傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶级数通俗解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 ,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足 如果是复数集，那么正交条件是 为函数的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设，,把代入(1)得 当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 再证两个都是正弦的情况 设，,把代入(1)得
当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设，,把代入(1)得 = = =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设，,则把代入(2)得 当n时，根据欧拉公式
= =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时， =1 (n,m=1,2,3,…,n) 所以，复指数函数集也是正交函数集。因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。 明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。 把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是 其中，…是我们所熟悉的函数， 比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。我们的任务就是求出所分解出来的函数，以及前方的系数n，然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有3条轴，3条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴，又不能准确地表达立体空间上所有的点，所以3条就是完备的。对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元素的函数就可以表达清楚。再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函数之乘积的积分为0，正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。 既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集，那么用其中的一种函数集都可以表达周期信号。 用复指数函数集来表示一个复杂信号： = 其中，(n=1,2,3,…,n)。 用三角函数集表示一个复杂信号：
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 Heinrich · 6 个月前 作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生
上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ——————————————以上是定场诗—————————————— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。 一、什么是频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？
傅里叶级数（Fourier Series ） 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为 角频率，?为初相。 但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波） ；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。 为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 （1） 函数)(x f 须为周期函数； （2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点） （3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{ }1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[ ] ,ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数 一．填空题 1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为 ???????<<=<≤--=ππππ x x x x f 0,2 ,0,0,0,2 )(，则)(x f 的傅里叶系数=n a . 2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数 ()=++∑∞ =1 sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设, 0(),0,0 x x f x x ππ≤≤?=? -≤
第八节 傅里叶级数 内容分布图示 ★ 引 言 ★ 引 例 ★ 三角函数系的正交性 ★ 傅里叶级数的概念 ★ 狄利克雷收敛定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 非周期函数的周期延拓 ★ 例4 ★ 利用傅氏展开式求数项级数的和 ★ 正弦级数与余弦级数 ★ 例5 ★ 例6 ★ 函数的奇延拓与偶延拓 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题11-8 ★ 返回 讲解注意： 一、三角级数 三角函数系的正交性 早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T )/2(ωπ=的函数)(t f ，都可用一系列以T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即 ∑∞ =++=1 0)sin()(n n n t n A A t f ?ω (8.1) 其中n n A A ?,,0),3,2,1( =n 都是常数. 十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果. 二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 ?????? ?====??--).,3,2,1(,sin )(1 ),,2,1,0(,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππ ππππ (8.5) 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 ∑∞=++1 )sin cos (2n n n nx b nx a a (8.6)
第十五章 傅里叶级数 §1 傅里叶级数 教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求 (1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数． (2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议 (1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展 开的方法与步骤． 教学程序 一、 Fourier 级数的定义 背景： ⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频 T 1 ( ωπ2=T ) . 倍频. ⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . ⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础. （一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其
中 01 ()a f x dx π π π- = ?，1 ()cos ,1,2,n a f x nxdx n π ππ - ==?L ， 1 ()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ - = =?L 称为()f x 的 Fourier 系数，记为0 1 ()~ (cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞ =++1 0) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明 1）在未讨论收敛性，证明01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑一致收敛到()f x 之前， 不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只 须求出Fourier 系数. 例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为 1,0()0,0x f x x π π≤≤?=? -<
傅立叶级数表达形式与性质 程栋材 PB07210245 周期函数是定义在(-∞,∞)区间，每隔一定时间T ，按相同规律重复变化的函数, 一般表示为: ?? ? ± ± =+=,2,1,0)()(m mT t f t f （3-12） 式中，T 为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为 T f 1 = 或角频率 f T ππ 22== Ω 对于非正弦周期函数，根据定理3-1，可以用在区间),(00T t t +内完备的正交函数集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。 一. 三角函数表示式 由上节讨论可知，三角函数集),2,1,0,}(sin ,{cos ???=ΩΩm n t m t n 在区间),(00T t t +内为完备正交函数集。根据定理3-1，对于周期为T 的一类函数中任一个函数)(t f 都可以精确地表示为}sin ,{cos t m t n ΩΩ的线性组合，即对于 )()(nT t f t f += 有 )sin cos (2)(1 t n b t n a a t f n n n Ω+Ω+=∑ ∞ = (3-13) 由式(3-10)，得
14)-(3 2)(2sin )(2cos )(22 /2/02 /2 /2/2 /??????? ???? =Ω=Ω=Ω= ???---T dt t f T a tdt n t f T b tdt n t f T a T T T T n T T n π 式(3-13)称为周期信号)(t f 的三角型傅里叶级数展开式。 若将式(3-13)中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即 ∑ ∞ =+Ω+=1 )cos()(n n n t n A A t f ? (3-15) 比较式(3-13)和式(3-15)，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =-==-=+=2sin cos arctan 0 02 2a A A b A a a b b a A n n n n n n n n n n n n ???（3-16） 式(3-15)称为周期信号)(t f 的余弦型傅里叶级数展开式。 式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中，2/0a 是直流成分； t a Ωcos 1,t b Ωsin 1称为基波分量， T π 2= Ω为基波频率；t n a n Ωcos ,t n b n Ωsin 称n 次谐波分量。直流分量的大小，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号)(t f 的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅n a ,n b ,n A 和相位n ?都是Ωn 的函数，并有：
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 φ1t,φ2t,…,φn t构成一个函数集，若这些函数在区间t1,t2上满足 φi tφj t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(1) 如果是复数集，那么正交条件是 φi tφj?t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(2) φj?t为函数φj t的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设φn t=cos nωt，φm t=cos mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt cos mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt+cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω +sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 再证两个都是正弦的情况 设φn t=sin nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=sin nωt sin mωt dt t0+T t0 当n≠m时
=1 2 cos n+mωt?cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω ?sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设φn t=cos nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt sin mωt dt t0+T t0 =1 2 sin n+mωt?sin n?mωt t0+T t0 dt =1 2 ?cos n+mωt (n+m)ω +cos n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设φn t=?jnωt，φm t=?jmωt,则φj?t=??jmωt把φn t，φj?t代入(2)得 φi tφj?t t0+T t0dt=?jnωt t0+T t0 ??jmωt dt =?j(n?m)ωt t0+T t0 dt 当n≠m时，根据欧拉公式 =cos n?mωt+j sin?(n?m)ωt t0+T t0 dt =sin n?mωt n?mω?j cos?(n?m)ωt n?mωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m)
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x L L 线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，
第十五章 傅里叶级数 3收敛定理的证明 预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则 2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数. 证：令S m (x)=2a 0+∑=+m 1 n n n sinnx )b cosnx (a ，则 ? π π-2m (x )]S -[f(x )dx=?ππ -2(x )f dx-2?ππ -m (x )f(x )S dx+?π π -2m (x )S dx. 其中 ?π π -m (x )f(x )S dx=?π π-0 f(x)2 a dx+dx cosnx f(x )a m 1 n π π-n ∑?= ??+????sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m 1 n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性，有 ?π π-2 m (x )S dx=?∑?? ????++=π π-2 m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =??? ? ??π π-2 02a dx+?∑??=??????+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴?π π-2 m (x )]S -[f(x )dx=?π π-2 (x )f dx-2 πa -2π∑∞ =1n 2n 2n )b +(a +20a 2π+π∑=m 1n 2 n 2n ) b +(a =?π π-2 (x )f dx-???20a 2π+π???∑=m 1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m 1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx 对任何正整数m 都成立. 又 ?ππ-2(x)f π 1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞ =1n 2 n 2n )b +(a 的部分和数列有界， ∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx. 推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则
傅里叶级数 诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。 1.什么是投影 我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？ 我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是(u-cv)T v=0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。 （1） 2.向量在一组正交基上的展开
在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式 （2） 从图上来看，(2)式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以(2)式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式： （3） 3.傅里叶级数的几何意义 现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间 (,)-∞∞ ，每隔一定时间 T ，按相同 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 t ()t f 1 1 -T 2 /T 0 周期信号的特点： （1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时 间范围为(,)-∞∞ （2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 ()f t 可以写成
0()() n f t f t nT ∞ =-∞ = -∑ （3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 ()()()a T b T T a b f t dt f t dt f t dt ++= =? ? ? 1. 三角形式的傅立叶级数 周期信号 f t () ，周期为1T ，角频率 11122T f π πω= = 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 []∑∞ =++ =++++++++=1 1 1 011121211110)sin()cos(...)sin()cos(... )2sin()2cos()sin()cos()(n n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 式中各正、余弦函数的系数 n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。 傅立叶系数公式如下
9.5 傅里叶级数 9.5.1 三角级数 三角函数系的正交性 在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数)sin(?ω+=t A y 是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为角频率,?为初相.周期为 ω π 2.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角 函数组成的级数.具体的说,希望将以?? ? ? ?= ωπ2T 的周期函数)(t f 表示为 ∑∞ =++ =1 0),sin()(n n n t n A A t f ?ω (1) 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数. 在利用三角恒等式,变形为 ∑∞ =++ =1 0);sin cos cos sin ()(n n n n n t n A t n A A t f ω?ω? 令 x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00,则得到级数 ∑∞ =++ 1 0).sin cos (2 n n n nx b nx a a (2) 称(2)式的级数为三角级数,其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 称三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x (3) 在区间],[ππ-上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间 ],[ππ-上的积分等于零,即 ?- ==π π),3,2,1(0cos n nxdx , ?- ==π π),3,2,1(0 sin n nxdx , ?- ==π π),3,2,1,(0cos sin n k nxdx kx , ?- ≠==π π),,3,2,1,(0 cos cos n k n k nxdx kx ,
第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数
傅里叶级数 一：指数形式 给定一个周期为T的函数f(t)，那么它可以表示为无穷级数： f(t)=∑ k=-∞+∞a k *e ik(2∏/T)t（i为虚数单位）（1） ak=(1/∏)∫ 02∏f(t)*e-ik(2∏/T)t d t 二：正弦形式 1：在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成 f(t)=A0+∑n=1+∞A n sin(nωt+Φ) =A0+∑n=1+∞a n cos(nωt)+b n sin(nωt) （根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ) 其中A n sin(nωt+Φ)=a n cos(nωt)+b n sin(nωt) 是n阶谐波, 我们称上式右端的级数是由f(t) 所确定的傅里叶级数 2：三角函数正交性 设c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三角函数是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有
利用积化和差的三角公式容易证明 还有 我们考察三角函数系 其中每一个函数在长为的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零，而每个函数自身平方的积分非零。我们称这个函数系在长为的区间上具有正交性。
三：傅里叶级数 设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f(x)=(a0/2)+Σk=1+∞a k cos(kx)+b k sin(kx),现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a0,a k,b k (k=1,2....n)与f(x) 的关系。将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分，右边级数可以逐项积分，由(1)得到 又设n是任一正整数，对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分，由假定，右边可以逐项积分，由(1)和(2)(3) ，得到 即： 同样可得：
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应
用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o ) (t f 连续或只有有限个第一类间断 点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 ) sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2=， ) ,2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ) ,3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θ θθ sin cos j e j +=，（1）式 化为 ∑∞=--? ? ? ???-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1