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目标导向下的数学思想方法专题复习

——以《函数思想》一节复习课为例

浙江省台州市白云学校李玲娅

摘要：初中数学思想方法专题复习需要让学生经历直观体验、明朗化和自觉应用三个基本阶段，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.开设《专题复习——函数思想》时，根据学生情况，确定教学目标，由目标导向教学任务，引导学生对数学思想的本质认识从内隐行为发展为外显行为，促进学生对数学思想方法的深入理解，对数学思想的应用从自发阶段发展为自觉阶段.

关键词：函数思想教学目标设计评析

初中数学教材体系包括两条主线：一条明线，即是数学知识；一条暗线，即是数学思想方法.数学思想方法是编写教材的指导思想，只有理解了思想方法才能真正从整体上、本质上理解教材的知识.这就要求我们教学数学新知识的同时，必须注意数学思想方法的有机渗透和统帅作用；再通过思想方法的专题复习，将这条暗线明朗化，促进学生对思想方法的本质认识，促使学生对思想方法的内隐认识发展为外显行为，从自发应用发展为自觉应用，促进学生数学能力的发展，推动学生整个素质的全面提高.

初中数学复习课设计原则，要教会学生学会用数学的知识、思想、方法做事情，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，教师应该关注数学本质，把握复习要求，明确复习目标，用目标导向任务，用任务驱动适当的认知活动.根据目标导向的复习课设计，本人以《函数思想》一节复习课为例，谈谈本节课的目标设置、教学设计、教学思考及专家的精彩点评与各位同仁一起研讨，共同提高.

一、目标和目标解析

1.教学目标：

（1）理解什么是函数思想；通过具体问题的解决及反思总结，能归纳出用函数思想解决问题的基本思路和一般步骤；

（2）通过分析具体问题中的数量关系，明确什么时候可以用函数思想解决，概括出函数思想的本质内涵，能分析两个变量之间的关系构建函数模型，培养学生分析问题和解决问题的能力；

（3）能熟练运用函数知识解决问题，体会用函数模型刻画客观世界中的运动变化特征，感受函数思想的重要意义；站在新的高度和角度思考问题，既能从宏观的角度把握问题，又能从微观的角度解答问题.

2.目标解析：

达成目标（1）的标志是学生能根据问题情境中涉及的两个变量关系，能利用函数思想的基本思路和步骤，构建函数模型解题.

达成目标（2）的标志是学生根据函数思想的本质内涵，能挖掘比较隐含的两个变量间的关系，从而运用函数模型解决.

达成目标（3）的标志是学生知道函数模型是解决运动变化问题的有效工具，体会利用函数思想解决问题在数学学习中的重要地位.

二、教学过程及设计思考

1.创设问题情境，提炼思想方法

引例小明想帮爷爷用40米长的篱笆在一片空地上围出一个矩形菜园子，试问：小明怎样围，才能使

菜园子面积最大？并求出这个面积的最大值.

学生尝试动手完成解题过程，并思考下列问题：

解题后思考1：①你为什么选择函数知识来解决这个问题？

②你在用函数知识解决这个问题时，经历了哪些步骤？

③你认为用函数思想来解决问题的关键或难点是什么？

反思提炼：①什么是函数思想？对于一个运动变化问题，我们既可以粗略估计和描述变化过程，也可以用数量精细描述变化的过程；函数就是精细的描述变化中的数量关系的重要数学模型，这种用函数知识研究问题的思想叫函数思想.

用函数思想解决问题的关键：构建函数模型，应用函数图像和性质.

〖设计思考〗（1）用这道自编的基础题引入，既可让学生感受成功的喜悦，又激发学生学习的兴趣和激情，并体会函数在生活应用中的普遍性.

（2）此问题情境，采用先口答后规范解题过程，让学生根据生活经验或解题经验，初步感受用粗略估计方法描述问题到用数学知识进行数量精细描述的过程，体会学习数学的意义.

（3）本引例主要目标是在学生自发的运用函数知识解决问题后，通过问题串促进学生反思和总结得出函数思想的涵义、解题思路、步骤及关键，通过寻找两个变量间的关系，建立函数模型.

〖点评〗利用函数知识解决问题对大多数初中学生来说，都有一定的难度.本引例是函数问题的典型素材，起点低，在学生自发的经历了动手操作、思考归纳、建立模型的三个阶段后，通过解题后的反思总结提升到数学的理性思考，激发学生对函数思想的内隐认识.

2.组织学生交流，挖掘本质内涵

例1 如图，已知在正方形ABCD中，AB=8cm，M是边CD上的任意一点（不含端点C、D），连接MA，过点M作ME⊥MA交BC于点E．当点M在CD上运动到什么位置时，线段CE最长？并求出CE的最大值.

学生在教师的引导下寻找解题思路，再与同桌之间相互讨论交流，并讨论下列问题：

①你为什么会想到利用函数思想来解决？

②什么时候选择函数思想解决问题简便？

〖设计思考〗（1）学生对于几何题中隐含着的函数关系，需要学生自己寻找两个变量间的关系，从而建立函数模型的问题有较大困难.故此题侧重引导学生反思总结出“当需要涉及两个变量”时，尝试寻找两个变量间的关系，转化为用函数知识来解决，促进学生进一步明确函数的本质内涵及什么时候运用函数思想.

（2）本例采用“猜想结论——独立思考——投影展示——相互交流——反思深化”的程序，再次感受

粗略估计到数学精细描述的转化，培养学生的猜想、交流能力和学习数学的过程的程序化.

〖点评〗数学思想方法的概括，需要把思想方法的操作过程模型化、程序化、一般化。在前一环节的铺垫下，本例教学促使学生自觉运用函数思想，把函数思想的运用程序化、一般化、模型化。组织学生相互讨论交流，进一步挖掘了函数思想的本质内涵，使学生对函数思想的认识从内隐转化为外显，实现函数思想方法的明朗化.

3.开发生成资源，促进数学思考

师：再观察例1图形，连结AE，得到△ABE，如右下图，当CE达到最大值时，此时BE = ，AE= 。现有一点P从点A出发沿AE方向向点E运动，速度为1cm/s.同时点Q从点E出发沿E -B -A方向向点A运动，速度为2cm/s，你能提一个有关函数的问题吗？

学生提出了许多不同情形的函数问题，可见大家对函数思想有了实质性的理解，我们从中选择一个问题问题在课内共同解决，其余留作课后作业.

例2 如图，在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=8cm，BE=6cm，点P从点A出发沿AE方向向点E运动，速度为1cm/s.同时点Q从点E出发沿E -B -A方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.

（1）设点P的运动时间为x（s），△PEQ的面积为y（cm2），当△PEQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）△PEQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；

同样，请大家思考下列问题：

①本题的难点是什么？

②你是如何解决这些难点的？

〖设计思考〗（1）课堂教学资源直接取决于学生的问题生成，通过让学生提出有关函数的问题，不但检查了学生是否真正理解了函数思想的本质内涵和利用函数思想解决问题的能力，更激发了学生学习数学的乐趣.

（2）通过引导学生按照“列关系式——确定自变量取值范围——画函数图像——求最值”的程序，使学生经历提出问题，分析问题，思考问题，解决问题的学习过程，不但使其能对函数思想进行到自觉地熟练应用，而且使学生在再次回顾分析问题，解决问题的步骤时，总结对解决综合型问题的思考步骤，提升学生对数学的理性思考.

〖点评〗课堂教学难得的是能取之于学生的课堂生成，而课堂生成离不开教师的精心设计.本环节根据教师预先的目标设置，自然流畅的激发了学生的思维之泉，将整堂课推向了高潮.又通过学生提出本例的难点：确定自变量的取值范围和根据自变量的取值范围求函数的最大值，培养了学生解决函数综合型问题的决策，提升了学生的学习能力.

4.回顾学习历程，深化数学思维

（1）什么是函数思想？

（2）运用函数思想的解题思路和步骤是什么？

（3）运用函数思想的关键点是什么？

（4）本节课还用到了哪些思想方法？

〖设计思考〗引导学生带着问题回顾本课中函数思想的学习历程，并对函数思想的解题思路、步骤、和关键点再次总结，深化对函数思想的理解，并把它转化为自觉行动的意识，逐步用函数思想充实解决问题的策略和工具.

〖点评〗通过回顾总结以及自己的整理，纳入到长期记忆中，深化对函数思想的认识，有效的实现了将函数思想的自发运用转化为今后的自觉运用.

5.教学目标检测设计

（1）已知非负数a，b，c满足条件a＋b＝7，c－a＝5，设S＝a＋b＋c的最大值为m，最小值为n，则m－n＝ .

（2）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB

D是线段BC上的一个动点，以AD为直径

画圆O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值．

〖设计思考〗检测学生能否熟练运用函数思想寻找两个变量间的关系，构建函数模型.

三、教学总评析

这堂课教学恰恰体现了这样的思路：通过先让学生解决简单的引例问题，利用解后反思，使函数思想明朗化；再通过例1问题的解决，内化函数思想；而例2建立在前两个环节的基础上促使学生自觉应用函数思想。这是初三第二轮专题复习中关于数学思想方法的教学的一堂很好的示范课。从本节课的设计与教学看，还具有以下特点：

1.目标定位明确，实施落实到位.精心选择的例题具有很强的代表性和目标性，例题难度设置循序渐进，每个例题都担负着不同的教学目标和任务.通过一道简单的引例，实施了目标1：什么是函数思想以及归纳了运用函数思想解题的一般思路、步骤和关键点.根据例1，实施了目标2：明确了函数的本质内涵，并对什么时候运用函数思想起到了明朗化的作用。例2建立在前两个环节的基础上，促使学生自觉运用函数思想，实现了目标3.根据预先设计的教学目标，整体建构，课堂实施落实的非常到位.

2.重视解后反思，揭示数学本质.每个例题后都设置了几个小问题，引导学生深入地进行数学的理性思考，促进学生培养了在解题后进行及时的反思总结，极大的帮助了学生对函数思想的本质内涵的深入理解.同时，课堂上还穿插对问题的粗略估计，进一步突出了数学是对问题精细描述的本质，激发学生对数学学习的热情.

3.激发动态生成，创导学生主体.在教师精心设计的问题的引导下，学生真正成为了课堂的主体.尤其是从例1到例2的过渡中，留有充足时间让学生“提一个有关函数的问题”，这既给学生搭起了“表演”的舞台，激发了学习的兴趣和激情，又很好的检查了学生对什么是函数思想及什么时候选择函数思想的落实情况，可谓“一箭双雕”.

4.采用先学后教，重视方法指导.复习中，学生已经掌握了所有的知识，本课教学并非通过学生的解题，强化数学方法，而是学生先独立完成解题后，再次引导学生深入思考问题的本质，总结归纳函数思想的本

质内涵和外延，优化解题策略，是一堂精彩的数学思想方法指导课.

四、教学反思

1.明确课堂教学目标，提高复习有效性.从实际效果看，只要合理设计课堂教学目标，认真组织实施，学生是可以理解且能归纳出函数思想的本质内涵的，也可以将函数思想从自发阶段发展为自觉运用阶段，从而提高了专题复习的有效性.因此，在设计教学目标时，要充分考虑目标层次性、现实性和可操作性，有效导向教学任务的递进，以取得课堂教学的预期效果.

2.明确教学任务，提升数学思维.学生要在解决问题中体验，在总结反思中提炼，在专门训练中巩固，在相互联系中发展数学思想方法.专题复习需要引导学生用语言文字或图示概括提炼出数学模型，把操作程序一般化、程序化、模式化；通过有针对性的训练，促使学生将数学思想方法的运用从自发变成自觉，从而提升为数学的理性思考，发展学生的数学思维水平.

参考文献：

[1]章建跃．数学教学目标再思考[J]．中国数学教育，2012(7-8)

[2]吴增生．数学课堂学习目标的合理设计[J]．中国数学教育，2012(12)

[3]李海东．重视数学思想方法的教学[J]．中国数学教育，2011(1-2)

[4]吴增生．数学类比思想教学课例及反思[J]．中国数学教育，2013(9)

[5]赵萍萍．“一题一课”：复习课走向简约的尝试[J]．中学数学，2015(2月下)

[6]吴增生．目标导向下的初中数学复习课教学设计专题报告

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(2)7.912 2(精确到个位); (3)130.96(精确到十分位); 精确到百位). .6328≈0.63; (2)7.9122≈8; (3)130.96≈131.0; (4)46021≈4.60×104. 专题三:有理数的运算 8.-23+(-2×3)的结果是(C) A.0 B.-12 C.-14 D.-2 9.下列计算正确的是(D) A.-32-(-23)=1 B.6÷3×=6 C.×3=0 D.-(-1)2 015=3 10.(2016·重庆校级二模)-12 016+16÷(-2)3×|-3|=-7. 11.计算: (1)-33×; (2)-2÷(-0.75); (3). -33×

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。（一）、转化(化归)思想解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形；（二）、数形结合思想数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

高中数学常用思想方法

高中数学常用的数学思想一、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y ＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f-1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。例设f(x)＝lg 124 3 ++ x x a ，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg 124 3 ++ x x a 有意义的函数问题，转化为1＋2x＋4x a>0 在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。【解】由题设可知，不等式1＋2x＋4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：(1 2 )2x＋( 1 2 )x＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。设t＝(1 2 )x, 则t≥ 1 2 ，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－ 1 2

人教版七年级数学下册解题技巧专题

人教版七年级数学下册解题技巧专题目录：【专题一】平行线中作辅助线的方法【专题二】相交线与平行线中的思想方法【专题三】开方运算及无理数判断中的易错题【专题四】平面直角坐标系中的图形面积【专题五】平面直角坐标系中的变化规律【专题六】解二元一次方程组【专题七】一元一次不等式（组）与学科内知识的综合【专题八】一元一次不等式（组）中含字母系数的问题

【专题一】平行线中作辅助线的方法 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为() A．30°B．32°C．42°D．58° 第1题图第2题图2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足() A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？

◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为() A．20°B．30°C．40°D．70° 第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．解： 7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线． (1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO； (2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC 之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．

中学数学涉及的主要的数学思想方法

中学数学涉及的主要的数学思想方法中学数学涉及的主要的数学思想一、函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想； 2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透5，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。二、数形结合思想数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。三、分类讨论的数学思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。四、化归与转化思想所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。中学数学常用解题方法 1、配方法

七年级(下)数形结合数学专题训练

平面直角坐标系------数形结合思想的平台
一、知识点： 1. 平面直角坐标系的定义； 2. 坐标平面内点的坐标的定义； 3. 各象限内及坐标轴上点的坐标的特征； 4. 一三（二四）象限角平分线上的坐标特点； 5. 与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征； 6. 一维、二维坐标； 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系， 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系； 9、面积割补法； 10 、绝对值的性质； 11 、图形面积公式； 12 、平移的性质；二、基本思想方法： 1、思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法：画示意图、平移。三、典型题目（一）基础知识训练 1 ．如图，数轴上 A ， B 两点表示的数分别是 1 和 2 ，点 A 关于点 B 的对称点是点 C ，则点 C 所表示的数是点距离为 5 的坐标分别为（ 4， 1），（ 1 ， -2 ）；（ 2 ）在（ 1 ）的条件下，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为点 M ，在 BM 的延长线上截取 MC=BM ． ①写出点 C 的坐标； ② 平移线段 AB 使点 A 移动到点 C ，画出平移后的线段 CD ，并写出点 D 的坐标．（注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) ．．在 x 轴上，到原
2.（ 1 ）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得 A ， B 两点的坐标
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(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

天津人教版七年级下数学练习题

2016年07月11日一．选择题（共16小题） 1．（2016?百色）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 2．（2016?大连）如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是（） A．40° B．70° C．80° D．140° 3．（2016?深圳）下列命题正确的是（） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．两边及其一角相等的两个三角形全等 C．16的平方根是4 D．一组数据2，0，1，6，6的中位数和众数分别是2和6 4．（2016?定州市一模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE=36°，则∠BOD=（） A．36° B．44° C．50° D．54° 5．（2016春?徐闻县期中）如果∠α与∠β是对顶角且互补，则他们两边所在的直线（）A．互相垂直B．互相平行 C．既不平行也不垂直D．不能确定 6．（2016?毕节市）的算术平方根是（） A．2 B．±2 C．D． 7．（2016?静安区一模）的相反数是（）

A．B．﹣C．D．﹣ 8．（2016?河北模拟）下列各数中，最小的数是（） A．1 B．﹣|﹣2| C．D．2×10﹣10 9．（2016春?赵县期中）点M（x，y）在第四象限，且|x|=2，|y|=2，则点M的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，2）D．（﹣2，﹣2） 10．（2016春?禹城市期中）一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标是（） A．（2，2）B．（3，3）C．（3，2）D．（2，3） 11．（2015春?南昌期末）己知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 12．（2016?黑龙江模拟）开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量，则小伟的购买方案共有（） A．1种B．2种C．3种D．4种 13．（2016?台湾）若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（） A．﹣15 B．﹣16 C．﹣17 D．﹣18 14．（2016春?宁国市期中）若不等式组有解，那么n的取值范围是（） A．n＞8 B．n≤8 C．n＜8 D．n≤8 15．（2015?攀枝花）2015年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（）A．1.6万名考生B．2000名考生 C．1.6万名考生的数学成绩D．2000名考生的数学成绩 16．（2015?金华模拟）为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加书法兴趣小组的频率是（） A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.3 二．填空题（共1小题） 17．（2014?成都）在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是．

中学数学中四种重要思想方法

中学数学中四种重要思想方法一、函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想； 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或（方程组）,通过解方程（或方程组）求出它们,这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想. 二、数形结合思想数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）,这种解决问题的方法称之为数形结合. 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短. 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂. 3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质. 4.华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）.而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现. 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领： (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题,可通过函数的图象求解（函数的零点,顶点是关键点）,作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的. 三、分类讨论的数学思想分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答. 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；

中考数学思想方法专题之整体思想

初中数学思想之整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式四．几何与图形中的整体思想

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