渗透数形结合思想教学提高函数教学效果
——对《一次函数》一章教学的思考
关键词：一次函数数学思想数形结合变化与对应建模变式
摘要：在上八年级数学上册第十四章《一次函数》时，学生对这一内容难以落实掌握，很多时候是随学随忘。学完这一章之后，两极分化明显加剧。本文从渗透数形结合的数学思想方法的教学出发，探究了这一章节教学中感悟数学思想，精讲精练，提高一次函数教学效果。
“万物皆变”，函数是研究运动变化的重要数学模型。数学思想方法是具体数学知识的灵魂。数学思想方法对一个人的影响往往并不逊色于具体的数学知识。若干年之后一个人很可能不会记住一些数学知识，但从数学课堂中所获得的数学思想方法，却能很好地利用，这就是数学思想方法的重要性。
一、问题的提出——学生两极分化严重
对运用新人教版数学教材教学的不少教师来说，有这样一种感觉：学生在学习八年级数学上册第十四章《一次函数》时，无法对知识落实掌握，很多时候是随学随忘。学生学完这一章之后，两极分化明显加剧，甚至有个别学生在开始学时能“解决”的部分基础问题，学完全章后，反而不会做了。这与课程标准的基本出发点“促进学生全面、持续、和谐地发展。”“面对全体学生”不相符。为什么会出现这种情况呢？
二、分析问题产生原因——认知水平欠缺，思想方法渗透不够
分析出现这种状况的原因，笔者认为有这样两种情况：其一，过去的数学教材把函数放在九年级去学习。九年级的学生与才上八年级的学生相比，其知识认知水平有较大的提高，知识铺垫作用也较好，无论教师“教”，还是学生“学”都感觉轻松一些。新人教版教材，把一次函数放在八年级数学的第十四章来学习，学生的知识储备以及对生活经历的认识，理性刻画还不尽完善。另一方面，思想方法渗透不够。《一次函数》这一章突出了变化与对应的思想、数形结合的思想。这些思想学生只停留在“知道”的水平，而没有真正感悟。其三，函数作为研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于实际生活。这一从“生活中来到生活中去。”的理念没有用好。
三、对策——感悟数学思想，优化课堂教学
1．利用数形结合的数学思想，培养形象思维能力。图象法是表示函数的方法之一。图象能直观、形象地呈现函数的数量关系。数形结合的数学思想在七年级学习数轴，用平面直角坐标系表示地理位置中有所接触和体验。教师在平时的教学中也都进行过点拔和渗透。但学生真正的接受和理解，应该是从这一章开始的，七年级下学期学习用平面直角坐标系表示地理位置仅仅是一个前奏。在本章的学习中要把数形结合的思想从表面的了解深入到深层的理解，乃至于灵活运用“数”与“形”来分析解决问题。教师在教学过程中要把学生对数形结合的领悟，与对知识的获得放在同等重要的地位。这一点能决定部分学生学习这一章的成功与否。在实际操作中教师不能只停留在口头上的点拔，应贯穿到教学的全过程中去。从函数的图象表示法、函数图象的信息获取，到一次函数的性质归纳，到已知两点求一次函数解析式方法的获得，以及利用图象分析实际问题，利用数与形的结合，来介绍一次函数对一元一次方程，一元一次不
等式（组）、二元一次方程（组）的统领作用，无处不感受到数形结合分析问题的作用和重要性。
一次函数这一章，人教版教材在编排上与旧教材有两点突出的不同点，一点是在一次函数性质
的归纳上添加了几个字“从左向右上升（或下降）”。这几个字对学生理解和记住一次函数的性
质，有很大的帮助。学生脑海中想着图形去记忆，比过去的“死记硬背”式的机械记忆要快得
多，又不易忘记。另一点是一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）、二元一次方程（组）
之间的关系是新增内容。这一内容也只有利用数形结合才能分析透彻。才能融会贯通，才能站
在函数的高度，回过头来看对这些知识的统领作用。有些教师对这一部分内容没有引起足够的
重视，甚至认为是多此一举。他们认为学生对以前用方程（组）、不等式（组）处理问题的方法
已经比较熟悉，学习了这种方法后，反而被弄糊涂了。产生这种认识误区的原因是，一方面是
学生对用“形”分析问题不熟练或者并没有理解，另一方面是教师对一次函数的“统领”作用
认识不够。要让学生感悟数形结合的思想，教师要不失时机地进行渗透，有意识地把学生从纯
“数”的思维中引到从“形”的分析上来，让学生真正地领悟，感悟数形结合的思想和方法。
例如：课本第120页第9题，
题：点P（X，Y）在第一象限，且X+Y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S，
（1）用含X的解析式表示S，写出X的取值范围，画出函数S的图象
（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
（3）△OPA的面积能大于24吗？为什么？
这种题型只要把图形画出来，结合图形分析，不难解决。同一类型问题，第138页第10
题，教师用书中的测试题又出现了两次。教师引导学生用数形结合的数学思想来分析问题，触
类旁通，起到了精讲精练的作用。
复习一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）、二元一次方程（组）的关系时，笔
者让学生做了一个这样的题：
直线l1过点（0，1），直线l2过点（2，0），
①写出直线的解析式；
②由图中的信息分别写一个方程，方程组，不等
式，并直接写出它们的解（集）。
通过数形结合自编题目来领会一次函数的统领
作用，让学生感受到“站得高，看得远”的境界，
增强学生对函数的理解和学习的信心。
2．感悟变化与对应的数学思想，理解函数的
内涵。变化与对应的思想是研究函数的基础，它包
括两个基本意思，一是世界是变化的，客观事物中
存在大量的变量；二是在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的。而是相互联系的，理解和
感受变化与对应的数学思想也是学好函数的重要一环。教材中所给函数的定义，突出了变化与
对应。阐明了两个变量的相互联系性和函数与自变量之间的单值对应关系。这是对函数的最基
本的刻画。理解了变化与对应的关系，才能理解具体情境中函数与自变量的对应关系，才能体
会函数图象的制作方法，及各点所表示的意义。感悟变化与对应的思想，理解函数的内涵，才
能应用函数的观点来分析具体问题。
3．树立建模思想，落实课堂教学。本章以探索实际问题中的数学关系和变化规律为背景，
建立函数模型，解决实际问题。全章均以实际问题贯穿于始终。如：汽车行驶问题，电影院票
房收入问题、心电图、人口统计、气温变化问题，水位变化、运费、上网等问题，都与实际生
活息息相关。教师引导学生对知识的学习和探究时，时刻不要忘了用“实际问题”，节节课都要
有“实际问题”。以“实际问题”为载体，让学生感悟函数建模思想，感受数学知识的工具性，
激发学生的学习欲望。不仅仅是说说类似“这里体现了函数建模的数学思想”等点到为止的话。
学生也不能只停留在“知道”的水平，而应该成为一种思想意识，能创造应用，达到培养学生
的创新精神的目的。例如：在这一章回顾与思考的教学中，笔者设计了这样的一个综合题：
如图所示，一直线经过点A（1，4）和点B（0，2）
（2）求△AB0的面积；
（3）就图中线段（或射线）BA、
OA所存在的图象关系，编写一道
符合该图象意义的应用题，指出
X、Y轴所表示的实际意义和单位。
这一题的第三问，创造性运用数学建模的思想，学生
编写了许多类型的实际问题，现摘录如下：
1．移动公司为客户提供的收费方式中有这样两种：一
种是乡情卡月租费每月20元，每分钟0.20元，另一种是
温馨卡，没有月租费，每分钟0.40元，图中的横轴表示打
电话的时间X(百分钟)，纵轴表示收费Y(十元)。
①指出图中的图象分别表示哪种收费。
②求出函数的解析式。
③如何针对打电话的时间，选择消费便宜的收费方式?
2.OA、BA分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，横轴表示运动的时间X（分钟），
纵轴表示运动的路程Y（十米）。
（1）求出图中函数的解析式。
（2）并求出两人运动的速度。
（3）几分钟后两人相差10米？
3．如图纵轴表示是某公司支付给产品推销员工资Y（百元）与推销的新产品数量横轴X
（百件）之间关系的图象。
（1）求出函数的关系式，分别说明两种方式是如何支付的？
（2）作为推销员，如何根据自己的销售业绩领取工资较好？
虽然学生编写的有些题型已经接触过，并且编写的问题也不太成熟，学生能编写这样的实际
问题题目，说明对函数建模的数学思想已经有了深入的了解。
4．循序渐进，逐步落实。数学教师用书上对一次函数这部分内容安排了15课时，其中11.1
变量与函数占了5课时。对于这一部分内容，部分教师认为没有什么好讲的，于是快马加鞭。
甚至两节课的内容一节课来完成。事实上这一部分内容不仅是为一次函数的学习作知识的铺垫，
更是为以后的学习作数学思想方法的储备。教师不可操之过急，要循序渐进，逐步渗透、落实、
推进。在以后利用一次函数分析解决实际问题的学习中也应先易后难，跨度不宜过大，让学生带着成功的喜悦前进。
5．加强变式训练，培养创新精神。变式教学在我市初中数学学科开展多年，取得了很好的效果，并作为“创造性使用教材”的典范加以推广。多年的数学中考题都有课本中习题的“影子”。数学课程标准要求我们多从实际生活中去获取教学的素材。一次函数以实际问题贯穿全章，但也无法涉及到丰富多彩生活中的各个领域，教师要引导学生一题多解，一题多变，创造性地使用教材，用鲜活的生活素材丰富课堂教学，培养学生的创新精神。如在学习课本第33页，例6时,引导学生作如下变式，
原题:A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A 城运往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？
对于此题教材以列表的形式进行了分析，设总运费Y元，A城运往C乡肥料有X吨,列出函数关系式，求解。在求函数最小值时，自变量X的取值范围起了决定性的作用。仅仅按书中的解答方式完成教学，无法使学生感受到函数中的变化对应思想。在教学中引导学生采用不同的设自变量的方法，列出不同的解析式，经过探究才认识到“设法变，列法变，结果不变。”而达到这一结果的前提条件是找准自变量的取值范围。
另外笔者在处理这个例题时，学生向我提了一个有趣的问题：老师，你教这方面的问题，怎么老是问“最便宜呀，最省钱呀”，怎么没问“何时费用最多？”我以此问题为契机让学生探究了此题中总运费最大的情况。有了前面的多种探究方法作引导，学生以四人小组为单位分工完成几种列法并解答，显得很轻松。并对这种总运费最多的时候，在现实生活中的是否存在在全班进行了激烈的讨论。达到了寓数学知识于生活之中，寓思想教育于课堂之上。题目的处理达到了“问题变，意义变，方法不变。”的效果。整个过程在探究，变式中进行，最后的引申探讨，把学生的思维引向生活，培养了学生的创新精神，进行了思想教育。
数学课程标准要求关注学生的学习过程，渗透数学思想方法。函数的学习，渗透数形结合等数学思想重要。教师在教学中用数学思想方法引领数学知识的教学，能取到很好的效果。参考文献
陈启平胡延进运用鲜活素材让数学课堂充满生机
作者：宜城市流水镇讴乐初级中学姚卫华王友珍
四年级数学提高教学质量措施 一、班级情况分析： 1、学习习惯和兴趣： 四年级两个班共有学生117人，总体说来，良好的学习习惯已经初步养成，大部分同学都能很好的完成作业，学习数学的兴趣较高，但上课时思想开小差的现象还时有发生，还需要进一步培养。个别同学的基础较差，学习的积极性不高，在这方面有待强化。课堂中喜欢动手参与、小组讨论共同解决问题的学习方式。 2、基础知识和基本技能： （1）绝大多数的学生已经掌握三年级所学的知识，并能运用这些知识解决简单的实际问题。 （2）部分同学的思维较灵活，有揭示知识之间的联系、探索规律的精神。 （3）个别学生从知识到实践的跨越还有些难度。 二、教学目标： 1、学习习惯： （1）进一步培养学生勤学习、爱动脑的好习惯。 （2）继续加强纪律教育。 （3）培养学生分析、比较和综合的能力。 （4）培养学生在学习数学知识的同时，能受到爱祖国、爱科学等方面的教育。 （5）认真听讲，按时完成作业，作业干净整洁。 （6）养成良好的学习习惯，重视学生养成检验的习惯。 2、知识与技能：
（1）让学生经历从具体问题中抽象数量关系，并探索算法和运算律的过程，掌握相应的计算方法和必要的计算技能；理解和掌握运算顺序，发现一些运算规律；联系已有知识认识整数间的一些关系和整数的一些特征；结合解决实践问题，体验用字母表示数的意义。 （2）联系现实情境，经历观察、操作和探索相关图形的特征以及图形的简单变换的过程，认识一些简单的平面图形及其特征，了解图形的对称和图形位置关系的简单变换；通过实例，初步形成容量大小的观念，了解容量的意义和计量单位。 （3）联系具体的问题情境体验折线统计图的作用，掌握用折线统计图表达数据的方法，并能按照统计图里的数据变化分析相应的统计结果；经历从具体问题的需要出 发选择统计图的活动，体会条形统计图的特点，初步学会根据实际需要选择统计图。 3、数学思想方面： （1）在联系已有知识探索计算方法的过程中，充分开展猜想、讨论、解释、交流等活动，发展推理能力。 （2）在观察、探究整数之间的一些关系和一些特征的过程中，发展抽象、概括能力和初步的演绎推理能力。 （3）能对现实生活的有关数学问题进行分析和解释，经历用字母表示数、用含有字母的式子表示运算规律和概括数量关系的过程，发展抽象思维和符号感。 （4）在探索一些平面图形特征和对图形进行变换以及设计图案的过程中，进一步发展形象思维和空间观念。 （5）经历把现实问题中的数据进行统计处理，并合理地选择相应的形式描述数据，以及对数据作出分析和解释的过程，发展初步的统计观念。
浅谈如何提高数学课堂教学效果 发表时间：2011-03-22T14:09:31.323Z 来源：《中小学教育》2011年第2期下供稿作者：冯亚娟[导读] 久而久之，一方面提高了教师自身的业务水平，同时也自然提高了自己的教学水平。冯亚娟河北省隆尧县第一中学055350 新《课程标准》中指出:“数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程；课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道。课堂学习是学生获得知识与技能的主要途径，因此，教学效果如何，主要取决于课堂教学质量的好坏。怎样才能较好地提高数学教学的质量呢？ 作为一名数学教师就是要想办法让学生觉得数学其实并不难。我认为应该从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。因此，我们要充分注意学生各种能力的培养，从实际出发，努力激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性，教会学生学习，教会学生思考，教会学生探索，使学生真正成为学习的主人。具体怎样设计数学课堂教学才能使得教学效果更好呢？ 一、要有正确的教学目标 1、课堂教学过程中，师生之间、学生之间的互动交流活动、情感传递活动以及思维活动都是数学活动中的关键，是数学活动的核心。因此，数学教学的本质是数学活动的教学，也可以说是数学思维的教学。 2、课堂教学目的是提高技能，从而提高学生的素质，教学生学好、学懂、学会，最终是要教学生怎样自学、会学。 3、提高课堂教学质量的关键是充分发挥教师的引导作用和充分调动学生学习的积极性。 数学教学中不能只是让学生记住概念、定理、公式等，更重要的是要通过教学让学生理解概念的内涵和外延。 二、创设生活化情境,努力激发学生的学习兴趣 某些学生不想学数学或讨厌学数学，是因为他们觉得数学枯燥乏味，认为学习数学就是把那些公式、定理、法则和解题规律记熟，然后反反复复地做题。而新教材则更多的强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。在教学中我们要善于从学生的生活中抽象出数学问题，从学生已有的生活经验出发，设计学生感兴趣的生活素材，如“地砖的铺设”、“图标的收集”、“打折销售”等，以丰富多彩的形式展现给学生，使学生感受到数学与生活的联系——数学无处不在、生活中处处有数学。要通过学生所了解、熟悉的社会实际问题，为学生创设生动活泼的探究知识的情境，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，激发学生的学习热情。心理学家认为，兴趣是人们力求认识某种事物或爱好某种活动的倾向，兴趣的功效之一就是能对正在进行的活动起到推动作用。学生的学习兴趣和自觉性是构成学习动机的重要成份，无疑，数学课堂教学应积极激发学生对学习的需要和兴趣。 三、优化课堂结构,提高课堂时间的利用率 数学课堂教学一般有复习、引入、传授、反馈、深化、小结、作业布置等过程，如何恰当地把各部分在时间上进行搭配与排列，设计合理的课堂教学层次，充分利用课堂时间，是上好一节数学课最重要的因素。 设计课堂层次时，必须重视认知过程的完整性。由于人们认识事物的过程是一个渐进的过程，因此，要努力做到使教学层次的展开符合学生的认知规律，使教师的教与学生的学两方面的活动协调和谐。在组织课堂教学时，当学生初步获取教师所传授的知识后，应安排动脑动手独立思考与练习，教师及时捕捉反馈信息，并有意识地让他们产生“撞击”与“交流”。这样，同学们对某一概念的理解，对某一例题的推演，就会有一个由感性认识到理性认识，并由认识到实践的过程，从而对知识的领会加深,能力也得到发展。 四、要关注个体差异，促使人人发展 《数学课程标准》指出：数学教育要面向全体学生，实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。数学教育要促进每一个学生的发展，既要为所有学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长。面对同一个班的学生智力、思维能力存在的差异，在教学中就不能只采用单一的教学模式，而是要从学生的实际出发，根据因材施教、因人施教的原则，兼顾学习有困难和学有余力的学生。选讲例题、布置作业应适当，也就是基础好的可以少做基础题，基础差的应该适当多做些题型，让成绩好的带动部分能力较差的，从而大面积提高课堂教学效果。 教材设计了不少如“思考“、“探索”、“讨论”、“试一试”、“做一做”等问题，教师可根据实际情况组织学生小组合作学习，在小组成员的安排上把优、中、差各种知识水平的学生合理搭配，以优等生的思维方式来启迪差生。对于数学成绩较好的学生，教师也可以另外选择一些较灵活的问题让他们去思考、探究，以扩大学生的知识面，提高数学成绩。 五、要努力钻研教材，提高自身业务水平 俗话说：“要给人一口水，自己先要有一桶水。”说明要教给学生系统的知识，教师自身首先要具备较高的业务水平。只有准确地把握教材的科学性、系统性、逻辑性，才能及时地面对学生的各种问题随机应变；也只有认真钻研教材、吃透教材，对学生的思维才能巧妙地启发、准确地点拨、及时地引导，解开学生在学习中的疑团。久而久之，一方面提高了教师自身的业务水平，同时也自然提高了自己的教学水平。 总之，课堂教学是教师与学生的双边活动，要提高中学数学课堂的教学质量，必须树立教师是主导、学生是主体的辩证观点，形成热烈的学习气氛，凭借数学思维性强、灵活性强、运用性强的特点，精心设计教案，摆正讲与练的关系，变被动为主动，变学会为会学。这样就一定能达到传授知识、培养能力的目的，收到事半功倍的效果。
数形结合思想在小学数 学中的应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部：数学系 姓名：李宏 班级：2013级初等教育理科1班 目录
数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显着提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合作交流、解决实际问题的能力。 数形结合思想的涵义 数、形是一个数学事物两个方面的基本属性。数形结合思想的实质是数字与
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202
《数形结合思想在小学数学教学中的运用》 课题结题报告
《<数形结合思想在小学数学教学中的运用>课题结题报告》 数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。 4、培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。 三、课题研究内容 1、全面认识数形结合思想方法，挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，分析数形结合思想方法在数学教学中的价值和功能。 2、针对不同的教学问题，探索渗透数形结合思想方法的教学策略。 3、探索让学生更好地理解、掌握数学知识，提高数学能力的同时，也学会运用数形结合分析、解决问题的教学途径。 四、课题研究方法
有效提高农村小学数学教学质量的几点策略 摘要：全面提高小学数学教学质量，提高小学生的综合素质，创设宽松和谐的教学氛围，优化良好的师生关系，改革传统而机械化的教学模式，增强学生学习数学的兴趣，紧密联系学生的生活实际，不断探索有效提高小学数学教学质量的途径。 关键词：小学数学教学方法教学质量对策研究 新课程的实施，给我们带来了全新的教学理念和教学方法，它在为基础教育带来生机和活力的同时，也为农村学校的教学带来了诸多的挑战。农村学校教学手段落后，课程资源短缺，教研动力不足，教师整体素质不高等一系列问题都制约了新课程的发展和教学质量的提高。作为一名农村的小学的教师，我深知农村的学生学习基础普遍较差，对学习缺乏主动性，而教师对于先进的教育理念、教学方法缺乏了解，导致农村的教学质量难以提高。就如何解决这一问题，在此，我结合自己的实践，提出自己几点不成熟的看法： 1、端正学生的学习态度 在新课程下，教师将由传统的知识传授者向课堂教学的组织者、引导者和合作者转变。因此教师要善于自我学习、不断充实、更新自我，使自己具有先进的教育理念，科学的教学方法，高尚的人格品质和较高的教学
水平；要注意建立和谐的、民主的、平等的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容中来主动学习；要走进学生的生活世界，学会从儿童的眼光看世界，分享他们的喜怒哀乐，欣赏他们的“闪光”之处，使学生对自己产生崇敬之情，真正实现“亲其师、信其道、乐其学”。 在农村，由于经济条件较差，大多数家长外出务工挣钱，孩子们都由祖辈监护，祖辈文化层次很低，一点都不重视学习。他们认为：“学习好坏无所谓，读书只管尽义务”或是“学那么多干啥，只要会学会算就 行!”除受此影响外，农村的孩子，一直生活在农村，见识少，所学知识都是书本知识，而且由于年龄小，对很多东西的辨别能力不强，因此，他们根本没有认识到所学知识对自己的将来有什么用处的，还容易受外界不良的影响。针对这些情况，教师可通过家长会或家访，对家长宣传学习的重要性，同时教师更有责任、有义务帮助学生认识学习的必要性，端正他们的学习态度。教师应多与学生进行交流，了解他们的内心世界，告诉他们知识的重要性，同时带他们去参加一些有利于学习的活动，给他们讲解与他们生活有关的问题，让学生发现知识存在于社会，存在于生活，和我们的生产、生活等密切相关，并不是像自己和家长所想的那样毫无用处，从而使学生产生强烈求知欲，把“要我学”改变为“我要学”的正确学习观。 二、培养学生良好的学习习惯 学习习惯是指学习活动中形成的固定态度和行为。学习习惯对学生的学习有直接的影响，良好学习习惯是促进学生取得较好学习成绩的重要因素。良好的学习习惯养成了，学生将受用终生，而良好习惯要从小培养，“从一年级抓起”。不良习惯一旦形成再纠正，那将是件很困难的事情。
如何提高数学课堂教学效果 魏家峪学校郭珍莲 讲课是每一位教师再熟悉不过的了，教好学生也是每一位教师所期待做到的，但是如何才能把教学效果做到最佳呢？ 一、吃透教材、巧设情境 教学是教师的教和学生的学所组成的共同活动，教师的教对于学生来说，又居于主导地位。因此，我认为要想提高课堂教学效果，教师首先要把教材吃透，要掌握教材各部分知识的来龙去脉，以及教材里每一道例题和练习题的编者意图，对这些，教者只有仔细琢磨，深入钻研，做到胸中有书，才能解决教什么的问题。同时，在吃透教材的前提下，还要研究教材内容与现时生活的最佳落脚点，巧设教学情境，激发学生兴趣，引入新知。只有这样，才能引导学生去合作探究，掌握新知识，也只有这样，才能解决怎样教学的问题。 二、精彩生动的语言 苏联教育学家霍姆林斯基曾指出：如果你想使知识不变为僵死的、静止的学问，就要把语言变成一个最重要的创造工具。在课堂教学中，教学语言是情感交流的纽带，是知识的载体。形象的比喻，激励的话语，幽默的解释，紧迫的疑问，巧妙的点拨，使抽象变具体，深奥变形象，乏味变有趣。另外，教师的书面语言（板书）和姿态语言（教态）也显得尤为重要。黑板上的一个记号、一种格式，教师的一个微笑、一个手势都能渲染课堂气氛，给学生的思维激起阵阵涟漪，把教学推向高潮。所以，教师的语言应注意准确、生动、鲜明，具有
启发性、针对性、灵活性和教育性，这样才能到动学生学习的积极性。倘若教师语言罗嗦重复，模棱两可，词不达意，拖泥带水，怎不令学生昏昏欲睡呢？在课堂教学中，老师语言还要做到节奏鲜明，抑扬顿挫，疾徐有序，切忌一节课一个调，从而牢牢吸引学生的注意力。 三、改进教法、注重生成 教师通过对教材的深入研究，摸准教材的重点、难点后，还要进一步考虑运用什么样的教学方法，使学生乐学、好学。小学生年龄小知识少，接受能力有限，生活经验不足，数学知识在生活中落脚点难以找到，这样更需要教师在教学时讲究教法、研究学法。教学方法可以是多种多样的，不同的教材，不同的年级学生可以运用不同的教学方法，选择教学方法要从各校学生的实际出发，不要强求一律，不要照搬他人的经验及做法，但有几条规律是可以共同遵循的： 1、从学生已有的生活经验引入新知识 数学是一门严谨而系统性强的学科，各部分知识联系密切，新知识往往是旧知识的深化和发展；数学又来源于生活，根据这一特点，教学时，要抓住新旧知识的交接点，数学知识在生活中的落脚点，通过课前的复习、整理，课上提问、发现，把难点化成几个小问题，顺利过度到新知。 2、注意引导学生体验知识的生成过程 教学实践使我们清醒地认识到，我们今天的教是为了明天不需要教，学生今天的学习是为了将来离开学校在实践中能够自学。因此，在课堂教学中，教师传授知识固然是重要的，但是更重要的是培养学
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如： 1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小
数形结合思想在高中数学教学中的应用 更新时间：2018-9-25 19:11:00 浏览量:1250 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，在高中数学教学中，必须要注重对这种思想的应用，培养学生的数形结合意识，从而提高学生的知识能力。针对这种情况，文章对数形结合思想在高中数学教学中的应用进行了相应的分析和探讨。 【关键词】数形结合思想；高中数学教学；应用 数形结合思想在高中数学教学中的应用，有利于提高学生的数学知识能力，培养学生的思维能力和解题能力，提升学生的学习效果。但是在当前高中数学教学过程中，对于数形结合思想的实际教学应用尚有不足，因此需要注重强化数形结合思想在教学中的应用，采取有效的应用措施，从而提升教学质量和效果。 一、高中数学数形结合教学的现状 （一）数形结合教学意识不足 当前在我国高中数学教学过程中，数形结合的教学思想还没有得到充分应用，对于相应思想的教学运用尚有不足。随着我国课程教学改革工作的不断推进，传统的应试教学观念已经逐渐被人们所摒弃，在高中数学教学中越来越注重对学生数学能力和思维能力的培养。但是在实际教学中，大部分教师还停留在传统的教学模式上，只重视对学生数学基础和应试能力的培养，忽视了数形结合教学思想在教学中的应用。在这种教学观念的影响下，
学生的综合素质发展受到了一定的限制，教学过程忽视了对学生的数学思维能力和数形结合意识的培养，使得教学效果受到了一定的影响。并且在教学过程中，由于教师过于注重学生的成绩，导致学生在学习中逐渐出现了高分低能的现象，不利于学生未来的发展。 （二）传统教学模式的制约 传统的教学模式是影响高中数学教学发展的一个重要因素，同时也限制了数形结合思想在高中教学中的应用。在高中数学教学中，传统的教学模式大都采用填鸭式、满堂灌的教学方式，由教师主导整个课堂教学活动，向学生进行知识的灌输。在这种教学模式下，学生只能被动地接受教师的知识灌输。数形结合教学思想分散在教学之中，没有形成一定的教学规模，导致学生的数形结合意识较弱。并且严重忽视了学生的学习主体性以及学生之间的个体差异，导致学生的学习积极性和学习兴趣逐渐下降，甚至会影响到学生的学习质量和效率。 二、数形结合思想在高中数学教学中的应用分析 在高中几何数学中，可以通过观察图形，建立“数”与“形”的对应关系，找到解决问题的方法。也可以通过几何图形将数量的关系形象地展示出来，在图形上分析数量之间的关系，进而解决问题。几何图形和数量關系是相辅相成的，数量可以在图形上展示出来，也可以用数量关系来表达图形联系。例如：在例1的教学中，直接将数量关系转化成式子不容易，但是教师
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/e06912785.html, 小学数学与数形结合思想 作者：郭莉莉 来源：《教育·综合视线》2020年第01期 在小学数学学习过程中，有些学生对教材中的许多数学概念往往缺乏直观的理解，无法对抽象的概念建立具体化、形象化模型，从而造成难以正确掌握和理解教材知识内容，对数学知识运用不系统、不灵活的现象。针对这种情况，教师可以采用数形结合的教学方式，把教材中的数学概念以图形的形式表现出来，让学生能够直观地理解数学概念的含义，在思维中能够建立数学概念的关联对象。这样，不仅能够提高课堂教学效率，还能培养学生的数学思维能力。 有助于理解抽象概念 小学阶段数学知识的学习是为高年级数学学习打基础的，这个阶段的学习重点是数学知识概念的正确理解和掌握。如果这些概念的本质没有弄清楚，只知其一不知其二，知其然不知其所以然，那么后面数学知识的拓展和应用就会受到限制。实际上，小学数学教材中有很多数学概念是比较抽象的，学生在学习过程中对这些概念的理解上往往有一定的困难。因此，教师首先需要把教材中的知识点分类整理，找出那些比较抽象的概念，了解哪些概念是学生不容易理解和掌握的。然后，在讲解这些概念时，采用数形结合的方式，把复杂的问题简单化，让学生能够真正理解概念的本质意义，增加对学习数学知识的兴趣。 以苏教版小学数学三年级教材中“分数的认识”为例，对于分数的概念，小学生从字面意思上理解是有一定难度的。对此，教师可以采用数形结合的方式来讲解这个知识点：将一个圆形平均分成10份，在每一份上标记数字分别编号为1到10，那么这个圆就是由10份标有数字的部分组成;其中，10份图形整体就叫作分母，每一份或者几份标数字的图形叫作分子;从这个演示图形中可以看出，分数的本质就是分子数量占分母数量的比例。通过数形结合，引导学生通过观察图形之间的关系，关联教材知识点内容，建立图形化思维，主动思考概念的本质，能够加深对相关知识点的理解。 有助于培养数学思维 小学数学学习不仅需要掌握数字计算技能，还需要具备数学思维能力。数学思维能力是指能够运用学到的数学知识，把实际问题转变为数学问题的能力。也就是说，根据已知问题信息，建立对应的数学知识模型，运用相关数学知识和方法解决问题。教师在授课过程中要着重培养学生的数学思维能力，多与学生互动，多提出问题让学生主动思考，拓展学生的数学思维。 以植树节班级组织学生去植树的应用题为例：某个班参加种植树木的人数占班里总人数的3/4，还有5名学生负责给栽好的树木浇水，班级一共有多少名学生？这道题贴近现实生活，
三年级数学教学质量提高的措施 一、上学期期末成绩分析： 上学期参加考试的学生有63人，平均分72.71分，其中最高分为98分，最低分为9分。及格率为74.6%，优良率为44.4%。学区排名第五。 二、本学期质量的提高目标： 本学期力争使数学成绩平均分在78分以上，及格率达到80%，优良率达到50%，学区排名第三。力争转化学困生，使成绩有所提升。让学生的学习兴趣更加浓厚，学习积极性有所提高，自学能力得到加强，努力改变传统的课堂教学模式。积极营造宽松、愉悦的课堂氛围，向40分钟要质量。 三、本学期教学质量提高的具体措施 1、继续培养学生学习数学的方法 成立课堂合作学习小组，班上的学困生分别由小组长帮扶带动，进行合作学习，帮助解决学习上的困难。让学生在独立思考、讨论和交流中不断体验成功，使学生积极的参与学习的全过程。 2、培养学生自主学习 狠抓自主学习的品质，学困生普遍存在不会学习，不会预习的现象，因此教师必须要教给他们预习的方法，要求他们在上课前将所要学习的内容提前阅读学习，达到熟悉内容的目的。遇到自己不懂之处，做上记号，以便在上课时，认真听讲从而真正理解这一内容。认真完成课堂练习，将所学知识当堂巩固，要将当天的问题当天解决掉。 3、培养学生学习数学的兴趣 增加情感投入，热爱学生、用耐心、爱心感化学生，在教学中，以爱心去感染他们，把师生间的距离缩短，和学生做知心朋友。力戒发脾气、恶言批评、变相体罚，多谈心、多交流、多关心，让学生喜欢自己，同时喜欢学数学。
4、加强基础知识的教学。 加强基础知识的训练，要求学生牢记学过的知识点，每天由小组长抽查过关，利用晨读课进行概念、进率、公式、算理的识记。重视培养学生的口算能力，每天坚持口算训练，提高学生的口算正确率和速度。在教学过程中，要注意循序渐进，也要注意能力的渗透与培养。 5、努力改变传统的教学方法。 采用参与式、合作探究式、鼓励启发式、提问式等新型教学方法，积极运用多媒体教学软件与现代远程教育资源，加大信息技术与数学课程的整合力度，根据教材内容选择合适的教学方法。把课堂还给学生，体现学生主体性，不断培养创新能力和动手操作能力，努力提高课堂教学效果，向每节课要教学质量。 6、加强“学困生”的转化工作。 一定要防止学困生反弹，要坚持“以人为本”，做到“补心”与“补课”相结合，及时与学生沟通，消除学生的心理障碍；分析学生的学习情况，思想动机；学习小组设立帮扶对子，小组长辅导学困生；交本作业老师全部面批，随时指导或改错；积极与家长沟通，督促学生按时完成作业，有条件的要求家长辅导学生作业；加强对“学困生”的基础知识训练和学习方法指导，让他们在原有基础上得到发展。
数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展
提高小学数学教学质量的措施 提高小学数学教学质量的措施 1、认真钻研和深入挖掘数学教材资源是用好新教材的基础 新教材与老教材相比，无论是编排内容，还是编排形式，都有了巨大的变化。教材的灵活性强，留给教师和学生的思维空间大。如果不认真钻研教材，挖掘教材资源，就有无从下手之感。老师们不去钻研教材就根本不知道我们数学书上的主题图有什么作用，试一试、练一练的几道题的设计意图是什么，要达到什么目标。一节课下来自己都没底，也不知道学生要掌握到什么程度。我们数学老师要抓好学生的“双基”，就要抓好课堂教学中的“讲、练、评、纠、导”。在课堂教学、安排练习、选题编题时，始终把握课标要求。 2、培养学生良好的数学学习习惯 小学数学标准中把“培养学生良好的学习习惯”作为素质教育的一个重要方面。俄国教育家乌申斯基说过：“良好的习惯是人在他的神经系统中所储存的资本。这个资本不断增值，而人在其整个一生中，就享受着它的利息。”这足可以说明，小学生良好的学习习惯，对他今后的发展将起着重要作用。必须重视学生“学”的过程，抓好学生数学学习中的“读、听、讲、写、用”。而且要从一年级抓起，因此一年级的老师特别要尽心尽职，要注意学生的良好习惯培养。记得我有一次听过特级教师的一个讲座，他说他每年都会带一年级的一个班，而且要一年级的数学老师都跟着他听一个月的课，看他是如何培养一年级学生的习惯，如何上好一年级的课。一年级习惯养好了，到了高年级就逐显事半功倍的成效了。 （1）加强学生听课习惯的养成训练 学生要边听边想边记忆，抓住要点。不仅要认真听老师的讲解，还要认真听同学们的发言，并能听出别人发言中的问题。为了考查和训练学生“听”的能力，可以组织如下练习：（1）教师口述题目，学生直接写出得数；（2）教师口述应用题，学生写出或说出已知条件和所求问题等这类练习，可以训练学生集中注意力，边听边想边记，培养学生思维的敏捷性和有意识记忆能力。 （2）培养学生认真审题的习惯 审题是进行正确计算不可缺少的环节。通过审题训练，可以养成学生认真严
初中数学中的数形结合思想 “数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合. 一、以数助形 例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长. 这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5. 这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2. 例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值. 分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来
确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标. 设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m）， 则OA=4，OB=|m|. 如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8， 所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）. 由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′. 设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）. 把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12. 因为开口向下，所以，a=12不符合题意. 故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12， 所以当x=3时，y最大=12. 二、以形助数 例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值. 在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角 形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中
数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0
如何提高初中数学的教学质量 贾村中学曹海峰 郭主任、各位老师： 大家好，我是来自贾村中学的曹海峰，当前，怎样提高教育教学质量是我县教育事业所面临的首要任务，在这种形势下，郭主任让我谈谈这方面的经验，实在有点高抬，我只就我对这个问题的看法谈谈个人的一些感受和做法，以作抛抛砖引玉之用。 1、提高课堂45分钟教学效率。 提高课堂教学效率是我们老师提的最多的一点，也是最重要的一点。结合大家的建议，我归纳了一下，主要有以下几点措施： （1）课堂教学是否有效，最重要的还是看师生关系是不是融洽，“亲其师”才能“信其道”，学生喜欢教师，也会对这位教师所任教的学科感兴趣，“兴趣是最好的老师。”进而幻想在这门学科领域里有所创造。所以希望我们数学老师跟学生尽量接近，不要高高在上，主动拉近学生的距离，让学生有亲近感，让学生喜欢你，同时爱屋及乌的喜欢数学，对数学感兴趣。但是在关系融洽的同时，数学老师要有一定的权威性。这个权威性不是靠打骂而来的，靠来自学生内心的尊重。 （2）建立有效的课堂常规,培养良好的学习习惯。首先第一点也就是很重要的一点就是抓学生的课堂纪律；一个是课堂上遵守纪律、学习认真严谨、课堂学习气氛浓烈的班级，一个是吵吵闹闹的、学生爱说话、做小动作、注意力不集中的班级，哪个班级的学习效率好？可想而知了；所以数学老师，特别是刚开学刚接班的老师，首先要把班级纪律、常规抓好，学习上可以先放一放，要有一个轻重缓急，不要急于教新课。学生纪律抓不上来，没多少人在认真听，你教的再认真、再努力也是做无用功。 抓课堂常规的第二点就是抓学生的学习习惯。比方学生听说读写的习惯；(听：认真倾听老师的话，对同学的回答也要认真倾听，等同学回答完了再表示自己的看法，不能中途打岔；课堂上回答问题要响亮完整、解答问题要完整，比方证明各步骤都要有因果关系)等等，特别是有关数学这门学科一些专门的常规，比如：1、课前的准备工作有没有：数学书、文具盒、包括课堂草稿本，必须随数学书在一起的，节节课要用到的，不是今天一张纸，明天又随手那里拿来当草稿的；2、有没有课课事先预习的习惯；3、做题目时是不是有随手列竖式的习惯； 4、是不是有用铅笔、尺子规范画图的习惯； 5、检查的习惯； 6、订正的习惯等等。（一个老师上课规范、要求严谨的态度影响着整个班级每一个学生学习严谨的态度） 所以，一个有着良好常规习惯的班级，课堂教学效率也肯定要高一些。 （3）精心备课，优化教学过程。 首先拿到一本教材，或者一个教学内容，我们应该事先在自己头脑里要有一个大概的流程设计，然后再去多翻阅一些教案集，或者网络上的一些教案，取其精华，形成一个更为完整的教学设计。上课前必须在教案边上写上自己的大致思路。如果是刚接触这个年级的老师，最好每一单元新课的知识应该和同年级组老师坐下来确定一下，探讨一下重难点，理清知识点，才能在讲解时准确无误，使学生一听就清楚明白。 二认真收集各种资料。一个是收集对创设情境、例题教学或新知识展示时起