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2.4.1等比数列(第1课时)学案设计

2.4.1等比数列(第1课时)学案设计
2.4.1等比数列(第1课时)学案设计

等比数列(第1课时)

学习目标

1、掌握等比数列的概念并会应用。

2、掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程。

重点难点

1、重点是等比数列的概念及通项公式的推导和应用。

2、难点是等比数列通项公式的推导及应用。

合作学习

一、设计问题,创设情境

1.复习等差数列的相关内容:

等差数列的定义是什么?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.

通项公式:a n =a 1+(n-1)d ,(n ∈N *).

前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2

d ,(n ∈N *). 问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列

1,2,4,8,…;

1,12,14,18,…;

-1,1,-1,1,…

思考:这三个数列是等差数列吗?每个数列的各项之间有什么关系?

不是等差数列。从第2项起,.每一项与它的前一项的比等于同一常数

二、信息交流,揭示规律

与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?

1.定义:如果一个数列从第2项起,.每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(q ≠0).

2.数学表达式:a n +1a n =q (n ∈N *) 从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立? 结论:等比数列各项均不为零,公比q ≠0.

3.通项公式:

若等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则{a n }的通项公式是什么?

a 2=a 1q ,

a 3=a 2q=a 1q 2,

a 4=a 3q=a 1q 3,

……

归纳猜测得到:a n =a 1q n-1

这个推导出来的结论如何证明呢? 证明:q a a =12,q a a =23,q a a =34,……,q a a n n =-1

11

342312--=??????n n n q a a a a a a a a 11

-=n n q a a 1

1-=n n q a a

通项公式:首项为1a ,公比为)0(≠q q 等比数列{}n a 的通项公式为)0(11≠?=-q q a a n n

三、运用规律,解决问题

【例1】判断下列数列是否为等比数列:

(1)1,1,1,1,1;

(2)0,1,2,4,8;

(3)1,-12,14,-18,….

解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;

(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;

(3)数列的首项为1,公比为-12,所以是等比数列.

【例2】在等比数列{}n a 中,若33=a ,64=a ,则5a 等于多少? 解:321=q a ①631=q a ②,联立①②得2=q ,125=a

【例3】已知等比数列{}n a 中,33=a ,38410=a ,求该数列的通项n a 。

解:321=q a ①,38491=q a ②,联立①②得2=q ,4

31=a ,323-?=n n a 四、变式训练,深化提高

1.在等比数列{}n a 中,已知311=

a ,35=a ,求3a 。 解:415q a a =,43

13q ?=,32=q ,13=a 2.设1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,其公比为2,则432122a a a a ++的值为多少? 解:原式=842221111?+?+a a a a =4

1 3.若等比数列{}n a 满足2042=+a a ,4053=+a a ,求1a 。 解:20211=+q a q a ①404

121=+q a q a ②2=q ,21=a

五、反思小结,观点提炼

这节课我们学了什么内容?

1、掌握等比数列的概念并会应用。

2、掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程。

作业:

《课时讲练通》P99第10题,第11题,两道题都作为解答题作答。

等比数列教学设计(共2课时)

《等比数列》教学设计(共2课时) 一、教材分析: 1、内容简析: 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式,它是继等差数列后有一个特殊数列,是研究数列的重要载体,与实际生活有密切的联系,如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决,在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想,在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定: 从知识结构来看,本节核心内容是等比数列的概念及通项公式,可从等比数列的“等比”的特点入手,结合具体的例子来学习等比数列的概念,同时,还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上,导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标(三维目标): 第一课时: (1)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及公式的推导 (2)在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想,提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 (3)通过对等比数列通项公式的推导,培养学生发现意识、创新意识 第二课时: (1)加深对等比数列概念理解,灵活运用等比数列的定义及通项公式,了解等比中项概念,掌握等比数列的性质 (2)运用等比数列的定义及通项公式解决问题,增强学生的应用 3、教学重点与难点: 第一课时: 重点:等比数列的定义及通项公式 难点:应用等比数列的定义及通项公式,解决相关简单问题 第二课时: 重点:等比中项的理解与运用,及等比数列定义及通项公式的应用 难点:灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析: 从整个中学数学教材体系安排分析,前面已安排了函数知识的学习,以及等差数列的有关知识的学习,但是对于国际象棋故事中的问题,学生还是不能解决,存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突,产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法,于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段,对数学思想和方法的认识还不够,思维能力比较欠缺,他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时,高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此,本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律,另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与,积极思考,表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生,让学生在参与的过程中,学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导: 由于等比数列与等差数列仅一字之差,在知识内容上是平行的,可用比较法来学习等比

等比数列第一课时教案(汇编)

等比数列的定义教案 内 容: 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义; 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法; 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型:新授课 课时安排:1课时教学重点:等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点:等比数列通项公式的探求。 教具准备:多媒体课件 教学过程: (一)复习导入 1.等差数列的定义 2.等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题:给出一张书写纸,你能将它对折10次吗?为什么? (二)探索新知 1.引入:观察下面几个数列,看其有何共同特点? (1)-2,1,4,7,10,13,16,19,…(2)8,16,32,64,128,256,… (3)1,1,1,1,1,1,1,… (4)1,2,4,8,16,…263 请学生说出数列上述数列的特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞,再假设开始有一个细胞,经过一个单位时间它分裂为两个细胞,经过两个单位时间就有了四个细胞,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起.... ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数.. ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(0)q ≠, 3.递推公式:1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 (1) 等比数列的首项不为0; (2)等比数列的每一项都不为0; (3)公比不为0. (4)非零常数列既是等比数列也是等差数列; 问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件? 3.等比数列的通项公式: 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字,他儿子见老师第一天写“一”就是一划,第二天“二”就是二划,第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,

等比数列教学设计

第五届全国高中青年数学教师优秀课大赛 教学设计 课题: 等比数列 (第一课时) 执教人: 韩灵 单位: 山西省太原市育英中学

1.1.1 正弦定理 教学目标︰ 1、通过实例,理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型,使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系,归纳等比数列的定义的过程。 2、 探索并掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比,探索等比数列的通项公式,通过与指数函数的图象类比,探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。 3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点:理解等比数列的概念,认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一, 探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点:等比数列与其对应函数的关系。 教学过程: 一、 创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义,今天我们就来学习另外一种特殊的数列,首先看实例1。 ● 实例分析1:在《数学3》(必修)中,我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构 成的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是“位(bit)”,每一位只能存储一个“0”或一个“1”,所以1个位可以存储0、1两种不同的信息.如果有2个位,就可以存储00、01、10、11四种不同的信息.我们记n 个位共能储存的不同信息 n a 种,写出{ n a }的前5项。 【老师】首先请一位同学读题,最后一句话说的是什么含义呢?老师引导学生分析本题的含义,并画出树状图形象的表示。 【学生】通过观察,分析,理解题意,从而得到{ n a }的前5项为2,4,8,16,32。 ① ● 实例分析2:公元前5至前3世纪,中国战国时,《庄子》一书中有“一尺之棰, 日取其半,万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗? 【学生】思考、讨论,用现代语言叙述。

《等比数列》学案1

等比数列的前n 项和(两课时) 一 知识梳理 新知:等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 公式的推导方法一: 公式的推导方法二: 二 问题探究 知识点一、等比数列前n 项和的基本计算:“知三求二”问题,即:已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个. 例1“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。怎样用学过的知识来说明它? 例2、等比数列{}n a 的公比,12 18== a q ,求前八项的和8s 例3、求和: 9 999999999999个n +++

例4、某工厂去年1月份的产值为a 元,月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年产值的总和。 练习: 1、13a =,548a =. 求此等比数列的前5项和. 2、在等比数列{a n }中,S 3=72S 6=63 2 ,求a n . 3、 等比数列中,33139,.22 a S a q == ,求及 4、在等比数列}{n a 中,661=+n a a ,12822=-n a a ,前n 项和126=n S ,求n 和公比q 5、某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

知识点二、利用等比数列前n 项和的性质解题 例5 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S ,求证:n S ,2n n S S -, 32n n S S -()1-≠q 也成等比. 练习: 1、 在等比数列中,已知248,60n n S S ==,求3n S . 2、等比数列{}n a 中,301013S S =,1030140S S +=,求20S . 3、等比数列的前n 项和为S n ,若S 10=10,S 20=30,S 60=630,求S 70的值.

第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式

2. 4等比数列 第1课时等比数列的概念及通项公式 1?通过实例,理解等比数列的概念并学会简单应用. 2?掌握等比中项的概念并 会应用. 3?掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 预冃案*自建迸习j 研读? M ?営 试 新知提炼 1.等比数列的定义 (1) 从第2项起 条件 (2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 结论这个数列就叫做等比数列 有关概念这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(q M 0)表示2?等比数列的通项公式 门―1 a n = aq 1. 3. 等比中项 若a、G、b成等比数列,称G为a, b的等比中项且G= ± ab. ■自我尝试‘ 1?判断(正确的打“V”,错误的打“x”) (1) 数列1,—1, 1, - 1,…是等比数列.() (2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列. () ⑶等比数列的首项不能为零,但公比可以为零. () (4) 常数列一定为等比数列.() (5) 任何两个数都有等比中项. () 答案:(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x 2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于() A. 6 B. 3x 2n—1 3. 4与9的等比中项为()

A . 6 B . - 6 =1, C . 2 x 3n — 1 D . 6n 答案:C

A . 6 B . - 6 =1, C . i6 D . 36 答案: C 11 1 4. 等比数列一 10-而,一 而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案:10 5. ______________________________________________ 在等比数列{a n }中,已知a n = 4n 3 , 贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________ 1 答案:1 4 探究案讲练互普 探究点一等比数列的通项公式 H 在等比数列{a n }中, (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n . (2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1,求 n. a 4= ag 3, [解](1)因为 6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以 a 1q 6= 8,② ② 3, 由①,得43 = 4,从而q = - 4,而a 1q 3 = 2, n — 1 又a n = 1,所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6. 方祛归纳 于是a 1 = q 3= M 2' 2n -5 所以 a n = a 1q n -1 = 2 3 a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ① ⑵因为 2 5 ② 1 由①,得q =P 从而 a 1 = 32.

等比数列教案经典

《等比数列》教学设计(共2课时) 第一课时 1、创设情境,提出问题 (阅读本章引言并打出幻灯片) 情境1:本章引言内容 提出问题:同学们,国王有能力满足发明者的要求吗? 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为: 1,2,,2,2,2432 ……,632 (1) 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2:某人从银行贷款10000元人民币,年利率为r ,若此人一年后还款,二年后还款,三年后还款,……,还款数额依次满足什么规律? 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… (2) 情境3:将长度为1米的木棒取其一半,将所得的一半再取其一半,再将所得的木棒继续取其一半,……各次取得的木棒长度依次为多少?,8 1,41,21…… (3) 问:你能算出第7次取一半后的长度是多少吗?观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究,找出规律: 学生对数列(1),(2),(3)分析讨论,发现共同特点:从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母q )0(≠q 表示,即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列(1),(2),(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,1+r,2 1 点评:等比数列与等差数列仅一字之差,对比知从第二项起,每一项与前一项之“差”为常数,则为等差数列,之“比”为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2

等比数列第一课时导学案

2.3 等比数列导学案(1) 学习目标:1 .理解等比数列的定义,能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ; 重点:等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点:等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列?通项公式是什么 ?什么叫等差中项? 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…;② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗? 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点? 2、 等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 _____ 项起,每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数,那 么这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的 _________ ,通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ,的公比为q 方法1:(归纳法) 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_, a 3 a ?q a 1 ,a 4 a 3 q a 1 a n a n 1 q a 1 a o 根据等比数列的定义,可以得到— a 3 -- ? a 4 -- ? a n -- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式,把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ,即 a 1 a 2 a 3 a 1 ,即得到等比数列的通项公式。 方法2:(累乘法) a 2 a 3 a 4 a n 1

三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含:任一项a n 0且q 0 3 q= 1时,{a n }为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: ___________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: ___________________________ . 4、 等比中项:若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 :非零常数列 四、预习检查: 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2,…; (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ; (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 - -- … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4 ,公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 {an }成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0)

等比数列教学设计

等比数列 一教案描述 1.教案的背景 等比数列是另一类重要的特殊数列,研究方向、内容、方法与等差数列类似。首先,归纳出等比数列的定义,再导出等比数列的通项,最后是应用。我在教学设计中,通过创设一系列的问题情境把这些内容有机地串联起来,整个过程如一次重大战役,环环紧扣,层层深入,促进学生思维的展开,增强创新意识的培养。 教学目标 (1)理解等比数列的定义及通项公式。掌握通项公式的推导方 法 (2)通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。 (3)通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度。 2.教学过程设计 2.1创设情境,自学质疑 教师先借助电脑投影几个数列 ①-2,1,4,7,10,13,16,19,… ②8,16,32,64,128,256,… ③3,3,3,3,3,3,3,… ④243,81,27,9,3,1, , ,… ⑤31,29,27,25,23,21,19,… ⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,… ⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,… 然后提出下列问题 问题1:①我们已学过等差数列,以上数列哪些是等差数列?②如果不是,那么数列的后一项与前一项又具有怎样的共同特征?③能为这类数列命名吗? 设计意图:是让学生体验类比及从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法.这里教师的任务是:展示创设的问题情境,为学生观察、思考、讨论、交流等学习活动提供材料。 2.2合作交流,互动探究 (1)等比数列的定义 问题2:类比等差数列的概念,归纳等比数列的定义 讨论结果:①相邻两项的商是一个常数 ②每一项与前一项的比是同一个常数 ③从第二项起,后一项与前一项的比是同一个常数 对于这一问题,有了等差数列的基础,学生是可以概括出来的,尽管总结的语言很可能不太理想,教者也不要着急地照本宣科或越俎代庖,要相信学生在经历了一番挫折后会逐步完善他们的表达语言,

《等比数列》第一课时教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计 一、教学任务和目标 (一)教学任务分析:通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动,展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程;体会研究等比数列通项公式简单归纳方法:特殊到一般的过程。(二)教学目标 知识与技能:理解并掌握等比数列的定义和通项公式,并加以初步应用。 过程与方法:通过概念、公式和例题的教学,渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想,培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。 情感、态度与价值观:培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神,养成科学、良好的学习习惯和品质。 (三)教学重、难点 教学重点:等比数列概念的形成与深化,等比数列通项公式的推导与应用 教学难点:等比数列概念的深化,等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法 (一)教学方法分析:本节课是《等比数列》第一课时,核心任务是概念的本质理解,而概念教学应注重概念的形成过程,引导学生主动探索、发现、类比和归纳,因此本节课采用教为主导、学为主体、

练为主线的教学方法,培养学生的学习热情,发挥学生的主动性和创造性。 (二)学法分析:一方面,学生领会数学概念学习的一般过程,并主动探索概念的形成;另一方面,由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的,因此,学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程,来构建等比数列的知识系统。 三、教学过程 (一)复习引新 等差数列与等比数列的内容平行,因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法,因此本节课先复习等差数列知识点,为类比思想的应用提供基础。 问题1:等差数列的定义是什么? 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示。 问题2:等差数列的通项公式是什么?如何推导该公式? 等差数列通项公式:1(1)n a a n d =+- 推广公式:()n m a a n m d =+- 推导过程:方法一:不完全归纳法:归纳、猜想。 方法二:累加法 问题3:等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何

最新等比数列导学案

编号:gswhsxbx5----008 文华高中高一数学必修5 §2.4《等比数列 (1)》导学案 编制人:戴道亮审核人:高一数学组编制时间:2014年3月15日 学习目标 1.能记住等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质; 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力; 3.体会等比数列与指数函数的关系. 重点难点 重点是等比数列的定义,通项公式。 难点是灵活运用等比数列的通项公式。 学习方法 类比法 情感态度与价值观 通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度,体会探究过程中的主体作用及探索问题的方法,经历解决问题的全过程。 学习过程 一、知识点回顾 1.等差数列的定义? 2.等差数列的通项公式 a , n 等差数列的性质有: 二、新课导学 观察:

① 1,2,4,8,16,… ② 1,12,14,18,1 16 ,…(一尺之棰,日取其半,万世不竭。) ③ 1,20,220,320,420,… 思考以上三个数列有什么共同特征? 三.知识要点 1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起, 一项与它的 一项的 等于 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表示(q ≠0),即: 1 n n a a -= (q ≠0) 2. 等比数列的通项公式: 21a a = ; 3211()a a q a q q a === ; 24311()a a q a q q a === ; … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是(推广式): 四.例题探究 例1 、(1) 一个等比数列的第9项是49,公比是-1 3 ,求它的第1项; (2)一个等比数列的第3项是12,第4项是18,求它的第1项与第2项.

等比数列的概念(教案)

等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性,理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点:等比数列定义的归纳及应用,通项公式的推导。 难点:正确理解等比数列的定义,根据定义判断或证明某些数列为等比数列,通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义:*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式:()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这两组数列1、2、4、8……, 1、1 2、14、18 …… 问:这两组数列中,各组数列的各项之间有什么关系 2、 探究发现,建构概念 问:与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义:如果一个数列从地2项起,每一项与前一项的比值都等于同一个常数,则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比,用q 表示。 <2>数学表达式:*1,()n n a q n N a +=∈ 问:从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么也就是,这个公式在什么条件下成立 结论1 等比数列各项均不为零,公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例,目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用,从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列: (1)1、1、1、1、1; (2)0、1、2、4、8; (3)1、11 1124816 -、、-、.

分析 (1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列; (2)等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列; (3)数列的首项为1,公比为12- ,所以是等比数列. 注 成等比数列的条件:11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列: (1)1、2、1、2、1; (2)-2、-2、-2、-2; (3)11111392781--、、、、; (4)2、1、12、14、0. 分析 (1)3122122 a a a a ==,,比值不等于同一个常数,所以不是等比数列; (2)首项是-2,公比是1,所以是等比数列; (3)首项是1,公比是13 -,所以是等比数列; (4)数列中的最后一项是零,所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项: (1)2,a ,8; (2)- 4,b ,c ,12 . 分析 在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来求解。 (1)8442a a a ==-,解得或; (2)22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中, ①a 3=4,a 5=16,求a n ②a 1=2,第二项与第三项的和为12,求第四项。 随堂练习 P23练习题。 思考 由前面的练习5,等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q , 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推,可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗

人教课标版高中数学必修5《等比数列(第1课时)》教学设计

2.4.1等比数列第一课时 一、教学目标 1.核心素养 通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标 (1)由特殊到一般,理解并会判断等比数列. (2)掌握等比数列通项公式及证明. (3)应用等比数列知识解决相应问题. 3.学习重点 (1)等比数列定义及判断. (2)通项公式的推导. 4.学习难点 会用等比数列解决相应问题. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 任务1 阅读教材,思考:什么是等比数列? 任务2 观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗? 任务3 结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列? 2.预习自测 1.数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少? 答案:等比数列;1024. 【知识点:等比数列】 【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=

2.在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a =________. .23-n 答案: 【知识点:等比数列通项公式】 【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3.已知x ,y ,z ∈R ,若-1,x ,y ,z ,-3成等比数列,则xyz 的值为( ) A .-3 B .±3 C .-3 3 D .±3 3 答案:C 【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =(-1)×(-3)=3,且2x y =->0,即y <0,∴y =-3,xz =3,则xyz =-33. ”的什么条件?有都”是“对任意正整数是公比,则“是首项,等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4 答案:充分不必要条件. 【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断;数学思想:推理论证能力】 【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -?>?即1n a +>n a 反之不然. 取11n n a a q -==)21 (n -,可得 1n a +>n a ,但1a =21- (二)课堂设计 1.知识回顾 (1)等差数列概念. (2)等差数列通项公式及推导. 2.问题探究 问题探究一 借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一 回顾旧知,夯实基础.

等比数列前n项和学案(可编辑修改word版)

64 5.3.2 等比数列的前 n 项和 一、学习目标: 1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和和公式解决实际问题; 3. 通过公式的探索、发现、体会观察、猜想、归纳、分析、推理的数学思维。 二、新知引入: 在棋盘放麦粒的故事中,国王要是满足大臣的愿望,需要分别在每个棋盘放上的麦粒数按从小到大的顺序排列可以得到如下数列: 1 , 2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,... 1. 这是一个 数列; 2. 这个数列一共有 项,首项 a1= ,公比 q= . 3. 根据等比数列的通项公式 ,最后一格应放麦粒 粒。 思考: 按照大臣的要求,国王一共要拿出多少麦子呢?聪明的同学们,请你们帮助国王想一想: 1. 这个问题实际上是等比数列 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,... 的求和问题: S 1 21 22 23 24 263 ① 结合等比数列性质,若①式两边同时乘以 2 会得到什么? S 64 ② 容易发现②式减去①式: 这些麦粒围绕地球可以将地球铺满 3cm 思考:1.刚才我们在计算规程中,为什么要让 S64 乘以 2? 2.我们刚才的计算过程是怎样的?你能根据刚才的计算过程推导出等比数列的一般求和公式吗?

新课点睛: 等比数列的前 n 项和公式: 1.当q 1 时, 2.当q 1 时, Sn = = Sn = 实时反馈: 1. 在等比数列{a n } 中,若已知a 1 和公比q 和a 30 ,则S 30 的表达式是什么? 2. 在等比数列{a n } 中,若若已知a 1 和公比q ,则S 100 的表达式是什么? 例题 1:求等比数列 1,1 2 4 1 , , 的前 8 项的和. 8 例题 2.已知a 1 27 , a 9 1 243 , q 0,求这个数列的前 5 项和.

《等比数列》第1课时教学设计

《等比数列》第1课时教学设计 ●教学目标 知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导; 过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习:等差数列的定义: n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +) 等差数列是一类特殊的数列,在现实生活中,除了等差数列,我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子: ①1,2,4,8,16,… ②1,12,14,18,116 ,… ③1,20,220,320,420,… ④10000 1.0198?,210000 1.0198?,310000 1.0198?,410000 1.0198?,510000 1.0198?,…… 观察:请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征? 共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(q ≠0),即:1 -n n a a =q (q ≠0) 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) {n a }成等比数列?n n a a 1+=q (+∈N n ,q ≠0)

等比数列教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科:_____________ 任教年级:_____________ 任教老师:_____________ xx市实验学校

七年级思品《创建新集体》教案 目标预设: 知识与能力:通过教学使学生认识到集体的重要性。树立共同的目标,各尽所能,发挥所长,奉献集体。 过程与方法:通过学生对心目中班集体的描绘,让学生了解到加强集体观念的重要性。 情感态度与价值观:使学生明白只有每个人热爱集体,团结协作、互相帮助、互相支持,创建出优秀的班集体,才能在集体中不断成长成材。 教学重难点: 重点:如何创建新集体 难点:如何创建新集体 教学准备:多媒体、图片、粉笔,学生课前准备好展示才艺的道具 教学过程: 一、导入新课 踏入初中生活,当每一位同学熟悉了新的班级、新同学之后,一个新的集体也就诞生了。通过学习,你们打算怎样去创造一个大家都为之自豪的班集体呢? 二、新授 师:集体是个人成长的园地,我们知道一个良好的班集体对个人的成长发展确实太重要了,那么,同学们心目中的班集体是什么样子的? 板书课题创建新集体 (一)共同的目标,前进的动力(板书) 活动1 想一想:你最喜欢的班级是怎样的?并说出自己的理由。(师生交流) 填一填: 我希望生活在、、的班集体中,因为在这样的集体中,我们。因此,我们都愿意生活在一个集体中。 提示:(1)可用“健康、活泼、团结、和谐、民主、奋进”或“目标一致,团结互助,人尽其才,民主和谐”之中任意三个词来描绘最喜欢的班级。因为,它能激发我们对学校生活的热爱,有助于同学间融洽关系的形成和纯洁友谊的建立,能为我们提供团结奋斗的不懈动力,能让我们认识到自己之所长,发挥自己的闪光点,能促进我们沟通协作、相互配合,在集体中不断成长。(只要言之有理即可) 师:我们生活在一个班级中,如果没有共同的期望,各想各的,各做各的,班级就像一盘散沙,不可能成为我们为之自豪的集体。所以我们首先要通过讨论总结出最喜欢的班级的模样,这样我们就有了共同的目标,就可以让我们的集体向着我们理想的方向发展,而共同的目标自然也就给了我们团结奋斗的不懈动力。 活动2 分组讨论:为创建优秀班集体提建议,并填表 我们心目中班集体的特点 创建优秀班集体可采取的措施 师:当然要想创建一个优秀的、理想的班集体并不是一件容易的事,这需要我们大家的共同努力:各尽所能,发挥所长,奉献集体 (二)各尽所能,发挥所长,奉献集体(板书) 活动3 看看你有哪些才智能为集体建设弹奏出美妙的“音符”。 如:我很热心,所以我可以做班级的收信员。

(完整版)刘永祥等比数列第一课时教案

2.4.1等比数列第一课时教案 教者:刘永祥;授课班级:高二(20)班 教学目标 知识目标:1等比数列的定义;2、等比数列的通项公式 能力目标:1、明确等比数列的定义.2、理解掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法;3会解决知道1,,,n a a q n 中的三个求另一个的问题 情感态度价值观;培养学生积极动脑,明辨是非的学习作风,掌握取其精华、去其糟粕的能力。体会等比、等差数列的相似美和结构美 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教学重点:1、等比数列概念的理解与并掌握2、等比数列通项公式的推导。 教学难点:等比数列通项公式的推导及应用。 教学过程: (一)复习回顾 1.等差数列的定义 2.等差数列的通项公式及其推导方法 (二)复习引入 1.引入:观察下面几个数列,看其有何共同特点? (1)63 1,2,4,8,16,...,2。(2)111 1,,,,...;248 (3)231,20,20,20...; (4)231.0198,1.0198,1.0198... 结论从第二项起每一项与前一项的比是同一个常数。 2.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起.... ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数.. ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等

比数列的公比;公比通常用字母q 表示(0)q ≠,即:1 (2)n n a q n a -=≥ 思考:(1)等比数列中有为0的项吗?;(2)公比为1的数列是什么数列? (3)既是等差数列又是等比数列的数列是什么数列? (4)常数列是等比数列吗? 注意:(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; (2)隐含:任一项0n a ≠且0q ≠;(3)当1q =时,数列{}n a 为常数列 (4)既是等差数列又是等比数列的数列:非零常数列 3.等比数列的通项公式: 方法一:(不完全归纳法)由定义得: q a a 12=; 21123)(q a q q a q a a ===;234311()a a q a q q a q ===;……; )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 当1n =时,等式也成立,即对一切*∈N n 成立。 方法二:(累乘法)由定义式可得: (1)n -个等式21a q a =,32 a q a =,……,1 n n a q a -=, 若将上述1n -个等式相乘,便可得: 11 342312--=???n n n q a a a a a a a a Λ, 即:11-?=n n q a a (n ≥2) 当1n =时,左边=1a ,右边=1a ,所以等式成立, ∴等比数列通项公式为:111(0)n n a a q a q -=??≠. 4.等比数列的通项公式的推广:1(0)n m n m a a q a q -=??≠ (三).例题解析: 例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项、第2

人教版2020高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案5

第1课时 等比数列 学习目标:1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点). [自 主 预 习·探 新 知] 1.等比数列的概念 (1)文字语言: 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(q ≠0). (2)符号语言: a n +1a n =q (q 为常数,q ≠0,n ∈N * ). 思考:能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗? [提示] 不能. 2.等比中项 (1)前提:三个数a ,G ,b 成等比数列. (2)结论:G 叫做a ,b 的等比中项. (3)满足的关系式:G 2 =ab . 思考:当G 2 =ab 时,G 一定是a ,b 的等比中项吗? [提示] 不一定,如数列0,0,5就不是等比数列. 3.等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{a n }的第n 项a n ,有公式a n =a 1·q n -1 .这就是等比数列{a n }的通项公式, 其中a 1为首项,q 为公比. 4.等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为a n =a 1 q ·q n ,而y =a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积,从图象上看,表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y =a 1q ·q x 的图象上的孤立点. 思考:除了课本上采用的不完全归纳法,还能用什么方法求数列的通项公式. [提示] 还可以用累乘法. 当n >2时, a n a n -1=q ,a n -1a n -2=q ,…,a 2 a 1 =q , ∴a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2 …… a n -1a n -2·a n a n -1 =a 1·q n -1 . [基础自测]

2018版第2章2.3.2第1课时等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点) 2.会用错位相减法求数列的和.(难点) 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. [基础·初探] 教材整理等比数列的前n项和 阅读教材P48~P50,完成下列问题. 等比数列的前n项和公式 1.设{a n}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{a n}前7项的和为________. 【解析】∵a5=a1q4,∴q=±2.∵q>0,∴q=2,

∴S 7=a 1(1-q 7)1-q =27-12-1=127. 【答案】 127 2.在等比数列{a n }中,a 1=2,S 3=26,则公比q =________. 【解析】 ∵S 3=a 1(1-q 3)1-q =2(1-q 3) 1-q =26,∴q 2+q -12=0,∴q =3或- 4. 【答案】 3或-4 3.等比数列{a n }中,公比q =-2,S 5=44,则a 1=________. 【解析】 由S 5=a 1[1-(-2)5] 1-(-2)=44, 得a 1=4. 【答案】 4 4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5 S 2 =________. 【解析】 由8a 2+a 5=0, 得a 5 a 2 =-8,即q 3=-8, 所以q =-2. S 5 S 2=a 1[1-(-2)5] 1-(-2) a 1[1-(-2)2]1-(-2)=1-(-2)5 1-(-2)2=-11. 【答案】 -11 [小组合作型]

新人教版高中数学《等比数列》导学案

《等比数列》导学案 【学习目标】 1. 明确等比数列的定义并学会用定义判断一个数列是否为等比数列 2. 掌握等比数列的通项公式及推导方法并能在解题中应用 3. 学会与等差数列类比并掌握等比数列的相关性质 【重难点】 重点:理解等比数列的概念及通项公式的含义 难点:等比数列的有关性质及应用 【学习过程】 一. 预习新知 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的 都等于 常 数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用 表示 2.等比中项 如果在a 与b 中间插入一个数G ,使 ,那么G 叫做a 与b 的等比中项 3.等比数列的通项公式 设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则它的通项公式n a = 4.等比数列的性质 (1)m n m n q a a -=(n m <) (2)若m+n=p+q(m 、n 、p 、q *N ∈)时, (3)若{}n a 是等比数列,当{}n k )(*N k n ∈是等差数列时,{}n k a 是________数列。 (4)若{}n a 是等比数列且1-≠q 时,则 ,321k a a a a ++++ ,221k k k a a a +++++ ,32212k k k a a a +++++是等比数列 (5)若{}n a 、{}n b 是等比数列,则{}{}{} 2 ,),0(n n n a a m ma ≠,{}n n b a ,? ?????n n b a 也是等比数列 (6)若{}n a 是等比数列,公比q ,当q=1时,{}n a 是常数列;当0>a a q {}n a 是递 数列;当时,且或且01q 0,0111><<<>a a q {}n a 是递 数列。

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