听故事,学概率
概率知识贴近生活,比较生动有趣,教学时,针对这一特点,我在课堂教学中引入了很多与概率有关的小故事,使学生的学习更加快乐主动。
一、概率 =频率吗?
你抛过多少次硬币?下表是几个数学家投掷钱币的试验记录。
试验人投掷次数出现正面频率(出现正面次数 ÷投掷次数
狄摩更 2048 1006 0.5181
布丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
1、你看,投掷的次数越多,频率越接近
2、从这几位著名的数学家抛硬币做实验的行动中,你受到了什么启发? (拿着一枚硬币,抛一次、两次、三次……十次二十次,会觉得好玩,但上万次的重复同一个动作并记录结果却是一项非常无聊和繁重的劳动, 他们之所以成为伟人,就是因为他们承受住了这种无聊和繁重
二、“神灵保佑”的确定事件
你一次最多抛过多少枚硬币呢?两枚, 还是五枚?你想过正面都朝上的可能性有多大吗?掷两枚铜币会出现四种情况。 (正,正、 (正,反、 (反,正、 (反, 反。两枚都是正面朝上的可能性是 1/4。有一个人,一次抛过一百枚钱币,而且都是正面朝上呢!谁,这么厉害?请看:
公元 1053年 (北宋仁宗时期 , 南方蛮族首领侬志高起兵反宋, 大将军狄青奉旨征讨。将士们晓行夜宿,一路奔波,由于劳累,士气渐渐萎靡不振,狄青看在眼里急在心里。当时南方有崇拜鬼神的风俗, 所以大军刚到桂林以南, 狄青便设坛拜神
说:“ 这次用兵,胜败还没有把握,特此祭拜祈求神灵保佑。” 于是他命人搬来一百枚铜币 , 许愿:“ 如果这次出征能够打败敌人,那么把这些铜币扔在地上,钱面 (铸文字的那一面定然会全部朝上。”
僚属们都大吃一惊,认为绝无百钱字面都朝上之理,这样干只会动摇军心, 影响本来就不高的士气, 于是纷纷劝阻。可是狄青对此劝告不予理会, 神色庄重地对侍从说了声:“ 铜钱伺候。” 侍从立即从一个小布袋中将铜钱取出,只见一百枚铜钱齐刷刷地一串儿穿在一根细麻绳上。侍从把系着的绳头儿解开, 将铜钱一个不少地置入狄青的掬捧之中, 狄青双手合拢, 像摇卦筒似地将铜钱在掬捧中“ 哗哗” 地摇了几摇,忽然,一个“ 孔雀开屏” ,那百枚铜钱纷纷从双手中飞起,又“ 劈劈啪啪” 地先后落下。
结果这一百个铜币的钱面,竟然鬼使神差般全部朝上。全军将士欢声如雷。狄青本人也很兴奋,命令士兵,取来一百枚钉子,把铜钱钉在地上,然后说道:“ 凯旋归来,定将酬谢神灵,收回铜钱。” 由于士兵个个认定神灵护佑,战斗中奋勇争先。于是,狄青迅速平定邕州 (今广西南宁。
有神灵保佑的说法显然是迷信, 身为大将军的狄青何尝不知道:掷一枚铜钱, 正面朝上还是反面朝上,是个随机事件,正面朝上和反面朝上的可能性相等的, 都是 1/2;两枚都正面朝上的可能性是 1/4;三枚都正面朝上的可能性是 1/8; 4枚铜币都是正面朝上的可能性是 1/16;
……
100枚都正面朝上的可能性是 2的 100次方分之一。你知道吗, 2100就是 100
个 2相乘,其积可是一个天文数字 126 7650 6002 2822 9401 4967 0320 5376。可见, 一百枚钱币都正面朝上的可能性是少之又少, 近乎不可能啊。此时你也一定觉得,狄青这样做真是太冒险啦!
回师时,按原先所约,把钱取下。将士们一看,原来那些铜币两面都是铸成一样的,都是有文字的。对狄青来说,一百个钱面全部朝上,是个必然事件,但在别人看来, 却是几乎不可能出现的。从“ 不可能” 到“ 可能” 、从“ 随机事件” 到“ 确定事件” ,这一切足以显示出大英雄狄青非凡的数学智慧。
1、观察一种现象,不能忽视它的前提,研究随机事件的概率的前提
2、狄青的做法给了你怎样的启示?
(引导学生体会伟人身上的智慧、细心、魄力等优秀品质
三、 1名数学家 =10个师?!
在第二次世界大战中, 盟军为了和德国法本斯作战, 大量军需物品要穿过大西洋运送到各个战场。可是在 1934年以前,负责运送物资的英美船队常常受到德国潜艇的袭击,损失惨重。当时英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰, 一时间德军的“ 潜艇战” 搞得盟军焦头烂额,海上运输成了令人头疼的问题。在这进退两难之际,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家。
数学家运用概率论分析后发现,运输舰队与敌军潜艇相遇是一个随机事件, 即船队是否被袭击, 取决于航行过程中是否与敌潜艇相遇, 而与敌潜艇是有可能发生,又有可能不发生的。从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律。 1、一定数量的船只,编队规模越小,批次就越多;批次越多,与敌潜艇相遇的概率就越大。
比如, 5位同学放学后各自回到自己的家里,老师要找一位同学,随便去哪一位同学家都行。但若这 5位同学都集中在其中某一位同学家里, 老师可能要找几家才能找到他们,一次找到的可能性只有五分之一,即 20%。
2、一旦与敌潜艇相遇,船队的规模越小,每艘船被击中的可能性就越大。这是因为德军潜艇的数量与船队的数量相比总是少的,潜艇所载弹药有限, 每次袭击,不论船队规模多大,被击沉的数目基本相等。
假如运输船的总量为 100艘,按每队 20艘船编队,就要编成 5队;而按每队 10艘船编队, 就要编成 10队。两种编队方式与敌潜艇相遇的可能性之比为 5: 10,即
1:2。
假设每次遭到敌潜艇袭击损失 5艘运输船, 那么, 上述两种编队方式中每艘船被击中的可能性之比为 5/20 :5/10=1:2。
两者结合起来看, 两种编队方式中每艘运输船与敌潜艇相遇并被击沉的可能性之比为 1:4。这说明, 100艘运输船,编成 5队比编成 10队的危险性小。美国海军接受了数学家的建议,改进了运输船由各个港口分散启航的做法, 命令船队在指定海域集合,再集体通过危险海区,然后各自驶向预定港口。奇迹出现了, 盟军船队遭袭击被击沉的概率由原来的 25%降低为 1%, 大大减少了损失,保证了战略物资的供应。
于是,美国军方宣称:一名优秀数学家的作用,超过十个师的兵力!
现在你相信了吗?数学的魅力折服了美国军方呢, 同学们, 希望你们好好学习数学,将来用你们的所学展示更多数学的价值。