1．3.1 三角函数的周期性
课堂导学
三点剖析
1.周期函数与周期的意义
【例1】 求下列三角函数的周期.
（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5
π). 思路分析：运用周期函数的定义即可. 解：（1）令z=x+
3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),
f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3
π). ∴周期T=2π.
(2)令z=2x +5
π, 则f(x)=3sinz
=3sin(z+2π) =3sin(
2x +5
π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).
∴T=4π.
温馨提示
理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ω
π2求周期. 2.判断函数是否具有周期性和求周期
【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;
(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2
π. 思路分析：观察特征，运用定义.
证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+
2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2
π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示
“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.
3.判断函数是否具有周期性
【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.
思路分析：运用定义进行证明.
证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x∈R ).
(1)当T≥
2
π时， 令x=2π,得sin|2
π+T| =sin|2π|?sin(2π+T)=sin 2
π?cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2
π| ?sin(-2π+T)=sin 2
π ?-cosT=1?cosT=-1.
由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2
π不可能. (2)当T≤-2
π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|?sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但
-T≥2
π,由(1)知这是不可能的. (3)当-2π＜T ＜2
π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|?sinT=0?T=0(周期不为零). 由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.
温馨提示
进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.
各个击破
类题演练1
求下列函数的最小正周期.
（1）f(x)=3sinx;
(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(4
21π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.
(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),
函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4
π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.
变式提升1
定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈
［0,2
π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ） A.21- B.21 C.23- D.2
3 解析：由题意:f(
35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D
类题演练2
设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，
f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.
解：当x∈［-3,-2］时，-x∈［２，3］.
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又∵f(x)是以2为周期的周期函数，
当x∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,
∴f(x)=f(x -4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.
∴f (x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).
变式提升2
定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则
x∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.
解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，
∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).
∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.
答案：x 2+8x+17
类题演练3
证明下列函数不是周期函数.
（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.
证明：（1）因为y=x 3在x∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因
此y=x 3不是周期函数.
（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的
任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.
变式提升3
(1)证明f （x)=1(x∈R )是周期函数，但没有最小正周期.
证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.
(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R 恒成立,又当0≤x≤1
时,f(x)=-x 2+4.
①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;
②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.
①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),
∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).
则f(x)的一个周期为2,且2n(n∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.