勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米
为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>
中考数学勾股定理知识点总结及答案 一、选择题 1．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA； ④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判 断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 3．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 4．如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（） A．16 B．15 C．12 D．10 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为
（ ） A ．5cm B ．10cm C ．14cm D ．20cm 6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13 7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点 C ．AC 的中点 D ．C ∠的平分线与AB 的交点 8．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 9．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于 PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ） A ．5 B ．51- C ．51+ D ．51-+ 10．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）
初中数学勾股定理拔高综合训练 一．选择题（共15小题） 1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 2．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（） A．4 B．8 C．16 D．32 4．分别以下列四组数为一个三角形的边长①6，8，10②5，12，13 ③8，15，16④4，5，6，其中能构成直角三角形的有（） A．①④B．②③C．①②D．②④
5．如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（） A．13 B．19 C．25 D．169 6．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO=7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（） A．4米 B．大于4米C．小于4米D．无法计算 7．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或D．60cm 8．如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
初中数学勾股定理知识点总结及答案 一、选择题 1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论： ①BD =CE ， ②BD ⊥CE ， ③∠ACE +∠DBC=30°， ④( )2 22 2BE AD AB =+． 其中，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．在ABC ?中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =， 则BC 的长为（ ） A ．4或14 B ．10或14 C ．14 D ．10 3．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ? ∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 4．如图，等边ABC ?的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ?沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ?外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A ．1cm B ．1.5cm C ．2cm D ．3cm 5．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（ ） A ．10 B ．410 C ．13 D ．213 6．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ） A ．①④⑤ B ．③④⑤ C ．①③④ D ．①②③ 7．在ΔABC 中,211 a b c =+,则∠A( ) A ．一定是锐角 B ．一定是直角 C ．一定是钝角 D ．非上述答案 8．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ） A ．49 B ．25 C ．12 D ．10 9．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( ) A ．36 B ．9 C ．6 D ．18
2018中考数学勾股定理 一．选择题（共7小题） 1．（2018?滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为=5． 故选：A． 2．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） A．B．C．D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=， 解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A． 3．（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，
第十七章勾股定理 一、单选题 1．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（） A．5B．7C．5D．5或7 2．下列各组数为勾股数的是（） A．7，12，13B．3，4，7C．3，4，6D．8，15，17 3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为() A．4B．8C．16D．64 4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（） A．-2B．﹣1+2C．﹣1-2D．1-2 5．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm△ ，则ABC的面积是（） A．24cm2B．30cm2C．40cm2D．48cm2 6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前的高度是（）
A ．5m B ．12m C ．13m D ．18m 7．如图，圆柱底面半径为 4 cm ，高为 18cm ，点 A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A 、 B 在同一母线上，用一根棉线从 A 点顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B 点，则这根棉线的长度最 短为（ ） A ．24cm B ．30cm C ．2 21 cm D ．4 97 cm 8△．若 ABC 的三边长分别为 a 、b 、c 且满足（a+b ）（a 2+b 2﹣c 2）＝0△，则 ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角 三角形 9．一架 25 分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7 分米.如果梯子的 顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑动( )
中考数学勾股定理(讲义及答案)及答案 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（） A．B． C． D． 2．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（） A．B． C．D． 3．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 a上找一点M，在直线b上找一点N，满足 线b的距离为3，AB30 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（）
A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 4．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ） A ．49 B ．25 C ．12 D ．10 5．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( ) A ．3 B ．5 C ．4.2 D ．4 6．如图，分别以直角ABC ?三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1 S =（ ） A ．9 B ．5 C ．53 D ．45 7．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
初二数学上册教案模板勾股定理（2课时） 一、教学目标及重点 1、教学目标 （1）经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，通过自主学习体验获取数学知识的感受，培养学生的思维能力和语言表达能力。 （2）运用勾股定理解决实际问题。 （3）了解有关勾股定理的历史，通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。 2、教学重点：勾股定理及其应用。 3、教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，了解数学发展史，激发学习兴趣，对学生进行德育教育。 二、探索发现：（在教师的引领下，小组合作，探索学习） 通过此案例引出：勾股定理（商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理）的渊源。 三、知识透析： 1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，
那么： 即：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 2.注意：（1）勾股定理的条件是：只有在直角三角形中才使用；（2）勾股定理的变形：222a =-b c ；222b =-a c 3.勾股定理验证方法：（教师引导学生通过面积计算，实现勾股定理证明） （1）赵爽证明： （2）伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析： 题型1：勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中，，、、所对的边分别是a 、b 、c 。 （1）当a=3，b=4,则c= （2）若a=5，b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则底边上的高为？（ ）
（随堂练习：教材3页1、2） 题型2：勾股定理验证 例3.请您用下图验证勾股定理 例4.教材5页第三问 （随堂练习：教材6页中间） 题型3：勾股定理应用 例5.有两棵树，一棵高10米，另一棵高4m，两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）（2013安顺中考） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 注：将应用题转化构造为直角三角形 例6.教材5页例题
2019版七年级数学上册第三章勾股定理单元练习五鲁教版五四制1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，则点C到AB的距离是（） A．B．12 C．9 D． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=（） A．2 B．4 C．6 D．10 3．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（） A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，M，N是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，下列结论： ①AM=CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM2+BN2=MN2；④MN平分∠CND． 其中正确的是（） A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④ 5．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=0 45，AB=3，CD=1，则BC的长为（） 90，∠A=0
A ． 3 B ．2 C ． 21+ D ．23- 6．以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A ．a=3，b=5，c=7 B ．a=2，b=2，c= C ．a= ，b=，c= D ．a=，b=，c= 7．如图，Rt△ABC 中，BC=2，AC=2 ，则AB 长为（ ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．4 8．如图，一架长为10m 的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6m ，如果梯子的顶端下滑了2m ，那么梯子底部在水平方向滑动了（ ） A ．2m B ．2.5m C ．3m D ．3.5m 9．以下列各组数为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．24，10，26 B ．5，3，4 C ．60，11，61 D ．5，6，9 10．下列命题： ①如果a ，b ，c 为一组勾股数，那么a 4，b 4，c 4仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；
2021中考复习数学考点专项训练——专题十八：勾股定理 一、填空题 1．直角三角形的两边长为3，5，且第三边是整数，则第三边的长度为______． 2. 一艘轮船以海里∕小时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一轮船以海里∕小时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距________． 3. 若三角形的边长分别为、、，则它的最长边上的高为________． 4. 像、、这样的正整数符合，又如、、符合，这样的数组我们叫做勾股数． （1）有一组数是勾股数，两个较小的数为和，则第三个数为________． （2）下列数组中勾股数有________． ①，，；②，，；③，，；④，， 组组组组． 5. 一个圆桶儿，底面直径为，高为，有一只小虫从底部点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是取________． 6. 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子顶端沿着墙下滑米，那么梯足也向外平移________米． 7. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行
且，木块的正视图是边长为 米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是________ 米．（精确到 米） 8．如上图，在 中， ，将 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，若AC=6，BC=8， 则线段CD 的长为______． 9．如图，在 中，点、、分别在、、上，且，，， ， ，则 ______度． 10.如图，一圆柱高 8 cm ，底面半径 2 cm ，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程(π取 3)是 . 二、选择题 1. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+ b 1=h 1 D. 21a +2 1b = 2 1h
一、选择题 1．如图，等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE ＝90°，连接DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③CD +CE ＝2FA ；④AD 2+BE 2＝DE 2．其中错误结论的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ） A ．29cm B ．5cm C ．37cm D ．4.5cm 3．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2 (1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ） A ．5 B ．35 C ．332+ D ．213 5．如图，在等腰三角形ABC 中，AC=BC=5，AB=8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF= （ ） A ．5 B ．8 C ．13 D ．4．8
6．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作 半圆（以 为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．6 7．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( ) A ．3 B ．5 C ．4.2 D ．4 8．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 9．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ） A ．h≤15cm B ．h≥8cm C ．8cm≤h≤17cm D ．7cm≤h≤16cm 10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=?， 10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ） A ．3尺 B ．4.2尺 C ．5尺 D ．4尺 二、填空题 11．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是
直角三角形与勾股定理 一.选择题 1. （2015辽宁大连，8，3分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，点D 在BC 上，∠ADC =2∠B ,AD =5,则BC 的长为（ ） A .3－1 B .3+1 C .5－1 D .5+1 【答案】D 【解析】解：在△ADC 中，∠C =90°，AC =2，所以CD = ()12 52 2 22=-= -AC AD , 因为∠ADC =2∠B ，∠ADC =∠B +∠BAD ,所以∠B =∠BAD ,所以BD =AD =5,所以 BC =5+1，故选D . 2.（2015?四川南充,第9题3分）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对 角线AC 长和BD 长之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1: （D ）1: 【答案】D 【解析】 试题分析：设AC 与BD 的交点为O ，根据周长可得AB =BC =2，根据AE =可得BE =1，则△ABC 为等边三角形，则AC =2，BO =，即BD =2 ，即AC :BD =1： . 考点：菱形的性质、直角三角形.
3．（2015?四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A．13cm B．261cm C．61cm D．234cm 考点：平面展开－最短路径问题．. 分析：将容器侧面展开，建立A关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A′B的长 度即为所求． 解答：解：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A ′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B= = =13（Cm）． 故选：A． 点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定 理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 4. （2015?浙江滨州,第10题3分）如图，在直角的内部有一滑动杆.当端点沿直 线向下滑动时，端点会随之自动地沿直线向左滑动.如果滑动杆从图中处滑动 到处，那么滑动杆的中点所经过的路径是( ) A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 图5
中考数学勾股定理知识点-+典型题及答案 一、选择题 1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ． A ．25 B ．20 C ．24 D ．105 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是 A ．13 B ．225+ C ．47 D ．13 4．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观 察图案.下列关系式中不正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm ，高是20 cm ，那么所需彩带最短的是( )
A ．13 cm B ．4cm C ．4cm D ．52 cm 6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13 7．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( ) A ．3 B ．5 C ．4.2 D ．4 8．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ） A ．7 B ． 254 C ．6 D ． 112 9．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A ．5 B 7 C ．57 D ．3或4 10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25 B ． 111,4,5222 C ．3,4,5 D ．114,7 ,822 二、填空题 11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32AB 的长为__________．
(1) S长=ab (2)S正=aa (3)S三=ah÷2 (4)S平=ah (5)S梯=(a+b)h÷2 (6)S圆=3.14rr (7)C长=(a+b)×2 (8)C正=4a (9)C圆=3.14d或2×3.14×r (10)V长=abh (11)V立=aaa (12)V圆柱=Sh或3.14×r×r×h (13)V圆锥=Sh÷3 (14)S圆柱的侧面积=Ch (15)加法交换律：a+b=b+a (16)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) (17)乘法交换律：a×b=b×a (18)乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) (19)乘法分配律：ac＋bc=(a+b)×c (20)减法的性质：a-b-c=a-(b+c) (21)图上距离：实际距离=比例尺 (22)3.14×2=6.28 (23) 3.14×3=9.42 (24) 3.14×4=12.56 (25) 3.14×5=15.7 (26) 3.14×6=18.84 (27) 3.14×7=21.98 (28) 3.14×8=25.12 (29) 3.14×9=28.26 (30) 3.14×15=706.5 (31) 3.14×16=50.24 (32) 3.14×25=78.5 (33) 3.14×36=113.04
(2) 常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
一、选择题 1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中 116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）． A ．86 B ．61 C ．54 D ．48 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ） A ．47 B ．62 C ．79 D ．98 4．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 12；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1
且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( ) A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．9，7，12 B ．2，3，4 C ．1，2，3 D ．5，11，12 6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A ．30,40,60 B ．7,12,13 C ．6,8,10 D ．3,4,6 7．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ? ∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①1 2 CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ） A ．①②③ B ．②③⑤ C ．①⑤ D ．③④ 8．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，B C '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ） A ．3 B ． 154 C ．5 D ． 152 9．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ?∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ， C 为圆心，大于 1 2 AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）
聚智堂学科教师辅导讲义 年级：课时数：学科教师： 学员姓名：辅导科目：数学辅导时间： 课题勾股定理 教学目的 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形。 3、满足2 2 2c b a= +的三个正整数，称为勾股数。 教学内容 一、日校回顾 二、知识回顾 1. 勾股定理 如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积＝B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 2 2 2c b a= + 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明： （1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。
（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下， 直角三角形中，a ，b 是直角边，c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况。 （3）除了利用a ，b ，c 表示三边的关系外，还应会利用AB ，BC ，CA 表示三边的关系，在△ABC 中，∠B ＝90°，利 用勾股定理有2 2 2 AC BC AB =+。 2. 利用勾股定理的变式进行计算 由2 2 2 c b a =+，可推出如下变形公式： （1）2 2 2 b c a -=； （2）2 2 2 a c b -= （3）22b c a -= （4）22a c b -= （5）22b a c += （平方根将在下一章学到） 说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。 三、知识梳理 1、勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2 c 与2 2 b a +是否具有相等关系 （3） 若2 c =2 2 b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2 c ≠2 2 b a + 则△ABC 不是直角三角形。
2020年中考数学复习解答题专题练 勾股定理 1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，求点D到BC的距离. 2. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求PD+PE的长. 3. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，求AP的长.
4. 如图为一个棱长为1的正方体的展开图，A，B，C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________. 5.如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，求AE的长. 6. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5. (1)求DB的长. (2)在△ABC中，求BC边上高的长.
7. 如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断三角形的形状. 8. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. 9. 已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长.
10. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A 开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少？ 11如图，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠ABC= 90°，求∠DAB的度数. 12.在三角形ABC中，D为BC的中点，AB等于5，AD等于6，AC等于13，试判断AD与AB的位置关系.
一、选择题 1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论： ①BD =CE ， ②BD ⊥CE ， ③∠ACE +∠DBC=30°， ④( )2 22 2BE AD AB =+． 其中，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ? ∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 3．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ） A ．47 B ．62 C ．79 D ．98
4．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ） A ．32 B ．213 C ．5 D ．6 5．已知，等边三角形ΔABC 中，边长为2，则面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 6．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ） A ．3 B ．5 C ．4.2 D ．4 7．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ） A ．9 B ．10 C ．326+ D ．12 8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形 B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形 C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形 D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90° 9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=?， 10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）