B
O D
C
E
图8
七年级下三角形综合题归类
一、 双等边三角形模型
1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同
侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；
（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.
2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.
① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。
③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。
（湘潭·中考题）
C
B
O D
图7
A
E
A
B
C
M N O
P
Q
同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，
BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．
（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；
（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.
4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．
（1）证明：△ABG ≌△ADE ；
（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△
ABE 的面积
为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．
C
F G
E
D
B
A
H
A
图①
E
图②
5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB ，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；
（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．
C
G
A
E
D
B
F
二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等
1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．
考点2：利用角相等证明垂直
1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系
2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：CD=BF ； (2)求证：AD ⊥CF ；
(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.
拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
B
A
C
E
F
Q
P
D A
B
C D
E
F
图9
（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）
3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由
.
4.如图1，ABC ?的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ?的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =
（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；
（2） 将EFP ?沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接
,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，
请证明你的猜想； （3）将EFP ?沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
l
(1)
A B
(F) (E)
C P
A
B
E
C F
P Q
(2)
l
三、 等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用
1. 如图，ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB
交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．
A
B
C
D
E F
2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C
三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ?的形状，并说明理由．
M
E
D C B
A
压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ?中，AC BC =，90C ∠=?，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=?，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S ???+=．当
EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论
是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ?，CEF S ?，ABC S ?又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
B E
C F P l
(3)
Q
F E
D
C
B
A
图1
A
E
C
F B
D
图2
A
E
C
F
B
D
图3
提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
3. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
(1) BF =AC (2) CE =1
2
BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。
考点2：等腰直角三角形（45度的联想）
1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边
经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F .
⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：
① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N,
使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明
2. 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC
②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．
（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）
A
D B
E
图2
G H
F E
D
C
B
A
图1
同类变式：（期末考试原题哦） 已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边与∠ACM 的平分线CF 交于点F （1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时
○
1猜想AE 与EF 满足的数量关系是 . ○2连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .
○
3请证明你的上述猜想； （２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF
四、 角平分线问题
1. 如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x ,
BC ＝y ，且,x y 满足2268250x y x y +--+=
（1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论； （3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.
2. 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对
称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、
图（1）
图（2）
A
C
B
D E
∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，
请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作
CE AB ⊥于E ，并且1
()2
AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠
等于多少？
E
D
C
B
A
4. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
5、在△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，AD=BD ，求证：C D ⊥AC
E D G
F C
B
A
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D F
A
C
E
F
B D
图①
图② 图③
B
C D
6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=1
2
BD ；
（2）若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。
7已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ；
(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
五、中点问题
1. 在△ABC 中, D 为BC 的中点， 过D 点的直线GF 交AC 于F , 交AC 的平行
线
BG 于点G 。DE GF ⊥, 并交AB 于点E . 连结EG . （1）求证: BG CF =；
（2）请猜想BE CF +与EF 的大小关系, 并加以证明 2.
如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．
A B
E B
C
3. 已知ABC ?中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ?的AB
边上的中线．求证2CD CE =（提示：倍长中线试试）
D
C
B A
附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究） 以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90BAD CAE ∠=∠=?.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．
⑴如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ；
⑵将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转θ?(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
图①
N
M E
D
C
B A
图②
N
M E
D
C
B
A
6、问题：已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC △内的一点，且AD CD =，
BD BA =．探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析
并加以证明．
（1）当90BAC ∠=?时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB 与AC 得数量关系为________；
当推出15DAC ∠=?时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______；
可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．
（2）当90BAC ∠≠?时，请你画出图形，研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否
与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加
以证
C
B
A
图1
D
C
B
A
明．
8、(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF
＝4.求GH的长.
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,
∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式
表示).
全等三角形压轴题精选（1） 1．（2016?常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F． （1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF； （2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论． 2．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
4．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 5．（2013春?北京校级期中）探究 问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______． 拓展
1、 2 a b m b a-+b+3=0=14.ABC A S V 如图，已知（0，），B （0，），C （，）且（4）， o y =DC FD ADO ⊥∠∠∠（1）求C 点坐标 （2）作DE ，交轴于E 点，EF 为AED 的平分线，且DFE 90。 求证：平分； （3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM,PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中， MPQ ECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。 x 2、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE; (2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。 图1 图2 B C B C
3、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。 B （2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若∠1=110°，∠2=130°，求∠ A 的度数。 A C 4、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？ F A 5、已知∠A=∠C=90°.
(1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。 6．（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,求∠BDC 的度数。 A E （2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系？为什么？ E A D 7.已知∠ABC 与∠ADC 的平分线交于点E 。 B B
全等三角形压轴题3 1. 在厶ABC中，BC=AC Z BCA=9GD, P为直线AC上一点，过A作ADLBP于D,交直线BC于Q. (1)如图1,当P在线段AC上时，求证：BP=AQ (2)当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求/ CPQ (3)如图3,当P在线段CA的延长线上时，/ DBA = 时，AQ =2BD 2. 我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若 经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条 直线平分三角形的这个顶点的对边.如图1, S A ABD=5 ADC,贝V BD=CD成立.请你直 接应用上述结论解决以下问题: (1) 已知：如图2,人。是厶ABC的中线，沿A□翻折△ ADC使点C落在点E, DE交AB 1 于卩，若厶ADE与△ ADB重叠部分面积等于厶ABC面积的丄，问线段AE与线段BD有 4 什么关系在图中按要求画出图形，并说明理由. (2) 已知：如图3,在厶ABC中, Z ACB= 90 0, AO2, AB=4，点D是AB边的中 点，点P是BC边上的任意一点，连接PD沿PD翻折△ ADP使点A落在E,若 1 △ PDE与△ PDB S叠部分的面积等于△ ABF面积的-，直接写出BP的值. 4 o o 3. 在厶ABC中，已知D为边BC上一点，若ABC x , BAD y. (1)当D为边BC上一点，并且CD=CA x 40, y 30时，则AB 或“ ”)；AC （填“=”
(2)如果把(1)中的条件“ CD=C”变为“ CD=AB，且x，y的取值不变，那么(1) 中的结论是否仍成立若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由； (3)若CD= CA =AB请写出y与x的关系式及x的取值范围. (不写解答过程，直接写出结果) 4. 在Rt△ ABC中, AC=BC P是BC垂直平分线MN上一动点，直线PA交CB于点E, F 是点E关于MN的对称点，直线PF交AB于点D,连接CD交PA于点G. (1)如图1,若P点在△ ABC的边BC上时，此时点P、E、F重合，线段AP上的点Q关 于的对称点D恰好在边AB上，连接CQ求证：CQ平分/ ACB (2)如图2,若点P移到BC上方，且/ CAP=，求/ CDP的度数； (3)若点P移动到△ ABC的内部时，线段AE、CD DF有什么确定的数量关系，请 画出图形,并直接写出结论：. 5. 如图1,已知A ( a, 0), B (0, b)分别为两坐标轴上的点，且a、b满足 ： 0A=1： 3. 22 a b 12a 12b 72 0, OC (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若D (1, 0),过点D的直线分别交AB BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为X E、X F .当BD平分△ BEF的面积时，求X E+X F的值； (3)如图2,若M (2, 4),点P是x轴上A点右侧一动点，AH L PM于点H,在HM 上取点G,使HG=H,连接CG当点P在点A右侧运动时，/ CGM勺度数是否改变若不变，请求其值；若改变，请说明理由.
全等三角形压轴题组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2015?荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△，△均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论： ①△≌△；②∠60°；③△为等边三角形；④平分∠， 其中结论正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2014?山西）如图，点E在正方形的对角线上，且2，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 3．（2013?东营）如图，E、F分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：（1）；（2）⊥；（3）；（4）S△四边形中正确的有（）
4．（2012?长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为（） A．21 B．m﹣21 C．2n﹣1 D．n﹣21 5．（2012?山西模拟）如图，点P、Q是边长为4的等边△边、上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（） A． B．△≌△ C．∠的度数不变，始终等于60° D．当第秒或第秒时，△为直角三角形 6．（2012?镇平县校级一模）如图，在△中，∠90°，平分∠，⊥于D，如果3，那么等于（）
A．2B．3C．4D．5 7．（2011?恩施州）如图，是△的角平分线，⊥，垂足为F，，△和△的面积分别为50和39，则△的面积为（） A．11 B．5.5 C．7D．3.5 8．（2010?武汉模拟）如图，△中，∠、∠的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分∠； ②∠∠180°； ③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则； ④∠2∠． 其中正确的是（） A．只有 ①②③B．只有 ①③④ C．只有 ②③④ D．只有①③ 9．（2004?内江）如图，∠30°，平分∠，∥，⊥，如果6，那么等于（）
压轴题培优-- 七年级数学期末复习专题人教版2018年 1.B. 于AB⊥BCCN已知AM∥，点B为平面内一点，之间的数量关系 C，直接写出∠A和∠；（1）如图1（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数.
2.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A．B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF. （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由.
3.已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A=25°,∠APC=70°时，求∠C的度数； （2）如图②,当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点）,∠A．∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论． （3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时,（2）中的结论还成立吗？如果成立,说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明． 4.如图1,在平面直角坐标系中,A（a,0）是x轴正半轴上一点,C是第四象限一点,CB⊥y轴,交y 轴负半轴于2．(a-3)+|b+4|=0,S=16B（0,b）,且AOBC四边形点坐标；）求C（1的角平分线的反向延长线交的角平分线与∠CAE,∠ODA时为线段DOB上一动点,当AD⊥AC）如图（22,设的度数．P,于点求∠APD点则D,DAO∠BMD、∠的平分线交于N点,MBCADDM,OBD3,3（）如图当点在线段上运动时作⊥交于点说明理由．,若变化,求出其值,的大小是否变化？若不变N∠,在运动过程中
. 七年级下三角形综合题归类 考点2：利用角相等证明垂直 1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 Q A F D E P B C 2.如图，在等腰△R t ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状. 拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交 AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C F D A 图9 E B 3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 4.如图1，?ABC的边BC在直线 l上，AC⊥BC,且AC=BC,?EFP的边FP也 在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的
(1) （ 2 数量关系和位置关系； A （2） 将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； E F （3）将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长 B D C 线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成 立，给出证明；若不成立，请说明理由. E A A (E) E A Q F P B C l B C (F) 三、 等腰三角形（中考重难点之一） P l B F (2) C P l (3) Q 考点 1：等腰三角形性质的应用 1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连结 BD ， 取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ?EMC 的形状，并说明理由． M B D E A C 压轴题拓展： 三线合一性质的应用）已知 Rt ?ABC 中， AC = BC ，∠C = 90? ， D 为 AB 边的中点，∠EDF = 90? ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F ． 当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S ?DEF + S 1 ?CEF = S ?ABC ．当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S ?DEF ，S ?CEF ，S ?ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A A A D E D D E C F 图1 B C 图2 C F B E 图3 B F 2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于 D ，BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G 。(1) BF =AC (2) CE = 1 2 BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。 考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想） 1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线 BF 相交于点 F . ⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时： ① 通过测量 DE ，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ；
《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时
针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.
图1 A B C D E 图2 B D 七年级下学期数学期末压轴题精选 1. 如图1，已知AB ∥CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间（1）如图1，点E 是AB 上方一点，MF 平分∠AME ， 若点G 恰好在MF 的反向延长线上，且NE 平分∠CNG ，2∠E 与∠G 互余，求∠AME 的大小. （2）如图2，在（1）的条件下，若点P 是EM 上一动点， PQ 平分∠MPN ，NH 平分∠PNC ，交AB 于点H ，PI ∥NH ,当点P 在线段EM 上运动时，求∠IPQ 的度数.
图2 H 2. 在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24.（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ；（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ， CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF 与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由； （3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点， 连接BP 、OP ，BN 平分，ON 平分CBP ∠∠BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出∠之间满足的数量关系式，并说明理由. BNO ∠
N 3. 如图，AC ∥BD ,点D 在点B 的右侧，BE ⊥AB ,∠EBD 、∠ACD 的平分线交于点F (点F 不与点B 、C 重合). ∠ABD = m ，∠ACD = n . （1）若点A 在点C 的右侧，求∠BFC , 并直接写出的值； 1 2BFC ABE ABD ACD ∠-∠∠+∠（2）将（1）中的线段CD 沿BD 方向平移，当点C 移动到点A 的右侧时，求∠BFC ,并直接写出∠BFC 、∠ABD 、∠ACD 之间的关系. 4. 如图，MN ∥AB ,点C 、D 在直线MN 上运动，∠CBD 的平分线交射线AC 于点E . （1）当点D 在点C 的右侧运动时，①若∠ACB =∠A ，求AEB CDB ∠∠②若∠ACB 比∠A 大30°，的值是否发生变化， AEB CDB ∠∠若不变，求出其值；若变化，请探究∠AEB 与∠CDB （2）当点D 在点C 的左侧运动时，若∠ACB =∠A ，请直接写出∠AEB 与∠CDB 之间的关系.
B A O D C E 图2 三角形全等综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2、如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点 （1）△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 4、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接 写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 5. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 6.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取 点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长． 2、如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。 C F G E D B A H C B O D 图 A E C E N D A B M 图① C A E M B D N 图②
B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q
（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图②
A E B D F C 七年级数学下册期中压轴题 1、如图，一条直线1l ，最多将平面分成两块，两条直线1l 、2l 相交，最多将平面分成4块，三条直线1l 、2l 、3l 最多将平面分成7块，…，则9条直线1l 、2l 、…，9l 最多将平面分成（ ）块。 A ．49 B ．48 C ．47 D ．46 2、已知直线AB ∥CD ，交直线EF 于E 、F 两点，点P 为直线EF 右边平面上一点，且∠AEP=160°，∠EPF=45° ，则∠CFP 的度数为 . 3、已知如图，△ABC 中，A （m ，n ），B （－4，－1），C （a ，b ），且满足条件22+-= b a ， 032=-++n m （本题11分） （1）写出A 、C 的坐标，并画出△ABC. （3分） 1l 1l 2l 1l 2l 3l
（2）P 为坐标轴上一点，且△PBC 的面积等于6，直接写出满足条件的所有P 的坐标，并根据所学过的初一、小学知识选一个P 点坐标写出求解过程.（5分） （3）将AB 平移到A′B′使B′(4，0).现让点C 沿x 轴负方向运动，点N 从点A′出发，沿A′A 方向运动，且点N 的速度比点C 慢.当点C 到达点（－3，0）时，点C 、N 同时停止（自己在坐标系中完成图形）. 问：点N 、C 在运动过程中， A B N ACN B CN BA C ''∠+∠' ∠+∠的值是否变化？如不变，求其值；如变化，说明理由.（3分）
N M H G F E D C B A 4、学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A .①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 5、如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°， ∠MND=50°，则∠GHM 的大小是 .
,. 七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小； （ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 . B C B C E E D O A O A D 图 7图 8 2. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O. ①求证： AN=BM ②求∠ AOB 的度数。 ③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。 （湘潭·中考题） N M O P Q A C B 同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 连接 AF 和 BE. C， (1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论； (2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判 断并说明理由； (3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 . 图 c 3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证： CD BE ，△ AMN 是等边三角形．
,. （ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 图 9图10图11 同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD 的中点． （ 1）求证：①BE CD；②AM AN ； （ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . C C N N E D A M B B D M A E 图①图② 4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H． （1）证明：△ABG≌△ADE； （2）试猜想BHD的度数，并说明理由；
数学压轴题 ． 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形，写出作 法并证明。（5分） 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。直接写出FE 和FD 之间的数量关系；（3分） （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中结论是否仍 然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（8分） 。 13.（11分）如图12-1，点O 是线段AD 上的一点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC . （1）求∠AEB 的大小； （2）如图12-2，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. \ ` 31.如图，在ABC ?中， 40,2=∠==B AC AB ，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ， — O 图12-1 D A 图12-2 ^ (第18题图) O P A M N E B ( C D F A E F B # D 图① 图② 图③
作 40=∠ADE ，DE 交线段AC 于E ． （1）当 115=∠BDA 时，=∠EDC °,=∠DEC °；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变 （填“大”或“小”）；（本小题3分） （2）当DC 等于多少时，ABD ?≌DCE ?，请说明理由；（本小题4分） （3）在点D 的运动过程中，ADE ?的形状可以是等腰三角形吗若可以，请直接写出BDA ∠的度数. 若不可以,请说明理由。（本小题3分） < ] 39、如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是_______ 40、（本题满分10分）如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O 。 （1）在图1中，你发现线段AC 、BD 的数量关系是______________；直线AC 、BD 相交成角的度数是 _____________. （2）将图1的⊿OAB 绕点O 顺时针旋转90°角，在图2中画出旋转后的⊿OAB 。 （3）将图1中的⊿OAB 绕点O 顺时针旋转一个锐角，连接AC 、BD 得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立作出判断并说明理由。若⊿OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗作出判断，不必说明理由。 、 46．(本题8分)如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，点E 在边AB 上，且AE=4厘米，如果点P 在线段BC 上以2厘米／秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．设运动时间为t 秒。 (1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2秒后，△BPE 与△CQP 是否全等请说明理由 》 (2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，则当t 为何值时，能够使△BPE 与△CQP 全等；此时点Q 的运动速度为多少 D （ 40 ° A B C 40° E
初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条边对应相等 2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
1．为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数1套至45套46套至90套91套及以上 每套服装的价格60元50元40元 如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元． （1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ （3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱的购买服装方案． 21．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货38吨． ①一辆大货车和一辆小货车每次分别可以运货多少吨？ ②通过计算说明，用4辆大货车和5辆小货车能否将32吨货物运走？ 3.已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，点A为x轴负半轴上一点C（0，-2），D（-3，-2）． （1）求△BCD的面积； （2）若AC⊥BC于C，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，求证：∠CQP=∠CPQ （3）若点B为x轴正半轴上的动点，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于E点，设∠ADC=∠DAC=α，∠ACE=β，请你用含α、β的式子表示∠E的大小； （4）在（3）的条件下， ∠E ∠ ABC 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 4.已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC 的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数 （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．
B A O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ， 连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE =，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q
第1章《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时
针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.