直线运动的x-t图像
[想一想]
甲、乙两物体的位移－时间图像如图1－4－1所示，请思考以下问题：
图1－4－1
(1)甲、乙两物体各做什么性质的运动。
(2)甲、乙两物体速度的大小关系。
(3)甲、乙两物体的出发点相距多远。
提示：(1)甲、乙两物体均做匀速直线运动。
(2)甲物体的速度小于乙物体的速度。
(3)两物体的出发点相距为x0，且甲物体在前。
[记一记]
1．物理意义：反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。2．两种特殊的x -t图像
(1)若x -t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动。
(2)若x -t图像是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。3．x -t图像中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义
[试一试]
图像、追及相遇
1.(多选)如图1－4－2所示是一辆汽车做直线运动的x-t图像，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是()
图1－4－2
A．OA段运动最快
B．AB段静止
C．CD段表示的运动方向与初始运动方向相反
D．运动4 h汽车的位移大小为60 km
解析：选BC图中CD段斜率的绝对值最大，故CD段的速度最大，A错误；AB段位移不随时间变化，说明AB段汽车静止，B正确；CD段的斜率与OA段的斜率符号相反，表明两段汽车的运动方向相反，C正确；4 h内汽车运动的总位移为零，D错误。
直线运动的v-t图像
[记一记]
1．图像的意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。
2．两种特殊的v -t图像
(1)若v -t图像是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。
(2)若v -t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。
3．v -t图像中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义
[试一试]
2.一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化规律如图1－4－3所示，取开始运动方向为正方向，则下图中物体运动的v -t图像，正确的是()
图1－4－3
图1－4－4
解析：选C由a-t图像可知：0～1 s内物体的加速度大小为1 m/s2，所以物体从静止开始做初速度为0的匀加速直线运动，1 s末速度为1 m/s,1～2 s内物体的加速度大小也为1 m/s2，方向与之前相反，所以物体以1 m/s的初速度做匀减速直线运动，在2 s末速度为0，以后按此规律反复，所以应选C。
追及与相遇问题
[记一记]
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者速度相等时，两者相距最近。
3．相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
[试一试]
3．(多选)甲、乙两物体从同一点开始做直线运动，其v-t图像如图1－4－5所示，下列判断正确的是()
图1－4－5
A．在t0时刻两物体速度大小相等，方向相反
B．在t0时刻两物体加速度大小相等，方向相反
C．在t0时刻之前，乙物体在甲物体前方，并且两物体间距离越来越大
D．在t0时刻之后，甲物体在乙物体前方，并且两物体间距离越来越大
解析：选BC t0时刻两物体的速度相同，A错误；由图可知，两物体的加速度大小相等，方向相反，B正确；在t0时刻之前，v甲
考点一| 对运动图像的理解和应用
1．应用运动图像的三点注意
(1)无论是x -t图像、v -t图像还是a-t图像都只能描述直线运动。
(2)x -t图像和v -t图像都不表示物体运动的轨迹。
(3)x -t图像、v -t图像和a -t图像的形状由x与t、v与t、a与t的函数关系决定。
2．三类运动图像对比
图像x -t图像v -t图像a -t图像
图像
实例
图线
含义
图线①表示质点做匀速
直线运动(斜率表示速度
v)
图线①表示质点做匀加
速直线运动(斜率表示
加速度a)
图线①表示质点做加速度
逐渐增大的直线运动
图线②表示质点静止
图线②表示质点做匀速
直线运动
图线②表示质点做匀变速
直线运动
图线③表示质点向负方
向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减
速直线运动
图线③表示质点做加速度
减小的直线运动
交点④表示此时三个质
点相遇
交点④表示此时三个质
点有相同的速度
交点④表示此时三个质点
有相同的加速度
点⑤表示t1时刻质点位移
为x1(图中阴影部分的面
积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速
度为v1(图中阴影部分
面积表示质点在0～t1
点⑤表示t1时刻质点加速度
为a1(图中阴影部分面积表
示质点在0～t1时间内的速
时间内的位移)
度变化量)
[例1] (多选)一物体自t ＝0时开始做直线运动，其速度—时间图像如图1－4－6所示。下列选项正确的是( )
图1－4－6
A ．在0～6 s 内，物体离出发点最远为30 m
B ．在0～6 s 内，物体经过的路程为40 m
C ．在0～4 s 内，物体的平均速度为7.5 m/s
D ．在5～6 s 内，物体做匀减速直线运动 [思路点拨]
(1)0～6 s 内，物体的运动方向是否发生变化？什么时刻离出发点最远？
提示：由图像可得，0～5 s 内物体沿正方向运动，5～6 s 物体沿负方向运动，即第5 s 末物体离出发点最远。
(2)v -t 图像中“面积”的含义是什么？如何根据v -t 图像求平均速度？
提示：图线与时间轴所围的“面积”表示位移的大小，求得位移可用公式v －＝x
t 求平均速度。 [解析] 选BC 结合v -t 图像知t ＝5 s 时离出发点最远为35 m ，A 错误；在0～6 s 内路程为40 m ，B 正确；在0～4 s 内，物体的位移是30 m ，由v －＝x t 知v －
＝7.5 m/s ，C 正确；在5～6 s 内速度与
加速度方向同向，应做匀加速直线运动，D 错误。
由v -t 图像巧得四个运动量
(1)运动速度：从速度轴上直接读出。
(2)运动时间：从时间轴上直接读出时刻，取差得到运动时间。
(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。
(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，第一象限的面积表示与规定的正方向相同，第四象限的面积表示与规定的正方向相反。
1.(多选)如图1－4－7所示为一质点做直线运动的速度－时间图像，下列说法中正确的是( )
图1－4－7
A ．整个过程中，CE 段的加速度最大
B ．在18 s 末，质点的运动方向发生了变化
C ．整个过程中，
D 点对应的位置离出发点最远 D ．BC 段表示的运动所通过的位移是34 m
解析：选ACD 根据v -t 图像的斜率表示加速度可知，整个过程中，CE 段的加速度最大，选项A 正确；在18 s 末，质点的加速度方向发生了变化，但运动方向(速度方向)不变，选项B 错误；根据v -t 图像与时间轴所围成的面积表示位移可知，整个过程中，D 点对应的位置离出发点最远，选项C 正确；BC 段表示的运动所通过的位移是(5＋12)×18－14
2
m ＝34 m ，选项D 正确。
考点二| 追及相遇问题分析 1．追及相遇问题常见的情况
假设物体A 追物体B ，开始时，两个物体相距x 0，有两种常见情况： (1)A 追上B 时，必有x A －x B ＝x 0，且v A ≥v B 。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时相对速度为零，必有x A －x B ＝x 0，v A ＝v B 。若使两物体保证不相撞，此时应有v A 2．解题思路和方法 [例2] 甲车以10 m /s 的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s 的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s 2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求： (1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离； (2)乙车追上甲车所用的时间。 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 甲车经过乙车旁边开始刹车 两车运动的起点位置 以0.5 m/s 2的加速度刹车 甲车刹车后做匀减速直线运动 从甲车刹车开始计时 两车运动的时间关系 第二步：找突破口 要求两车间的最大距离→应利用速度关系式v 乙＝v 甲－at 求出到距离最大时的时间→利用位移关系求最大距离。 [解析] (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，设该减速过程经过的时间为t ，则v 乙＝v 甲－at 解得：t ＝12 s 此时甲、乙间的距离为Δx ＝v 甲t －12at 2－v 乙t ＝10×12 m －1 2×0.5×122 m －4×12 m ＝36 m (2)设甲车减速到零所需时间为t 1，则有：t 1＝v 甲 a ＝20 s t 1时间内：x 甲＝v 甲2t 1＝10 2×20 m ＝100 m x 乙＝v 乙t 1＝4×20 m ＝80 m 此后乙车运动时间：t 2＝x 甲－x 乙v 乙＝20 4 s ＝ 5 s 故乙车追上甲车需t 1＋t 2＝25 s [答案] (1)36 m (2)25 s 2．(2014·成都高新区摸底)一步行者以6.0 m /s 的速度跑去追赶被红灯阻停的公交车，在跑到距汽车25 m 处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s 2的加速度匀加速启动前进，则( ) A ．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m B ．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m C ．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m D ．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远 解析：选B 在跑到距汽车25 m 处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m /s 2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s 时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s 用时间t ＝6 s ，人运动距离为6×6 m ＝ 36 m ，汽车运动距离为18 m ，二者最近距离为18＋25 m －36 m ＝7 m ，选项A 、C 错误，B 正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D 错误。 [典例] (2014·泉州质检)A 、B 两列火车，在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度v A ＝10 m /s ，B 车在后，速度v B ＝30 m/s ，因大雾能见度很低，B 车在距A 车x 0＝75 m 时才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但B 车要经过180 m 才能停止，问：B 车刹车时A 车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B 车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？ [解析] B 车刹车至停下来过程中， 由 v 2－v 02＝2ax 得a B ＝－v 02 2x ＝－2.5 m/s 2 画出A 、B 两物体的v -t 图像如图1－4－8所示 图1－4－8 根据图像计算出8 s 内两列车发生的位移分别为 x B ＝12×(10＋30)×8 m ＝160 m x A ＝10×8 m ＝80 m 因x B >x 0＋x A ，故两车会相撞 设B 车刹车后经过时间t ′两车相撞，此时B 车速度减为v ，如图1－4－8所示，则有12×(v ＋30)t ′ ＝10t ′＋x 0 v 30＝12－t ′12 联立两式并代入数据得t 1′＝6 s ，t 2′＝10 s(舍去)。 [答案] 会相撞 在B 车刹车后6 s 时相撞 [题后悟道] 利用v -t 图像解决追及相遇问题时，应根据题目的已知条件将两物体的v -t 图像画在同一图中，两条图线的交点对应两物体速度相同的时刻，这是分析物体是否相撞的关键点；两图 线与t轴所围面积之差为相对位移，与t＝0时两物体间距比较可判断两物体是否相撞。 汽车A在红灯前停住，绿灯亮起时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动。设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始() A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同 C．相遇时A车做匀速运动 D．两车不可能相遇 解析：选C作出A、B两车运动的v -t图像如图所示，v -t图像所包围的“面积”表示位移，经过30 s时，两车运动图像所围面积并不相等，所以在A 车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30 s后A车以12 m/s 的速度做匀速直线运动，随着图像所围“面积”越来越大，可以判断在30 s后某时刻两车图像所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，所以两车不可能再次相遇，选项C正确，选项B、D错误。 [随堂对点训练] 1．甲、乙两位同学进行百米赛跑，假如把他们的运动近似当作匀速直线运动来处理，他们同时从起跑线起跑，经过一段时间后他们的位置如图1－4－9所示，在图1－4－10中分别作出在这段时间内两人运动的位移x、速度v与时间t的关系图像，正确的是() 图1－4－9 图1－4－10 解析：选B由图可知，在相同时间内乙的位移大于甲的位移，说明乙的速度大于甲的速度，选项B正确，A、C、D错误。 2.(2014·大庆模拟)如图1－4－11所示，是A、B两质点从同一地点运动的x-t图像，则下列说法错误的是() 图1－4－11 A ．A 质点以20 m/s 的速度匀速运动 B ．B 质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动 C ．B 质点最初4 s 做加速运动，后4秒做减速运动 D ．A 、B 两质点在4 s 末相遇 解析：选C x -t 图像的斜率大小表示质点运动速度的大小，正负表示速度的方向，由x -t 图像可知，A 质点沿正方向做匀速直线运动，其速度v ＝x t ＝80 4 m/s ＝20 m/s ，A 正确；B 质点最初4 s 沿 正方向做减速运动，后4 s 沿负方向做加速运动，B 正确，C 错误；4 s 末A 、B 两质点达到同一位置，故相遇，D 正确。 3. (2014·郑州模拟)利用传感器与计算机结合，可以自动做出物体运动的图像。某同学在一次实验中得到运动小车的速度－时间图像如图1－4－12所示，由此图像可知( ) 图1－4－12 A ．18 s 时的加速度大于13 s 时的加速度 B ．小车做曲线运动 C ．13 s 末小车距离出发点最远 D ．小车前10 s 内的平均速度比后10 s 内的大 解析：选A 由v -t 图像的斜率大小表示小车的加速度大小可知，18 s 时小车的加速度大于13 s 时小车的加速度，A 正确；v -t 图像只表示直线运动，B 错误；小车在0～20 s 内速度方向不变，故t ＝20 s 时小车离出发点最远，C 错误；由x 前10 s t 可知D 错误。 4.如图1－4－13所示，A 、B 两物体相距 x ＝7 m ，物体A 以v A ＝4 m /s 的速度向右匀速运动，而物体B 此时的速度v B ＝10 m/s ，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a ＝－2 m/s 2。那么物体A 追上物体B 所用的时间为( ) 图1－4－13 A ．7 s B ．8 s C ．9 s D ．10 s 解析：选B 物体B 做匀减速运动，到速度为0时，所需时间t 1＝10 2 s ＝5 s ，运动的位移x B ＝ 0－v B 22a ＝102 2×2 m ＝25 m 。在这段时间内物体A 的位移x A ＝v A t 1＝4×5 m ＝20 m ；显然还没有追上，此后物体B 静止，设追上所用时间为t ，则有4t ＝x ＋25 m ，所以t ＝8 s 。故选B 。 5．(2014·广州模拟)如图1－4－14所示，直线MN 表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车分别停在A 、B 两处，相距85 m ，现甲车开始以a 1＝2.5 m /s 2的加速度向右做匀加速直线运动，当甲车运动t 0＝6 s 时，乙车开始以a 2＝5 m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动，求两车相遇处到A 处的距离。 图1－4－14 解析：甲车运动t 0＝6 s 的位移为 x 0＝1 2a 1t 02＝45 m<85 m ， 尚未追上乙车。 设此后经时间t ，甲与乙相遇，则 12a 1(t 0＋t )2＝1 2 a 2t 2＋x AB 。 代入数据，解得t ＝4 s 或t ＝8 s 。 (1)当t ＝4 s 时，甲车追上乙车，第一次相遇处距A 的距离为 x 1＝1 2 a 1(t 0＋t )2＝125 m 。 (2)当t ＝8 s 时，乙车追上甲车，第二次相遇处距A 的距离为 x 2＝1 2a 1(t 0＋t )2＝245 m 。 答案：125 m 或245 m [课时跟踪检测] 一、单项选择题 1.(2013·宁波期末)物体做匀变速直线运动的位移－时间图像如图1所示，由图中数据可求出的物理量是( ) 图1 A．可求出物体的初速度 B．可求出物体的加速度 C．可求出物体的平均速度 D．可求出物体通过的路程 解析：选C由图中数据可得到位移和时间，可求出的物理量是物体的平均速度，选项C正确。 2.(2014·泰州期末)质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系如图2所示，该图线的斜率为k，图中斜线部分面积为S，下列说法正确的是() 图2 A．斜率k表示速度变化的快慢 B．斜率k表示速度变化的大小 C．面积S表示t1～t2的过程中质点速度的变化量 D．面积S表示t1～t2的过程中质点的位移 解析：选C斜率k表示加速度变化的快慢，选项A、B错误；面积S表示t1～t2的过程中质点速度的变化量，选项C正确D错误。 3.(2014·聊城模拟)图3是一个网球沿竖直方向运动的频闪照片，由照片可知() 图3 A．网球的加速度方向向上 B．网球正在下降 C．网球的加速度方向向下 D．网球正在上升 解析：选C由照片可以看出，网球在下方的速度大些，上方速度小些，故可得网球的加速度 方向一定向下，但无法确定速度的具体方向，故只有C正确。 4.(2013·海南高考)一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a-t图像如图4所示。下列v-t图像中，可能正确描述此物体运动的是() 图4 图5 解析：选D解答本题的突破口是T～2T时间内的加速度跟0～ T 2时间内的加速度大小相等，方向相反，从而排除选项A、B、C，本题选D。 5.(2014·黄山模拟)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地。汽车先做匀加速运动，接着做匀减速运动，开到乙地刚好停止。其速度－时间图像如图6所示，那么在0～t0和t0～3t0两段时间内() 图6 A．加速度大小之比为3∶1 B．位移大小之比为1∶3 C．平均速度大小之比为2∶1 D．平均速度大小之比为1∶1 解析：选D由图像可得 a1 a2＝ t2 t1＝ 2 1，A错误； x1 x2＝ v0 2t1 v0 2t2 ＝ 1 2，B错误；v － 1 ＝v － 2 ＝ v0 2，C错误，D 正确。 6．如图7甲、乙所示的位移(x)－时间(t)图像和速度(v)－时间(t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是() 图7 A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动 B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远 D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等 解析：选C本题考查运动学中的两类图像问题，v -t图像表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹。由x -t图像可知，甲、乙两车在0～t1时间内均做单向直线运动，且在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B错误。在v -t图像中，t2时刻丙、丁两车速度相同，故0～t2时间内，t2时刻两车相距最远，C正确。由图线可知，0～t2时间内，丙车的位移小于丁车的位移，故丙车的平均速度小于丁车的平均速度，D错误。 二、多项选择题 7．以下四个图像，能正确反映自由落体运动规律的是(g取10 m/s2)() 图8 解析：选BD自由落体运动的速度与时间成正比，位移与时间的二次方成正比，选项B正确， A、C错误。由v2＝2gx，速度的二次方与位移x成正比，选项D正确。 8.(2014·辽宁省五校协作体高三联考)某物体运动的v-t图像如图9所示，下列说法正确的是() 图9 A．物体在第1 s末运动方向发生变化 B．物体在第2 s内和第3 s内的加速度是相同的 C．物体在4 s末返回出发点 D．物体在5 s末离出发点最远，且最大位移为0.5 m 解析：选BC物体在第2 s末运动方向发生变化，选项A错误；根据速度图像的斜率表示加速度，物体在第2 s内和第3 s内的加速度是相同的，选项B正确；根据速度图像的面积表示位移，物体在4 s末返回出发点，选项C正确；物体在2 s末、6 s末离出发点最远，且最大位移为1.0 m，选项D错误。 9.(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图10，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置－时间(x-t)图线。由图可知() 图10 A．在时刻t1，a车追上b车 B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反 C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加 D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大 解析：选BC本题考查运动图像，意在考查考生对运动图像的理解及图像与运动转换的能力。从x-t图像可以看出，在t1时刻，b汽车追上a汽车，选项A错误；在t2时刻，b汽车运动图像的斜率为负值，表示b汽车速度反向，而a汽车速度大小和方向始终不变，故选项B正确；从t1时刻到t2时刻，图像b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b汽车的速率先减小至零后增加，选项C 正确、D错误。 10.(2014·济南模拟)如图11所示是一辆汽车和一辆摩托车同时同地沿同一方向做直线运动的v -t 图像，则由图像可知() 图11 A．40 s末汽车在摩托车之前 B．20 s末汽车运动方向发生改变 C．60 s内两车相遇两次 D．60 s末汽车回到出发点 解析：选AC由图像可知，两车同时同地出发，在t＝20 s和t＝60 s时两车均相遇，C正确；汽车运动方向不变，20 s时加速度方向发生变化，B、D均错误；t＝20 s后，v汽车>v摩托，故汽车在摩托车之前，A正确。 三、计算题 11．(2014·衡水中学调研)高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v 0＝30 m/s ，距离s 0＝100 m ，t ＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图12所示，取运动方向为正方向。 图12 (1)通过计算说明两车在0～9 s 内会不会相撞？ (2)在一个坐标系中画出甲乙的速度时间图像。 解析：(1)方法一：公式解法：令a 1＝－10 m /s 2，a 2＝5 m/s 2，a 3＝－5 m/s 2，t 1＝3 s ，甲车速度：v 1＝v 0＋a 1t 1＝0； 设3 s 过后经过t 2 s 甲、乙两车速度相等，此时距离最近：a 2t 2＝v 0＋a 3t 2； 速度相等之前，甲车位移：x 甲＝v 02t 1＋1 2a 2t 22， 乙车位移：x 乙＝v 0t 1＋v 0t 2＋1 2 a 3t 22 解得x 乙－x 甲＝90 m 方法二：图像解法：由加速度图像可画出两车的速度图像，由图像可知，t ＝6 s 时两车速度相等，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s 内两车位移之差，Δx ＝12×30×3 m ＋1 2×30×(6－3)m ＝ 90 m<100 m 。 故不会相撞。 (2) 答案：(1)不会相撞 (2)见解析图 12．斜面长度为4 m ，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v 0从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离x 与初速度二次方v 02的关系图像(即x -v 02图像)如图13所示。 图13 (1)求滑块下滑的加速度大小。 (2)若滑块下滑的初速度为5.0 m/s ，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？ 解析：(1)由v 02＝2ax 推知，图线“斜率”为1 2a ，所以滑块下滑的加速度大小a ＝2 m/s 2。 (2)由图像可知，当滑块的初速度为4 m /s 时，滑块刚好滑到斜面最低点，故滑块下滑的初速度为5.0 m/s 时能滑到斜面最低点。设滑块在斜面上的滑动时间为t ，则x ＝v 0t －12at 2，即：4＝5t －1 2×2t 2， 解得t ＝1 s ，t ＝4 s(舍去)。 答案：(1)2 m/s 2 (2)1 s 相遇和追及问题 【学习目标】 1、掌握追及和相遇问题的特点 2、能熟练解决追及和相遇问题 【要点梳理】 要点一、机动车的行驶安全问题： 要点诠释： 1、反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。 2、反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度v匀速行驶的距离。 3、刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。 4、停车距离与安全距离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离 共同决定。安全距离大于一定情况下的停车距离。 要点二、追及与相遇问题的概述 要点诠释： 1、追及与相遇问题的成因 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题． 2、追及问题的两类情况 (1)速度小者追速度大者 (2)速度大者追速度小者 说明:①表中的Δx 是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；②x 0是开始追及以前两物体之间的距离；③t 2-t 0=t 0-t 1；④v 1是前面物体的速度,v 2是后面物体的速度. 特点归类： (1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度． (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近． 3、 相遇问题的常见情况 (1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题. (2) 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了. 要点三、追及、相遇问题的解题思路 要点诠释： 追及?相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体处在同一位置. ①根据对两物体运动过程的分析,画出物体运动情况的示意草图. ②根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,注意要将两个物体运动时间的关系反映在方程中; ③根据运动草图,结合实际运动情况,找出两个物体的位移关系; ④将以上方程联立为方程组求解,必要时,要对结果进行分析讨论. 要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题 要点诠释： 分析这类问题应注意的两个问题: (1)一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例如两个物体距离最大或距离最小?后面的物体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下,速度所满足的条件. 常见的情形有三种:一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙,这种情况一定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即v v =甲乙)时,两者之间的距离最大;二是做匀速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能追上,若能追上,则在相遇位置满足v v ≥甲乙;若追不上,则两者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离最小;三是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体,情况和第二种情况相似. (2)两个关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口. 要点五、追及、相遇问题的处理方法 方法一:临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的临界条件) 方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d 0令两者在t 时相遇,则有0x x d -=甲乙,得到关于时间t 的一元二次方程:当2 b 4a c 0?=->时,两者相撞或相遇两次;当2 b 4a c 0?=-=时,两者恰好相遇或相撞;2 b 4a c 0?=-<时,两者不会相撞或相遇. 方法三:图象法.利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况，通过分析图像，可以较方便的解决这类问题。 【典型例题】 类型一、机动车的行驶安全问题 【学习目标】 1、掌握追及及相遇问题的特点 2、能熟练解决追及及相遇问题 追及问题 1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。 甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。 2、追及问题的特征及处理方法： “追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度相等，即v甲=v乙。 ⑵匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 ①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，并会有两次相遇 ③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 ⑶匀减速运动的物体甲追赶同向的匀速运动的物体已时，情形跟⑵类似。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 ①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，并会有两次相遇 ③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 3、分析追及问题的注意点： ⑴要抓住一个条件，两个关系： ①一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如 两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。 ②两个关系是时间关系和位移关系， 通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v-t图象的应用。 二、相遇 ⑴同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 ⑵相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 【典型例题】 1．在十字路口，汽车以的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： 什么时候它们相距最远？最远距离是多少？ 追及与相遇问题 1、追及与相遇的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2、理清两大关系： 时间关系、位移关系。 3、巧用一个条件： 两者速度相等；它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 4、三种典型类型 （1）同地出发，初速度为零的匀加速直线运动A 追赶同方向的匀速直线运动B ①当 B A v v =时，A 、B 距离最大； ②当两者位移相等时， A 追上B ，且有B A v v 2= （2）异地出发，匀速直线运动B 追赶前方同方向的初速度为零的匀加速直线运动A 判断B A v v =的时刻，A 、B 的位置情况 ①若B 在A 后面，则B 永远追不上A ，此时AB 距离最小 ②若AB 在同一处，则B 恰能追上A ③若B 在A 前，则B 能追上A ，并相遇两次 （3）异地出发，匀减速直线运动A 追赶同方向匀速直线运动B ①当B A v v =时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； ②当B A v v =时，A 未追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离； ③当B A v v >时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。 5、解追及与相遇问题的思路 （1）根据对两物体的运动过程分析，画出物体运动示意图 （2）根据两物体的运动性质，（巧用“速度相等”这一条件）分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体的运动时间的关系反映在方程中 （3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程 （4）联立方程求解 注意：仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意t v -图象的应用 【典型习题】 【例1】在十字路口，汽车以0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： （1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？ （2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？ 追击和相遇问题 一、追击问题的分析方法: A. 根据追逐的两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; ? ?? ;.;.的数量关系找出两个物体在位移上间上的关系找出两个物体在运动时C B 相关量的确定 D.联立议程求解. 说明:追击问题中常用的临界条件: ⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上. 1．一车处于静止状态,车后距车S0=25处有一个人,当车以1的加速度开始起动时,人以6的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少? 答案.S 人-S 车=S 0 ∴ v 人t-at 2 /2=S0 即t 2 -12t+50=0 Δ=b 2 -4ac=122-4×50=-56<0 方程无解.人追不上车 当v 人=v 车at 时,人车距离最小 t=6/1=6s ΔS min =S 0+S 车-S 人 =25+1×62 /2-6×6=7m 2．质点乙由B 点向东以10的速度做匀速运动,同时质点甲从距乙12远处西侧A 点以4的加速度做初速度为零的匀加速直线运动.求: ⑴当甲、乙速度相等时,甲离乙多远? ⑵甲追上乙需要多长时间?此时甲通过的位移是多大? 答案.⑴v 甲=v 乙=at 时, t=2.5s ΔS=S 乙-S 甲+S AB =10×2.5-4×2.52 /2+12=24.5m ⑵S 甲=S 乙+S AB at 2/2=v 2t+S AB t 2 -5t-6=0 t=6s S 甲=at 2/2=4×62 /2=72m 3.在平直公路上,一辆摩托车从静止出发,追赶在正前方100m 处正以v 0=10m/s 的速度匀速前进的卡车.若摩托车的最大速度为v m =20m/s,现要求摩托车在120s 内追上卡车,求摩托车的加速度应满足什么 答案.摩托车 S 1=at 12 /2+v m t 2 v m =at 1=20 卡车 S 2=v o t=10t S 1=S 2+100 T=t 1+t 2 t ≤120s a ≥0.18m/s 2 专题：直线运动中的追击和相遇问题 一、相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 二、 解相遇和追击问题的关键 画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系： 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 三、追击、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解. 说明:追击问题中常用的临界条件: ⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上, 否则就不能追上. 四、典型例题分析： (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）：v 1< v 2时，两者距离变大；v 1= v 2时， 两者距离最大；v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 答案：（1） 2s 6m （2）12m/s (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x 1> x 2+Δx ，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一个步行者以6m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m 时，绿灯亮了，汽车以1m/s 2的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？ 答案：不能追上 7m (三)．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1 高中物理：运动的图象追及相遇问题练习 高考真题演练 1．(·广东理综,13) 甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动,前1小时内的位移－时间图象如图所示,下列表述正确的是() A．0.2～0.5小时内,甲的加速度比乙的大 B．0.2～0.5小时内,甲的速度比乙的大 C．0.6～0.8小时内,甲的位移比乙的小 D．0.8小时内,甲、乙骑行的路程相等 2．(2014· 2、新课标全国卷Ⅱ,14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内,它们的v t图象如图所示。在这段时间内() A．汽车甲的平均速度比乙的大 B．汽车乙的平均速度等于v1＋v2 2 C．甲、乙两汽车的位移相同 D．汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大3．(·大纲全国) 一质点沿x轴做直线运动,其v t图象如图所示。质点在t＝0时位于x＝5 m 处,开始沿x轴正向运动。当t＝8 s时,质点在x轴上的位置为() A．x＝3 m B．x＝8 m C．x＝9 m D．x＝14 m 4．(·江苏单科,5)一汽车从静止开始做匀加速直线运动,然后刹车做匀减速直线运动,直到停止。下列速度v和位移x的关系图象中,能描述该过程的是() 5．(· 广东理综,13)如图是物体做直线运动的v t图象,由图可知,该物体() A．第1 s内和第3 s内的运动方向相反 B．第3 s内和第4 s内的加速度相同 C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等 D．0～2 s和0～4 s内的平均速度大小相等 6．(·天津理综,1)质点做直线运动的速度—时间图象如图所示,该质点() A．在第1秒末速度方向发生了改变 B．在第2秒末加速度方向发生了改变 C．在前2秒内发生的位移为零 D．第3秒末和第5秒末的位置相同 7．(·福建理综,20) 一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的v t图象如图所示。 追及和相遇问题 一、解决追及和相遇问题的方法 1．如图1所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s ，同时同向开始运动，甲以初速度v 0、加速度a 1做匀加速直线运动，乙做初速度为零加速度为a 2的匀加速直线运动。假设甲能从乙旁边通过，下列情况可能发生的是 （ CD ） A 、a 1= a 2时，能相遇2次 B 、a 1＞a 2时，能相遇2次 C 、a 1＜a 2时，能相遇2次 D 、a 1＜a 2时，能相遇1次 2．质点A 自高为h 的塔顶自由下落，同时质点B 在A 的正下方从塔底以初速度v 0竖直向上抛出，不计空气阻力，则下列说法中正确的是：（ AB ） A.若V 0=gh ）（2/1，则A 、B 在地面相遇 B 、若V 0＜gh ）（2/1，则A 、B 不可能在空中相遇 C 、若gh ）（2/1＜V 0＜gh ，则A 、B 相遇时，B 在上升 D 、若V 0＞gh ）（2/1，则A 、B 相遇时，B 在下落 二、临界问题 3．车由静止开始以a=1m/s 2的加速度做匀加速直线运动，车后相距s=25m 处的人以υ=6m/s 的速度匀速运动而追车，问：人能否追上车？ 分析：应明确所谓的追及、相遇，其本质就是“不同的物体在同一时刻到达同一位置”.此例可假设经过时间t ，人恰能追上车.于是便可得到关于t 的二次方程进而求解。 解： υt= 2 1at 2 +s. 而由其判别式△=υ2－2as= －56＜0便可知：t 无实根.对应的物理意义实际上就是：人不能追上车. 4． 汽车正以10 m/s 的速度在平直公路上前进，司机突然发现在正前方s m 处有一辆自行车 以4 m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，司机立即关闭油门，汽车做a = – 6m/s 2的匀减速直线运动，若汽车刚好不碰上自行车，则s 的大小为 （ C ） A 、9.67 B 、3.33 C 、3 D 、7 5．甲，乙两部汽车以相等的速率，在同一直线上相向而行． (1)某时刻起，两车同时制动，以同样大小的加速度ａ做匀减速运动；为避免撞车，开始制动时两车之间的距离至少为：B (2)某时刻起，甲车先制动，以加速度a 做匀减速运动，当甲车停止时，乙车开始制动，以同样大小的加速度做匀减速运动，为避免撞车，甲车开始制动时两车之间的距离至少为:D Ａ．a v 22 Ｂ．２(a v 22) Ｃ．3(a v 22) Ｄ．4(a v 22 ) 三、练习题 6．摩托车的最大行驶速度为25m/s ，为使其静止开始做匀加速运动而在2min 内追上前方1000m 处以15m/s 的速度匀速行驶的卡车，摩托车至少要以多大的加速度行驶？ 解：由运动规律列出方程 a m 2υ+m υ(t －a m υ )=υt+s. 将相关数据m υ=25m/s ，t=120s ，υ=15m/s ，s=1000m 代入，便可得此例的正确结论 高中物理：《追及、相遇问题》精讲精练 【知识要点】 “追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置,常见的情形有两种： （1）初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙,一定能追上,追上 。 前有最大距离的条件：两物体速度 ,即v v 乙 甲 （2）匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时,(或匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙)存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等,从位置关系判断。 ①若甲乙速度相等时,甲的位置在乙的后方,则追不上,此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时,甲的位置在乙的前方,则追上。 ③若甲乙速度相等时,甲乙处于同一位置,则恰好追上,为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发,是否从同一地点出发。 【典型例题】 (一)．匀加速运动追匀速运动的情况： （开始时v1 （开始时v1> v2）：v1> v2时,两者距离变小；v1= v2时,①若满足x1< x2+Δx,则永远追不上, 此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx,则恰能追上,全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx, 则后者撞上前者（或超越前者）,此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红绿灯阻停的公共汽车,当它距离公共汽 车25m时,绿灯亮了,车子以1m/s2的加速度匀加速起动前进,则（） A．人能追上汽车,追车过程中共跑了36m B．人不能追上汽车,人和车最近距离为7m C．人不能追上汽车,自追车开始后人和车间距越来越大 D．人能追上汽车,追上车前人共跑了43m (三)．匀减速运动追匀速运动的情况（同上） 【例3】A、B两列火车,在同轨道上同向行驶,A车在前,其速度v A＝10 m/s,B车在后,其速度v ＝30 m/s.因大雾能见度低,B车在距A车700 m时才发现前方有A车,这时B车立即刹B 车,但B车要经过1 800 m才能停止．问A车若按原速度前进,两车是否会相撞？说明理 由． (四)．匀速运动追匀减速运动的情况： 若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。仔细审题, 充分挖掘题目中的隐含条件,同时注意v t 图象的应用。 【例4】（匀速追匀减速）如图所示,A、B两物体相距s＝7 m时,A在水平拉力和摩擦力作用下, 正以v A＝4 m/s的速度向右匀速运动,而物体B此时正以v B＝10 m/s的初速度向右匀减 速运动,加速度a＝－2 m/s2,求A追上B所经历的时 间． 初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间 基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系： 速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程 在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。 解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 基本公式有： 追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差 要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）常用公式： 行程问题基本恒等关系式：速度×时间=路程，即S=vt. 行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比； 一、追及相遇问题分析方法 1、相遇问题 相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同。具体分析方法如下： （1）列出两物体运动的位移方程，注意两个物体运动时间之间的关系。（2）利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系。 （3）寻找问题中隐含的临界条件。 （4）与追及中的解题方法相同。 例题1： 甲乙两物体相距S，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零，加速度 为a 1的匀加速直线运动，乙在后面做初速度为V ,加速度为a 2 的匀加速直线运动， 则（） A.若a 1=a 2 ，则两物体可能相遇一次 B.若a 1>a 2 ，则两物体可能相遇两次 C.若a 1a 2 ，则两物体也可能相遇一次或不相遇 例题2： 甲、乙辆汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16m/s.已知甲在紧急刹车时加速度a 1 =3m/s2,乙车紧急刹车时加速度 a 2 =4 m/s2，乙车司机的反应时间为0.5s，求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙行驶过程中至少应保持多大距离. 2、追及问题的图像关系 ①匀加速追匀速 能追上且只能相遇一次； 交点意义：速度相等，两物体相距最远） ②匀减速追匀速 当V减=V匀时，如果ΔS=S0，则恰能追上，这也是避免相撞的临界条件，只能相遇一次。 若ΔS＜S0，则不能追上（其中S0为开始时两物体的距离） 交点意义：速度相等时若未追上，则距离最近. 若ΔS＞S0能相遇两次 ③匀速追匀加速规律同上② ④匀速追匀减速规律同上① ⑤匀加速追匀减速规律同上① ⑥匀减速追匀加速规律同上② 例题3： 汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？ 此文档下载后即可编辑 追及相遇问题专题总结 一、 解相遇和追及问题的关键 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 二、追及问题中常用的临界条件: 1、速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离； 2、速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上： （1）当两者速度相等时，若追者仍没有追上被追者，则永远追不上，此时两者之间有最小距离。 （2）若两者速度相等时恰能追上，这是两者避免碰撞的临界条件。 （3）若追者追上被追者时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，即会相遇两次。 二、图像法:画出v t -图象。 1、速度小者追速度大者（一定追 上） 追击与相遇问题专项典型例题分析 (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v 时， 2 两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相 遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长 时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 【针对练习】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？ (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？ 高中物理追及、相遇模型 模型讲解： 1． 火车甲正以速度v 1向前行驶，司机突然发现前方距甲d 处有火车乙正以较小速度v 2同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动。为了使两车不相撞，加速度a 应满足什么条件？ 解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为)(21v v -、加速度为a 的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为d 。 即：d v v a ad v v 2)(2 )(02 212 21-=-=--，， 故不相撞的条件为d v v a 2)(2 21-≥ 2． 甲、乙两物体相距s ，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v 1，加速度大小为a 1。乙物体在后，初速度为v 2，加速度大小为a 2且知v 1 追及相遇专题练习 1．如图所示是A、B两物体从同一地点出发，沿相同的方向做直线运动的v－t图象，由图象可知( ) A．A比B早出发5 s B．第15 s末A、B速度相等 C．前15 s内A的位移比B的位移大50 m D．第20 s末A、B位移之差为25 m 2．a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图像如图所示，下列说法正确的是( ) A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度 υ/(m·s?1) B．20秒时，a、b两物体相距最远 C．60秒时，物体a在物体b的前方 D．40秒时，a、b两物体速度相等，相距200 m 3.公共汽车从车站开出以4 m/s的速度沿平直公路行驶，2 s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2 m/s2，试问： （1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？ （2）摩托车追上汽车时，离出发处多远？ （3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？ 4.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（） A.A车在加速过程中与B 车相遇 B.A、B 相遇时速度相同 C.相遇时A 车做匀速运动 D.两车不可能再次相遇 5.同一直线上的A、B两质点，相距s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为v的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动.若A在B前，两者可相遇几次？若B在A前，两者最多可相遇几次？ 6.一列货车以28.8 km/h的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面600 m处有一列快车以72 km/h 的速度向它靠近.快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000 m才停止.试判断两车是否会相碰. 7．一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？ 8.A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度v A=4 m/s,B车的速度v B=10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，B车以a=2 m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是多少？ 9.从同一地点以30 m/s的速度先后竖直上抛两个物体，抛出时间相差2 s,不计空气阻力，两物体将在何处何时相遇？ 10.汽车正以10 m/s的速度在平直公路上匀速直线运动，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度同方向做匀速直线运动，汽车立即关闭油门，做加速度为6 m/s2 的匀减速运动，求汽车开始减速时，他们间距离为多大时恰好不相撞？ 追及和相遇问题 注意“两个关系”和“一个条件”，“两个关系”即时间关系和位移关系；“一个条件”即两者速度相等， 它往往是物体间能否追上或两物体距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点. 一、匀速追匀加速： 1. 如图（甲）所示，A车原来临时停在一水平路面上，B 车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动 A车，以A车司机发现B车为计时起点（t=0）, A B两车的v-t图象如图（乙）所示?已知B车在第1s 内与A车的距离缩短了x i=12mo （1）求B车运动的速度V B和A车的加速度a的大小. （2）若A B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t=0）两车的距离s o应满足什么条件？ 2. 一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m时，绿灯亮了，汽车以1m/s2的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多 少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？ 二、匀速追匀减速：（刹车要计算静止，比较一下静止时是否追上，用静止的时间算） 1. 当汽车B在汽车A前方7m时,A正以v a =4m/s的速度向前做匀速直线运动，而汽车B此时速度V b=10m/s, 并关闭油门向前做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2。此时开始计时，则A追上B需要的时间是多少？ 2. 甲、乙两车在同一条平直公路上运动，甲车以10 m/s的速度匀速行驶，经过车站A时关闭油门以4m/s2 的加速度匀减速前进，2s后乙车与甲车同方向以1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速 运动，问乙车出发后多少时间追上甲车？ 相遇追及问题 一、考点、热点回顾 一、追及问题 1.速度小者追速度大者 类型图象说明 匀加速追匀速①t＝t０以前，后面物体 与前面物体间距离增大 ②t=ｔ0时，两物体相距 最远为x0+Δx ③t=t０以后,后面物体与 前面物体间距离减小匀速追匀减速 ④能追及且只能相遇一 次 匀加速追匀减速 2.速度大者追速度小者 度大者追速度小者 匀减速追匀速开始追及时，后面物体与 前面物体间的距离在减小,当 两物体速度相等时,即ｔ=t0 时刻： ①若Δx=x0，则恰能追 及,两物体只能相遇一次,这 也是避免相撞的临界条件匀速追匀加速 ②若Δx 追及相遇问题专题总结 一、 解相遇和追及问题的关键 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 二、追及问题中常用的临界条件: 1、速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离； 2、速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上： （1）当两者速度相等时，若追者仍没有追上被追者，则永远追不上，此时两者之间有最小距离。 （2）若两者速度相等时恰能追上，这是两者避免碰撞的临界条件。 （3）若追者追上被追者时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，即会相遇两次。 二、图像法:画出v t -图象。 1、速度小者追速度大者（一定追上） 追击与相遇问题专项典型例题分析 (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时， 两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 【针对练习】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？ (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？ 例2中若汽车在自行车前方4m的地方，则自行车能否追上汽车？若能，两车经多长时间相遇？ 相遇和追及问题 【要点梳理】 要点一、机动车的行驶安全问题： 1、反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。 2、反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度v匀速行驶的距离。 3、刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。 4、停车距离与安全距离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离 共同决定。安全距离大于一定情况下的停车距离。 要点二、追及与相遇问题的概述 1、追及问题的两类情况 (1)速度小者追速度大者 (2)速度大者追速度小者 说明: ①表中的Δx是开始追及以 后,后面物体因速度大而比 前面物体多运动的位移； ②x0是开始追及以前两物 体之间的距离； ③t2-t0=t0-t1； ④v1是前面物体的速度,v2 是后面物体的速度. 特点归类： (1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度． (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近． 2、 相遇问题的常见情况 (1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题. (2) 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了. 【典型例题】 类型一、机动车的行驶安全问题 例1、为了安全，在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速为v=120km/h 。假设前方车辆突然停止运动，后面汽车的司机从眼睛发现这一情况，经过大脑反应，指挥手、脚操纵汽车刹车，到汽车真正开始减速，所经历的时间需要0.50s （即反应时间），刹车时汽车所受阻力是车重的0.40倍，为了避免发生追尾事故，在该高速公路上行驶的汽车之间至少应保留多大的距离？ 【答案】156m 【解析】v 120km /h 33.3m /s == 匀减速过程的加速度大小为2a kmg /m 4m /s ==。匀速阶段的位移11s vt 16.7m ==, 减速阶段的位移22s v /2a 139m ==，所以两车至少相距12s s s 156m =+=。 【点评】刹车问题实际上是匀变速直线运动的有关规律在减速情况下的具体应用，要解决此类问题，首先要搞清楚在反应时间里汽车仍然做匀速直线；其次也要清楚汽车做减速运动，加速度为负值；最后要注意单位统一。 举一反三 【变式】酒后驾车严重威胁交通安全．其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动的时间)变长，造成制动距离(从发现情况到汽车停止的距离)变长，假定汽车以108 km/h 的速度匀速行驶，刹车时汽车的加速度大小为8 m/s 2 ，正常人的反应时间为0.5 s ，饮酒人的反应时间为1.5 s ，试问： (1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？ (2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？ 【答案】 (1)30 m (2)5.25 s 【解析】 (1)汽车匀速行驶v ＝108 km/h ＝30 m/s 正常情况下刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间的运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时 多Δs ，反应时间分别为120.5 s 1.5 s t t ＝、＝则21()s v t t ?＝－代入数据得30 m s ?＝ (2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间3(0)/t v a ＝－解得3 3.75 s t ＝ 所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间23t t t ＝＋解得 5.25 s t ＝高一物理相遇和追及问题(含详解)
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