《基本不等式》教学设计方案
人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册
【教学目标】
1、知识与技能目标
（1）掌握基本不等式2
a b
ab +≤,认识其运算结构；
（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标
（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标
（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。
【能力培养】
培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的
证明过程。
【教学难点】
基本不等式2
a b
ab +≤等号成立条件。
【教学方法】
教师启发引导与学生自主探索相结合
【教学工具】
课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】
一、 创设情景，引入新课
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？
赵爽弦图
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形
的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时
所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 4．基本不等式
1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2
a b
ab +≤
2）从不等式的性质推导基本不等式2
a b
ab +≤ 用分析法证明：
要证
2
a b
ab +≥ (1)
只要证 ≥+b a ab 2 (2) 要证（2），只要证 a+b-ab 2≥0 （3） 要证（3），只要证 （a -b ）2 0≥ （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。
32
a b
ab +≤的几何意义
如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。
2
a b
ab +≤的几何解
释吗？
引导学生发现：2
a b
+表示圆的半经，ab CD,
ab 2
a b
+(0,0>>b a )
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB
即ＣD ＝ab .
这个圆的半径为
2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b
a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.
几何意义：半弦长不大于半径长。
我们称ab 为正数b a ,的几何平均数，称2
b
a +为正数
b a ,的算术平均数。
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 5.随堂练习
已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：ab b
a ≥+2
（a ＞0，b ＞0）灵活变形，
可求得结果。
解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0
b ＋
c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【课时小结】
本节课，我们学习了重要不等式222a b ab +≥；两正数a 、b 的算术平均数
（
2
a b +），几何平均数（ab ）及它们的关系（ab b
a ≥+2）.它们成立的条件
不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222b a ab +≤,2)2
(b a ab +≤.
思想方法技巧：
（1）数形结合思想、“整体与局部” （2）换元法、分析法 （3）配凑等技巧
§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售
高中数学-不等式的基本性质（一）练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b
第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.
提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a 高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得
《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系
中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x
2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的
方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数
不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(
1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1]
（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-=
高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)abb (2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时，abacbc c0时，abac 运算性质有： (1)ab,cda+cb+d。 (2)ab0,cd0acbd。 (3)ab0anbn(nN,n1)。 (4)ab0(nN,n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励 高中数学不等式的解法 复习目标 1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法． 2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力． 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b （1）当 a 0 时，解集为 { x | } （2）当 a 0时，解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解，具体见下表： 2 0 0 0 a 0 ， b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注：1．解一元二次不等式的步骤： （1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系 数变为正） 1 （2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”． 三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2．含绝对值不等式的解： （1）| x | a(a 0) a x a （2）| x | a(a 0) x a或x a （3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a （4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数； （2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）： a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成 ' g ( x) g'( x) 基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 教学任务 教学过程设计 课后作业 一、选择： 1不等式038>-x 的解集是（ ） A ? B C 8{|}3x x ≠ D }3 8 { 2不等式04 1 2>+-x x 的解集是（ ） A R B 1{|}2x x < C 1{|}2x x > D 1 {|}2 x x ≠ 3设等于则B A x x B x x A I },11{},32{>-=<-= （ ） A }5201{<<<<-x x x 或 B }51{<<-x x C }01{<<-x x D }20{> 14设函数()4f x x b =-+，不等式|()|6f x <的解集为（－1，2） （1）求b 的值； （2）解不等式 40() x m f x +>． 答： 15、解关于x 的不等式 )0( 12 ) 1(>>--a x x a 答： 不等式(1) ●知识网络 比较法 分析法综合法 依据 方法 不等式性质不等式证明 三个重要不等式:2a ≥022a +b ab ≥2(∈)a R (、∈)a b R ()a b ＞0、＞0≥ab a+b 2不等式性质 a b -＞0a b ＞a b =a b=-0a b ＜a b -＜0 基本性质 其他性质 ●范题精讲 【例1】 试问:2 222b a b a +-与b a b a +-(a 、 b ＜0)的大小关系，并说明理由. 分析:两个数(或式)进行大小比较时，通常用作差法，它的一般步骤是:(1)作差；(2)变形；(3)定号. 作差的依据是:实数大小顺序与实数运算性质间的关系，即a ＞b ?a －b ＞0；a =b ? a －b =0；a ＜b ?a －b ＜0. 变形的方法是:采用配方法、因式分解法将差式化为若干个因式连乘积的形式或完全平方式的和的形式. 定号:由各因式的符号判断差的符号. 解:2 222b a b a +-－b a b a +- =))(() )(())((222222b a b a b a b a b a b a +++--+- =[] ) )(()()()(2 2222b a b a b a b a b a +++-+- = ) )(() (22 2b a b a b a ab ++-. 由于a ＜0,b ＜0,∴ab ＞0,a +b ＜0,a 2＞0,b 2＞0. ∴a 2+b 2＞0并且有2ab ＞0. 则(a 2+b 2)(a +b )＜0. 要判断))(() (222b a b a b a ab ++-与0的关系，需对a －b 与0的关系分类: (1)若0＞a ＞b ，则a －b ＞0，则2ab (a －b )＞0，于是 ) )(() (222b a b a b a ab ++-＜0. 此时，2 222b a b a +-＜b a b a +-.高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计
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