多元统计方差分析 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
合肥学院
2015－2016第二学期《多元统计分析》课程论文论文题目方差分析
姓名郑宁
学号 01
专业数学与应用数学（1）
成绩
方差分析
——以南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度的相关数据为基础，建立方差分析模型进行分析。
摘要：单因素方差分析（ANOVA）是用来研究一个分类型自变量的不同水平对一个数值型因变量的影响。方差分析不仅可以提高检验的效率，而且可以提高检验的可靠性。本论文为了研究南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度有无显着性变化。根据假设检验的原理，运用SAS软件，以南极的3、6、9、12月各温度作为实验因素，建立方差分析模型，最后在给定的显着性水平下，判断出各实验因素之间有无显着性差异，从而得出实验因素之间的方差分析模型，即确定了南极的1951-1980的3、6、9、12月的温度之间有没有显着性变化。
关键词:方差分析模型 SAS软件
一、问题提出与分析
现有南极的1951-1980的3、6、9、12月各温度的相关数据，请用方差分析研究南极的3、6、9、12月的各温度有没有显着性差异。数据
资料如表1所示，其中，各指标含义如下：实验因素：a（表示3月）、b（表示6月）、c（表示9月）、d（表示12月）。
表1 南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度数据
要求：
（1） 会对实际问题建立有效的方差回归模型；
（2） 学会利用SAS 输出结果对模型作出结论式的分析，能对方差模型进
行运用，对实际问题的各因素进行有无显着性差异的判断。 二、模型建立
1.单因素试验的方差分析模型
设因素A 有s 个水平12,,...,S A A A ，在水平(1,2,...,)j A j s =下，进行(2)j j n n ≥次独立实验，得到如下结果：
我们假设：
(1)各个水平(1,2,...,)j A j s =下的样本X1j ,X2j , · · · ,Xn j j 是来自具有相同方差2σ；
(2)均值分别为(1,2,...,)j j s μ=的正态分布2(,)j N μσ，其中2,j μσ未知； (3)设不同水平j A 下的样本之间相互独立； 由于2(0,)ij j X N μσ-，故ij j X μ-可看成是随机误差。记ij j ij X με-=，则
得到：
22
(0,)(0,),1,2,...,,1,2,3...,.ij j ij ij ij j X N N i n j s μεσεσε?=+????
==??
各相互独立 其中j μ与2σ均为未知参数。
方差分析有两个任务：对上述模型检验个s 总体的均值是否相等核对未知参数212,,...,,k μμμσ。即检验如下假设问题：
012112
:...:,,...,k
k H H μμμμμμ===??
?不全相等 三、模型的检验与分析 data a;
input month $ tempreture @@; cards ; a 9 b c d a b 4 c d a 8 b c d a b c d a b c d
a b c d 10
a b c d a b c 6 d a b c d a b c d a
b
c
d
a b 6 c 6 d
a b c d 7 a b c d
a b 5 c d
a b c d
a b c 5 d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b 3 c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b 4 c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d ; proc anova data=a;
class month;
model tempreture=month;
run;
SAS 系统2016年04月29日星期五上午10时38分35秒 1
The ANOVA Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
month 4 a b c d
Number of Observations Read 120
Number of Observations Used 120
The ANOVA Procedure
Dependent Variable: tempreture
Sum of
Source DF
Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 3 <.0001
Error 116
Corrected Total 119
R-Square Coeff Var
Root MSE tempreture Mean
Source DF
Anova SS Mean Square F Value Pr > F
month 3 <.0001
The ANOVA
Procedure
t Tests (LSD)
for tempreture
NOTE: This test controls the Type I
comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate.
Alpha Error Degrees of
Freedom 116
Error Mean Square
Critical Value of
t
Least Significant
Difference
Means with the same letter
are not significantly different.
t Grouping Mean
N month
A 30 d
A
A 30 a
B 30 c
C 30 b
该SAS 程序运行给出了南极的温度方差分析结果，容易看出效应平方和为，误差平方和为，总偏差平方和，效应、误差和总偏差的自由度分别s-1= 3,n-s=116 ,n-1=119，由最后一行可知F 值为，相应的P 值（r P F >) 为.0001<，可以得出南极不同月份的温度是有显着性差异 2, data a;
input month $ tempreture @@; cards ; a 9 b c d a b 4 c d a
8
b
c
d
a b c d
a b c d
a b c d 10 a b c d
a b c 6 d
a b c d
a b c d
a b c d
a b 6 c 6 d
a b c d 7 a b c d
a b 5 c d
a b c d
a b c 5 d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b 3 c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b 4 c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
;
proc anova data=a;
class month;
model tempreture=month;
means month/t;
run;
The ANOVA Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
month 4 a b c d
Number of
Observations Read 120
Number of
Observations Used 120
The ANOVA Procedure
Dependent Variable: tempreture
Sum of
Source DF
Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 3 <.0001
Error 116
Corrected Total 119
R-Square Coeff Var
Root MSE tempreture Mean
Source DF
Anova SS Mean Square F Value Pr > F
month 3
<.0001
The ANOVA
Procedure
t Tests (LSD)
for tempreture
NOTE: This test controls the Type I
comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate.
Alpha Error Degrees of
Freedom 116
Error Mean Square
Critical Value of
t
Least Significant
Difference
Means with the same letter
are not significantly different.
t Grouping Mean N month
A
30 d
A
A
30 a
B
30 c
C
30 b
结果分析：该SAS程序运行给出了南极的温度数据多重比较检验结果。
对输出的结果说明如下：
Alpha=给出检验的alpha水平。缺省的错误率为，即100次中有5次犯
错机会。
Df=给出检验的自由度。对均衡的样本，自由度应为组数与样本量减1的
乘积。检验的自由度为20。
Critical Value of T=列出检验使用的均方误差和临界值。均方误差为，临界值为。
Least significant Difference=给出在由Alpha=指定的水平下两均值间有显着性差异时的最小可能差值。最小可能差值水平是在。 四、总结
方差分析就是要判断试验中是否存在系统性变异，即试验因素的水平对试验指标是否产生显着性影响。用于检验变量间是否有显着性差异的F 值由最后一行可知F 值为，相应的P 值（r P F >) 为.0001<，，相应的P 值（r P F >) 为.0001<，效应平方和为，误差平方和为，总偏差平方和，效应、误差和总偏差的自由度分别s-1= 3,n-s=116 ,n-1=119，均方误差为，临界值为。Alpha=指定的水平下两均值间有显着性差异时的最小可能差值为。因此可以得出南极1951-1980年份的不同月份的温度是没有显着性差异。
第五章方差分析 序号:5-004 题型:名词解释题 章节:方差分析 题目:方差分析的任务 答案:①求参数μ、μj 、α 1、α 2 ……αm的估计值（参数估计） ②分析观测值的偏差 ③检验各水平效应α 1、α 2 ……αm（等价μ 1 、μ 2 ……μm）有无显著差异 难度:高 评分标准:每题2分，少一条扣去1分。 序号:5-002 题型: 判断题 章节:方差分析 题目:方差分析是一种比较总体方差差异的统计方法。（） 答案:错误 难度:中 评分标准:1分 序号:5-003 题型:综合题 章节:方差分析 题目:设有三个车间以不同的工艺生产同一种产品，为考察不同工艺对产品产量的影响，现对每个车间各纪录5天的日产量，如表所示，问三个车间的日产量是否有显著差异？ （取α=0.05）。 将最终的计算结果填入下表：
F ＞)12,2(05.0F 存在显著差异。 解：（1）计算各水平均值和总平均值，465 46 484745441=++++= X ， 同理46,5232==X X ，483 46 5246=++=X （2’分） （2）计算总离差平方和S T ，组内平方和S E ，组间平方和S A 。 S T =（44－48）2+（46－48）2+……（45－48）2＝172 （1’分） S A =Σ120)4846(5)4852(5)4846(5)(2222j =-+-?+-=-X X （1’分） S E =S T －S A =172－120=52（1’分） （3）计算方差 MS A = 601 3120 =- MS E = 33.43 1552 =-（1’分） （4）作F 检验 85.1333 .460 === E A MS MS F （1’分） 89.3)21,2(),1(05.02==--F m n m F （1’分） 难度:中 评分标准: 每题8分 序号:5-004 题型:综合题 章节:方差分析 题目: 有重复双因素方差分析，A 因素有3个水平，B 因素有3个水平，在A i 、B j 所有可能组合条件下，重复观测2次。试用观测值X ijk 、均值??i X 、??j X ……, i =1、2……n ， j =1、2……m ， k =1、2…… l 制表。并指定Excel 单元格对应。 有重复双因素方差分析数据表
第8章 方差分析与回归分析 一、方差分析 1．在一个单因子试验中，因子A有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下： 表8-1 试计算误差平方和s e、因子A的平方和S A与总平方和S T，并指出它们各自的自由度．解：此处因子水平数r＝3，每个水平下的重复次数m＝4，总试验次数为 n＝mr＝12．首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和： T1＝8＋5＋7＋4＝24． T2＝6＋10＋12＋9＝37． T3＝0＋1＋5＋2＝8． T＝T l＋T2＋T3＝24＋37＋8＝69． 误差平方和S e由三个平方和组成： 于是
而 2．在一个单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下重复次数分别为 5，7，6，8．那么误差平方和、A的平方和及总平方和的自由度各是多少？ 解：此处因子水平数r＝4，总试验的次数n＝5＋7＋6＋8＝26，因而有 误差平方和的自由度 因子A的平方和的自由度 总平方和的自由度 3．在单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差σ2的估计值是多少？ 解：此处因子水平数r＝4，每个水平下的试验次数m＝3，误差平方和S e由四个平方组成，它们分别为 于是 其自由度为，误差方差σ2的估计值为
4．在单因子方差分析中，因子A有三个水平，每个水平各做4次重复试验．请完成下列方差分析表，并在显著性水平α＝0.05下对因子A是否显著作出检验． 表8-2 方差分析表 解：补充的方差分析表如下所示： 表8-3 方差分析表 对于给定的显著性水平，查表知，故拒绝域为 ，由于 ，因而认为因子A是显著的．此处检验的p值为 5．用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示． 表8-4 安眠药试验数据
练习题 1.因组内被试之间的差异造成的变异是（） （A）处理内变异 （B）偶然因素变异 （C）处理间变异 （D）实验误差变异 2.完全随机单因素方差分析中，F检验对应的分子的自由度为3，分母的自由度为16，则参加实验的被试数量和因素的水平分别是（） （A）16 ，3 （B）17 ，4 （C）19 ，4 （D）20 ，4 3.对于单因素方差分析的处理内误差，下面说法正确的有（）（多选） （A）反映了随机因素和系统因素的影响 （B）处理内误差一定小于组间误差 （C）其自由度为N—k（N为观测个数，k为组数） （D）反映了随机因素的影响 4.方差分析中，我们常常用到事后检验。请回答： （1）什么情况下需要进行事后检验？ （2）如果只存在两个处理组，还需要进行事后检验么？为什么？ （3）如果方差分析结果不显著，还需要进行事后检验么？为什么？ 5.在一个实验中，有三个处理组，每个处理组有7名被试。如果采用Tukey的可靠显著差异法来进行事后检验，处理内均方MS处理内=15.75，在显著性水平为0.05的条件下，临界HSD的值为多少？ （A）7.66 （B）5.42 （C）6.25 （D）8.12 6.下面是一个方差分析表，其中有一些空格。将表中的空格填完整，并回答下面的问题： 变异来源SS df MS F 处理间42.596 —10.649 — 处理内162.450 — 3.610 总体—— （1）这个实验的自变量有多少个水平？ （2）假设每个处理组的人数相等，在每个处理组中多少被试？ （3）如果显著性水平设定为0.05，那么F的临界值是多少？你能得出怎样的结论？ （4）这个方差分析的测量效应是多少？ （5）这个方差分析的效应值是多少?按照Cohen的标准，效应大小如何? 7.下面的数据来自于一个完全随机单因素实验，该实验有三种处理水平。如果采用方差分析的方法，在显著性水平为0.05的条件下，能否得出结论认为处理间存在显著差异？ 处理1 处理2 处理3 1 5 10 N=12 3 5 6 G=60
第四节析因设计与方差分析 1. 基本概念 完全随机设计(单因素) 随机区组设计(两因素, 无重复) 拉丁方设计(三因素, 无重复) 析因设计(两因素以上, 至少重复2次以上) 析因设计的意义 在评价药物疗效时，除需知道A药和B药各剂量的疗效外（主效应），还需知道两种药同时使用的协同疗效。析因设计及相应的方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。 例：
A因素食物中蛋白含量; B因素食物中脂肪含量 B A 平均a2-a1 a1 a2 b1 30 32 31 2 b2 36 44 40 8 平均33 38 35.5 5 b2-b1 6 12 9
(1)单独效应: 在每个B 水平, A 的效应。或在每个A 水平，B 的效应。 (2)主效应：某因素各水平的平均差别。 (3)交互效应：某因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而变化，则称两因素间存在交互效应。如果)()()(000μμμμμμ-+-≠-b a ab ，存在交互效应。 如果)()()(000μμμμμμ-+->-b a ab ，协同作用。 如果)()()(000μμμμμμ-+-<-b a ab ，拮抗作用。
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 a1a2 25 27 29 31 33353739414345 a1a2 如果不存在交互效应，则只需考虑各因素的主效应。 在方差分析中，如果存在交互效应，解释结果时，要逐一分析各因素的单独效应，找出最优搭配。 在两因素析因设计时，只需考虑一阶交互效应。三因素以上时，除一阶交互效应外，还需考虑二阶、三阶等高阶交互效应，解释将更复杂。
近来关于随机区组和被试内实验设计以及对应的方差分析的问题，多人追问不止。既自觉已思路清晰、天下无敌。特本着一半自己再梳理一下，一半友好互助的形式小写个群邮件，充个英勇，让大家也分享下。定是不足与不当多多，盼批评指正。 相信把这个东西认真看完，思路不清晰的童鞋马上也会思路清晰起来。 看似很复杂，实际上我尽全力做到深入浅出，因此，相信只要是地球人都可以看得懂。 一、随机区组的被试分配： a1 a2 区组 b1 b2 b1 b2 1 1 4 7 10 2 2 5 8 11 3 3 6 9 12 数据刻意简单化，不合理没有关系。 是个2*2随机区组设计，3个区组。 如何分配被试？首先，随机区组的每个区组的被试应该是有差异的，否则就不需要分区组了，直接完全随机就可以了。 因此随机区组的前提是：区组间异质，而区组内的被试尽可能同质。 被试有以下几个情况： 第一分配方式：假设该实验的被试总个数为24个，每个区组的被试为8个。他可以有两种分配方式 1、将每组中的任意每2个被试随机接受一种处理，2*4=8 2、8人同时接受所有的处理，1*8=8 需要注意的三个问题： 1、一般都用第一种情况，第二种不用，因为区组内的这8个人本来就是理论上的同质的，所以只要把他们分开，随机接受不同的处理就能说明问题，这样可以省时，省钱，还能避免每个人由于重复测量导致的额外变量的增加。
2、它强调了区组内的被试随机接受不同的实验处理，也因此叫随机区组。 3、它要求每个区组的被试单位应该是实验处理水平的整数倍。如8/4=2 第二种分配方式：假设该实验的被试一共是3个，就是说，一个被试为一个区组。那么每个区组的这个被试全部接受实验的4个不同水平的处理。这个时候就需要平衡实验的顺序，防止一个人不短的被实验而出现的顺序效应，如何平衡，一般用“ABBA”或所谓的“拉丁方”。 第三种分配方式：当一个大团体（如学校）为一个区组的时候，而大团体中又有小团体的时候（如学校中的班级），通常让一个小团体接受一种处理。例如：ABC分别是不同的三个学校，他们各自为一个区组，那么A学校是区组一，A学校就要抽四个班级出来，每个班级随机接受一种实验处理。 注意：传统的观点认为上述“第二种方式”----一个被试为一个区组的情况不叫区组，叫被试内设计，就是因为每个被试都接受了不同的实验处理，因此没有随机可言。其具体的方差分析和随机区组的方差分析也有所差别。表现在SS残差的是否细分。具体往下看。 二、随机区组的方差分析 还是那个例子： a1 a2 b1 b2 b1 b2 区组处理1 处理2 处理3 处理4 1 1 4 7 10 2 2 5 8 11 3 3 6 9 12 假定研究某种药物对某种操作的影响 自变量A（药物）有两个水平，药物分别是0单元和2单元 自变量B（实验环境）有两个水平，环境1和环境2。 分别取三个不同层次的个体，分别是：少年、青年、老年。
教学单元案例： 参数估计与假设检验 北京化工大学 李志强 教学内容：统计量、抽样分布及其基本性质、点估计、区间估计、假设检验、方差分析 教学目的：统计概念及统计推断方法的引入和应用 （1）理解总体、样本和统计量等基本概念；了解常用的抽样分布； （2）熟练掌握矩估计和极大似然估计等方法； （3）掌握求区间估计的基本方法； （4）掌握进行假设检验的基本方法； (5) 掌握进行方差分析的基本方法； （6）了解求区间估计、假设检验和方差分析的MA TLAB 命令 。 教学难点：区间估计、假设检验、方差分析的性质和求法 教学时间：150分钟 教学对象：大一各专业皆可用 一、统计问题 引例 例1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为： 775,816,834,836,858,863,873,877,885,901 问：新产品亩产是否超过了800斤？ 例2 设有一组来自正态总体),(2σμN 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512. (i) 已知2 σ=0.012，求μ的95%置信区间； (ii) 未知2σ，求μ的95%置信区间； (iii) 求2 σ的95%置信区间。 例3现有某型号的电池三批, 分别为甲乙丙3个厂生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5只电池进行寿命测试, 数据如下表示, 这里假设第i 种电池的寿命),(.~2σμi i N X . (1) 试在检验水平下,检验电池的平均寿命有无显著差异? (2) 利用区间估计或假设检验比较哪个寿命最短.
东北师范大学东师心理统计学在线作业1 一、单选题（共10 道试题，共30 分。） 1. 欲比较统一团体种不同观测值的离散程度，最合适的指标是 A. 全距 B. 方差 C. 四分互差 D. 变异系数 正确答案： 2. 比较不同性别员工的工作满意度有显著差异的结论是 A. 拒绝虚无假设 B. 接受虚无假设 C. 拒绝备择假设 D. 以上都不对 正确答案： 3. 在IQ测验中，获得130或以上的分数的概率为多少？ A. 2.28% B. 2% C. 2.22% D. 3% 正确答案： 4. 某一事件在无限测量中所能得相对出现的次数是 A. 次数 B. 比率 C. 概率 D. 频率 正确答案： 5. 实验设计中要求严格遵照实验设计的基本原则，其目的是为了 A. 尽量减少或抵消非实验因素的干扰 B. 消除随机误差的影响 C. 便于进行实验 D. 便于统计处理 正确答案： 6. 有联系的两列变量可采用什么分布表 A. 相对次数分布表 B. 累加次数分布表
C. 双列次数分布表 D. 简单次数分布表 正确答案： 7. 若要考察18名中学生两种测验得分的相关，应采用下列哪种相关系数？ A. 肯德尔和谐系数 B. 积差相关 C. 斯皮尔曼相关 D. 点二列相关 正确答案： 8. 若考察两变量的相关程度，其中一列变量为连续变量，另一列为二分变量，应使用 A. 积差相关 B. 点二列相关 C. 等级相关 D. 肯德尔和谐系数 正确答案： 9. 完全随机设计的组内的自由度dfw为 A. k（n-1） B. nk-1 C. k-1 D. n-k 正确答案： 10. 下列关于I型错误说法正确的是 A. 接受Ho时所犯的错误 B. 拒绝Ho时所犯的错误 C. 拒绝H1是所犯的错误 D. 以上说法均不对 正确答案： 心理统计学16秋在线作业1 二、多选题（共10 道试题，共30 分。） 1. 考察学生唱歌水平和心理健康的相关时，可用以下哪些相关方法研究 A. 皮尔逊极差相关 B. 斯皮尔曼等级相关 C. 肯德尔和谐系数 D. 点二列相关 E. 二列相关 正确答案：
1被试的基本情况： 本研究共有260名被试，其中男性146人，女性114人，文科学生120人占整体的46%, 理科学生140人，占整体的54%。所有的被试均为大学二年级学生，年龄范围19-25岁，平均年龄为20.71岁，标准差为0.924。 （频率分布的结果报告格式） 2:根据RQ测得的被试的依恋类型结果：（见表1） 表1:被试的依恋类型（根据RQ测量的结果） （列联表的报告格式） 3:依恋类型的性别差异： 表2依恋类型的性别差异分析 依恋类型__________________ 合计 安全型轻视型倾注型害怕型 性别男生61 37 37 10 145 女生44 31 33 6 114 合计105 68 70 16 259 X检验结果表明，男女生的依恋类型没有显著性差异 （X （3）=0.812, p=0.847）。
3:心理健康水平的各因子得分情况 下表是根据SCL-90得到的总分，即各因子分的情况 表3 SCL-90各因子的得分情况 （t 检验结果的报告格式） t 检验结果表明，男女生在躯体化方面得分差异接近显著性 水平，t （258）=1.846, p=0.066. （相关分析结果的报告格式） 表5 SCL-90部分指标的相关系数（r, n=260） 躯体化 强迫症 人际敏感 抑郁 焦虑 敌对 躯体化 1 强迫症 ** .634 1 人际敏感 .581** ** .784 1 抑郁 .682** ** .711 ** .741 1 焦虑 .741** ** .694 ** .715 ** .811 1 敌对 ** .494 ** .492 ** .565 ** .531 ** .612 1
第五章方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。 （3）方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1．基本思想 方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映
统计学教案习题05方 差分析 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。 （3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想 方差分析（analysis of variance ，ANOVA ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x x n k i i i -∑= ， 组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ????-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。
第四章 方差分析 方差分析是通过实验数据对影响产品的质量、产量的多个可控因素做统计分析，分清因素的主次及水平组合形式，求最优组合，以提高产品质量、产量的一种数值分析方法． 1、单因素方差分析 设影响指标的因素仅有一个，设为A 因素，该因素有a 个水平（状态）A 1，A 2，…，A a ，在第n 个水平下，分别作n i 次实验，i ＝1，2，…，a ，其样本值X ij ~N （μ，2 σ），i ＝1，2，…，a ，或X ij ＝μi +εij ，εij ~N （0，2 σ）． （1）方差分析主要解决 1°H 0：μ1＝μ2＝…＝μa （各水平下的均值相等） H 1：至少有一对均值不相等，μi ≠μj ，i ≠j ， i ，j ＝1，2，…， a ． 其方法是若组间（各水平）平方和大，组内（随机误差）平方和小，即F 值大，可拒绝H 0，否则接受H 0，表明A 因素影响不显著． 2°估计μ1，μ2，…μa 及方差2 σ． （2）1°对样本值x ij ， i ＝1，2，…，a ， j ＝1~n i ， 1 a i i n =∑＝n ， 共有n 个样本值，总体均值x ＝1x n （x ＝1 1 i n a ij i j x ==∑ ∑，即所有试验数 据之和），2 x ＝ 2 2 1x n ，又i x ＝1 i n ij j x =∑表示第i 个水平下的样本值之
和，i ＝1，2，…，a ．i x ? ＝ 1 1 n ij i x n =∑＝ 1i i x n 表示第i 水平下的样本 均值，则 2 i x ＝ 22 1i i x n 或n i 2i x ＝ 2 1i i x n . 2°平方和 ①称S T ＝() 2 1 1 i n a ij i j x x ==-∑ ∑为总的离差平方和，则 S T ＝()1 1i n a ij ij i j x x x ==-?∑ ∑－()1 1 i n a ij i j x x x ==-?∑ ∑ ＝2 1 1i n a ij i j x ==∑ ∑ －1 1 i n a ij i j x x ==∑ ∑－()x nx nx - ＝2 1 1 i n a ij i j x ==∑ ∑ －2 nx ＝21 1 i n a ij i j x ==∑ ∑ － 2 1x n ． ②称S A ＝()2 1 1 i n a i i j x x ==-∑ ∑ 为因素A 的组间平方和， S A ＝()1 1 i n a i i i j x x x ==-?∑ ∑ －()1 1 i n a i i j x x x ==-?∑ ∑ ＝2 1 1 i n a i i j x ==∑ ∑ －1a i i i x n x =∑ －1a i i i x n x nx =??- ??? ∑ ＝2 1 a i i i n x =∑ －1 a i i x x =∑ －1 1 i n a ij i j x x nx ==?? - ??? ∑ ∑ ＝2 1 1a i i i x n =∑ －2nx ＝21 1a i i i x n =∑ － 2 1x n ．
2009—2010学年第二学期《教育与心理统计学》 期末考试试题A 注：t0.05/2(60)=2.00 Z0.05/2=1.96 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1.当我们按性别差异，将男性指定用数字“1”来代表，女性指定用数字“2”来代表，这里所得到的数据是( ) A.称名数据 B.顺序数据 C.等距数据 D.比率数据 2.比较不同单位资料的差异程度，可以采用的统计量是( ) A.差异系数 B.方差 C.全距 D.标准差 3..中数的优点是( ) A.不受极端值影响 B.灵敏 C.适于代数运算 D.全部数据都参与运算 4．一班32名学生的平均分为72．6，二班40人的平均分为80．2，三班36人的平均分为75，则三个班级总平均分为（） A．75．93 B．76．21 C．80．2 D．73 5．用平面直角坐标系上点的散布图来表示两种事物之间的相关性及联系模式，这种统计图是（）
A．散点图B．线形图C．条形图D．圆形图6．一组数据中任何两个相邻数据之比接近于常数，表示其集中量数应使用（） A．算术平均数B．几何平均数C．中位数D．加权平均数7．随机现象中出现的各种可能的结果称为（） A．随机事件B．必然事件C．独立事件D．不可能事件8．进行多个总体平均数差异显著性检验时，一般采用 （） A．Z检验B．t检验C．χ2检验D．方差分析9.已知P(Z>1)=0.158，P(Z>1.96)=0.025，则P(1 概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析 约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。 【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。 三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 38 30 43 （1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。 （2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。 〖解（1）〗 设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析） 01::,,不全相等 A B C A B C H H μμμμμμ== 设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。 样本数据预处理表 A B C 预处理结果 40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=3 38 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n 9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ij x ∑ 9137 4540 9970 R=23647 11 22 2 112 11585 58522815 1523647 23430.6 j j j n a ij j i n a ij j i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============??== ? ??? ∑∑∑∑∑∑ 数理统计第四章习题答案 1、 为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值ij x 作变换()ij ij y b x c =-，其中b 、c 是 常数，且0b ≠。试用ij y 表示组内离差和组间离差，并用它们表示F 的值。 1 1 11112 21 1 22 2 1 1 11 ()() 1()() 1 1011 ()()111 ()() i i i i n n i ij ij i j j i i n n r r ij ij i j i j i i r r A i i i i i i r r i i i i i i y b x c bx bc b X c n n b y b x c x bc b X c n n X c y X c y b b b S n X X n c y c y b b n y y n y y b b b =========== -=-=-=-=-=-∴=+ =+ ≠=-=+ --=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 令2 21 () r A i i A i S n y y b S ='=-=∑ 2222 2 1111 22 22 1111 111 11 ()()11 ()()r r r r A A A A A A n n r r E ij i ij i i j i j n n r r ij i ij i i j i j S b S S b S r r S S b S x X c y c y b b y y y y b b ========''===--'∴==-=+--=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑ 令2211 ()r n r E ij i E i j S y y b S =='=-=∑∑ 第五章 方差分析 课后习题参考答案 5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：() 3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =???? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.7011 2 11211=???? ??-???? ??=∑∑∑ ∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7 .137=-=A T e S S S 当 H 成立时， ()() ()r n r F r n S r S F e A ----= ,1~/1/ 本题中r=3 经过计算，得方差分析表如下： 查表得 ()()35 .327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原 假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程 组建效应检验 Depend ent Variable: 存活日数a 70.429235.215 6.903 .004 137.73727 5.101 208.167 29 方差来源菌型误差总和 平方和自由度 均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289) a. 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 工厂 寿命（小时） 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙 39 40 43 50 50 试在显著水平 0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3) i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 统计学方差分析练习题与答案一、单项选择题 1．在方差分析中，（）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A 总离差 B 组间误差 C 抽样误差 D 组内误差 2．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 因素B的离差平方和 3．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 总方差 4．单因素方差分析中，计算F统计量，其分子与分母的自由度各为（） A r，n B r-n，n-r C r-1.n-r D n-r，r-1 二、多项选择题 1．应用方差分析的前提条件是（） A 各个总体报从正态分布 B 各个总体均值相等 C 各个总体具有相同的方差 D 各个总体均值不等 E 各个总体相互独立 2．若检验统计量F= 近似等于1，说明（） A 组间方差中不包含系统因素的影响 B 组内方差中不包含系统因素的影响 C 组间方差中包含系统因素的影响 D 方差分析中应拒绝原假设 E方差分析中应接受原假设 3．对于单因素方差分析的组内误差，下面哪种说法是对的？（） A 其自由度为r-1 B 反映的是随机因素的影响 C 反映的是随机因素和系统因素的影响 D 组内误差一定小于组间误差 E 其自由度为n-r 4．为研究溶液温度对液体植物的影响，将水温控制在三个水平上，则称这种方差分析是（） A 单因素方差分析 B 双因素方差分析 C 三因素方差分析 D 单因素三水平方差分析 E 双因素三水平方差分析 三、填空题 1．方差分析的目的是检验因变量y与自变量x是否，而实现这个目的的手段是通过 的比较。 2．总变差平方和、组间变差平方和、组内变差平方和三者之间的关系是。3．方差分析中的因变量是，自变量可以是，也可以是。4．方差分析是通过对组间均值变异的分析研究判断多个是否相等的一种统计方法。 5．在试验设计中，把要考虑的那些可以控制的条件称为，把因素变化的多个等级状态称为。 6．在单因子方差分析中，计算F统计量的分子是方差，分母是方差。 7．在单因子方差分析中，分子的自由度是，分母的自由度是。 四、计算题 1．有三台机器生产规格相同的铝合金薄板，为检验三台机器生产薄板的厚度是否相同，随机从每台机器生产的薄板中各抽取了5个样品，测得结果如下： 机器1：0.236,0.238,0.248,0.245,0.243 机器2：0.257,0.253,0.255,0.254,0.261 机器3：0.258,0.264,0.259,0.267,0.262 问：三台机器生产薄板的厚度是否有显著差异？ 2．养鸡场要检验四种饲料配方对小鸡增重是否相同，用每一种饲料分别喂养了6只同一品种同时孵出的小鸡，共饲养了8周，每只鸡增重数据如下：（克） 配方：370，420，450，490，500，450 配方：490，380，400，390，500，410 配方：330，340，400，380，470，360 配方：410，480，400，420，380，410 问：四种不同配方的饲料对小鸡增重是否相同？ 3．今有某种型号的电池三批，它们分别为一厂、二厂、三厂三个工厂所生产的。为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验测得其寿命（小时）如下： 一厂：40，48，38，42，45 二厂：26，34，30，28，32 三厂：39，40，43，50，50 试在显著性水平下检验电池的平均寿命有无显著的差异。 4．一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试。现从各个班级随机抽取了一些学生，记录其成绩如下： 1班：73，89，82，43，80，73，66，60，45，93，36，77 2班：88，78，48，91，51，85，74，56，77，31，78，62，76，96，80 3班：68，79，56，91，71，71，87，41，59，68，53，79，15 方差分析 一、单因素试验 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法的效果有无显著差异，设计了一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机的分为5个组，每组用一种推销方法进行培训，培训相同时间后观察他们在1个月内的推销额，数据如下表。（单位：千元） 表 1 该试验中，我们所关心的指标，即推销人员的推销额，称为试验指标或响应值；影响推销额（响应值）的指标是推销方法，称为因素；推销方法（因素的状态）称为因素的水平或简称水平。本题中有1个因素，5个水平，故为单因素试验。为比较这5中方法的平均推销额有无显著差异，拟作方差分析。 二、 问题假设 本题中有一因素（推销方法,记为A ），五个不同水平(分别记为 54321,,,,A A A A A )。在每一个水平下考察的指标视为一个总体，并且假定： （1）每个总体均为正态总体，记为2(,)i j N μδ，1,2,3,4,5;j = （2）各个总体的方差相同，即12345;δδδδδ==== （3）从每个总体中抽取的样本相互独立。 三、 符号说明 四、 模型建立 4.1 数学模型 由于),(~2σμj ij N x ，所以假定ij x 具有下述数据结构式： 1,2,3,4,5,6,7;1,2,3,4,5x i j ij j ij με=+==， 其中),0(~2σεN ij 且相互独立。 为了方便起见，把参数的形式改变，有： 1 1k j j k μμ==∑ 1,1,2,...,7,0 k j j j j a j μμα==-==∑其中 在这样的改变下，单因子方差分析的模型可以表示为： 7121,2,...,5;1,2,...,70(0,)ij j ij j j ij x a i j a N μεεσ=?=++==?? =????∑各相互独立切均服从分布 （3.1） 4.2 统计分析 对模型（3.1），检验假设 0123451125:;:,,...,H H μμμμμμμμ====不全相等 等价于对模型（3.1），检验假设 01251125:...0,:,,...,H a a a H a a a ====不全为零 2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【心理学考研知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。 第十章方差分析 【本章综述】两个平均数之间的差异检验用Z/t检验，那么两个以上的平均数之间差异检验该用何种检验？方差分析主要处理两个两个或以上的平均数之间的差异检验问题。本章主要介绍方差分析的基本原理，以及完全随机设计和随机区组设计这两种最基本的实验设计数据的方差分析以及事后检验。 【考点分布】 方差分析 【本章框架】 【复习建议】方差分析这一章处处是重点，而且有一定的难度。同学们在复习时旨 在把握方差分析的原理以及在不同的实验设计中的变异来源，抓住这一精髓灵活地应对不同类型的题。 第一节 方差分析的原理与基本过程 (一)方差分析的基本原理 1. 方差分析依据的基本原理就是方差的可加性或者说可分解性原则，具体说就是将实验中的总变异分解为几个不同来源的变异。一般来说，总变异包括组间变异(组间平方和)和组变异(组平方和)两部(平方和指观测数据与平均数离差的平方总和)。 2. 其公式如下： ① SS T = SS B + SS W ；∑∑=== k j n 1 i )X (X SS 2 ij T 1-t ；∑=? =k j )X X (n SS 2j B 1 -t ； ∑∑=== k j n 1 i )X (X SS 2ij W 1-j ；这些公式中，X 的下标j 表示第几组，i 表示某一组中 第几个被试，求和符号的起止标记意思与这个相同。k 表示实验处理数；n 表示每种实验处理下的被试数。SS T 表示总平方和，所有观测值与总平均数的离差的平方总和，也即实验中产生的总变异；SS B 为组间平方和，几个组的平均数与总平均数的离差的平方总和，表示由于接受不同的实验处理而造成的各组之间的差异以及无法控制的随机实验误差(通常忽略不 第10章 方差分析 在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。 §10.1 单因素方差分析 仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表： 并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2σμi i N X ，),,2,1(r i =。 检验如下假设： r H μμμ=== 210:， r H μμμ,,,:211 不全相等 检验统计量为 ),1(~) /() 1/(r n r F r n S r S F e A ----= 其中2 1 2 11)()(x x n x x S i r i i r i n j i A i -=-= ∑∑∑===，称为组间差平方和。 211 )(i r i n j ij e x x S i -= ∑∑==，称为组内差平方和。 这里 ∑==r i i n n 1 ，∑== i n j ij i i x n x 1 1 ，∑∑===r i n j ij i x n x 111。 对于给定的显著性水平)05.001.0(或=αα，如果),1(r n r F F -->α，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： b a x x ij ij -= ' 再进行计算，不会影响F 值的大小。 为了计算方便，通常采用下面的简便计算方式。记 ),,2,1(1 r i x T i n j ij i ==∑=， ∑∑===r i n j ij i x T 11 则有 n T n T S r i i i A 212- =∑= ， ∑∑∑===-=r i i i r i n j ij e n T x S i 12112 例1 试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321=====n n n n r 184,80,65,39321====T T T T 43.70=A S ， 74.137=e S 49.5)27,2(90.601.0=>=F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。概率论与数理统计 浙大四版 习题解 第 章 方差分析
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《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案
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