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导数和函数零点问题

导数和函数零点

1、已知函数3

()31,0f x x a x a =--≠

（1）求()f x 的单调区间；

（2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值；

（2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围；

（3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。

3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-=

（1）讨论)(x f 的单调性；

（2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根

若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。

4、已知函数a ax x a x x f ---+=232

131)(，x R ∈，其中0>a 。（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围；

5、已知函数)0()23()(2

3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示.

（1）求c ，d 的值；（2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程

在求函数)(x f 的解析式；（3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++=

=5)(31)('与的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围；

6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-=

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）若函数)(x f y =在R 上恰有5个零点，求实数a 的取值范围。

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0