![[历年真题]2015年北京市高考数学试卷(理科)](https://img.doczj.com/imge6/1qxcx8r9es0gsak5nghvu3p69s1tnz9x-61.webp)
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2015年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．（5分）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）若x,y满足,则z=x+2y的最大值为（）
A．0 B．1 C．D．2
3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）
A．（﹣2,2）B．（﹣4,0）C．（﹣4,﹣4）D．（0,﹣8）
4．（5分）设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α,“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
6．（5分）设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是（）
A．若a1+a2＞0,则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0,则a1+a2＜0
C．若0＜a 1＜a2,则a2D．若a1＜0,则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
7．（5分）如图,函数f（x）的图象为折线ACB,则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
二、填空题（每小题5分,共30分）
9．（5分）在（2+x）5的展开式中,x3的系数为（用数字作答）
10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0,则a=．11．（5分）在极坐标系中,点（2,）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=．
13．（5分）在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=．
14．（5分）设函数f（x）=,
①若a=1,则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点,则实数a的取值范围是．
三、解答题（共6小题,共80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π,0]上的最小值．
16．（13分）A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间（单位:天）记录如下:
A组:10,11,12,13,14,15,16
B组；12,13,15,16,17,14,a
假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点．
（Ⅰ）求证:AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC,求a的值．
18．（13分）已知函数f（x）=ln,
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证,当x∈（0,1）时,f（x）＞；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0,1）恒成立,求k的最大值．19．（14分）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的离心率为,点P（0,1）和点A
（m,n）（m≠0）都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程,并求点M的坐标（用m,n表示）；
（Ⅱ）设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ？若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足:a1∈N*,a1≤36,且a n+1=
（n=1,2,…）,记集合M={a n|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6,写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
2015年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分,共40分）
1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【分析】利用复数的运算法则解答．
【解答】解:原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
故选:A．
【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．
2．（5分）（2015?北京）若x,y满足,则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,即可求出z取得最大值．
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
当l经过点B时,目标函数z达到最大值
=0+2×1=2．
∴z
最大值
故选:D．
【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值,着重考查了二
元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）
A．（﹣2,2）B．（﹣4,0）C．（﹣4,﹣4）D．（0,﹣8）
【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下；
x=1,y=1,
k=0时,s=x﹣y=0,t=x+y=2；
x=s=0,y=t=2,
k=1时,s=x﹣y=﹣2,t=x+y=2；
x=s=﹣2,y=t=2,
k=2时,s=x﹣y=﹣4,t=x+y=0；
x=s=﹣4,y=t=0,
k=3时,循环终止,
输出（x,y）是（﹣4,0）．
故选:B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,是基础题目．
4．（5分）（2015?北京）设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α,“m∥β“是“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】m∥β并得不到α∥β,根据面面平行的判定定理,只有α内的两相交直线都平行于β,而α∥β,并且m?α,显然能得到m∥β,这样即可找出正确选项．
【解答】解:m?α,m∥β得不到α∥β,因为α,β可能相交,只要m和α,β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β,m?α,∴m和β没有公共点,∴m∥β,即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选B．
【点评】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念．
5．（5分）（2015?北京）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
【分析】根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EA=EB=1,OA=1,:BC⊥面AEO,AC=,OE=
判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积．
【解答】解:根据三视图可判断直观图为:
OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,
EA=2,EC=EB=1,OA=1,
∴可得AE⊥BC,BC⊥OA,
运用直线平面的垂直得出:BC⊥面AEO,AC=,OE=
∴S
△ABC =2×2=2,S
△OAC
=S
△OAB
=×1=．
S△BCO=2×=．
故该三棱锥的表面积是2,
故选:C．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观图,得出几何体的性质．
6．（5分）（2015?北京）设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0,则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0,则a1+a2＜0
C．若0＜a 1＜a2,则a2D．若a1＜0,则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论．
【解答】解:若a1+a2＞0,则2a1+d＞0,a2+a3=2a1+3d＞2d,d＞0时,结论成立,即A不正确；
若a1+a3＜0,则a1+a2=2a1+d＜0,a2+a3=2a1+3d＜2d,d＜0时,结论成立,即B不正确；{a n}是等差数列,0＜a1＜a2,2a2=a1+a3＞2,∴a2＞,即C正确；
若a1＜0,则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0,即D不正确．
故选:C．
【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础．
7．（5分）（2015?北京）如图,函数f（x）的图象为折线ACB,则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象,利用数形结合得到不等式的解集．
【解答】解:由已知f（x）的图象,在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象,如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选C．
【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．
8．（5分）（2015?北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,以及图象,分别判断各个选项即可．
【解答】解:对于选项A,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升,故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米,故A 错误；
对于选项B,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最小,故B错误,
对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,里程为80千米,燃油效率为10,故消耗8升汽油,故C错误,
对于选项D,因为在速度低于80千米/小时,丙的燃油效率高于乙的燃油效率,故D 正确．
【点评】本题考查了函数图象的识别,关键掌握题意,属于基础题．
二、填空题（每小题5分,共30分）
9．（5分）（2015?北京）在（2+x）5的展开式中,x3的系数为40（用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式,利用x的指数为3,求出r,然后求解所求数值．
【解答】解:（2+x）5的展开式的通项公式为:T r
=25﹣r x r,
+1
所求x3的系数为:=40．
故答案为:40．
【点评】本题考查二项式定理的应用,二项式系数的求法,考查计算能力．10．（5分）（2015?北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0,则a=．
【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±,结合条件可得=,即可得到a的值．
【解答】解:双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±,
由题意可得=,
解得a=．
故答案为:．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题．
11．（5分）（2015?北京）在极坐标系中,点（2,）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．
【分析】化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
【解答】解:点P（2,）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为:1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
12．（5分）（2015?北京）在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=1．
【分析】利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出结论．
【解答】解:∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,
∴cosC==,cosA==
∴sinC=,sinA=,
∴==1．
故答案为:1．
【点评】本题考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础．
13．（5分）（2015?北京）在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=﹣．
【分析】首先利用向量的三角形法则,将所求用向量表示,然后利用平面向量基本定理得到x,y值．
【解答】解:由已知得到===；由平面向量基本定理,得到x=,y=；
故答案为:．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用,一个向量用一组基底表示,存在唯一的实数对（x,y）使,向量等式成立．
14．（5分）（2015?北京）设函数f（x）=,
①若a=1,则f（x）的最小值为﹣1；
②若f（x）恰有2个零点,则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．
【分析】①分别求出分段的函数的最小值,即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a,g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）,分两种情况讨论,即可求出a 的范围．
【解答】解:①当a=1时,f（x）=,
当x＜1时,f（x）=2x﹣1为增函数,f（x）＞﹣1,
当x＞1时,f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1,
当1＜x＜时,函数单调递减,当x＞时,函数单调递增,
故当x=时,f（x）min=f（）=﹣1,
②设h（x）=2x﹣a,g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时,h（x）=与x轴有一个交点,
所以a＞0,并且当x=1时,h（1）=2﹣a＞0,所以0＜a＜2,
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点,所以2a≥1,且a＜1,
所以≤a＜1,
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时,与x轴没有交点,
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点,
当a≤0时,h（x）与x轴无交点,g（x）无交点,所以不满足题意（舍去）,
当h（1）=2﹣a≤0时,即a≥2时,g（x）的两个交点满足x1=a,x2=2a,都是满足题意的,
综上所述a的取值范围是≤a＜1,或a≥2．
【点评】本题考查了分段函数的问题,以及函数的零点问题,培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力,属于中档题．
三、解答题（共6小题,共80分）
15．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π,0]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式,化简f（x）,再由正弦函数的
周期,即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围,可得x+的范围,再由正弦函数的图象和性质,即可求得最小值．
【解答】解:（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin
=sinx﹣（1﹣cosx）
=sinxcos+cosxsin﹣
=sin（x+）﹣,
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0,可得
﹣≤x+≤,
即有﹣1,
则当x=﹣时,sin（x+）取得最小值﹣1,
则有f（x）在区间[﹣π,0]上的最小值为﹣1﹣．
【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式,同时考查正弦函数的周期和值域,考查运算能力,属于中档题．
16．（13分）（2015?北京）A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间（单位:天）记录如下:
A组:10,11,12,13,14,15,16
B组；12,13,15,16,17,14,a
假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B i为“乙是B组的第i个人”,由题
意可知P（A i）=P（B i）=,i=1,2,??,7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”,由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,易得P（C）=10P（A4B1）,易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．
【解答】解:设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B i为“乙是B组的第i个人”,由题意可知P（A i）=P（B i）=,i=1,2,??,7
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”
∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；
（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,
则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,
∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）
=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=
（Ⅲ）当a为11或18时,A,B两组病人康复时间的方差相等．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及概率的加法公式和方差,属基础题．
17．（14分）（2015?北京）如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点．
（Ⅰ）求证:AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC,求a的值．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
（Ⅱ）建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质,结合向量法即可求a的值
【解答】证明:（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形,O为EF的中点,
∴AO⊥EF,
∵平面AEF⊥平面EFCB,AO?平面AEF,
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取BC的中点G,连接OG,
∵EFCB是等腰梯形,
∴OG⊥EF,
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB,
∵OG?平面EFCB,∴OA⊥OG,
建立如图的空间坐标系,
则OE=a,BG=2,GH=a,（a≠2）,BH=2﹣a,EH=BHtan60°=,
则E（a,0,0）,A（0,0,a）,B（2,,0）,
=（﹣a,0,a）,=（a﹣2,﹣,0）,
设平面AEB的法向量为=（x,y,z）,
则,即,
令z=1,则x=,y=﹣1,
即=（,﹣1,1）,
平面AEF的法向量为,
则cos＜＞==
即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC,
则BE⊥OC,
即=0,
∵=（a﹣2,﹣,0）,=（﹣2,,0）,
∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0,
解得a=．
【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标
系利用向量法是解决空间角的常用方法．
18．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=ln,
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证,当x∈（0,1）时,f（x）＞；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0,1）恒成立,求k的最大值．【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论,利用新函数的单调性求参数k的取值范围．
【解答】解答:（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
又因为f（0）=0,所以曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明:令g（x）=f（x）﹣2（x+）,则
g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=,
因为g'（x）＞0（0＜x＜1）,所以g（x）在区间（0,1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0,x∈（0,1）,
即当x∈（0,1）时,f（x）＞2（x+）．
（3）由（2）知,当k≤2时,f（x）＞对x∈（0,1）恒成立．
当k＞2时,令h（x）=f（x）﹣,则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=,
所以当时,h'（x）＜0,因此h（x）在区间（0,）上单调递减．当时,h（x）＜h（0）=0,即f（x）＜．
所以当k＞2时,f（x）＞并非对x∈（0,1）恒成立．
综上所知,k的最大值为2．
【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型,难度适中．
19．（14分）（2015?北京）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的离心率为,点P
（0,1）和点A（m,n）（m≠0）都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程,并求点M的坐标（用m,n表示）；
（Ⅱ）设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ？若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由．
【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．
（II）求解得出M（,0）,N（,0）,运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ,=,求解即可得出即y Q2=x M?x N,+n2,根据m,m的关系整体求解．
【解答】解:（Ⅰ）由题意得出
解得:a=,b=1,c=1
∴+y2=1,
∵P（0,1）和点A（m,n）,﹣1＜n＜1
∴PA的方程为:y﹣1=x,y=0时,x M=
∴M（,0）
（II）∵点B与点A关于x轴对称,点A（m,n）（m≠0）
∴点B（m,﹣n）（m≠0）
∵直线PB交x轴于点N,
2015年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答） 10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=． 13．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=． 14．（5分）设函数f（x）=， ①若a=1，则f（x）的最小值为； ②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是． 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值． 16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =， ，A B =I {}0{}1{}12，{}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线 （）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，， ，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+
历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5页， 23小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型 ( B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 已知集合A={x| x<1} ，B={ x| 3x 1}，则 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 其中的真命题为 绝密★启用 前 1． A．AI B {x|x 0} B．AUB R C．AUB {x|x 1} D．AI B 2． 3． A． 1 4 B． 设有下面四个命题 p1 ：若复数z 满 足1 R ，则 C． 1 2 D． R；p2 ：若复数z 满足z2 R ，则z R ； p3：若复数z1, z2满足z1z2 R，则z1 p4 ：若复数z R ，则
2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为 A ．0 B ．1 C ． 32 D ．2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-， B ．()40-， C ．()44--， D ．()08-，
开始 x =1，y =1，k =0 s =x -y ，t =x +y x =s ，y =t k =k +1 k ≥3输出(x ，y ) 结束 是否 4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 正(主)视图 11俯视图 侧(左)视图 21 A ．25+ B ．45+ C ．225+ D ．5 6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是 A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A B O x y -1 2 2C A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{} |12x x -<≤ 8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在()5 2x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?
2015年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则解答． 解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i； 故选：A． 点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1． 2．（5分）（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0B．1C．D．2 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值． 解答： 解：作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部阴影部分，由 解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值== 故选：C．
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 x=1，y=1，k=0 s=0，i=2 x=0，y=2，k=1
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ， 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ， 在整个图形中随机取一点， 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（）
历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
绝密★启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{} 52,A x x =-<<{} 33,B x x =-<<则A B =（ ） ( A ) {} 32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {} 53x x -<< （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22 111x y ++-= （C ）()()2 2 112x y +++= （D ）()()2 2 112x y -+-= （3）下列函数中为偶函数的是（ ） （A ）2 sin y x x = （B ）2 cos y x x = （C ）ln y x = （D ）2x y -= （4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ） （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 （5） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ） （A ）3 （B ） 4 (C) 5 (D) 6 （6）设,a b 是非零向量，“a b a b ?=”是“a //b ”的（ ） （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件
参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D）
全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量
1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 （2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==， 则abc 的取值范围是（ ）
全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=．
（1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<