1.如图1,在△ABC中,∠B=90°,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线,且两条角平分线所在的直线交于点E.
(1)∠E=°;
(2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线,且两条角平分线交于点F.
①依题意在图1中补全图形;
②求∠AFC的度数;
(3)在(2)的条件下,射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC,设EC与AB的交点为H,射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC,射线HN与FM交于点P,若∠FAH,∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH,请直接写出m,n的值.
2.直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在射线OP上运动,点B在射线OM 上运动.
(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生
变化,试求出其值;
(2)如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F,则∠EAF=°;在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数.
3.已知,在△ABC中,∠A=∠C,点F和E分别为射线CA和射线BC上一点,连接BF和FE,且∠BFE=∠FEB.
(1)如图1,当点F在线段AC上时,若∠FBE=2∠ABF,则∠EFC与∠FBE的数量关系为.
(2)如图2,当点F在CA延长线上时,探究∠EFC与∠FBA的数量关系,并说明理由.
(3)如图3在(2)的条件下,过C作CH⊥AB于点H,CN平分∠BCH,CN交AB于N,由N作NM⊥NC交CF于M,若∠BFE=5∠FBA,MN∥FB时,求∠ABC 的度数.
4.(Ⅰ)(1)问题引入
如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示);
(2)拓展研究
如图②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,试求∠BOC的度数(用α表示)
(3)归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=
∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC=(用α表示).
(Ⅱ)类比探索
(1)特例思考
如图③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数(用α表示).(2)一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示).
5.(1)如图①,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED内部点A′的位置.试写出∠A与∠1+∠2之间的关系,并说明理由;
(2)如果把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED外部点A′的位置,如图②所示.此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系?直接写出.(3)如果把四边形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置,如图③所示.直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系.
6.已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线,BA2、CA2分别是∠A1BC 和∠A1CB的角平分线,如图①;BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线(即∠A3BC=∠A1BC,∠A3CB=∠A1CB),如图②;依此画图,BA n、CA n分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线(即∠A n BC=∠A1BC,∠A n CB=∠A1CB),n≥2,且n为整数.
(1)若∠A1=70°,求∠A2的度数;
(2)设∠A1=α,请用α和n的代数式表示∠A n的大小,并写出表示的过程;(3)当n≥3时,请直接写出∠MBA n+∠NCA n与∠A n的数量关系.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC,且∠ABC>∠C.求证:∠DAE=(∠ABC﹣∠C).
8.如图,在△ABC中,AD,BD分别平分∠CAB和∠CBA,相交于点
D.
(1)如图1,过点D作DE∥AC,DF∥BC分别交AB于点E、F.
①若∠EDF=80°,则∠C=;
②若∠EDF=x°,证明:∠ADB=(90+)°.
(2)如图2,若DE,BE分别平分∠ADB和∠ABD,且EF,BF分别平分∠BED和∠EBD,若∠BFE的度数是整数,求∠BFE至少是多少度?
9.已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.
(1)当α=40°时,∠BPC=°,∠BQC=°;
(2)当α=°时,BM∥CN;
(3)如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;
(4)在α>60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:.
10.Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图(1)所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=°;(2)若点P在边AB上运动,如图(2)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?(3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.
11.(1)如图①,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=40°,∠ABC=30°,求∠AEC的大小;
(2)如图②,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=m°,∠ABC=n°,求∠AEC的大小;
(3)如图③,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,则∠AEC与∠
ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系?若存在,请写出你得结论,并给出
证明;若不存在,请说明理由.
12.(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点,点C为x轴上的一个动点(与点O,A不重合),分别作∠OBC和∠ACB的角平分线,两角平分线所在直线交于点E,直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置.
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上,射线FO平分∠GFH,过点H的直线MN交x轴于点M,满足∠MHF=∠GHN,过点H作HP⊥MN交x轴于点P,请探究∠MPH与∠G的数量关系,并写出简要证明思路.
13.在△ABC中,点D为△ABC的三条内角平分线的交点,BE⊥AD于点E,
(1)当∠BAC=80°,∠ACB=60°时,∠BDC=.∠DBE=.
(2)当∠BAC=α,∠ACB=β时,用含有α的代数式表示∠BDC的度数,用含有β的代数式表示∠DBE的度数.
(3)如图2,若AD平分∠BAC,CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,BE⊥AD于点E,(2)中的两个结论是否发生变化?
14.如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=60°
(1)求∠DAE的度数;
(2)如图②,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,其他条件不变,求∠DFE的度数;
(3)如图③,若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”,其他条件不变,∠DAE的大小是否变化,并请说明理由.
15.如图,AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,求证:∠AFD=(∠H+∠BGC).
16.如图,已知CD是△ABC的角平分线,E是BC上的点,∠B=60°,∠ACE=∠CAE=20°.求∠CDE的度数.
17.如图,△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,CE 与BD交于F,连接AF并延长交BC于H,过F作FG⊥BC于G.
(1)若∠ABC=45°,∠ACB=65°,求∠HFG的度数;
(2)根据(1)中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系;
(3)试探究∠BFH与∠CFG的大小关系,并说明理由.
18.如图1,在△ABC中,∠A=60°,∠CBM,∠BCN是△ABC的外角,∠CBM,∠BCN的平分线BD,CD交于点D.
(1)求∠BDC的度数;
(2)在图1中,过点D作DE⊥BD,垂足为点D,过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F(如图2),求证:BF是∠ABC的平分线.
19.老师给了小胖同学这样一个问题:
如图1,△ABC中,BE是∠ABC的平分线,点D是BC延长线上一点,2∠D=∠ACB,若∠BAC=60°,求∠BED
小胖通过探究发现,过点C作CM∥AD(如图2),交BE于点M,将∠BED转移至∠BMC处,结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线,在△ABC中求出∠BMC,从而得出∠BED.
(1)请按照小胖的分析,完成此题的解答:
(2)参考小胖同学思考问题的方法,解决下面问题:
如图3,在△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G,若∠A=m°,求∠G的度数(用含m
的式子表示)
20.△ABC的三条角平分线相交于点I,过点I作DI⊥IC,交AC于点D.
(1)如图1,求证:∠AIB=∠ADI;
(2)如图2,延长BI,交外角∠ACE的平分线于点F.
①判断DI与CF的位置关系,并说明理由;
②若∠BAC=70°,求∠F的度数.
21.如图1,已知△ABC,射线CM∥AB,点D是射线CM上的动点,连接AD.(1)如图2,若∠ACB=∠ABC,∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E.
①若∠BAC=40°,AD∥BC,则∠AEC的度数为;
②在点D运动的过程中,探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系;
(2)若∠ACB=n∠ABC,∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E,∠CAE=n ∠EAD,那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为.
22.如图,在△ABC中,点D为∠ABC的平分线BD上一点,连接AD,过点D 作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F.
(1)如图1,若AD⊥BD于点D,∠BEF=130°,求∠BAD的度数;
(2)如图2,若∠ABC=α,∠BDA=β,求∠FAD+∠C的度数(用含α和β的代数式表示).
23.如图,直线m与直线n互相垂直,垂足为O,A、B两点同时从点O出发,点A沿直线m向左运动,点B沿直线n向上运动.
(1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P,在点A、B的运动过程中,∠APB 的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;(2)若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q,AP的延长线交QB的延长线于点C,在点A、B的运动过程中,∠Q和∠C的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出∠Q和∠C的度数;若发生变化,请说明理由.
24.如图1,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D.我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°+∠A.请应用这一结论,解决下面的问题.(1)如图2,过点D任意作直线MN,分别交AB和AC于点M和N,求∠MDB+∠NDC的度数(用含∠A的代数式表示).
(2)如图3,当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系?说
明你的理由.
(3)如图4,当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上,而与AC 的交点在线段AC上时,(2)问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明你的理由;若不成立,请给出∠MDB、∠NDC、∠
A三者之间的数量关系,并说明你的理由.
25.△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC于点D.(1)如图1,猜想∠AOC与∠ODC的关系,并说明你的理由;
(2)如图2,作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证:BF∥OD;
②若∠F=35°,求∠BAC的度数.
一.解答题(共25小题)
1.如图1,在△ABC中,∠B=90°,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线,且两条角平分线所在的直线交于点E.
(1)∠E=45°;
(2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线,且两条角平分线交于点F.
①依题意在图1中补全图形;
②求∠AFC的度数;
(3)在(2)的条件下,射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC,设EC与AB的交点为H,射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC,射线HN与FM交于点P,若∠FAH,∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH,请直接写出m,n的值.
【解答】解:(1)如图1,∵EA平分∠DAC,EC平分∠ACB,
∴∠CAF=∠DAC,∠ACE=∠ACB,
设∠CAF=x,∠ACE=y,
∵∠B=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°,
∴2y+180﹣2x=90,
x﹣y=45,
∵∠CAF=∠E+∠ACE,
∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°,
故答案为:45;
(2)①如图2所示,
②如图2,∵CF平分∠ECB,
∴∠ECF=y,
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF,
∴45°+∠EAF=∠F+y ①,
同理可得:∠E+∠EAB=∠B+∠ECB,
∴45°+2∠EAF=90°+y,
∴∠EAF=②,
把②代入①得:45°+=∠F+y,
∴∠F=67.5°,
即∠AFC=67.5°;
(3)如图3,设∠FAH=α,
∵AF平分∠EAB,
∴∠FAH=∠EAF=α,
∵∠AFM=∠AFC=×67.5°=22.5°,
∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH,
∴45+α=67.4+∠FCH,
∴∠FCH=α﹣22.5①,
∵∠AHN=∠AHC=(∠B+∠BCH)=(90+2∠FCH)=30+∠FCH,∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH,
∴α+22.5=30+∠FCH+∠FPH,②
把①代入②得:∠FPH=,
∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH,
α﹣22.5=mα+n,
解得:m=2,n=﹣3.
2.直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在射线OP上运动,点B在射线OM 上运动.
(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生
变化,试求出其值;
(2)如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F,则∠EAF=90°;在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数.
【解答】解:(1)∠AEB的大小不变,
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O,
∴∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠OBA=90°,
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,
∴∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,
∴∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠ABO)=×90°=45°,
∴∠AEB=135°;
(2)∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线,
∴∠EAO=∠BAO,∠FAO=∠GAO,
∴∠EAF=(∠BAO+∠GAO)=×180°=90°.
故答案为:90;
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,
∴∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=(∠BOQ﹣∠BAO)=∠ABO,
即∠ABO=2∠E,
在△AEF中,∵有一个角是另一个角的3倍,故分四种情况讨论:
①∠EAF=3∠E,∠E=30°,则∠ABO=60°;
②∠EAF=3∠F,∠E=60°,∠ABO=120°(舍去);
③∠F=3∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°;
④∠E=3∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°(舍去).
∴∠ABO为60°或45°.
3.已知,在△ABC中,∠A=∠C,点F和E分别为射线CA和射线BC上一点,连接BF和FE,且∠BFE=∠FEB.
(1)如图1,当点F在线段AC上时,若∠FBE=2∠ABF,则∠EFC与∠FBE的数量关系为∠ABF=2∠EFC.
(2)如图2,当点F在CA延长线上时,探究∠EFC与∠FBA的数量关系,并说明理由.
(3)如图3在(2)的条件下,过C作CH⊥AB于点H,CN平分∠BCH,CN交AB于N,由N作NM⊥NC交CF于M,若∠BFE=5∠FBA,MN∥FB时,求∠ABC 的度数.
【解答】解:(1)如图1中,设∠EFC=z,∠ABF=x,∠A=∠C=y,
∵BE=BF,
∵∠BEF=∠BFE,∠BEF=y+z,
∴∠BFE=y+z,
∵∠BFC=∠A+∠ABF,
∴y+z+z=x+y,
∴x=2z,
∴∠ABF=2∠EFC.
故答案为∠ABF=2∠EFC.
(2)结论:∠ABF=2∠EFC.
理由;如图2中,
设∠EFC=z,∠ABF=x,∠BAC=∠BCA=y,
∵∠BAC=∠ABF+∠BFA,∠ACB=∠EFC+∠E,∴∠BFA=y﹣x,∠E=y﹣z,
∵∠E=∠BFE,
∴y﹣x+z=y﹣z,
∴x=2z,
∴∠ABF=2∠EFC.
(3)如图3中,
设∠EFC=x,则∠ABF=2x,
∵∠BFE=5∠ABF,
∴∠E=∠BFE=10x,
∵MN∥BF,
∴∠MNA=∠ABF=2x,
∵∠ANM+∠ANC=90°,∠ANC+∠NCH=90°,
∴∠HCN=∠ANM=∠BCN=2x,
∴∠BCH=4x,∠CBH=90°﹣4x,
在△BEF中,∵∠EBF+∠E+∠BFE=180°,
∴2x+90°﹣4x+10x+10x=180°,
∴x=5,
∴∠ABC=90°﹣4x=70°.
4.(Ⅰ)(1)问题引入
如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=
90°+∠α(用α表示);
(2)拓展研究
如图②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,试求∠BOC的度数120°+
∠α(用α表示)
(3)归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC=(用α表示).(Ⅱ)类比探索
(1)特例思考
如图③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数(用α表示).(2)一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示).
【解答】解:(Ⅰ)(1)如图①,∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,
∴∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,而∠A=α,
∴∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)
=180°﹣(180°﹣∠A)
=180°﹣(180°﹣∠α)
=180°﹣90°+∠α
=90°+∠α,
故答案为:90°+∠α;
(2)如图②,∵∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,
∴∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)
=180°﹣(180°﹣∠A)
=180°﹣(180°﹣∠α)
=180°﹣60°+∠α
=120°+∠α,
故答案为:120°+∠α;
(3)∵∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,
∴∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)
=180°﹣(180°﹣∠A)
=180°﹣(180°﹣∠α)
=180°﹣×180°+∠α
=,
故答案为:;
(Ⅱ)(1)如图③,∵∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,∴∠BOC=180°﹣(∠DBC+∠ECB)
=180°﹣[360°﹣(∠ABC+∠ACB)]
=180°﹣[360°﹣(180°﹣∠A)]
=180°﹣(180°+∠α)