选修2-1第三章空间向量检测题(一)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(3，λ，15
2
)平行，则λ＝( )
C ．－92
D ．－2
3
2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→
等于( )
3．若向量a ＝(1，m,2)，b ＝(2，－1,2)，若cos 〈a ，b 〉＝8
9
，则m 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．－2或255
D ．2或－2
55
4．已知空间向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量的坐标是( ) A ．(0,1,2) B ．(0，－1，－2) C ．(0，
15，25) D ．(0，－15，－2
5
) 5．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 内任一点O ，下列条件中能确定M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) ＝OA →＋OB →＋OC → ＝2OA →－OB →－OC →
＝OA →＋12OB →＋13OC →
＝13OA →＋13OB →＋13
OC →
6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →
，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )
A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13
B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1
6
C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13
D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1
3
7.如图所示，已知三棱锥A －BCD ，O 为△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC
→
＋AD →
)是O 为△BCD 的重心的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为( )
A ．3 D ．9
9.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 与BC 1所成的角是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°
10．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝90°，M 在△ABC 内，∠MPA ＝60°，∠MPB ＝45°，则∠MPC 的度数为( ) A ．150° B ．45° C ．60°
D ．120°
12．已知直二面角α－PQ －β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°，那么二面角B －AC －P 的正切值为( )
A ．2
B ．3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
13．已知四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.
14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角的大小为________．
15．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是边长为a 的正方形，AA 1＝b ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则AC 1的长为________．
16.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝1
2AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与
平面AGC 所成角的正弦值为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70
分)
17．(10分)已知A(1，－2,11)，B(6，－1,4)，C(4,2,3)，D(12,7，－12)，证明：A，B，C，D四点共面．
18．(12分)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC 1所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．
19.(12分)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
20.(12分)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD
＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1
2CD＝a，PD＝2a.
(1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
21.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
(1)求证AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．
22.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
第三章单元质量评估(一)
1．C ∵a ∥b ，∴b ＝m a (m ∈R )， ∴23＝－3λ＝5152
，得λ＝－92.
2．A AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→. 3．C a ·b ＝6－m ，|a |＝m 2
＋5，|b |＝3，cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |＝
6－m 3m 2＋5
＝89，解得m ＝－2或m ＝255.
4．D 由已知得a ＋b ＝(0,1,2)且|a ＋b |＝5，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量为－15(0,1,2)＝(0，－15，－2
5
)．故选D.
5．D
6．D 连接ON ，∵M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，∴OM →＝12OA →，ON →＝12
(OB →＋OC →)， ∴OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →，∴x ＝16，y ＝z ＝1
3.故选D.
7．C
8．A BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝BA →＋BC →＋BB 1→，|BD 1→|2＝BD 1→2＝(BA →＋BC →＋BB 1→)2＝|BA →|2＋|BC →|2＋|BB 1→|2＋2BA →·BC →＋2BA →·BB 1→＋2BC →·BB 1→＝4＋4＋1＋0＋2×2×1×(－12)＋2×2×1×12
＝9，|BD 1→|＝3，即BD 1
的长为3.
9．B
以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)，B (0,0,0)，则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·22
＝12，∴〈EF →，BC 1
→〉＝60°，∴直线EF 与BC 1所成的角为60°.
10．C 翻折后A ，B ，C ，D 四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC ⊥平面BAC ，设未折前正方形对角线的交点为O ，则∠DBO 即为BD 与平面ABC 所成的角，大小为45°.
如右图所示，过M 作MH ⊥面PBC 于H ，则MH ∥AP ，∴∠MPH ＝
30°，∴cos45°＝cos ∠HPB ·cos30°，∴cos ∠HPB ＝63，∴cos ∠HPC ＝3
3.又cos ∠HPC ·cos30°＝cos ∠MPC ，∴33×32＝cos ∠MPC ，∴∠MPC ＝60°.
12．A 在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于O ，连接OB .又α⊥β，则OC ⊥OB ，OC ⊥OA ，又CA ＝CB ，所以△AOC ≌△BOC ，故OA ＝OB .又∠BAP ＝45°，所以OA ⊥OB .以O 为原点，分别以OB ，OA ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．
不妨设AC ＝2，由∠CAO ＝30°，知OA ＝3，OC ＝1.在等腰直角三角形OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，则OB ＝OA ＝3，所以B (3，0,0)，A (0，3，0)，C (0,0,1)，AB
→＝(3，－3，0)，AC →＝(0，－3，1)，设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由???
??
n 1·AC →＝－3y ＋z ＝0n 1·
AB →＝3x －3y ＝0，取x ＝1，
则y ＝1，z ＝3，所以n 1＝(1,1，3)，易知平面β的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝15×1＝5
5，又二面角B －AC －P 为锐角，由此
可得二面角B －AC －P 的正切值为2.
13．3a ＋3b －5c 解析：
如图所示，取BC 的中点M ，连接EM ，MF ，则EF →＝EM →＋MF →＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c )＋1
2(5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c .
解析：由条件知AC ，BC ，CC 1两两垂直，如图，以C 为原点，CB ，CA ，CC 1分别为x 轴，y
轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (0，
3，0)，B 1(1,0，6)，M ?
????0，0，62，A 1(0，3，
6)，
∴AB 1
→＝(1，－3，6)， A 1M →＝?
????0，－3，－62， cos 〈AB 1→，A 1M →〉＝0，∴〈AB 1→，A 1
M →〉＝π2， 即直线AB 1与A 1M 所成角为π
2.
解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1
→＝c ，则|a |＝|b |＝a ，|c | ＝b ，∴AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ，∴|AC 1
→|2＝(a ＋b ＋c )2＝2a 2＋
b 2－2ab ，∴|AC 1
→|＝2a 2＋b 2－2ab .
解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，BG
→＝(a ，－a,0)， 设平面AGC 的一个法向量为n 1＝(x 1，
y 1,1)，由???
?
?
AG →·n 1＝0AC →·n 1
＝0，
得????? ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0，则?????
x 1＝1y 1＝－1
，故n 1＝(1，－1,1)．设GB 与平面AGC 所成的角为θ，则
sin θ＝|BG →·n 1||BG →||n 1|
＝2a 2a ×3＝63.
17．证明：AB →＝(5,1，－7)，AC →＝(3,4，－8)，AD →＝(11,9，－23)，设AD
→＝xAB →＋yAC →， 得????
?
5x ＋3y ＝11x ＋4y ＝9－7x －8y ＝－23，
解得x ＝1，y ＝2.
所以AD
→＝AB →＋2AC →，则AD →，AB →，AC →为共面向量，又AB →，AD →，AC →有公共点A ，因此A ，B ，C ，D 四点共面．
18．解：
如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA →＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)，连接BD ，B 1D 1，在矩形BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H 点．
设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，〈DH →，DA →〉＝60°，则DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，
可得2m ＝2m 2
＋1，得m ＝22，
所以DH →＝(22，22，1)．
(1)cos 〈DH →，CC 1→〉＝DH →·CC 1→|DH →||CC 1→|＝12，所以〈DH →，CC 1
→〉＝45°，即DP 与CC 1所成的角为45°.
(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量为DC →＝(0,1,0)，cos 〈DH →，DC →〉＝DH →·DC →|DH →|·|DC →
|＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，故DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°. 19.(1)证明：如图所示，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，
a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，设E (0，a ，e )，则A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a,0)，A 1E →·BD →＝－a ·(－a )＋a ·(－a )＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，则A 1E ⊥BD .
(2)解：当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .由题意可得DE ＝BE ，
∴EO ⊥BD .
同理A 1O ⊥BD ，∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角，EO ＝
? ????12a 2＋? ??
??22a 2＝3
2a ，A 1O ＝
a 2
＋? ??
??22a 2＝62a ，A 1E 2＝(2a )2
＋? ???
?12a 2＝94a 2，∴EO 2＋A 1O 2
＝94a 2
＝A 1E 2，∴∠A 1OE ＝90°，∴平面A 1BD ⊥平面EBD .
20．解：
∵四边形PDCE 是矩形，且平面PDCE ⊥平面ABCD ，平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又∠ADC ＝90°，∴PD ，AD ，DC 两两垂直．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在
直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，2a )，E (0,2a ，2a )，C (0,2a,0)，B (a ，a,0)．
(1)∵M 为P A 的中点，∴M (a 2，0，2a
2)，
则AC →＝(－a,2a,0)，DM →＝(a 2，0，2a 2)，DE →＝(0,2a ，2a )． 设平面MDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
由题意得???
??
m ·DM →＝0
m ·
DE →＝0，则?????
x ＋2z ＝0
2y ＋2z ＝0
，
取m ＝(2,1，－2)．
而AC →·m ＝(－a )·2＋2a ＋0＝0，且AC ?平面MDE ， ∴AC ∥平面MDE .
(2)平面P AD 的一个法向量n 1＝(0,1,0)，PC
→＝(0,2a ，－2a )，PB →＝(a ，a ，－2a )．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 0，y 0，z 0)，则有???
??
n 2·PC →＝0
n 2·PB →＝0，
即?????
2y －2z ＝0
x ＋y －2z ＝0
， 取n 2＝(1,1，2)．
设平面P AD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，则有 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝12，
则θ＝60°，
∴平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为60°. 21．(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ， ∴P A ⊥AB .
∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ?平面P AD ，∴AB ⊥PD .
∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM .
∵AM ?平面ABM ，∴AM ⊥PD .
(2)解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB
→，AD →，AP →所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，M (0,1,1)，则AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD
→＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC
→，n ⊥AM →可得?
????
x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝????????CD →·n |CD →||n |＝63，∴cos α＝33，∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.
22．(1)证明：连接BD ，因为M ，N 分别为PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ?平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .
(2)解法1：连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC
→，OD →所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6，又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ，在直角三角形P AC 中，AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4.由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，
0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M ? ????－32，－32，6，N ? ????－32，3
2，6，
Q ? ????33
，0，263.设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面AMN 的一个法向量，AM →＝? ????32，－32，6，AN →＝? ??
??32，32，6，由
m ⊥AM
→，m ⊥AN →知???
32x 1－3
2y 1＋6z 1＝0，
32x 1
＋32y 1
＋
6z 1＝0.
取z 1＝－1，得m ＝(22，0，－1)．设n ＝(x 2，
y 2，z 2)为平面QMN 的一个法向量，QM →＝?
????－
536，－32，63，QN →＝
?
????－536，32，63.由n ⊥QM →，n ⊥QN →知???
－536x 2－32y 2＋6
3z 2＝0，
－536x 2
＋32y 2
＋6
3z 2
＝0.
取z 2
＝5，得n ＝(22，0,5)．故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33
33，所以二面角A －
MN －Q 的平面角的余弦值为33
33.
解法2：如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ＝3AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD ，所以PB ＝PC ＝PD ，所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝1
2PD ＝AN .取线段MN 的中点E ，连接AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角，由AB ＝23，P A ＝26，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝33
2.在直角三角形P AC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝22，QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝PB 2＋PC 2－BC 22PB ·PC ＝5
6，得MQ ＝PM 2＋PQ 2－2PM ·PQ cos ∠BPC ＝ 5.在等腰三角形MQN 中，MQ ＝NQ ＝5，MN ＝3，得QE ＝MQ 2－ME 2＝112.在△AEQ 中，AE ＝332，QE ＝11
2，AQ ＝22，得cos ∠AEQ ＝AE 2＋QE 2－AQ 22AE ·QE ＝33
33，所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为
33 33 .