《弧度制》教学设计
弧度制的产生历史以及教材（人教A版）中弧度制的呈现方式决定了“弧度制”必为教学难点．对于“弧度制”教学探索也一直没有停息：有些做法是直接给出“1弧度”定义,然后阐述该定义的合理性；有些是类比角度制的定义引出弧度制,再比较角度制与弧度制,进而凸显弧度制的优越性；有些依托数学史,详细阐述角度制向弧度制演变历史．这些做法从某种程度可以减轻弧度制“从天而降”的弊端,使学生经历比较自然地概念建构过程,但遗憾的是它们都忽略了“引入弧度制必要性”的揭示,即“为什么引入弧度制,引入弧度制的目的是什么？”这两个问题没有解释清楚很容易导致学习目的不明确,教学过程不自然．
一般情况下,数学概念教学首先要解决的是必要性的问题,其次才是合理性、优越性．弧度制的教学也可以按照这样的思路展开．由于弧度是在角度制的改进与优化,类比角度制有助于弧度制概念的生成与理解．除此之外,在引入弧度制的过程中,还可以与生活中的计算、物理中的公式进行类比,有助于凸显弧度制的必要性．
依据教材内容和教参分析,确定本节课的教学重点是：弧度制的概念,弧度制与角度制的互化；教学难点是：弧度制概念的建立与理解．下面具体介绍笔者对于突破这两者的教学设计．
1、创设情景,引入新课
1. 有一个扇形的篱笆,半径为3m,圆心角为205°,则篱笆的弧长和面积分别是多少？
2. 有一个扇形的篱笆,若已知其周长为10m,求扇形的面积最大时圆心角的大小？
设计意图：通过这两个问题复习初中有关扇形弧长、面积等的有关公式,同时发现有些问题用角度制来表示弧长或面积会显得比较复杂、冗长和繁琐,因此自然而然会思考一个问题：有没有其它度量角的单位以有利于上述这些公式的表示与计算．3.在数学中,度量角的大小可以用角度制,那么1o是如何规定的？4. 一个物体是2.1g,若表示为0.0021kg,你觉得表示方便了吗？
5. 地球上物体所受的重力G=mg,这里的m是物体的质量,g是重力加速度9.8N/kg,若物体的质量为1kg,则所受重力为G=9.8N,若物体质量为1磅,则所受重力为多少？物体在“磅”单位下的重力公式是什么？
由于1磅0.45359kg,故可形成以下对比：
设计意图：问题3首先是回忆角度是怎么定义的,确认1o怎么规定．其次,类比生活和物理中的情景,思考用什么度量单位来度量一个问题比较合适,通过强烈的视觉对比反差可以发现,同一个对象用不用的度量单位表示是有繁简差异的,为后续弧度制的引出奠定基础．
2、类比观察,探究发现n R
6. 在角度制下,扇形的弧长公式l看上去有点繁琐,能不能想办法简化？200
设计意图：通过对比不同制度下同一个物理公式的繁简差异,只要将0.45359m整体简化
1o n
m就可以将公式变得简洁清晰,类比得到在弧长公式中,只需将整体替换为n,也
o1200o n R
即令1就可以将公式l精简为l nR,突出了问题的本质,彰显数学的简oo1200200洁美．
3、形成概念,构建知识
oooo7. 这样我们就有200=,依次类推360=2,,,90=60=L,我们发现了衡量角度
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大小的另一种单位．那么这种度量角的公式是怎么样的？
8. 这样定义合理吗,这个角会不会随着圆的半径变化而变化呢？
o设计意图：这样自然而然就从问题6引出了问题7,只要是在200=的前提下,就有
l
l nR,即n．同时会思考,这样一个定义的合理性,对于这个问题,通过代数上11R
的公式变形及几何上的相似比的显示,都可以验证定理的合理性．8. 那么1弧度的角是怎样定义的呢？它有什么特殊含义？
10. 若R1,即单位圆的圆心角的弧度数跟弧长有什么关系？
设计意图：通过设问1弧度的角的定义与含义,引出弧度制的概念：长度等于半径长的弧o
所对的圆心角为1弧度的角．用符号rad表示,读作弧度．因而200=rad．再补充强
调正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0．如果半径为r的圆的l
圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是．同时在R1的条件R
下,弧长与圆心角的弧度数相等,此时可以直接用弧长来表示角的大小,呈现了更为直观的几何关系,如当车轮在地面沿着直线行进时,车轮碾过的弧长就是对应的点从初始位置至终止位置转过的角弧度大小．
以上10个问题,通过问题链的形式,环环相扣、层层递进,可以清晰有效地呈现引入弧度制的必要性与合理性,突出重点、突破难点,且能提升学生通过现象看清问题本质的能力,具有一定的新颖性和创新性．4、例题分析,当堂训练例1. 填写下列表格
注：今后我们用弧度制表示角的时候,“弧度”二字或者“rad”通常省略不写,而只写这个角所对应的弧度
数．但如果以度（o）为单位表示角时,度（o）不能省略．3oo例2. 将下列角转化为相应的角度制或弧度制3720,,1,1.10
强调：在例2的基础上可以发现,角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系．变式. 把下列各角化成
2k02,kΖ的形式：
例3. 设扇形篱笆的圆心角是3rad,所对的弧长是4m,求扇形篱笆的面积．变式1. 设扇形篱笆的周长为10m,圆心角为2rad,求该扇形的面积．
变式2. 有一个扇形的篱笆,若已知其周长为10m,求扇形的面积最大时圆心角的大小．设计意图：例3是生活实际应用,体现数学来源于生活,同时变式3首尾呼应,可以看11
2到,在弧度制下,扇形有关公式如l R,S R lR等变得简洁,有利于记忆、22
计算和凸显数量之间的本质关系,体现了弧度制的优越性,整堂课自此一气呵成．
5、课堂反思,作业布置
同时,可以引领学生反思以下问题：