第十六章 多元函数的极限与连续
（601宿舍）
一、 判断题。 1.
R
2
与φ是既开又闭的点集。
2. 开集一定是开域。
3. 函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。
4. 若
f 为区域D 上连续函数，则
()D f 必定是一个区间（有限或
无限）。 5. 若f
在D 上任何点都关于集合D 连续，则称
f
为D 上的连续函
数。
二、 填空题。 6.
若二重极限：
()A
y x f y x y x =→→
,lim 0
（1） ；
累次极限：
()m x y y x f x y =→
→
,lim lim 0
（2），
()k y x y x f y x =→
→
,lim lim 0
（3）则可得：
a. m=k ?A 存在 ； b ．m ≠k ?A 不存在 ；
c. (1)、(2)、(3)存在，则A=m=k ;
d. (1)和(2)或者(1)和(3)存在?A=m=k 。（在横线上填“对”或“错”）
7. 一元函数的定义域是 上的点集；二元函数的定义域是
上的点集；
8. 内点是 点；界点是 点；孤立点一定是 点；既不
是聚点，又不是孤立点，则必为 点。 9. 设p E D 01,?是E 1的聚点，若()p f E p p p lim
1
0∈→
，则()
p f D
p p p lim 0
∈→也不存在。
10. 默写一元函数和二元函数的“δε-”定义：
一元函数： ； 二元函数： ；
三、 解答题。 11. 讨论
()y
x xy y x f 2
2
,+=
当()0,0,→
??
? ?
?y x 时是否存在极限。
12. 依定义验证()()
72
21,2,lim =??
?
??++→y xy x y x 13. 求函数
()()y
x y x -→21lim 0
,0,的极限
14. 讨论函数
()
y
x y
y x f 2
2
2
,+=
在点（0,0）的重极限与累次极限。
15. 设
()
(
)
???
????
=+≠+=+0
00,2
2
2
2
,,22y x y x y x
x y x f p
（p>0），试讨论它在（0,0）点处的连续性。
答案
一、 判断题。
1. （√）；
2.（×）；
3.（√）；
4.（√）；
5.（√）。 二、 填空题。
6. 错；对；对；对；
7. 实数轴；坐标平面；
8. 聚；聚；界；外；
9. 不存在
10. 一元函数的“δε-”定义：ε?>0,δ?>0,
()A x f -｜δ<；
二元函数的“δε-”定义：ε?>0,δ?>0,<∈?0:D p ｜P P 0-｜δ<,有｜
()A P f -｜δ<；
三、 解答题。
11. 解：当动点（x,y ）沿着直线
mx y =而趋于定点（0,0）时，
()()=
=mx x f y x f ,,m
m
x m x x m 2
2
2
2
21+=+，则
()()
()()m
m
mx x f y x f x mx
y y x 2
0,0,1,lim ,lim +==→=→，
由于m 是一个不定值，则它所对应的极限值就不同， 因此
()()
()y x f y x ,lim 0
,0,→的极限不存在。 12. 证明：o >?ε，要使∣y xy x 2
2
++∣ε<成立
而∣y xy x 2
2++∣=∣122242
2-+-+-+-y y y xy x ∣
=∣
()()()()()()1112222-+-+--+++y y y x y x x ∣ =∣()()()()3122+-++-+y y y x x ∣
≤∣2-x ∣·∣2++y x ∣+∣1-y ∣·∣3+y ∣
先限制在点（2,1）的1=δ的方领域 {（x,y ）∣∣2-x ∣﹤1，∣1-y ∣﹤1} ∣2++y x ∣=∣（2-x ）+(1-y )+5∣
≤∣2-x ∣+∣1-y ∣+5﹤7
∣3+y ∣=∣1-y +4∣≤∣1-y ∣+4﹤5 所以∣y xy x 2
2
++∣≤7∣2-x ∣+5∣1-y ∣
﹤7（∣2-x ∣+∣1-y ∣）﹤ε
则∣2-x ∣+∣1-y ∣﹤7
ε 即∣2-x ∣﹤
14ε，∣1-y ∣﹤14ε ，则取14
εδ= o >?ε，取)14,1min(ε
δ=，则当∣2-x ∣﹤δ，∣1-y ∣﹤δ，
（x,y ）≠（2,1）时，有∣y
xy x 2
2
+
+∣﹤ε
所以
()()
72
21,2,lim =??
?
??++→y xy x y x 13. 解:因为
02lim )
2,1(),(=??
? ??-→y x y x ， 故
∞=-→y
x y x 21lim
)
2,1(),(
14. 解：当0≠x ，k y
x y
y x ==+→→02
2
2
lim
lim ，
当0≠y ，m i y
y y
x y
y x y ==+→→→2
20
2
2
2
lim
lim
lim
动点P ()()k
k x k x x k kx x f y x 2
2
2
2
2
2
21,,+=+=
=，
()k
k
y x f p p 2
2
1lim
,0
+=
→
，由于k 不定，极限不同，
()y x f p p ,lim 0
→
不存在。
15. 解：设，，则y x r 2
22+=，
所以︱
p
y x x ??
? ??+2
2
︱=︱r
r p
2cos θ
︱≤
r
p 1
21
-，
当,2
1
1
20
lim
=-→r
p r ，
因此
0)
(),(22
)
0,0(),()
0,0(),(lim
lim
=+
=
→→p
y x y x y x x y x f ，
故),(y x f 在点（0,0）处连续。 当2
1≥p 时，012≥-p ，??
??
?
>
∞+=→=→→21
,21,1)0,(20
lim
lim p p x f x
x p
x x ，因而
)0,0(0),(lim
)
0,0(),(f y x f y x =≠→，可见
2
1
≥
p
时， ),(y x f 在点（0,0）处不连续。
综上所述，2
1
2
1≥p 时，),(y x f 在点（0,0）处不连续。
高一数学期中检测质量分析 试题总体评价：这次高一数学质量检测试题能依据《数学大纲》、《命题说明》和教材，从试题题量、试卷结构、知识覆盖、“三基”检测、“四能”要求、难度指数、等五方面基本能达到要求。做为阶段性质量检测试题有较好的方向性和指导性。 一、试题试卷特点 检测试题以它的知识性、灵活性描写了一个多姿的数学世界，充分体现了考素质、考基础、考方法、考潜能的测试功能。题目中无偏题、难题、怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素养的方面发展的作用。 1、基础知识考查的力度加大，重点突出，题目更接近课本。 数学质量检测试题有很多试题紧扣概念，定义、定理源于课本的基础知识，侧重了考通性、通法和数学思想的运用。例如选择题和填空题基本通过很简单的计算推理，分析判断，便能得出正确结论，试题注重了对“三基”的考查，强调了对基础知识、基本技能、基本方法的真正理解和掌握。 具体来说：（1）对选择、填空题来说：第1题，本题是一道算法语句题，注重算法中赋值语句的把握，但学生粗心，没有把握赋值语句的特征，是本题的失分点。第2、3、6题考查统计中的样本估计分析和抽样方法，学生基本无错。第4题是对程序语言的理解应用。第5、7、12题是对随机事件概率求解的考察。第8题是对直线回归方程的理解、应用。第9题是对频率直方图的理解应用.第10题是对事件关系的把握考察。第11题是对进位制间转化的应用。对填空题来说,总体上主要考查基础知识、基本方法,考查学生对基本概念、公式的记忆、理解情况。（2）解答题都是算法初步、统计及概率部分常见题型：试题中的第17题考查了算法和程序间的转化；第18考察了算法案例的理解把握；第19、20题考察应用样本估计总体的知识；第21、22题是概率的求解和应用，是概率部分较为常见题型；试题突出了知识主干，不回避知识的重点，可谓是常考常新，重点内容试题中多次出现。 2、突出能力，重视数学思想方法的考查 重视数学思想方法的考查是这次质量检测试题的又一特点，其中一些基本的数学思想和方法以各种不同层次融入试题中，通过考生对数学思想方法的运用来对考生的数学能力进行区分。试题中第7、12、16、21题涉及了正难则反思想方法的考查，第9、20题中考察学生读图能力、转化与化归的数学思想等；对新课程的实施起到了良好的导向作用。 3、贴近高考考试模式，采用题卷分离式考试。 这次检测考试，采用近年来高考考试模式，防止部分考生，错位答卷，作图不规范，答卷超出指定位置等多种多样不合要求的做法，使考生失去了不该失的分数，是考生的一个新失分点。 二、试卷中存在的问题或建议 1、知识点重复或遗漏。 如第6题与第19题都考察了利用样本估计总体的稳定性，第8题与14题都考察了直线回归方程。作为典型的古典概型和几何概型，尤其几何概型没有涉及到考察。 2、作为新课改下的模块检测考试，分值应用百分值测量比较方便，150分分值
试题（1卷） 一．填空（每小题3分，共15分） 1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出,且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件,则曲线L 在点0P 的切线方程为 ； 2.含参量积分 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F 的求导公式为 =')(x F ； 3. Γ函数的表达式为 =Γ)(s , 0>s ； 4.二重积分的中值定理为:若),(y x f 在有界闭区域D 上连续,则存在 D ∈),(ηξ,使 ??= D d y x f σ),( ； 5.当0),,(≥z y x f 时，曲面积分??S dS z y x f ),,(的物理意义是： . 二.完成下列各题(每小题5分,共15分) 1.设54222 22=-+-++z y x z y x ,求 y z x z ????,; 2. 设 ???-=+=,cos , sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ????, ; 3. 求积分)0(ln 1 >>-? a b dx x x x a b . 三.计算下列积分(每小题10分,共50分) 1. ? L xyzds ,其中L 为曲线)10(21 ,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段; 2. ? +-L y x xdx ydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向; 3．作适当变换计算??-+D dxdy y x y x )sin()(, 其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4. ??? +V y x dxdydz 22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域; 5. dS y x S )(22??+,其中S 为圆锥面2 22z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分. 四.应用高斯公式计算 dxdy z dzdx y dydz x S 3 33++?? ,其中S 为球面2 222a z y x =++的外侧. (10分) 五.求全微分 dz xy z dy xz y dx yz x )2()2()2(222-+-+-的原函数. (10分)
HR Planning System Integration and Upgrading Research of A Suzhou Institution 近三年高考数学试卷分析 陈夏明 近三年的数学试卷强调了对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力.整套试卷遵照高考考试大纲的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.好多题都能在课本上找到影子，是课本题的变形和创新.这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则，同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。 2009年高考数学考试大纲与往年对比，总体保持平稳，个别做了修改,修改后更加适合中学实际和现代中学生的实际水平，从大纲来看，高考主干知识八大块：１．函数；２．数列；３．平面向量；４．不等式（解与证）；５．解析几何；６．立体几何；７．概率与统计。仍为考查的重点,其中函数是最核心的主干知识. 考试要求有变化： 今年数学大纲总体保持平稳，并在平稳过渡中求试题创新，试题难度更加适合中学教学实际和现代中学生的实际水平；适当加大文理卷的差异，力求文理学生成绩平衡，文科试题“适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度终点应与理科相同”。 试题难度没有太大变化，但思维量进一步加大，更加注重基础知识、基本技能的考查.注重通性通法,淡化特殊技巧，重视数学思想方法的考查.不回避重点知识的考查。函数、数列、概率（包括排列、组合）、立体几何、解析几何等知
识仍是考查的重点内容.保持高考改革的连续性、稳定性，严格遵循《考试大纲》命题. 针对高考变化教师应引导学生： 1．注重专题训练，找准薄弱环节 2．关注热点问题进行有针对性的训练 3．重视高考模拟试题的训练 4．回归课本，查缺补漏。 5．重视易错问题和常用结论的归纳总结 6．心理状态的调整与优化 （1）审题与解题的关系： 我建以审题与解题的关系要一慢一快：审题要慢，做题要快。 （2）“会做”与“得分”的关系： 解题要规范,俗话说：“不怕难题不得分,就怕每题都扣分”所以务必将解题过程写得层次分明,结构完整.这非常重要,在平时训练时要严格训练. （3）快与准的关系： 在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果. （4）难题与容易题的关系： 拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此不要在某个卡住的题上打“持久战”，特别不要“小题大做”那样既耗费时间又未心能拿分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，而且解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难。 因此,我建议答题应遵循： 三先三后： 1.先易后难 2.先高（分）后低（分） 3.先同后异。
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本) 试卷 (课程代码 00023) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效。试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4. 合理安排答题空间，超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知向量a={-1，3，2)，b={-3，0，1)，则a×b= A. {3，5，9} B. {-3，5，9) C．(3，-5，9) D. {-3，-5，-9) 2．已知函数，则全微分dz= 4. 微分方程是 A．可分离变量的微分方程 B．齐次微分方程 C．一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 无穷级数的敛散性为 A．条件收敛 B. 绝对收敛 C．发散 D. 敛散性无法确定 第二部分非选择题
二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在答题卡上作答。 6．已知点，则向量的模= _______. 7·已知函数=_______. 8．设积分区域，且二重积分，则常数a= _______．9．微分方程的特解y*=_______. 10. 已知无穷级数=_______. 三、计算题 (本大题共l2小题，每小题5分，共60分) 请在答题卡上作答。 11．求过点A(2，10，4)，并且与直线平行的直线方 12．求曲线的点处的法平面方程·13．已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x，y)，求． 14．求函数的梯度 15．计算二重积分，其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域． 16. 计算三重积分，其中积分区域． 17. 计算对弧长的曲线积分，其中C是从点A(3，0)到点B(3，1)的 直线段· 18．计算对坐标的曲线积分，其中N抛物线y=x2上从点A(一1，1)到
高中数学成绩分析报告 高中数学成绩分析报告应该怎么写呢?今天我们就一起来看看相关内容吧! 高中数学成绩分析报告【1】 (一)考情分析 1、考试内容：经济生活第一单元三课，第二单元第四课，一共四课内容主要考查经济生活的中消费的基本条件，影响消费水平与结构的因素、支配消费行为的心理，正确的消费观以及消费离不开生产，社会主义必须大力发展生产的基础理论及在现实生活中的体现和应用。 2、考试成绩： 学年平均分为61.5分，成绩呈正态分布，实验班位居第一序列，其中2班第一，1班第二，7班第三，相对来看实验班序列4班、5班成绩不算理想，位居第七位和第六位，班平均成绩在学年平均成绩之上.普班考的最好的班级是20班平均成绩为60.7分，其次是14班平均成绩为59.7分. (二)学情分析 1、学生是刚进入高中学习的学生，自主学习、合作学习、探究学习的自觉性、主动性还不够，学习方式、方法还有待改变。 2、课时每周两节，课时量少，教学内容多，练习时间不够，
课后复习巩固不及时。出现基本理论模糊、实际应用理论不准确，知识运用出现张冠李戴的现象。 3、学生对政治学科学习不重视，对知识的把握只停留在课堂的学习理解，课后的思考、巩固流于形式，甚至几乎没有复习巩固的时间和习惯。 试卷分析 1、相对选择题的准确率高一些，多数准确率在80%左右，出现问题主要是对知识的深入理解上;主观性试题问题突出，主要表现是第一，基础理论记忆不扎实，其次是理论的准确性不够，三是实际应用能力有待提高。 2、学生规范答题的意识及能力有待提高，书写不清晰，语言不通顺，卷面不够整洁。 解决措施 1、加强基础知识的训练，课堂注意强调，课后及时巩固，充分调动课代表的积极性，通过课代表的实际工作，带动班级的学习积极性。 2、调动学生的学习积极性，发挥他们的创造性、主动性，课前布置预习，安排时政播报，提高学生的参与意识，进而提高学生的学习热情。 高中数学成绩分析报告【2】 9月15日，学校进行了高三本学期的第一次月考。语文试卷采用高考模式。总分150分，时间120分钟。试卷难度较大，普通班与
《数学分析》期末考试复习题（第四套） 班级 学 号 姓 名 一．（ 满分 2 0 分，每小题 2 分）判断题： 1． 设ξ是数集E 的聚点 . 则存在0 >δ,使在) , (δξδξ+-外仅有数集E 的 有限个点. ( ) 2. 单调有界数列必为基本列 . ( ) 3. 闭区间] , [b a 上仅有一个间断点的函数必( R )可积 . ( ) 4. 当无穷积分 ? +∞ a dx x f )(和 ?+∞ a dx x g )(都收敛时，积分 ? +∞ a dx x g x f )()(必收敛 () 5. 若级数∑ +α 11n 收敛 , 则必有0>α. ( ) 6. 设0>n u 且) ( , 0∞→→n u n . 则级数∑+-n n u 1) 1 (必收敛 . ( ) 7. 设在区间I 上对n ?有)( |)(|x v x u n n ≤. 若级数∑)(x v n 在区间I 上 一致收 敛 , 则级数∑)(x u n 也在区间I 上 一致收敛 . ( ) 8. 设在区间I 上函数列)}({x f n 收敛于函数)(x f .若存在数列?} {n x I , 使 0|)()(|→/-n n n x f x f ,则函数列)}({x f n 在区间I 上非一致收敛 . ( ) 9. 设函数)(x f 在区间)0 ( ) , (>-R R R 内有任意阶导数 , 且其Maclaurin 级数 ∑ ∞ =0 ) (! ) 0(n n n x n f 在 ) , (R R -内收敛 . 则在 ) , (R R -内有= )(x f ∑ ∞ =0 ) (! ) 0(n n n x n f .（） 二． ( 满分 1 0 分，每小题 2 分）填空题: 10. ()?-=+-+-1 1 52212sin ||dx x x x x x x . 11. = +? →3 2 )1ln(lim x dt t x x .
2019年高考数学试卷分析及2019年命题走 向 一、2019年高考试卷分析 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷i)继承2019年的改革方向。既保持了一定的稳定性，又有创新和发展；既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。 1考试内容体现了《考试大纲》的要求。 2试题结构与2019年大体相同。全卷共22小题，选择题12道，每题5分；填空题4道，每题4 分；解答题6道，前5道每题12分，最后1道14分。 3考试要求与考点分布。第1小题，(理)掌握复数代数形式的运算法则；(文)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念、符号，能够正确表示简单的集合。第2小题，掌握对数的运算性质。第3小题，掌握实数与向量的积，平面向量的几何意义及平移公式。第4小题，会求一些简单函数的反函数。第5小题，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。第6小题，(理)了解空集和全集，属于、包含和相等关系的意义，掌握充要条件的意义；(文)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。第7小题，掌握椭圆的标准方程和简单几何性质，理解椭圆的参数方程。第8小题，掌握直线方程的点斜式，了解线性规划的意义，并会简单的应用。第9小题，掌握同角三角函数的基本关系式，了解正弦函数、余弦函数的图像和性质。第10小题，能够画出空间两条直线、直线和平面各
种位置关系的图形，根据图形想像它们的位置关系，了解三垂线定理及其逆定理。第11小题，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。第12小题，掌握简单方程的解法。第13 小题，掌握简单不等式的解法。第14小题，(理)掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；(文)掌握等比数列的通项公式。第15小题，(理)了解递推公式是给出数列的一种方法；(文)直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。第16小题，掌握斜线在平面上的射影。第17小题，(理)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义；(文)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式。第18小题，(理)了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列，并能根据其分布列求出期望值。(文)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义。第19小题，( 理)掌握指数函数的概念、图像和性质；(文)会求多项式函数的导数，并会用导数求多项式函数的单调区间。第20小题，(理)掌握直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念；(文)会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。第21小题，(理)掌握双曲线的定义、标准方程和简单几何性质，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；(文)掌握直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念。第22小题，(理)了解数列通项公式
高三数学考试质量分析 试卷分析 1、重点全面考查三基: 试题重点考察高中数学基础知识和基本方法和基本的思想方法， 2、控制试卷的难度 控制了试卷的整体难度，难度基本与期中考试持平，试卷采取了如下的措施控制试卷难度:(1)控制试卷的入口题的难度;(2)控制每种题型入口题的难度;(3)较难的解答题采用分步设问，分步给分的设计方法;(4)控制新题型的比例;(5)控制较难题的比例。基本上做到了试卷难度的起点和梯度设置恰当; 3、控制试题的运算量，侧重对数学能力的考察。 本试卷适当地降低了试题运算量，降低了对运算能力，特别是数值计算的要求，重点考查代数式化简和变形的能力以及思维方法和计算方法，侧重对学生思维能力的考查，重点考查了学生思维能力:直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等核心数学能力，重点考察了数形结合、简单的分类讨论、化归等数学基本思想方法( 3、继续保持应用性题目占有一定的比例; 体现数学的应用价值，发展学生的应用意识是新课程的基本理念，也是新课程教材的突出特点，现在大家也普遍认可通过设置应用题来考查学生应用数学的意识，创设新的问题情景使考生在新的情景中实现知识迁移，创造性地解决问题，更能体现考生的数学素质和能 力，突出了高考的选拔功能，真正考查出考生的学习潜力(试卷保持了应用性题目占一定的比例( 4、重视对数学通性通法的考察。
试卷突出重点、重在通性通法、淡化特殊技巧。整张试卷以常规题为主，综合题目分步设问，由浅入深，层次分明，有利于广大考生得到基本分，稳定考生情绪，发挥出最佳水平。 存在的主要问题及建议 ,.从答题情况看，主要存在三类问题: 第一类是概念、定理、公式、法则的理解不透，掌握不牢。 建议:教师在日常教学中，加强研究高中数学课程标准，与时俱进的认识三基，重视对三基的教学，并及时复习训练强化、切实夯实三基。教学中应围绕知识点，将其与其它知识点的联系及联系的方式，全面集中地展现出来，让学生体会到什么是深化概念，理解到什么程度才能得心应手，对你的解题帮助最大。 教师要指导学生观察教师是如何加深对概念的理解的，教师做了那些事，从什么角度来做这些事，体会其中的“味道”，要鼓励鼓励学生“学着做”。 第二类是技能方面，尤其是运算技能，作图、识图技能，逻辑推理薄弱。 建议:技能与训练有关，老师要加强对训练的指导，加强定时训练，针对性训练及小专题训练。 第三类问题是数学方法、数学思想运用不自如，遇到具体问题不 知道选择何种思想方法进行转化，表现出一定的盲目性。 建议:老师在教学时要注意暴露自己的思维过程，尤其是遇到障碍时，是如何克服的，为什么这样想，动机是什么,哪些知识和经验诱发了这些想法，要逐一展现在学生面前，让学生去体会、琢磨。 要在以下三个环节上切实落实数学思想方法: [1]在问题的分析、思路的发展中运用数学思维想方法进行思维导向; [2]解题后点明数学思想方法在思路发现过程中起的重要作用;
一、填 空 题 1.将函数展开为麦克劳林级数，则=-+x x 11ln ______________________ 。 2.x x x f sin )(= 在( - π,π )上展开的傅里叶级数为________ ______ 。 3.已知方程 z e z y x =++可以确定隐函数，那么 =???y x z 2________________________ __。 二、单项选择题 1、幂级数∑∞ =-112n n x n 的收敛域与和函数分别是___________ 。 A 、 [ - 1 , 1 ] ，2)1(1x x -+； B 、( - 1, 1 ) ，3 )1(1x x -+； C 、(- 1 , 1 ) ，)1(1x x -+； D 、[ - 1 , 1 ] ，4) 1(1x x -+。 2、 22)(y x x f +=在( 0 , 0 )满足 ________ 。 A 、连续且偏导数存在； B 、不连续但偏导数存在； C 、连续但偏导数不存在； D 、不连续且偏导数不存在。 4、函数222z y x u -+=在点A(b,0,0)及B(0,b,0)两点的梯度方向夹 角 。 A 、2π； B 、3 π； C 、4 π； D 、6π。 三、计算题 1、设),(y x z z =是由隐函数0),(=++ x z y y z x F 确定，求表达式y z y x z x ??+??，并要求简化之
3、设函数),(v u x x =满足方程组???==0 )),(,(0)),(,(v x g y G u y f x F ，其中g f G F ,,,均为连续可微函 数，且x y g f G F G F 2211≠，记1F 为F 对第一个变量的偏导数，其他类推，求v x u x ????,。
教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析 2020年高考数学全国卷试题评析（考试中心权威解析） 2020年高考数学试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。 1 发挥学科特色，“战疫”科学入题 一是揭示病毒传播规律，体现科学防控。用数学模型揭示病毒传播规律，如新高考Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用；全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。 二是展现中国抗疫成果。全国疫情防控进入常态化后，各地有序推进复工复产复学。新高考Ⅱ卷（供海南省使用）第9题以各地有序推动复工复产为背景，取材于某地的复工复产指数数据，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。 三是体现志愿精神。如全国Ⅱ卷理科第3题（文科第4题）是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
高一数学期末考试质量分析 数学备课组逯丽萍这次数学考试范围是必修一，特点是：符号多，概念多，内容多。而且比较抽象，与初中的数学明显不一样，很多学生比较不适应。从考试成绩可以看出总体上还是偏难。绝大部分学生对这一部分内容掌握得不是很好。由于进度比较紧张，考前没有很充足的时间来讲评练习，再加上对学生的估计不是很准确，学生很多没有去复习，诸多因素导致这次数学成绩比较不理想。 在试卷中主要问题是学生对基本概念模糊不清，基础不扎实，审题不认真，解题不规范，选择题，填空题易做但也易错，解答题 17、1）答题不规范3），个别同学粗心，题目抄错；4）运算能力不过关 解决方法：1）注意规范解题，多参考课本例题； 2）学会好的解题方法并学以致用 3）勤练基本功 19.属典型题型，有固定的解题模式 问题1）对此类题型掌握混乱，思路不清晰 2）分类标准不明确 3）语言表达不简练明了 4）结果没明确标出，数学语言应用不当 解决办法：1）上课注意认真听讲，记好笔记 2）课后注意反思整理，真正学会 3）加强练习达到举一反三 4）经常复习，内化成自己的知识 18题1）.部分学生不明确证明题是要有严谨的步骤， 2）.学生在用作差法证明过程中化简不彻底，没有都化为因式形式，还有一部分学生没有指出各个因式的正负，学生基本功还待加强。 3）.在求最值的时候只是简单的代入端点求出端点值，并没有严格说明其在区间上具有两个单调性。说明学生数学表达能力还要不断的完善。思维不严密。 4）.部分学生出现极其简单的计算错误！计算能力还要提高。
解决办法： 1）.引领学生学会用数学的表达方式书写过程，注重数学步骤的严谨。 2）.提高学生的运算能力。 3）.学生应试能力和心态还需要不断的锤炼。 22.题1）经验不足，不能直达问题本质 2）基本概念理解不是很透彻，应用起来也不是得心应手 3）细节容易遗漏，思路不够严密 解决方法：（1）加强基本概念和基本方法的掌握。 （2）培养学生转化问题的能力，学会问题的划归和转化，真正做到举一反三。 （3）加强基本运算能力和细心严谨的态度。 总之：学生在学习中的问题主要为，1）上课听懂了但不能学以致用，有的甚至听不懂。 2）对待学习没有一个严谨的态度，做题想当然，思维不严密。 3）缺少解题后的反思与整理，对一些典型问题不能得心应手 4）有些同学不注意复习，只是写了总结但并不去看。 5）计算能力薄弱，有待提高 6）解答题的过程书写不规范 应对策略： 1）上课讲课至少一道大题要注意书写规范起到示范作用 2）指导学生写总结和题型整理，督促学生勤练基本功。 3）指导学生对所学知识、技能进行反思，对本课、本单元或本章节涉及到的知识，有没有达到所要求的程度。对所蕴涵的数学思想和方法的理解和运用达到要求没有，这些思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点。 5）重视“ 三基” ，要落在实处，要通过解题，注意信息的反馈，及时补
山东师范大学2007-2008学年第一学期期末考试试题 （时间：120分钟 共100分） 课程编号： 4081101 课程名称：数学分析 适用年级： 2007 学制: 四 适用专业：数学与信息试题类别： A (A/B/C) 2分，共20分） 1. 数列{}n a 收敛的充要条件是数列{}n a 有界. ( ) 2. 若0N ?>, 当n N >时有n n n a b c ≤≤, 且lim lim n n n n a c →∞ →∞ ≠, 则lim n n b →∞ 不存在. ( ) 3. 若0 lim ()lim ()x x x x f x g x →→>, 则存在 00(;)U x δ使当00(;)x U x δ∈时,有()()f x g x >. ( ) 4. ()f x 为0x x →时的无穷大量的充分必要条件是当00(;)x U x δ∈时,()f x 为无界函数. ( ) 5. 0x =为函数 sin x x 的第一类间断点. ( ) 6. 函数()f x 在[,]a b 上的最值点必为极值点. ( ) 7. 函数21,0,()0, 0x e x f x x -?? ≠=??=?在0x =处可导. ( ) 8. 若|()|f x 在[,]a b 上连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. ( ) 9. 设f 为区间I 上严格凸函数. 若0x I ∈为f 的极小值点，则0x 为f 在I 上唯一的极小值点. ( ) 10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )
二、 填空题（本题共8小题，每空2分，共20分） 1. 0 lim x x x + →=_________________. 2. 设2 ,sin 2x u e v x ==，则v d u ?? = ??? __________________. 3. 设f 为可导函数，(())x y f f e =, 则 y '=_______________. 4. 已知3(1)f x x +=, 则 ()f x ''=_______________. 5. 设 ()sin ln f x x x =, 则()f π'=_______________ . 6. 设21,0, (),0; x x f x ax b x ?+≥=?+
天津市高考十年数学试卷分折 目录 第一部分：选择题与填空题基本知识点分析 知识点:复数的基本概念与运算（历年都考）。重点：复数的乘除 运算。 试题类型：选择题；位置：第一题；难度：容易试题规律：复数的基本运算为必考试题，一般是放在选择的第一题, 作为全卷的第一题非常容易，起到稳定军心的作用，但此题绝对不能出错。 2?知识点:四种命题及充要条件（历年都考）。重点：充要条件判断、命 题的否定与否命题，考真假命题。 试题类型：选择题；难度：容易或中等 试题规律：都是与其它知识点结合，重点考查充要条件的判断。新课 标有转向全称与特称命题的趋势。充要条件的判断根本的一点是“小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围”，而范围经常是用图形来表示的，所以要用数形结合的思想来求解。 3?知识点:分式与绝对值不等式及集合。重点：解二次和分式不等 式、解绝对值不等式、集合间的子、交、并、补运算、用重耍不等式求最值。 试题类型：选择题；位置：前7题；难度：容易试题规律：经常与集合结合，含绝对值不等式。 4?知识点:三角函数图象性质，止余弦定理解三角形（考图象性质, 考解三角形）重点：化一公式、图象变换、函数y = Asin（血+ 0）的性质、止余弦定理解题。 试题类型：选择题；难度：容易或中等试题规律：常考查三角函数的单调
性、周期性及对称性；三角函数的图象变换。重点为y = Asin（祇+ 0）型的函数。 5?知识点:函数性质综合题（奇偶、单调、周期、对称等）、特别是 结合分段函数是新课标的考查重点（每年都考）试题类型：选择题；位置：选择后3题；难度：较难试题规律：是必考题。重点考查函数的奇偶、单调、周期、对称等性质的综合。结合分段函数是新课标的考查重点 6?知识点:圆锥曲线定义及几何性质有关问题（椭圆双曲线准线不 考）（抛物线定义、双曲线渐近线与抛物线相交）试题类型：选择题；位置：前五题；难度：容易试题规律：考三种圆锥曲线各自的独特性，椭圆的定义、双曲线的渐近线、抛物线的定义，直线与圆锥曲线 7?知识点:抽样统计小题是趋势 试题类型：填空题；难度：中等或容易 试题规律：抽样方法，概率与统计，重要不等式的应用，分层抽样应用题 &知识点:直线与圆（常与参数方程极坐标等结合，主要是直线与圆相切或相割） 试题类型：选择题或填空题；位置：前六题；难度：容易试题规律：重点考查直线与圆的基本题型，直线和圆相切、直线被圆截得弦长问题、圆与圆内外切及相交问题等。每年必考。 9?知识点:平面向量基本运算（加法、减法、数乘和数量积，以数 量积为主，近年常以三角形和平行四边形为载体）（每年必考）试题类型：选择题或填空题；位置：较靠前；难度：中档试题规律：注重向量的代数与几何特征的结合，基底的思想加强了考査，向量的几何特征进行考査，题目小巧而灵活。 10?知识点:排列与组合 试题类型：选择题或填空；容易或中等试题规律：有两个限制条件的排数问题，球入盒问题，涂色问题，排列卡片问题，排数问题。总的看是以考查排列问题为主，考查的是基本的分类与分步思想。有成为选择或填空压轴题的趋势。
高等数学A （3）B 卷中典型试题的解答与分析 高等数学A （3）的教学内容是四川大学数学系编著的《高等数学》第二册中的2章（幂级数和傅里叶级数、广义积分和含参变量积分），第三册线性代数的全部内容共7章（行列式，矩阵代数，线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n 元实二次型）。本次期末试题的覆盖面较广，现将几个较典型的试题给予解答与分析。 1．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2, 求参数.c 解一： 设二次型的矩阵为A , ??? ? ? ??----=c A 33351315 二次型的秩即为二次型相应矩阵的秩. ??? ? ? ??----→????? ??----→????? ??----=c c c c A 2600912035191201224035 133351315 由已知A 的秩为2, 所以.3,026==-c c 解二：由于A 的秩为2, 由矩阵秩的定义有0||=A . 由05 11 53135335313 =--+--+--=c A ， 解得3=c ,且易验证3=c 时, 矩阵对应的行列式A 有二阶子式不为零，因此A 的秩为2，故所求二次型的秩为2. 分析：本题考核二次型秩的概念.解一利用二次型秩的定义求解。即利用二次型相应矩阵的秩称为二次型的秩,将原问题转化为求相应矩阵的秩,利用初等变换求得c .解二利用矩阵秩的定义直接求得c . 在本题的求解中,典型的错误有： 1)矩阵初等变换的符号“→”与运算符号“=”混淆,由此看出对初等变换的理解还不够.
高二数学期末考试成绩分析 一 1、命题立意 这次高二数学期末试卷铜仁地区教育局命题，命题力求体现课改的理念向高考改革靠拢，以有利于提高我市高中数学教学质量。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况，也重视对学生在数学思考能力和解决问题能力等方面发展状况的评价，还重视学生对数学认识水平的评价。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点、难点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。 2、试卷结构 本卷共三大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试的内容涉及到高二第一学期的知识占40%，高二第二学期学习内容，主要是空间立体几何、概率、圆锥曲线。其中重点考查了空间立体几何、概率、圆锥曲线等内容。 二、考试情况分析 这次期末考试,高二年级参加考试1025人,其中理科考生 616 名,平均分63分,最高分144,最低分10分,及格人数124人,及格率20%, 优秀人数88人, 优秀率16.06%;文科考生419名,平均分38.6分,最高分109,最低分5分,及格人数9人,及格率2%, 优秀人数4人, 优秀率0.95%。 三、教学建议 高二是整个高中的关键阶段,在今后教学的过程中，教师应该切实贯彻新课程理念，着意激发学生兴趣，注重学生的学习体验，提高课堂教学效率，努力提高学生的数学能力和综合素质。 1.培养学生良好学习习惯：本次考试不少学生之所以没有考得好成绩，就是因为平时学习习惯不好，处理问题没头没尾，解答过程不够完善所致。 2.加强双基训练：有效的利用课堂时间解决课堂上的基础问题，同时在课后对不懂问题予以解决。让每个学生都学有所得，提高他们的学习兴趣。 3.加强课堂管理：从本次考试来看，成绩不好的相当一部分原因是学生在课堂上没有认真听课，导致知识掌握不到位，从而引起不必要的失分。 4.数学能力的培养：文科班的学生数学基础差，大部分学生对数学毫无兴趣，今后教学中要注意。突出知识结构，扎实打实打好知识基础。培养学生自主学习、讨论、交流，
数学分析第三学期期末复习卷两套卷三卷四 卷三 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．),(y x f z =在点),(00y x 处可微是它在此点存在偏导数x z ??及y z ??的（ ） (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 以上都不是 2．),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ） (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 以上都不是 3．设233y x x z +-=，则它在点 (1, 0) （ ） (A) 取得极大值； (B) 不取得极值； (C) 取得极小值； (D) 不能确定是否取得极值 4．设函数?????=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(2 2y x y x y x xy y x f ，在点 (0, 0) 处（ ） (A) 连续，且偏导数存在； (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在； (D) 不连续，偏导数不存在 5．设有平面区域},|),({a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=， },0|),({1a y x a x y x D ≤≤≤≤=，则=+??D dxdy y x xy )sin cos (（ ） (A) ??1sin cos 2D dxdy y x (B) ??1 2D dxdy xy (C) ??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy (D) 0 二、填空（每空2分，共20分） 1．设平面点集2R E ∈，点2R a ∈，“a 为E 的聚点”的定义是： 2．设},|),({均为整数y x y x E =，则E 的全体界点是： 3．设),(xy y x f u +=，则du = 4．设函数xyz u =，则函数u 在点)1,0,1(A 处的梯度u grad = 5．写出格林公式：设函数),(y x P ，),(y x Q 在闭区域D 上有连续的一阶
2018年高考数学试题评析 教育部考试中心 考查关键能力 强调数学应用助推素质教育 2018年高考数学命题严格依据考试大纲，聚焦学科主干内容，突出关键能力的考查，强调逻辑推理等理性思维能力，重视数学应用，关注创新意识，渗透数学文化。试题体现考主干、考能力、考素养，重思维、重应用、重创新的指导思想。试卷稳中求新，在保持结构总体稳定的基础上，科学灵活地确定试题的内容和顺序；合理调控整体难度，并根据文理科考生数学素养的综合要求，调整文理科同题比例，为新一轮高考数学不分文理科的改革进行了积极的探索；贯彻高考内容改革的要求，将高考内容和素质教育要求有机结合，把促进学生健康成长成才和综合素质提高作为命题的出发点和落脚点，强化素养导向，助推素质教育发展。 1、聚焦主干内容，突出关键能力 2018年高考数学试题，立足于培育学生支撑终身发展和适应时代要求的能力，重点考查学生独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力；重视学科主干知识，将其作为考查重点，围绕主干内容加强对基本概念、基本思想方法和关键能力的考查，多考一点想的，少考一点算的，杜绝偏题、怪题和繁难试题。以此引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学。 2、理论联系实际，强调数学应用 2018年高考数学试题，与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际紧密联系起来，通过设置真实的问题情境，考查考生灵活运用所学知识分析解决实际问题的能力。在应用题中，将数据准备阶段的步骤减少，给考生呈现比较规范的数据格式或数据的回归模型；采取“重心后移”的策略，把考查的重点后移到对数据的分析、理解、找规律，减少繁杂的运算，突出对数学思想方法的理解和运用能力的考查；引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养。如全国II卷第18题，以环境基础设施投资为背景，体现了概率统计知识与社会生活的密切联系；全国III卷第18题减少了繁琐的数据整理步骤，将考查重点放在运用概率统计思想方法分析和解释数据之上，突出了考查重点。