《矩阵与数值分析》教学大纲
开课院系：数学科学学院课程编号：2120020013
英文名称：Matrix and Numerical Analysis开课学期：秋
任课教师：张宏伟金光日李崇君董波孟兆良
教学对象：硕士适合专业：工科各专业
课程作用与任务：《矩阵与数值分析》课程是为工科硕士研究生开设的公共基础课程。课程主要讲授当前科学与工程计算中所涉及的微积分、常微分方程、代数和矩阵计算等内容中数值问题的算法、理论分析等内容。通过本课程的教学，应使学生掌握计算机现代数值方法的基本概念、基本理论与基本方法，为今后的学习、工作打下坚实基础。
教学主要内容及对学生的要求：
1、学习内容：主要涉及当前科学与工程计算中所涉及的微积分、常微分方程、代数和矩阵计算等内容中数值问题的算法及相关理论。
2、实验内容：对课程中所涉及的计算方法进行数值实验（不占教学课时）。
3、先修知识：线性代数，微积分。
考核方式：考试、闭卷
教材名称：计算机科学计算（第二版），张宏伟，金光日，施吉林高等教育出版社，2012.主要参考书目：主要参考书目：科学和工程计算基础，施妙根等编，清华大学出版社，1999
矩阵论简明教程，徐仲等，科学出版社，2001．
教学日历：
编制人签字：张宏伟（课程负责人）、金光日一级学科点长签字：主管研究生负责人签字：编制时间：2012-5-31
《数值分析课程设计》教学大纲 课程编号：1512110303 课程名称： 数值分析课程设计 周数/学分：3/3 先修课程：《数值分析》 适用专业： 信息与计算科学 开课教研室：应用数学教研室 一、目的与要求： 《数值分析课程设计》是实践性教学内容之一，是《数值分析》课程的辅助教学过程，是信息与计算科学专业的必修课。通过设计，使学生深化对所学理论知识的理解，掌握数值计算方法的程序设计能力，初步具备解决实际数值计算问题的能力。 二、课程设计内容： 1．掌握数值分析的基本内容。误差的基本概念，插值与拟合，数值积分，线性代数方程组的解法，非线性方程求根，常微分方程初值问题的数值解法。 2．对每部分内容设计一定难度的问题，要求学生对问题进行分析，确定解决方案。 3．进行模拟与仿真，进行结果分析，编写课程设计报告 三、课程设计步骤与方法 1．教师向学生讲解课程设计目的和要求，补充相关基本知识，布置课程设计任务。 2．学生查找资料，编程、调试程序。本步骤是课程设计的核心内容之一，要求学生分析算法，写出相应程序，并对结果进行解释 3．撰写课程设计报告。 四、课程设计的基本要求 1．算法说明正确无误，图表符合技术规范要求。 2．毎生一台计算机，要求学生使用Matlab软件或Mathematica软件编写相关程序。 3．按要求完成一篇的课程设计报告。 4．课程设计的方式：以集中学习为主；独立完成课程设计阶段规定的全部工作任务。 五、课程设计进度表 序号 内 容 所用时间 1 教师讲解，布置任务 1天 2 学生编写程序并撰写设计报告 11天
3 教师反馈意见，学生修改设计报告 3天 合计 15天 六、课程设计考核方式 平时设计环节中的表现占总成绩30％，课程设计报告和软件运行情况占总成绩70％。 执笔：赵国喜 审定：朱耀生 梁桂珍
实验报告 插值法 数学实验室 数值逼近 算法设计 级 ____________________________ 号 ____________________________ 名 _____________________________ 实验项目名称 实验室 所属课程名称 实验类型 实验日期
实验概述： 【实验目的及要求】 本次实验的目的是熟练《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，掌握三种插 多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值，并比较三种插值方法的 优劣。 本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并 去实现。 【实验原理】 《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值， 拉格朗日 插值的相应算法和相关性质。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A 笔记本电脑 操作系统： Win dows 8专业版 处理器：In tel ( R Core ( TM i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用 MATLA B 现; 第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计 MATLA 程序，利用程序算出 问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。 实验一： 已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式 P 4（ x ）及三次样条函数 S （ x ）（自然边界条件）对数据进行插值。 用图给出{（ X i , y i ）, X i =0.2+0.08i , i=0 , 1, 11, 10 } , P 4 （ x ）及 S （ x ）。 值方法：牛顿 在MATLAB 件中
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。
（5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。
数学与计算科学学院实验报告 实验项目名称常微分方程数值解 所属课程名称数值方法B 实验类型验证 实验日期 2013.11.11 班级 学号 姓名 成绩
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 注：以下图形是通过Excel 表格处理数据得出，并未通过MATLAB 编程序所得！ 1、1(0)1dy y x dx y ?=-++???=? 由题可知精确解为：x y x e -=+，当x=0时，y(x)=0。 h=0.1 表1 h=0.1时三个方法与精确值的真值表 图1 h=0.1时三个方法走势图 步长 Euler 法 预估校正法 经典四阶库 精确值 0.1 1.010000 1.005000 1.004838 1.249080 0.2 1.029000 1.019025 1.018731 1.055455 0.3 1.056100 1.041218 1.040818 1.091217 0.4 1.090490 1.070802 1.070320 1.131803 0.5 1.131441 1.107076 1.106531 1.176851 0.6 1.178297 1.149404 1.148812 1.226025 0.7 1.230467 1.197211 1.196586 1.279016 0.8 1.287421 1.249975 1.249329 1.335536 0.9 1.348678 1.307228 1.306570 1.395322 1.0 1.413811 1.368541 1.367880 1.458127
h=0.05（此时将源程序中i的围进行扩大，即for(i=0;i<20;i++)） 表2 h=0.05时三个方法与精确值的真值表步长Euler法预估校正法经典四阶库精确值 0.05 1.002500 1.001250 1.001229 1.011721 0.10 1.007375 1.004877 1.004837 1.024908 0.15 1.014506 1.010764 1.010708 1.039504 0.20 1.023781 1.018802 1.018731 1.055455 0.25 1.035092 1.028885 1.028801 1.072710 0.30 1.048337 1.040915 1.040818 1.091217 0.35 1.063421 1.054795 1.054688 1.110931 0.40 1.080250 1.070436 1.070320 1.131801 0.45 1.098737 1.087752 1.087628 1.153791 0.50 1.118800 1.106662 1.106531 1.176851 0.55 1.140360 1.127087 1.126950 1.200942 0.60 1.163342 1.148954 1.148812 1.226025 0.65 1.187675 1.172193 1.172046 1.252062 0.70 1.213291 1.196736 1.196585 1.279016 0.75 1.240127 1.222520 1.222367 1.306852 0.80 1.268121 1.249485 1.249329 1.335536 0.85 1.297215 1.277572 1.277415 1.365037 0.90 1.327354 1.306728 1.306570 1.395322 0.95 1.358486 1.336900 1.336741 1.426362 1.00 1.390562 1.368039 1.367880 1.458127 图2 h=0.05时三个方法走势图
数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收
敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);
《安全工程数值分析》课程教学大纲 课程编号: 适用专业: 建筑安全工程专业 计划学时: 40学时计划学分: 2.0学分 一．本课程的性质和任务 安全工程数值分析是高等工科院校安全工程专业的一门重要专业选修课，并在许多领域中有着广泛的应用。本课程的任务是使学生熟悉用于数值分析的数学和力学基础知识，初步掌握利用计算机技术分析和解决工程问题的基本数值原理和方法，为学习以后专业课程创造条件。 二、课程内容及基本要求 第一章绪论 了解数课程的任务及学习方法 第二章计算机数学语言概述——MatLab 2.1 数学问题计算机求解概述 2.1.1 学习计算技术学语言的目的 2.1.2 数学问题的解析解与数值解 2.1.3 软件包的作用 2.1.4 MatLab语言的优势 2.2 MatLab语言程序设计基础 2.2.1 MatLab语言程序设计基础 2.2.2 基本数学运算 2.2.3 MatLab语言流程控制 2.2.4 MatLab函数的编写 2.2.5 二维图形绘制 2.2.6 三维图形绘制 第三章数值分析引论 3.1 数值算法的研究对象 3.1.1 了解计算方法基本理念 3.1.2 了解数值算法的特点
3.1.3 了解三类计算机算法的定义 3.2 误差分析的概念 3.2.1 了解误差和有效数字的关系 3.2.2 了解截断误差与收敛性的关系 3.2.3 了解舍入误差与数值稳定性的关系 3.2.4 了解数据误差与病态问题的关系 3.3 数值算法设计的要点 了解数值算法设计的要点 第四章数值代数 4.1 Gauss消去法 4.2 直接三角分解法 4.3 范数和误差分析 第五章插值法 5.1 Lagrange插值法 5.1.1 基本理论 5.1.2 Lagrange插值法在结构力学中的应用 5.2 Hermite插值法 5.2.1 基本理论 5.2.2 Hermite插值法在结构力学中的应用 第六章拟合 6.1 基本概念 6.2 最佳平方逼近 6.3 最小二乘法 第七章位移法 7.1 基本理论 7.2 实例分析 第八章有限单元法基本知识 8.1 变分原理 8.2 虚位移原理 8.3 势能原理 8.4 弹性力学基本方程 第九章结构有限单元法 9.1 平面拉压杆单元的有限单元分析 9.2 平面梁单元的有限单元分析 9.3 常应变三角形单元 9.4 矩形双线性单元 9.5 有限元分析应注意的问题和结果整理 三、使用大纲说明
学生实验报告实验课程名称 开课实验室 学院年级专业班 学生姓名学号 开课时间至学年学期
if(A(m,k)~=0) if(m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); %换行 end A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c); %消去end end x=zeros(length(b),1); %回代求解 x(n)=A(n,c)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end y=x; format short;%设置为默认格式显示,显示5位 （2）建立MATLAB界面 利用MA TLAB的GUI建立如下界面求解线性方程组： 详见程序。 五、计算实例、数据、结果、分析 下面我们对以上的结果进行测试，求解：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 7 2 5 10 13 9 14 4 4 3 2 1 13 12 4 3 3 10 2 4 3 2 1 x x x x 输入数据后点击和，得到如下结果： 更改以上数据进行测试，求解如下方程组： 1 2 3 4 43211 34321 23431 12341 x x x x ?? ???? ?? ???? ?? ???? = ?? ???? - ?? ???? - ???? ?? 得到如下结果：
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p Λ 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a Λ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a Λ 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots +
研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础
第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。
机电工程学院 机械工程 陈星星 6720150109 《数值分析》课程设计实验报告 实验一 函数插值方法 一、问题提出 对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。 数据如下： （1 求五次Lagrange 多项式5L ()x ，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈） 实验步骤： 第一步：先在matlab 中定义lagran 的M 文件为拉格朗日函数 代码为： function[c,l]=lagran(x,y) w=length(x); n=w-1; l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if(k~=j) v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end l(k,:)=v; end c=y*l; end
第二步：然后在matlab命令窗口输入： >>>> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382]; >>p = lagran(x,y) 回车得到： P = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 由此得出所求拉格朗日多项式为 p（x）=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.9718x-15.0845 第三步：在编辑窗口输入如下命令： >> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05]; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.0845; >> plot(x,y) 命令执行后得到如下图所示图形，然后 >> x=0.596; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.084 y =0.6257 得到f（0.596）=0.6257 同理得到f（0.99）=1.0542
实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5);
n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169
偏微分方程数值解 一．教学目的 大量科学技术问题的数值计算都归结为偏微分方程的数值解法，应用数学专业计算方向的学生应该掌握偏微分方程数值解的基本知识和方法，重点介绍当今流行的偏微分方程数值解的两类主要方法，即有限差分法和有限元法。二．教学内容及学时分配 总学时为48学时 1、抛物型方程的有限差分法(9学时) 差分逼近的基本概念，抛物型方程的几种古典差分格式，差分格式的收敛性和稳定性概念， Lax等价性定理，研究稳定性的直接法和分离变量法，变系数方程与非线性方程的差分方法，多维问题交替方向法及分裂格式。 2、双曲型方程的差分方法(9学时) 一阶线性双曲型方程(组)的差分格式及稳定性分析，二阶线性双曲型方程的差分方法，拟线性双曲型方程(组)特征差分格式，守恒型方程的差分方法。 3、椭圆型方程差分方法(6学时) 二维poisson方程差分方程的建立，极坐标系下的差分格式，边界条件的处理，极值原理及先验估计，差分格式的收敛性。 4、变分原理与广义解(7学时) 引言，泛函的变分与泛函的极值，两点边值问题的变分原理，二阶椭圆边值问题的变分原理，Sobo1ev空间简介与微分方程广义解，古典Ritz—Galerkin 方法。 5、有限元离散方法(7学时) 两点边值问题的有限元法，二维边值问题的有限元法，有限元法解题的一般步骤。 6、形状函数与有限元空间(6学时) 一维高次元，二维矩形剖分的形状函数，三角形单元的形状函数，等参数单元，三维情形。 7、有限元解的收敛性与误差估计(4学时) Sobolev空间中的插值理论，有限元方法的收敛性与误差估计。 三.教学对象及先修课程
本课程为计算数学方向本科生 先修课程：数学分析，高等代数，数理方程，数值分析，泛函分析四．教材及主要参考书 偏微分方程数值解，陆金甫，关浩，清华大学出版社，1987 微分方程数值方法，胡建伟，胡建伟，科学出版社，1999
数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科
如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以
《计算方法》课程教学大纲 课程编号： 学时：54 学分：3 适用对象：教育技术学专业 先修课程：高等数学、线性代数 考核方式：本课程考试以笔试为主70%，兼顾学生的平时成绩30%。 使用教材及主要参考书： 使用教材： 李庆扬.《数值分析(第四版)》, 清华大学出版,2014年。 主要参考书： 1.朱建新,李有法.《高等学校教材:数值计算方法(第3版)》,高等教育出版社,2012。 2.徐萃薇,孙绳武.《计算方法引论(第4版)》,高等教育出版社,2015。 一课程的性质和任务 计算方法是教育技术学专业学生的一门专业选修课。作为计算数学的一个重要分支，它是数学科学与计算机技术结合的一门应用性很强的学科，本课程重点介绍计算机上常用的基本计算方法的原理和使用；同时对计算方法作适当的分析。 教学任务：通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理计算机常用数值分析的构造思想和计算方法。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识分析和解决实际问题的能力。 二教学目的与要求 教学目的：通过学习使学生了解数值计算方法的基本原理。了解计算机与数学结合的作用及课程的应用性。为今后使用计算机解决实际问题中的数值计算问题打下基础。 通过理论教学达到如下基本要求。 1．了解误差的概念 2．掌握常用的解非线性方程根的方法 3．熟练掌握线性代数方法组的解法 4．熟练掌握插值与拟合的常用方法 5．掌握数值积分方法 6．了解常微分方程初值问题的数值方法 三学时分配
四教学中应注意的问题 本课程是一门理论性较强、内容较抽象的综合课程，因此面授辅导或自学，将是不可缺少的辅助教学手段，教师在教学的过程中一定要注意理论结合实际，课堂教学并辅助上机实验，必须通过做练习题和上机实践来加深对概念的理解和掌握，熟悉公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。同时应注重面授辅导或答疑，及时解答学生的疑难问题。 五教学内容 第一章绪论（误差） 基本内容: 第一节数值分析研究的对象和特点 第二节数值计算的误差 1.误差的来源与分类 2.误差与有效数字 3.数值运算的误差估计 第三节误差的定性分析与避免误差的危害 1.病态问题与条件数 2.算法的数值稳定性 3.避免误差危害的若干原则 教学重点难点: 重点：数值运算的误差估计。 难点：误差的定性分析与避免误差的危害。
《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：0811010001 课程学时：54学时 课程学分：3 适用专业：控制理论与控制工程、计算机软件与理论 课程性质：专业基础课 先修课程：《高等数学》、《线性代数》 大纲执笔人： 编写时间：2009年8月 一、课程性质、地位和作用 《数值分析》是计算机软件与理论、控制理论与控制工程专业的一门重要专业方向课，属必修课。其任务在于研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论，是程序设计和对数值结果进行分析的依据。本课程理论严谨，实用性强。为学生毕业后从事科学计算等相关行业的工作提供一定的基础。 二、课程教学对象、目的和要求 本课程适用于计算机软件与理论、控制理论与控制工程等相关硕士研究生专业。 课程教学目的和要求： 1、从内容上，以现代化的计算机和数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。要求学生牢固掌握数学分析、高等代数等基础数学中常用的、行之有效的数值计算方法。 2、从能力方面，要求学生掌握从实际问题出发，建立数学模型，将数学模型问题转换成数值问题，进而研究求解数值问题的数值方法，并设计出相应的数值算法。 3、从教学方法上，注重理论联系实际，做到重概念，重方法，重应用，重能力的培养。 三、课程内容及学时分配 总学时：54学时
（一）误差：3学时 1.1 误差的来源与分类 1.2 误差与有效数字 1.3 函数的误差估计 1.4 近似数的四则运算及数值计算中需注意的几个问题 要求学生了解数值计算方法的对象和特点。理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念及其对数值计算的影响。掌握绝对误差、相对误差和有效数字的计算方法。 （二）非线性方程求根（3学时） 2.1 二分法（分半法） 2.2 迭代法 2.3 牛顿法 2.4 牛顿法的改进 2.5 迭代法的收敛阶 2.6 劈因子法 要求学生了解二分法的基本思想，会用二分法求根，并估计误差。理解迭代法的基本思想、能熟练地建立迭代公式，并判断其收敛性。熟练掌握Newton 迭代法的原理及计算。 （三）线性代数方程组的直接法（6学时） 3.1 高斯消元法 3.2 三角分解法 要求学生了解Gauss消去法原理。掌握道立特（Doolittle）分解法和科路特（Cholesky）分解法求解方程组。 （四）解线性方程组的迭代法（6学时） 4.1 向量和矩阵的范数 4.2 线性方程组的误差分析 4.3 雅可比（Jacobi）方法和高斯赛德尔（Gauss-Seidel）方法
实验名称：Lagrange插值（实验一） 实验目的： 掌握Lagrange插值数值算法，能够根据给定的函数值表达求出插值多项式和函数在某一点的近似值。实验准备： 1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容； 2.需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有数学软件的计算机。 实验内容及要求 已知数据如下： 要求： 试用Lagrange插值多项式求0.5626,0.5635,0.5645 x 时的函数近似值． 实验过程： 编写Matlab函数M文件Lagrange如下： function yy=lagrange(x,y,xi) m=length(x); n=length(y); if m~=n,error('向量x与y的长度必须一致');end for k=1:length(xi) s=0; for i=1:m z=1; for j=1:n if j~=i z=z*(xi(k)-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=s+z*y(i); end yy=s end 在命令窗口调用函数M文件lagrange，输出结果如下： >>x=[0.56160, 0.56280, 0.56401, 0.56521]; >>y=[0.82741, 0.82659, 0.82577, 0.82495]; >>xi=[0.5626, 0.5635, 0.5645]; >>yi= lagrange (x,y,xi)
yi= 0.8628 0.8261 0.8254 实验总结（由学生填写）： 教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）： 实验名称：曲线拟合的最小二乘方法（实验二） 实验目的： 掌握最小二乘方法，并能根据给定数据求其最小二乘一次或二次多项式，然后进行曲线拟合。实验准备： 1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；
数值计算方法教学大纲(本) 本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。 一、课程计划 课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method 课程定位：数学基础课 开课单位：理学院 课程类型：专业选修课 开设学期：第七学期 讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时 学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时 适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生 教学方式：讲授（多媒体为主）+上机 考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10% 学分：3学分 与其它课程的联系 预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。 后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。 二、课程介绍 数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。 数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。