高等数学应用案例
案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变
一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为
y x y x f 2),(= （件）
现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？
解：现在产品产量为(16,32)8192f =件，保持这种产量的函数曲线为8192),(=y x f 。对于任一给定值x ，每增加一名技术工人时y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dx
dy 。而由隐函数存在定理，可得 y
f
x f
dx dy ????= 所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为
x
y y
f x f
dx dy 2-=????= 当16,32x y ==时，可得4-=dx
dy 。 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。
下面给出一个初等数学解法。令
c ：每天可生产的产品产量；
0x ；技术工人数；
0y ；非技术工人数；
x ?；技术工人增加人数；
y ?；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。
由已知列方程：
（1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c ，则有方程：
c y x =?020 （1）
（2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y y ?+0）名，
且每天的产品产量为c ，则有方程：
c y y x x =?+??+)()(020 （2）
联立方程组（1）、（2），消去c 得：
)(020020y y x x y x ?+??+=?）（
即 []
002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y ?????????????
????? ???+--=200111x x y 代入x y x ?,,00，得：46.3-≈-≈?y 名，即减少4名非技术工人。
比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式：
∑∞=--???? ???-+???? ???-?=???? ???+-110120020)1(32111n n n x x n x x x x x x
从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷
小：
0)x ( )1(31
04120→????? ???-+???? ???--∞=-∑n n n x x n x x （3） 而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小（3），所以计算较容易。
案例2、征税的学问
工厂想赚钱，政府要收税，一个怎样的税率才能使双方都受益？这是一个具有现实意义的问题。假设工厂以追求最大利润为目标而控制它的产量q ，政府对其产品征税的税率(单位产品的税收金额)为t ，我们的任务是，确定一个适当的税率，使征税收益达到最大。
现已知工厂的总收益函数和总成本函数分别为R=R(q)、C=C(q)。由于每单位产品要纳税t ，故平均成本要增加t ，从而纳税后的总成本函数是
tq q C C t +=)(
利润函数是
tq q C q R q C q R L t t --=-=)()()()(
令 0=dq
dL t ，有 t dq
dC dq R +=d （1） 这就是在纳税的情况下获得最大利润的必要条件。
政府征税得到的总收益是
tq T = （2）
显然，总收益T 不仅与产量q 有关，而且与税率f 有关。当税率t=0(免税)时，T=0；随着单位产品税率的增加，产品的价格也会提高，需求量就会降低，当税率f 增大到使产品失去市场时，有q=0，从而也有T=0。因此，为了使征税收益最大，就必须恰当地选取t 。我们利用一元函数极值的有关知识来解决本问题，下面看一个实例。
例1： 厂商的总收益函数和总成本函数分别为
22,33022++=-=q q C q q R 。
厂商追求最大利润，政府对产品征税，求
1)征税收益的最大值及此时的税率t ；
2)厂商纳税前后的最大利润及价格．
解： 1)由纳税后获得最大利润的必要条件(1)，得
t q q ++=-22630
故 )28(8
1t q t -=
根据实际问题的判断，t q 就是纳税后厂商获得最大利润的产出水
平。于是，这时的征税收益函数
)28(8
12t t tq T t -== 要使税收T 取最大值，令0=dt
dT ，得 0)228(8
1=-t ，即t=14 根据实际问题可以断定必有最大值，现在0=dt
dT 只有一个根，所以当t=14时，T 的值最大。这时的产出水平75.1)1428(81=-=t q ，最大征税收益为
5.2475.114=?==t tq T
2)容易算得纳税前，当产出水平q=时，可获得最大利润L=47，此时价格p =；将q t =，t =14代入纳税后的利润函数
2)28(4)()(2--+-=-=q t q q C q R L t t
得最大利润L=，此时产品价格
75.175.1)330()
(==-==q q q q q R p =
可见，因产品纳税，产出水平由下降到；价格由上升到，最大利润由47下降到。
案例3、隧道的车流量问题
巴巴拉(Barbara)接受了纽约市隧道管理局的一份工作，她的第一项任务就是决定每辆汽车以多大速度通过隧道可使车流量最大。通过大量的观察，她找到了一个很好的描述平均车速(km/h)与车流量(辆／秒)关系的函数：
1.3122
6.135)(2
++=v v v v f (a)问平均车速多大时，车流量最大？
(b)最大流量是多少？
解：(a)这是一个极值的问题：
2
22)22
1.316.1()116.1(35)221.316.1(35v v v v v v dv df +++-++= 令0=dv
df ，即)/(15.262.6842h km v v ==得 由实际问题知，当v=26.15km ／h 时，车流量最大。
(b)最大车流量是f =(辆／秒)
案例4、、核废料的处理问题
以前，美国原子能委员会将放射性核废料装在密封的圆桶里扔到水深约91米的海里。生态学家和科学家耽心这种做法不安全而提出疑问。原子能委员会向他们保证，圆桶决不会破漏。经过周密的试验，证明圆桶的密封性是很好的。但工程师们又问：圆桶是否会因与海底碰撞而发生破裂？原子能委员会说：决不会。但工程师们不放心。他们进行了大量的实验后发现：当圆桶的速度超过每秒米时，圆桶会因碰撞而破裂。那末圆桶到达海底时的速度到底是多少呢？它会因碰撞而破裂吗？下面是具体而真实的数据，你能根据它们解决这个问题吗？
圆桶的重量W=239.456 kg
海水浮力为1025.94kg ／m 3
圆桶的体积V=0.208m 3
圆桶下沉时的阻力：工程师们做了大量牵引试验后得出结论：这个阻力与圆桶的方位大致无关，而与下沉的速度成正比，比例系数k=。
解：建立坐标系，设海平面为x 轴，y 轴的方向向下为正。由牛
顿第二定律F=ma ，其中m 为圆桶质量，22dt
y d a ，F 为作用在圆桶上的力：它由圆桶的重量W ，海水作用在圆桶上的浮力B=×V=(kg)及圆桶下沉时的阻力D=kv==dt
dy 。 (其中v 为下沉速度)合成。即F=w-B-D=W-B-kv ，这样就得到一个二阶微分方程
?????????====?--=0)0(0
)0(0
22v dt dy y dt y d m dt dy k B W t (1) 此微分方程是)(y f y '=''型的。解此方程： 由于dt
dy v =，则dt dv dt y d =22代人（1）得到一个一阶可分离变量的方程 ?????==--0
)0(v dt dv m kv B W 解得， )1()(t m k
e k B W t v ---= 至此，数学问题似乎有了结果，得到了速度与时间的表达式，但实际问题远没有解决。因为圆桶到达海底所需的时间t 并不知道，因而也就无法算出速度。这样，上述的表达式就没有实际意义。有人会说，虽然无法算出精确值但我们可以估计当+∞→t 时，k B W t v -→
)(。因而圆桶到达海底的速度不会超过k
B W -。这个说法是对的，但可惜s m k
B W /2.217=-，它太大了，毫无用处。这样，方程(1)就需要用其它方法来解。)(y f y '=''型方程的另一种解法是：令dy
dv v dt y d v dt dy ?==22,，方程(1)也化为一个一阶可分离变量的方程
????
?????==--=0)0(0
)0(y v kv
B W dy dv mv （2） 解之，dy m
dv kv B W v 1=--
得 C kv B W k B W v k y m +-----=)ln(112
由初始条件得
)ln(2B W k
B W
C --= 所以
求当y=91(米)时，v=？似乎这个v 值也无法求得，但我们用近似方法例如牛顿法迭代可求出v 的近似值。
牛顿法介绍：若已知方程g(v)=0，求v 用迭代法：
Λ,2,1,0,)
()(1='-=+n v g v g v v n n n n 在这里，(3)式可写成
0ln 12=??
? ??----++B W kv B W k B W k v y m 取 ??
? ??----++=B W kv B W k B W v y m k v g ln )( ??
? ??----++??=B W kv B W k B W v W y a k ln 其中a=9.8m/s 2，记447.0=??=W y a k d 。167.217=-=k
B W b ，于是 ??
? ??-++=b v b v d v g 1ln )( v b v b v b b v g --=--
?+='11
1)( 迭代格式为：
)
()(1n n n n v g v g v v '-=+
?????
???? ??-+-+=????????? ??-+-+?-+=?????
???? ??-++-+=b v b d v v b b b v b d v v b v v v b v b v b v d v v b v n n n
n n n n n n n n n n
n n 1ln 1ln 1ln （4） 选择一个好的初始值0v ，就能很快算出结果。求0v 的粗略近似值：从
(2)中令k=0(即下沉时不计阻力)得C y B W mv +-=)(2
12由初始条件得C=0。s m y m B W v /93.1322≈?-=∴ 以0v =代入（4）得
1113.64057.v v =把代入(4)
有 2213.632728.v v =把代入(4)
Λ63728.133=v 这就够了，不用再迭代了。
s m s m v /2.12/64.13>=，因此这种处理核废料的方法是不安全的。
案例5、大气污染指数的影响因素
一个城市的大气污染指数P 取决于两个因素，空气中固体废物的数量x 和空气中有害气体的数量y ，在某种情况下2242xh xy x P ++=。 试说明),(),(,b a b a y P x P ????的意义，并计算)
5,10()5,10(,y P x P ????当x 增长10％或y 增长10％时，用偏导数估算P 的改变量。
解：)
,(b a x P ??的意义：如果空气中有害气体的数量y 为一常数b ，空气中固体废物的数量x 是变化的，那么当x=a 有一个单位的改变时，大气污染指数P 大约改变
),(b a x P ??个单位． 同样地，可以说明)
,(b a y P ??的意义． xy x y
P y y x x P 82,4222+=??++=?? 1301001020)
5,10(=++=??x P 42040020)
5,10(=+=??y P
设空气中有害气体的量y=5，且固定不变，当空气中固体废物的量x=10时，P 对x 的变化率等于130．当x 增长10％，即x 从10到11，P 将增长大约130×1=130个单位(事实上，P(10，5)=1200，P(11，
5)=1331，P 增长了131个单位)。
同样地，设空气中固体废物的量x=10且固定不变，当空气中有害气体的量y=5时，P 对Y 的变化率等于420．当Y 增长10％，即Y
从5到5．5，增长0．5个单位时，P大约增长420×=210个单位(事实上，P(10，5)=1200，P(10，=1420，P增长了220个单位)。
因此，大气污染指数对有害气体增长10％比对固体废物增长10％更为敏感。
案例6、为什么不宜制造太大的核弹头
核弹在与它的爆炸量(系指核裂变或聚变时释放出的能量，通常用相当于多少千吨T ．N ．T 炸药的爆炸威力来度量)的立方根成正比的距离内会产生每平方厘米千克的超压，这种距离算作有效距离。若记有效距离为D ，爆炸量为x ，则二者的函数关系为
3
1
Cx D = 其中C 是比例常数。又知当x 是100千吨(T ．N ．T 当量)时，有效距离D 为3．2186千米．于是 =31100?C
即 6934.01002186.331≈=
C
所以
这样，当爆炸量增至10倍(变成1 00()千吨=百万吨)时，有效距离增至
）（）（km 934.610006934.031
=? 差不多仅为100千吨时的2倍，说明其作用范围(2D π)并没因爆炸量的大幅度增加而显着增加。
下面再来研究爆炸量与相对效率的关系(这里相对效率的含义是，核弹的爆炸量每增加1千吨T ．N ．T 当量时有效距离的增量)。
由 32
322311.06934.031--=??=x x dx dD 知 x x D ??≈?-3
22311.0
若 1,100=?=x x ，则
)(7.10)(0107.0)1000(2311.032
m km D =≈≈?-
这就是说，对100千吨(10万吨级)爆炸量的核弹来说，爆炸量每增加1千吨，有效距离差不多增加10.7米；
若1,100=?=x x ，则
)(3.2)(0023.0)1000(2311.032m km D =≈≈?-
即对百万吨级的核弹来说，每增加l 千吨的爆炸量，有效距离差不多仅增加2.3米，相对效率是下降的。
可见，除了制造、运载、投放等技术因素外，无论从作用范围还是从相对效率来说，都不宜制造当量级太大的核弹头。事实上，1945年二战中美国投放在日本广岛、长崎的原子弹，其爆炸量为20千吨，有效距离为千米。