指数与对数运算（讲义）
? 知识点睛
一、指数与指数幂的运算
1. n 次方根的定义及表示
（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．
（2）表示：
当n 为奇数时，a 的n
a ∈R ；
当n 为偶数时，a 的n
次方根有两个为a ≥0．
2. 根式
（1
叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
（2）性质：
①当n >1，且n ∈N *
时，有恒等式：n a =．
②当n
a =； 当n
0||0a a a a a ?==?-
≥，，，． 3. 分数指数幂
（1
）m
n a =a >0，m ，n ∈N *，且n >1）； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
（3）运算性质：
①r s r s a a a +=（a >0，r ，s ∈Q ）；
②()r s rs a a =（a >0，r ，s ∈Q ）；
③()r r r ab a b =（a >0，b >0，r ∈Q ）．
二、对数与对数的运算
1. 对数
（1）如果x a N =（a >0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
常用对数：10log lg N N =；自然对数：e log ln N N =．
（2）当a >0，且a ≠1时，x a N =?log a x N =．
（3）负数和零没有对数；log 10a =，log 1a a =．
2. 对数的运算性质
（1）如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：
①log ()log log a a a M N M N ?=+；
②log log log a a a M
M N N =-；
③log log n a a M n M =（n ∈R ）．
（2）换底公式：
log
log log c a c b
b a
=（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0）．
（3）log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0）．
? 精讲精练
1.
a =；②若a ∈R ，则20(1)1a a -+=；
3x y 4
=?
=．其中正确的有（
）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2. 下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A
．12()0x x =->（） B
130y y =<（） C
．3
40x x -=>） D
．1
30x x -=≠）
3. 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：
（1
3
； （2
=_____________；
（3
．
4. 化简下列各式（其中各式字母均为正数）：
（1）11112222
()()()a b a b a b +-+=_____________；
（2）211
5113366221(3)()3a b a b a b -÷=_____________； （3）3242
294s t r --?? ???
=______________； （4
=______________．
5. 计算下列各式：
（1
；
（2
）；
（3）2
2
1
2332182716()()227
---+--．
6. 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）32=8_____________；（2）415625
-=______________； （3）13
127=3-__________；（4）lg0.0013=-___________；
（5）0.3log 2=a _________；（6）x =______________．
7. 化简（其中01a a >≠且）：
（1）log a a =_________； （2）log 1a =_________；
（3）ln ；
（4）15log 25=_________； （5）9
lg 243lg =_________； （6）21log 52+=_________．
8. 求下列各式的值：
（1）3
3319log log 25log 4100
--；
（2）7lg142lg lg 7lg183
-+-；
（3）2log
（4）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25++?；
（5）2345log 3log 4log 5log 2???；
（6）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++．
9. 填空：
（1）若x 5=，则x 的值为______________；
（2）已知log 3a m =，log 2a n =，那么a 2m +3n =_________；
（3）若lg2=a ，lg3=b ，则5log 12=______________． （结果用a ，b 表示）
【参考答案】
1. B
2. C
3. （1）5
2m ；（2）12a ；（3）31144
x y 4. （1）22
a b -；（2）9a -；（3）363827r t s ；（4）a b 5. （1）763；（2）6；（3）3
6. （1）2log 83=；（2）51log 4625=-；（3）2711log 33
=-；
（4）3100001-=.；（5）032.a =；（6）e x =7. （1）1；（2）0；（3）
12；（4）-2；（5）52
；（6）10 8. （1）-2；（2）0；（3）32；（4）2；（5）1；（6）54
9. （1）43-或2；（2）72；（3）21a b a +-