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初中数学重点梳理：面积问题的解决方法

面积问题与面积方法

知识定位

能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理

1、等面积变化模型：

（1）等底等高的两个三角形面积相等；

（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如下图12::S S a b =

（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

1S 2

3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ?=? ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：

相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

5、燕尾定理模型：面积比转化为边之比

例题精讲

【试题来源】

【题目】如下图所示，把四边形ABCD的各边都延长一倍，得到一个新四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，那么请问：EFGH的面积是多少平方厘米？

【答案】65平方厘米

【解析】解连接BD，ED，BG，则△EAD、△ADB同高，

所以面积的比等于底的比，

即S△EAD=，S△ABD=2S△ABD，

同理S△EAH=，S△EAD=6S△ABD，

所以S△EAH+S△FCG=6（S△ABD+S△BCD）=6S四边形ABCD=6×5=30；

连接AF，AC，HC可得：

S△EFB=6S△ABC，S△DHG=6S△ACD，

S△EFB+S△DHG=6（S△ABC+S△ACD）=6×5=30（平方厘米），

所以四边形EFGH的面积=30+30+5=65（平方厘米）；

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如下图所示，把三角形DEF的各边向外延长一倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1。请问：三角形DEF的面积是多少？

【答案】1/7

【解析】解连接AE、BF、CD，

利用同底等高的三角形面积相等，可得S△ADE=S△ABE=S△DEF，

同理有S△BEF=S△BCF=S△DEF，

S△CDF=S△ACD=S△DEF；

因为S△ABC=7S△DEF，

所以三角形DEF的面积是：1÷7＝1/7

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF．三角形AOD的面积是3平方厘米，求四边形ABCD的面积．

【答案】24平方厘米

【解析】解由题意知：E为BC的中点，F是BD的中点，

则EF是△BCD的中位线，可得CD=2EF，EF∥CD，

因为AF=2EF，所以AF=CD，

由 EF∥CD，AF=CD，

所以四边形AFCD是平行四边形，

因为S△DOC=S△AOD=3（平方厘米），

所以S△ACF=S△ACD=2S△AOD=2×3=6 （平方厘米），

又因为AF=2EF，AE=AF+EF，

所以AE=3EF，

所以AE=3/2AF，

所以S△ABE=S△ACE=3/2S△ACF=3/2×6=9 （平方厘米），

所以SABCD=6+9+9=24（平方厘米）．

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂练习题【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2：5，AE:AC=4：7，△ADE 的面积为16平方厘米，求△ABC 的面积．

【答案】70平方厘米

【解析】解连接BE ，由题得

::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，

所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设△ABC 的面积为X ，则

所以 X=70

所以△ABC 的面积为70平方厘米

【知识点】鸟头定理应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2

【试题来源】2007年”走美”初赛试题

【题目】如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE=1/3AC ，CF=1/3BC ．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．

C A

【答案】10平方厘米【解析】解由题意知

13AE AC =

、13CF BC =，

可得

3CE AC =

根据”共角定理”可得，

():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =??=??=△△；

而66218ABC S =?÷=△；

所以4CEF S =△；

同理得，:2:3CDE ACD S S =△△，183212CDE S =÷?=△，6CDF S =△

故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．

【知识点】鸟头定理应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．

F G

【答案】

【解析】连接EF ．

因为2BE EC =，CF FD =，所以

1111

()23212DEF ABCD ABCD

S S S

?=??=．

因为12AED ABCD S S ?=，根据蝴蝶定理，11

::6:1

212AG GF ==，

所以6613

677414AGD GDF ADF ABCD ABCD

S S S S S ???===?=．

所以

1322

21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ???=-=-==

，即三角形AEG 的面积是2

7．

【知识点】任意四边形的蝴蝶定理应用【适用场合】当堂例题【难度系数】5

【试题来源】

【题目】如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．

B F

【答案】6.25平方厘米

【解析】设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．

由蝴蝶定理可知::BED

BCD

EO OC S S

=，而

BED

ABCD

S =，

BCD

ABCD

S =，

所以::1:2BED

BCD

EO OC S S

==，故13EO EC

=．

由于F 为CE 中点，所以1

2EF EC =

，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．

由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以1

BFD

BED

ABCD

S S ==，

那么111

1010 6.25

21616BGD BFD ABCD S S S ===??=（平方厘米）．

【知识点】蝴蝶定理求面积的应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】5

【试题来源】

【题目】如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD 和BE ，它们相交于点P ，过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q 、R ，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为

【答案】

【解析】解：如图：

过点E 作EF ∥AD ，且交BC 于点F ，则

，

∴，

∵PQ∥CA，

∴，

于是，

∵PQ∥CA，PR∥CB，

∴∠QPR=∠ACB，

∵△PQR∽△CAB，

∴．

故答案是：．

【知识点】相似下求面积的应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】2001?无锡

【题目】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE，（1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数；

（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求的值．

【答案】（1）60°（2）4

【解析】延长BA、CD相交于点M．如图1：∵AD∥BC，

∴△MAD∽△MBC，

∴．

∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x．

∴AB=4x．

∵BE=3AE，

∴BE=3x，AE=x．

∴BE=EM=3x，E为MB的中点．

又∵CE⊥AB，

∴CB=MC．

又∵MB=MC，

∴△MBC为等边三角形．

∴∠B=60°；

（2）延长BA、CD相交于点F，如图2：

∵AD∥BC，

∴△FAD∽△FBC，

∴，

设S△FAD=S3=a，则S△FBC=9a，S1+S2=8a，又∵2S1=3S2，

∴a，a，S3=a．

∵△EFC 与△CEB 等高，

∴．

设FE=7k ，则BE=8k ，FB=15k ， ∴FA=FB=5k ． ∴

AE=7k ﹣5k=2k ． ∴

=4．

【知识点】含绝对值的不等式（组）【适用场合】当堂练习题【难度系数】4

【试题来源】

【题目】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.

F A

B A

【答案】12.5

【解析】 (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，

所以1103ABE ABC S S ==△△，1

2ABD ABC S S ==△△．

根据燕尾定理，

ABF

CBF

S AE

S EC

△

△，

ABF

ACF

S BD

S CD

△

△,

所以

7.5

ABF ABC

S S

△△

，157.57.5

BFD

S=-=

△，

所以阴影部分面积是30107.512.5

--=．

(法二)连接DE，由题目条件可得到

ABE ABC

S S

△△

，

112

223

BDE BEC ABC

S S S

==?=

△△△

，所以

ABE

BDE

FD S

△

△，

111111

2.5

223232

DEF DEA ADC ABC

S S S S

=?=??=???=

△△△△

，

而

CDE ABC

S S

=??=

△△

．所以阴影部分的面积为12.5．

【知识点】燕尾定理应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

习题演练

【试题来源】

【题目】如图所示，D为△ABC中AC边上一点，AD=1，DC=2，AB=4，E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（）

【答案】1

【解析】解：已知AD=1，DC=2，

∴S△DEC=2S△AED，

又由S△ABC=2S△DEC，

∵S△BCE+S△AED+S△DEC=S△ABC，

∴S△BCE+1/2S△DEC+S△DEC=2S△DEC，

∴S△BCE=1/2S△DEC=1/4S△ABC，

设△ABC 和△BCE 的同高为h ，则：1/2BE?h=1/4×1/2AB?h ， ∴BE=1/4AB=1/4×4=1，

【知识点】等面积应用【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积．

B A

【答案】18

【解析】用共角定理∵在△ABC 和△CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补，

∴

111

428

ABC FCE

S AC BC S

FC CE ??=

??．

又1ABC

=，所以8FCE

S =．

同理可得6ADF

=，3BDE

S =．

所以186318DEF

ABC

FCE ADF

BDE

=+++=+++=

【知识点】鸟头定理求面积应用【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2

【试题来源】

【题目】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且（1）求证：AE=AD；

（2）若点F为线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，△BFC的面积为3，求△ABD的面积．

【答案】(1) AE=AD (2)9

【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，即∠ABE=∠CBD．

又∵，

∴△ABE∽△CBD，

∴∠AEB=∠CDB，

∵∠ADE=∠CDB，

∴∠ADE=∠AED，

∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，AE=AD，

∴=．

又∵在△ABC中，BD平分∠ABC，

∴=，

又∵∠ABD=∠CBF（BD是∠ABC的平分线），

∴△ABD∽△CBF

∴=．

∵，

∴=，则BD2=BF?BE=2×6=12，

即BD=2，

∴==．

∴=（）2=3，

∴S △ABD=3S △CBF=3×3=9．即△ABD 的面积是9．【知识点】相似求面积应用【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3

【试题来源】

【题目】正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是( )平方厘米．

B 6B 5

B 4

B 3

B 2

B A 6

A 5

A A

B 6

B 5

B 4

B 3

B 2

B 1A 6

A 5

A 3

A 2

【答案】1148

【解析】如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ?一样大小的三角

形组成，只要求出了23A OA ?的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．

连接63A A 、61B B 、63B A ．

设116A B B ?的面积为1，则126B A B ?面积为1，126A A B ?面积为2，那么636A A B ?面积为126A A B ?的2倍，为4，

梯形1236A A A A 的面积为224212?+?=，263A B A ?的面积为6，123B A A ?的面积为2．根据蝴蝶定理，

12632613:1:6

B A B A A B B O A O S S ??===，故

23616A OA S ?=

+，12312

7B A A S ?=

，

所以

23123612

::12:1:77A OA A A A A S S ?=

梯形，

即23A OA ?的面积为梯形1236A A A A 面积的1

7，

故为六边形123456A A A A A A 面积的1

14，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147?=，

所以阴影部分面积为3200911148

7??

?-= ???(平方厘米)．

【知识点】蝴蝶定理求面积应用【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5

【试题来源】

【题目】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四

边形DFEC 的面积等于2

22cm ，则三角形ABC 的面积．

A B

E F

A B

2.41.62A B

C D

F 12

【答案】45

【解析】连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==

△△，2

3ABF CBF S AE S EC ==△△,

设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC

S =△份，2

4 1.6

23AEF S =?=+△

份,3

4 2.4

23EFC S =?=+△份,

如图所标，所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份，2349ABC S =++=△份

所以2

22 4.4945(cm )ABC S =÷?=△

【知识点】燕尾求面积应用

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

面积问题与面积方法

知识定位

知识梳理

2、等面积变化模型：

（1）等底等高的两个三角形面积相等；

（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如下图

S S a b

（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图

ACD BCD

S S

△△

；

反之，如果

ACD BCD

S S

△△

，则可知直线AB平行于CD。

（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共

角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC

△中，,D E分别是,

AB AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E

在AC上(如图2)，则:():()

ABC ADE

S S AB AC AD AE

=??

△△

③ 1243::S S S S =1324S S S S ?=? ④ ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：

（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

6、燕尾定理模型：面积比转化为边之比

例题精讲

【试题来源】

【题目】如下图所示，把四边形ABCD的各边都延长一倍，得到一个新四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，那么请问：EFGH的面积是多少平方厘米？

【答案】65平方厘米

【解析】解连接BD，ED，BG，则△EAD、△ADB同高，

所以面积的比等于底的比，

即S△EAD=，S△ABD=2S△ABD，

同理S△EAH=，S△EAD=6S△ABD，

所以S△EAH+S△FCG=6（S△ABD+S△BCD）=6S四边形ABCD=6×5=30；

连接AF，AC，HC可得：

S△EFB=6S△ABC，S△DHG=6S△ACD，

S△EFB+S△DHG=6（S△ABC+S△ACD）=6×5=30（平方厘米），

所以四边形EFGH的面积=30+30+5=65（平方厘米）；

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如下图所示，把三角形DEF的各边向外延长一倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1。请问：三角形DEF的面积是多少？

【答案】1/7

【解析】解连接AE、BF、CD，

利用同底等高的三角形面积相等，可得S△ADE=S△ABE=S△DEF，

同理有S△BEF=S△BCF=S△DEF，

S△CDF=S△ACD=S△DEF；

因为S△ABC=7S△DEF，

所以三角形DEF的面积是：1÷7＝1/7

【知识点】等面积的应用

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF．三角形AOD的面积是3平方厘米，求四边形ABCD的面积．

【答案】24平方厘米

【解析】解由题意知：E为BC的中点，F是BD的中点，

则EF是△BCD的中位线，可得CD=2EF，EF∥CD，

因为AF=2EF，所以AF=CD，

由 EF∥CD，AF=CD，

所以四边形AFCD是平行四边形，

因为S△DOC=S△AOD=3（平方厘米），

所以S△ACF=S△ACD=2S△AOD=2×3=6 （平方厘米），