接头和角接头，是一种难以修复的失效类型。 5、应力腐蚀裂纹 产生：金属材料在某些特定介质和拉应力共同作用下所产生的延迟破裂现象，称应力腐蚀裂纹。 特征：形态如同枯干的树枝，从表面向深处发展，大多属于晶间断裂性质，少数也有穿晶断裂。从端口来看，为典型的脆性断口。 二、焊接结晶裂纹的形成过程及条件是什么？ 1、过程：在焊缝金属凝固结晶的后期，低熔点共晶物被排挤在晶界，形成一种所谓的“液态薄膜”，在焊接拉应力作用下，就可能在这薄弱地带开裂，产生结晶裂纹。 2、条件：必要条件是拉伸应力。焊缝在脆性温度区间所承受的拉伸应变大于焊缝金属所具有塑性，或者说焊缝金属在脆性温度区间内的塑性储备量()s e?小于零时就会产生结晶裂纹。 三、结晶裂纹冶金和力学影响因素有哪些？防治措施有哪些？ 1、冶金因素 1) 结晶温度区间 2) 合金元素 3) 低熔共晶形态 4) 结晶组织形态及组织对结晶裂纹的影响