《导数及其应用》单元测试题（文科）
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2
2)(x x f π=的导数是（ ）
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 2
4)(π=' (C) x x f 2
8)(π=' (D) x x f π16)(='
2．函数x
e x x
f -?=)(的一个单调递增区间是（ ）
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3．已知对任意实数x ，有()()
()(f x f x g x g x
-=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．若函数b bx x x f 33)(3
+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2
1<
b 5．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++= 6．曲线x
y e =在点2
(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．2
94
e
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
8．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
9．设2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
（A ）)2()3()3()2(0/
/f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0/
/f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/
/f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/
/f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．
12．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则
M m -=＿＿．
13．点P 在曲线3
2
3
+
-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
16．设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
17．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足?4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求 (Ⅰ)求点A B 、的坐标； (Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程.
18. 已知函数32
()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.
19．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。 （2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数a ，使[]0,1-∈x ，函数有最小值－3？
20．已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求
实数a 的取值范围．
【文科测试解答】 一、选择题
1．()∴==,42)(222
x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π=';
2．∴=?=-.)(x x
e x e x x
f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f ， ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x
选(A) 3.(B)数形结合
4.A 由()
b x b x x f -=-='2
2333)(,依题意，首先要求b>0, 所以()()
b x b x x f -+='3)(
由单调性分析，b x =
有极小值，由()1,0∈=b x 得.
5．解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4
y x =在某一点的导数为4，而3
4y x '=，所以4
y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A 6．（D ） 7．（D ） 8．（C ） 9．（B ）
10．B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ，
T
=
-)2()3(f f AB k f f =--2
3)
2()3( ,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 如图所示，切线BQ 的倾斜角小于
直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k 所以选B 11．1,e ??+∞???? 12．32 13．?? ??????? ?? ??πππ,4 32,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 三、解答题 15. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为 ??? ? ? -=-= 230(m)35.44 1218＜＜x x x h . 故长方体的体积为 ).2 30() (m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--=' 令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜ 3 2 时，V ′（x ）＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。 从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。 16．解：（1）2 ()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=?? ++=?， ． 解得3a =-，4b =． （2）由（Ⅰ）可知，3 2 ()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01) x ∈，时，()0f x '>； 当(1 2)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈， 时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2 ()f x c <恒成立， 所以 2 98c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，． 17．解: (1)令033)23()(2 3=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1- 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -. (2) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m 21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ， 又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以?? ? ??-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()9282 2 =++-y x . 另法：点P 的轨迹方程为(),922 2 =-+n m 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆； 设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由 2102-=--a b ，?? ? ??-+=+420222a b 得a=8,b=-2 18．解（1）2 ()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分 （2）记3 2 2 ()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 ………………………10分 由()g x 的简图知，当且仅当(0)0 ,(1)0g g >?? 即30 ,3220 m m m +>?-<<-? + 函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线. 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………14分 19．（1）(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; （2）1、当,0=a (), 2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ? ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ,,2?? ? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,?? ? ? ?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )