五种特殊的等腰三角形
（一）顶角是36°的等腰三角形
1、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC,问：图中有几个等腰三角形？或者说明④AD＝BD＝BC；
2、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且④AD＝BD＝BC；问：说明
③BD平分∠ABC；
3、如图，△ABC中，①AB＝AC，点D在AC上，且③BD平分∠ABC；④AD＝BD＝BC；问：说明②∠A＝36°
4、如图，△ABC中,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC, ④AD＝BD＝BC；问：图中有几个等腰三角形？或者说明①AB＝AC；
（二）顶角是60°的等腰三角形
1、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且CD⊥AB,延长CD至E，使ED＝CD,连结
AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）AD＝BD吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？
说明理由；
2、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且AD＝BD,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由；
3、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且∠ACD＝∠BCD ,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) AD＝BD 吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由；
（三）顶角是90°的等腰三角形
1、如图，△ABC中，∠A＝90°,AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BC于E,DF∥AB交
BC于F，问：(1)AD＝ED吗？说明理由；（2）FB＝FD吗？说明理由；
2、如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试说明：（1）、AD＝DB＝DC，∠BAD＝∠CAD；（2）、DE＝DF；（3）、AE＝AF；BE＝CF；
3如图，△ABC中，①∠A＝90°，②AB＝AC，试说明③∠B＝∠C＝45°
4如图，△ABC中，①∠A＝90°，③∠B＝45°或∠C＝45°，试说明②AB＝AC；
5、如图，△ABC中，③∠B＝∠C＝45°，试说明①∠A＝90°；②AB＝AC
全等三角形、等腰三角形 1、已知：如图，AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ．，求证：BD ＝CE ． 2、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点， BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 4、如图：AE=BD ，AB=DE ，求证：∠A=∠D 5、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？并加以证明． 6、已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作等边三角形 △ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：CP=CQ ． 7、已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。求证：∠C=∠F 。 A B C D E F A B C D E F
9、如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB ，求∠A 的度数。 10、如图，在Rt △ABC 中，在斜边AB 上截取AE=AC ，BD=BC ，求∠DCE 的度数。 11、在△ABC 中，∠A =90°，AB=AC ，D 为BC 的中点． （1）如图1，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE=AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）如图2，若E ，F 分别是AB ，CA 延长线上的点，仍有BE=AF ，其他条件不变，?那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 12、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE⊥DF，交AB 于点E ，连结EG 、EF.（1）求证：BG ＝CF. （2）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并说明理由. 13、如图，已知∠BAC=90o,AD ⊥BC, ∠1=∠2,EF ⊥BC, FM ⊥AC,求证：FM=FD 。 图1 图2 F E D C B A G C B
等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x
设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A
求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E
等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学课题 等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学目标 1、 能证明全等三角形 2、 掌握等腰（等边）三角形的性质，会判定等腰（等边）三角形 3、 掌握平面直角坐标系及相关概念, 类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的 思想． 教学重、难点 灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应． ◆ 诊查检测： 1、 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事 的办法是（ ） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 2、 一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）、（-2，-1）、 （2，1），则第四个顶点的坐标为（ ） A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3） 3、判断题：① 两边和一角对应相等的两个三角形全等.（ ） ② 两角和一边对应相等的两个三角形全等.（ ） ③ 两条直角边对应相等的两个三角形全等. （ ） ④ 腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑤ 三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等.（ ） ⑥ 两个等边三角形全等（ ）. ⑦ 一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑧ 腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑨ 腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑩ 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ） 4、(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是 (2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是 5、点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ． 6、已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ． D C A B
初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一、遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二、遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三、遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解得???==,9, 6y x 或???==.5, 8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
等腰三角形及三线合一经典试题 难题 1．等腰三角形的对称轴是（ ） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G
E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图， 中， ，试说明： ． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1
等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3
3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD 全等三角形及等腰三角形专项复习 【知识梳理】 全等三角形的性质：________________________________________________________________________ 1、三角形全等的判定方法有___________________________________________________________________ O 2、等腰三角形的性质：边 _________________ ；角_________________ ; 叙述三线合_的内容__________________________________________________________________ O 4、等边三介形的性质：边 _______ ；角__________ o 5、判定等腰三角形的方法有 _____________ 角___________ ° 6、判定等边三角形的方法有：边 ___________ o角 ____________ o边角_________________________ o 【典例解析】 一、三角形全等 例1己知：在梯形ABCD中，AB//CD, E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F.求证：AB=CF. 例2 （2013?铜仁）如图，△ABC和都是等腰三角形，且ZBAC=90°, ZDAE=90°, B, C, ￡＞在同一条直线上.求证：BD=CE. 【跟踪练习】 1、（2010年天津市）如图，已知AC = FE , BC = DE ,点A、D、B、F在一条直线上，要使'ABC竺'FDE, 述需添加一个条件，这个条件可以是_____________________ ,并写出证明过程 ? ? 等腰三角形经典试题(有难度) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A 180°－2x 30° 6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD= 2 1,DE+BC=1, 求∠ABC的度数 延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt△DBF中, BD= 2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30°E A C B D F 1 2 第四章三角形 第二节特殊三角形---等腰三角形 万全区第一初级中学郭秀 【教学目标】 知识与能力 1、使学生掌握等腰三角形的判定和性质,掌握在线合一 2、使学生掌握等边三角形的判定和性质 过程与方法 以题揭示知识点，使学生学会总结与归纳 情感态度价值观观：培养学生的独立审题和解题能力 【教学重难点】 重点: 1.等腰三角形的判定及性质. 2.三线合一 3.等边三角形性质和判定. 难点: 方法的提练；结论的总结过程与灵活运用过程 【教学过程】 展示问题: 一、等腰三角形 例1:在△ABC中∠A=400,∠B=600，你能剪一刀，把△ABC分成两个等腰三角形吗？ C D B A 设计意图:考查等腰三角形的判定 等腰三角形的判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 问题：在上图中，已知BC=4,AB=8，求△BCD的周长。 =BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=4+8=12 提示:C △BCD 拓展1:(2016年浙江省衢州市)10．如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（） A ． B ． C ． D ． 提示: ①因为0 专题训练(五) 三种特殊的等腰三角形的运用 有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含36°角的等腰三角形．下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定． ?类型一等腰直角三角形 定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形． 性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°. 判定：利用定义． 1．如图5－ZT－1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE. 图5－ZT－1 2．如图5－ZT－2，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F.判断△DBF的形状，并证明你的结论． 图5－ZT－2 3．如图5－ZT－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC.试猜想线段BE和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 图5－ZT－3 ?类型二等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形． 性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°. 判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 图5－ZT－4 4．如图5－ZT－4，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．60°B．45° C．40°D．30° 5．如图5－ZT－5，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE ＝6 cm，DE＝2 cm，求BC的长． 图5－ZT－5 6．如图5－ZT－6，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，求证：AC＝BE. 图5－ZT－6 7．如图5－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD 的平分线于点F. 求证：AE＝EF. 图5－ZT－7 特殊三角形的定义、性质及判定 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜 边上的中线。 等腰三角形、直角三角形与全等三角形 知识要点： 一．等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角__________； 2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_________． 二．等边三角形的性质与判定： 1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质； 2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形． 三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________． 2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．； 4. 勾股定理：_________________________________________． 5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． 四、全等三角形： 1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定 除以上的方法还有________. 3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________. 4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 二、例例精析： 例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AB=10cm，D为AB的中点，则CD=cm. 等边三角形 一、教学目标及教材重难点分析 （一）教学目标 1、掌握等边三角形的定义。 2、掌握等边三角形的性质和判定方法。 3、培养分析问题、解决问题的能力。 （二）教学重难点 等边三角形性质的应用 （三）教具 多媒体教学 二、教学过程 （一）课前预习与准备 1、提前十分钟进教室，准备教具和课件 2、复习等边三角形的有关知识 1．等边三角形的三条边相等 2．等边三角形每一个角相等，都等于60° 3．等边三角形各边上的高、中线、角平分线三线合一 4.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 5. 三个角都相等的三角形是等边三角形． 6．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 其中1、2、3、4是等边三角形的性质；5、6的等边三角形的判断方法．3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半。 （二）讲述新知识 1）题型一等边三角形的性质 讲解例1 2）.题型二等边三角形的判定 讲解例4 3）.题型三等边三角形与全等综合经典图形 讲解例6 3）.题型四含30°的直角三角形 讲解例7、8 （三）归纳小结及知识的链接与拓展 1、归纳小结：等边三角形的性质和判定方法 2、知识的链接与拓展 练习例2、3、5、9、10、11 等腰直角三角形 二、教学目标及教材重难点分析 （一）教学目标 1、掌握等腰直角三角形的定义。 2、掌握等腰直角三角形的性质和判定方法。 3、培养分析问题、解决问题的能力。 （二）教学重难点 等腰直角三角形性质的应用 （三）教具 多媒体教学 二、教学过程 （一）课前预习与准备 1.提前十分钟进教室，准备教具和课件 2、复习等腰直角三角形的有关知识 1．两底角度数相等，且都为45° 2．斜边上的高、中线、角平分线把原三分成两个相同的等腰直角三角形3．斜边上的高、中线、角平分线三线合一 4. 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半． 5. 有一个角是直角的等腰三角形是的等腰直角三角形 6．两底角度数等于45°的等腰直角三角形 其中1、2、3、4是等腰直角三角形的性质；5、6的等腰直角三角形的判断方法． （二）讲述新知识 九年级数学第一轮复习教、学案（共47课时） 第27课时全等三角形，等腰、等边三角形 一.知识要点： (一) 全等三角形及其性质： 1.全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 2.全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角. “全等”用≌表示，读作:“全等于”. 3.全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边 . （2）全等三角形的对应角 . 注意：全等三角形对应边上的高.中线相等，对应角的平分线相等，全等三角形的周长.面积也都相等. (二) 三角形全等的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）对应相等的两个三角形全等（＂边边边＂或＂SSS＂）. （2）两边和它们的对应相等的两个三角形全等（＂边角边＂或＂SAS＂）. （3）两角和它们的对应相等的两个三角形全等（＂角边角＂或＂ASA＂）. （4）有两个角和其中的对边对应相等的两个三角形全等（＂角角边＂或＂AAS＂）. 2.直角三角形全等的判定 （1）利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等. （2）和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（＂斜边.直角边＂或＂HL＂）. (三) 等腰三角形的判定和性质： 1.性质 （1）等腰三角形的相等（简称等边对等角）. （2）等腰三角形的互相重合（三线合一）. （3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是____________________. 2.判定 （1）有两边相等的三角形是等腰三角行. （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称等角对等边）. (四) 等边三角形边的性质和判定： 1性质：等边三角形每个角都等于________，同样具有“三线合一”的性质. 2判定：①三个角相等的三角形是__________； ②三边相等的三角形是_________； ③一个角等于60°的_________三角形是等边三角形. 二.典型例题[例1]已知等腰三角形的两条边长分别为7和3，那么第三条边的长是 . [例2]如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使 △ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（） A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF [例3]如图，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延 长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3B．2C．3D．1 [例4] 如图，点D 、是等边△ABC外的一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60° 的顶点放在点D上，三角尺的两边DP、DQ分别与射线 AB、CA相较交于E、F 两点。 第3题图 第3题图 等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE． 等腰？ 知识互联网 满分晋级 漫画释义 4 特殊三角形之 等腰三角形 三角形5级 全等中的 基本模型 三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形 三角形7级 倍长中线与 截长补短 暑期班 第二讲 暑期班 第四讲 秋季班 第二讲 知识导航 模块一 等腰三角形 【例1】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=?， 则B ∠的度数是（ ） A ．40? B ．35? C ．25? D ．20? ⑵ ABC △的一个内角的大小是40?，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是 ( ) A ．140? B ．80?或100? C ． 100?或140? D ． 80?或140? ⑶如图，ABC △内有一点D ，且D A D B D C ==，若20DAB ∠=?，30DAC ∠=?，则BDC ∠的大小是（ ） A.100? B.80? C.70? D.50? 【例2】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个 等腰三角形的底边的长为（ ） A ．17cm B ．5cm C ．17cm 或5cm D ．无法确定 ⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数 为_________． 【例3】 如图1，AB AC =，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠．问： ⑴ 图1中有几个等腰三角形？ ⑵ 过D 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，如图2，图中又增加了几个等腰三角形? ⑶ 如图3，若将题中的ABC △改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段EF 与BE 、CF 有什么关系? ⑷ 如图4，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠.DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系? 夯实基础 能力提升 D C B A D C B A A n A 4 A 3A 2A 1E D C A B 1、（1）如图表示长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有关于某条直线对称的图形？如图，请作出对称轴；图中是否有相等的线段、相等的角（不含直角）？如有，请写出相等的线段、相等的角； （2）在（1）中，连接AC，那么AC与BD平行吗？为什么？ 2、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF。证明： （1）CF=EB；（2）AB=AF+2EB. 3、在Rt三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直于线段AB。 （1）试找出图中相等的线段，并加以证明； （2）若DE=1cm，BD=2cm. 4、如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，且DE=DC.试比较BE 和FC的大小关系并说明理由。 5、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求这个等腰三角形顶角的度数。 6、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。 （1)DE平分∠BDC吗？为什么？ （2）若点M在DE上，且DC=DM，那么ME与BD相等吗？请证明你的结论. 7、如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是。 8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE=EF； （2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC． 9、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE=2∠C. 求证：AC-AB=2BE. 10、如图，D为等边△ABC内一点，且DB=DA，BP=BA，∠DBP=∠DBC，求∠BPD的大小. 专题训练(七) 四种特殊的等腰三角形的运用 ?类型一等腰直角三角形 定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形． 性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°. 判定：利用定义． 1．如图7－ZT－1，轮船从B处以每小时50 n mile的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________n mile. 图7－ZT－1 2．如图7－ZT－2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE. 图7－ZT－2 3．如图7－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE 的平分线交AD于点F，判断△DBF的形状，并证明你的结论． 图7－ZT－3 4．如图7－ZT－4，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块含45°角的三角尺ADE按如图所示方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 图7－ZT－4 ?类型二等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形． 性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°. 判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 5．如图7－ZT－5所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm 八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， 1 等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x 2 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° 3 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 C D E P E A C B D F 1 2 A B C D E全等三角形及等腰三角形专项复习.docx
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