一次函数专题整理
一次函数知识点汇总
一、 一次函数的定义
一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,0k ≠)的函数,叫做一次函数,当0b =时,即y kx =,这时即是前一节所学过的正比例函数.
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.
⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数.
⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
二、一次函数的图象及其画法
⑴一次函数y kx b =+(0k ≠,k ,b 为常数)的图象是一条直线.
⑵由于两点确定一条直线,所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时,只要先描出两个点,再连成直线即可.
①如果这个函数是正比例函数,通常取()00,,()1k ,两点;
②如果这个函数是一般的一次函数(0b ≠),通常取()0b ,
,0b
k
??
- ??
?,,即直线与两坐标轴的交点.
⑶由函数图象的意义知,满足函数关系式y kx b =+的点()x y ,在其对应的图象上,这个图象就是一条直线l ,反之,直线l 上的点的坐标()x y ,满足y kx b =+,也就是说,直线l 与y kx b =+是一一对应的,所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l :y kx b =+,有时直接称为直线y kx b =+.
三、一次函数的性质
⑴当0k >时,一次函数y kx b =+的图象从左到右上升,y 随x 的增大而增大; ⑵当0k <时,一次函数y kx b =+的图象从左到右下降,y 随x 的增大而减小.
四、一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号
⑴ 一次
函数
()0k kx b k =+≠
k ,b 符号 0k >
0k < 0b > 0b < 0b = 0b >
0b <
0b =
图象
O
x y
y
x O
O
x y
y
x O
O
x y
y
x
O
性质
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
⑵一次函数y kx b =+中,当0k >时,其图象一定经过一、三象限;当0k <时,其图象一定经过二、四象限.
当0b >时,图象与y 轴交点在x 轴上方,所以其图象一定经过一、二象限;当0b <时,图象与y 轴交点在x 轴下方,所以其图象一定经过三、四象限.
反之,由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号.
五、用待定系数法求一次函数的解析式
⑴定义:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待字系数法. ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤: ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式; ②将x y ,的几对值,或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组;
③解方程(组),得到待定系数的值;
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求的函数解析式.
一次函数考点汇总
考点一:点的坐标
x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;
若一次函数的点在第一象限内,则X>0 Y>0
若一次函数的点在第二象限内,则X<0 Y>0
若一次函数的点在第三象限内,则X<0 Y<0
若一次函数的点在第四象限内,则X>0 Y<0
若两个点关于x轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;
若两个点关于y轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;
若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数;
例1:若点M(1-x,1-y)在第二象限,那么点N(1-x,y-1)关于原点的对称点在第______象限。
例2:若点A(m,n)在第二象限,则点(|m|,-n)在第____象限。
例3:若一次函数y=(3-k)x-k的图象经过第二、三、四象限,则k的取值范围是()
A.k>3B.0 例4:一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是() A.一、二、三B.二、三、四 C.一、二、四D.一、三、四 考查二:关于点的距离的问题 点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示; 任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y 的距离为22()()A B A B x x y y -+-; 若AB ∥x 轴,则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -; 若AB ∥y 轴,则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -; 点(,)A A A x y 到原点之间的距离为22A A x y + 例1:两点(3,-4)、(5,a )间的距离是2,则a 的值为__________; 例2:已知点A (0,2)、B (-3,-2)、C (a,b ),若C 点在x 轴上,且∠ACB=90°,则C 点坐标为___________. 例3: 点D (a,b )到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________;到原点的距离是____________; 考查三:正比例函数与一次函数定义 方法:若y=kx+b(k,b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数,特别的,当b=0时,一次 函数就成为y=kx(k 是常数,k ≠0),这时,y 叫做x 的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b ,这时,y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 例:如果函数 是正比例函数,那么( ). 初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点P 在直线y=-x-m 上,且AP=OP=4,则m 的值是多少 2、如图,已知点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y=-x 上运动,当线段AB 最短时,试求点B 的坐标。 3、如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分,试求b 的值。 4、如图,在平面直角坐标系中,直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,点C 在x 轴上,若△ABC 是等腰三角形,试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中,已知A (1,4)、B (3,1),P 是坐标轴上一点,(1)当P 的坐标为多少时,AP+BP 取最小值,最小值为多少 当P 的坐标为多少时,AP-BP 取最大值,最大值为多少 ~ 6、如图,已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点,交x 轴于点B (-6,0),△AOB 的面积为15,且AB=AO ,求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O 7、已知一次函数的图象经过点(2,20),它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 ( 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴负半轴上,A点的坐标是(-1,0), (1)经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E,求四边形AECD的面积; (2)若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中,一次函数y=Kx+b(b小于0)的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C,直线x=4与x轴交于点D,四边形OBCD的面积为10,若A的横坐标为-1/2,求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A,且OA=OB:求这个一次函数解析式 12、如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,m)在第一象限,直线PA 交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,S AOP=6. ; 求:(1)△COP的面积 (2)求点A的坐标及m的值; (3)若S BOP =S DOP ,求直线BD的解析式 一次函数复习专题一 待定系数法求解析式 方法:依据两个独立的条件确定k,b 的值,即可求解出一次函数y=kx+b (k ≠0)的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b (k ≠0); ☆ 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点(2,-6),求函数的解析式。 2、直线y=kx+b 的图像经过A (3,4)和点B (2,7), 3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y (升)与行驶时间x (小时)之间的关系.求油箱里所剩油y (升)与行驶时间x (小时)之间的函数关系式,并且确定自变量x 的取值范围。 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点(-2,0)求解析式。 5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6,相应的函数值的范围是-11≤y ≤9,求此函数的解析式。 6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于y 轴对称,求k 、b 的值。 7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于x 轴对称,求k 、b 的值。 8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于原点对称,求k 、b 的值。 一次函数复习专题二 一次函数的平移 方法:直线y=kx+b 与y 轴交点为(0,b ),直线平移则直线上的点(0,b )也会同样的平移,平移不改变斜率k ,则将平移后的点代入解析式求出b 即可。 直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;(“左加右减,上加下减”)。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y= 21 x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22 3 +-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 7. 直线x y 31 = 向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线 。 8. 直线14 3 +-=x y 向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线________。 9. 过点(2,-3)且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。 10. 过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是___________. 11.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________; 12.直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n 上,则a=____________; 一次函数复习专题三 一次函数与方程不等式 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠()与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线 y b kx =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程b 0kx +=,解方程得x b k =- ,直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -,b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数,0a ≠)的形式,所以解一元 一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程(组)的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠()本身就是一个二元一次方程,直线y b k 0kx =+≠()上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠(),因此二元一次方程的解也就有无数个。 一、常量与变量 在一个变化过程中,数值保持不变的量叫常量,数值发生改变的量叫变量。 实际上,常量就是具体的数,变量就是表示数的字母。(注意“π”是常量) 二、自变量与函数 在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果x每取一个值,y都有唯一确定 ....的值与它对应,那么,把x叫自变量,y叫x的函数。 判断两个变量是否有函数关系就是“看对于自变量的每一个确定的值,函数值是否有惟一确定的值和它对应。” 三、函数值 如果x=a时,y=b,那么把“y=b叫做x=a 时的函数值”。 四、表示函数的方法 方法(一)解析式法。 方法(二)列表法 方法(三)图像法 五、自变量的取值范围 在一个变化过程中,自变量允许取值的区域,叫自变量的取值范围。 六、自变量取值范围的求法 (一)对于解析式 1、解析式是整式。自变量取一切实数。 2、自变量在分母。取使分母不等于0的实数。 3、自变量在根号内 (1)在内。自变量取一切实数。 (2)在内。取使根号内的值为非负数的实数。 (二)对于实际问题 自变量的取值要符合实际意义。 在一个函数解析式中,同时有几种代数式时,函数的自变量的取值范围应是各种代数式中自变量的取值范围的公共部分 例: 求函数中自变量x的取值范围。解:要使有意义, 必须且 即,。 所以中自变量x的取值范围是。 说明:求使函数有意义的自变量的值,就是求函数自变量的取值范围。 七、函数图象的画法步骤 把每个点描在平面直角坐标系中。 (三)连线。把描出的点按照自变量由小到大的顺序,用平滑的线 ....连结起来。 八、正比例函数 1、定义:形如(k是常数,)的函数叫做正比例函数。 2、图象:是经过(0,0)与(1,k)的直线。 3、性质: (1) (2) 一次函数专项训练及答案 一、选择题 1.若A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点,记()()1212m x x y y =--,则当m <0时,a 的取值范围是( ) A .a <0 B .a >0 C .a <-1 D .a >-1 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是一次函数2(1)2y ax x a x =+-=+-图象上的不同的两点,()()12120m x x y y =--<, ∴该函数图象是y 随x 的增大而减小, ∴a+1<0, 解得a<-1, 故选C. 【点睛】 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题. 2.如图,函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m -,,则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为( ) A .2x > B .02x << C .8x >- D .2x < 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值,再利用函数图象得出答案即可. 【详解】 解:∵函数y =?4x 和y =kx +b 的图象相交于点A (m ,?8), ∴?8=?4m , 解得:m =2, 故A 点坐标为(2,?8), ∵kx +b >?4x 时,(k +4)x +b >0, 则关于x 的不等式(k +4)x +b >0的解集为:x >2. 故选:A . 【点睛】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式,正确利用函数图象分析是解题关键. 3.如图,已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点,⊙O 的半径为1,P 是线段AB 上的一个点,过点P 作⊙O 的切线PM ,切点为M ,则PM 的最小值为( ) A .2 B 2 C 5 D 3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解:连结OM 、OP ,作OH ⊥AB 于H ,如图,先利用坐标轴上点的坐标特征: 当x=0时,y=﹣22,则A (0,2), 当y=0时,﹣2=0,解得2,则B (2,0), 所以△OAB 为等腰直角三角形,则2OA=4,OH=12 AB=2, 根据切线的性质由PM 为切线,得到OM ⊥PM ,利用勾股定理得到22OP OM -21OP - 当OP 的长最小时,PM 的长最小,而OP=OH=2时,OP 的长最小,所以PM 的最小值为2213-= 故选D . 巩固练习 一、选择题: 1.已知y与x+3成正比例,并且x=1时,y=8,那么y与x之间的函数关系式为()(A)y=8x (B)y=2x+6 (C)y=8x+6 (D)y=5x+3 2.若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过() (A)一象限(B)二象限(C)三象限(D)四象限 3.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是() (A)4 (B)6 (C)8 (D)16 4.若甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2, 如图,所挂物体质量均为2kg时,甲弹簧长为y1,乙 弹簧长为y2,则y1与y2的大小关系为() (A)y1>y2(B)y1=y2 \ (C)y1一次函数练习题及答案(较难)
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