一．粒子数表象
只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。
为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。
此时，全同
对于费米子，泡利原理要求n ＝0或1。设系统有量子态αβγ…。脱离q 表象，可记为
（后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。）
这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Fock 表象。
二．产生和湮灭算符
利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。
1．全同玻色子体系的量子态描述
a i +与a i 应理解为单粒子态i ?的产生和湮灭算符
玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a δ=+
],[ 0],[],[==+
+
j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与a i 是相互共轭的。 （2） 特殊的1],[=+i i a a
在单粒子态i ?上有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子
它是粒子数算符i i i a a n +
=?的本征态，本征值为n i （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数∑=i
i
n
N
??算符的本征态，本征值为∑=
i
i
n
N 。
|0>为真空态。可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用：
其伴式为
2．全同费米子体系的量子态描述
利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。则系统的量子态用一下右矢表示
由于费米子体系波函数的交换反对称性，即
所以，
00 +
+++++-=γβαγαβa a a a a a 。
即费米子产生和湮灭算符满足反对易关系：βαβαδ=++
],[a a
0],[],[==++++βαβαa a a a (代表了费米子产生和湮灭算符全部代数性质) （1）0==++ααααa a a a
（2）+
+++-=βααβa a a a
玻色子产生和湮灭算符作用：
由于单粒子态的归一性，<α|α>=1，即100=+
ααa a ，由于真空态|0>及其伴态<0|不简并，所以0+
ααa a 代表一个确定的态，即真空态|0>。00==+
ααααa a a
α
（α≠β≠γ≠…）
（0，不是|0>。|0>为真
空态。0代表不存在。）
如果把每个单粒子态上的粒子数明显写出来 21n n 对于费米子n i ＝0或1。与玻色子相对应有
()()()0
1110
11112121111
1==??
??
?∑-=+-∑-=-=-=+ααααα
αααυναυνn n n n n n n n n n a n n
因为不同单粒子态上的(产生和湮灭)算符是反对易的，而+
αa 要跨过算符
()()
()
1
21
1
2
1
-+
-++ααn n n a a a 后才能对α态上的粒子数进行运算。由于反对易关系，就出现了因
子()
()∑-=--=++1
1
111αυνα
n n n
于是有：
其伴式为：
量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
一．粒子数表象 只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。 为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。 此时，全同 对于费米子，泡利原理要求n ＝0或1。设系统有量子态αβγ…。脱离q 表象，可记为 （后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。） 这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Fock 表象。 二．产生和湮灭算符 利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。 1．全同玻色子体系的量子态描述 a i +与a i 应理解为单粒子态i ?的产生和湮灭算符 玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a δ=+ ],[ 0],[],[==+ + j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与a i 是相互共轭的。 （2） 特殊的1],[=+i i a a 在单粒子态i ?上有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子 它是粒子数算符i i i a a n + =?的本征态，本征值为n i （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数∑=i i n N ??算符的本征态，本征值为∑= i i n N 。 |0>为真空态。可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用： 其伴式为 2．全同费米子体系的量子态描述 利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。则系统的量子态用一下右矢表示 由于费米子体系波函数的交换反对称性，即 所以， 00 + +++++-=γβαγαβa a a a a a 。 即费米子产生和湮灭算符满足反对易关系：βαβαδ=++ ],[a a 0],[],[==++++βαβαa a a a (代表了费米子产生和湮灭算符全部代数性质) （1）0==++ααααa a a a （2）+ +++-=βααβa a a a 玻色子产生和湮灭算符作用： 由于单粒子态的归一性，<α|α>=1，即100=+ ααa a ，由于真空态|0>及其伴态<0|不简并，所以0+ ααa a 代表一个确定的态，即真空态|0>。00==+ ααααa a a α （α≠β≠γ≠…） （0，不是|0>。|0>为真 空态。0代表不存在。）
第四章 矩阵力学基础(II)――表象理论 一、概念与名词解释 1. 表象 2. 幺正矩阵，幺正变换 3. 占有数表象 4. 薛定谔绘景，海森伯绘景 二、计算 1. 设厄米算符满足求： (1) 在表象中，算符的矩阵表示； (2) 在表象中，算符的矩阵表示； (3) 在表象中，算符的本征值和本征函数； (4) 在表象中，算符的本征值和本征函数； (5) 由表象到表象的幺征变换矩阵S. 2. 求在动量表象中角动量L x 的矩阵元和L x 2的矩阵元. 3. 设粒子处于宽度为a 的无限深方势阱中，求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示. 4. 在L z 表象中，求 的矩阵表示. 5. 已知在L 2和L z 的共同表象中，算符L x 和L y 的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将L x 和L y 对角化. 6. 在动量表象中，求处于一维均匀场V(x)= -Fx 中粒子的能量本征矢. 7. 在动量表象中，求线谐振子哈密顿算符的矩阵元和能量本征值. 8. 试将表示为2×2的矩阵，a 是个正的常数. 9. 已知波函数，计算它的极化矢量，并求能将χ旋转为 态的转动矩阵U R . 10. 已知线谐振子满足能量本征方程，计算矩 阵元
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，