一元二次不等式知识点归纳

一元二次不等式知识点归纳

解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0）

② 计算判别式，分析不等式的解的情况：

ⅰ. >0时，求根<，

ⅱ. =0时，求根＝＝，

ⅲ. <0时，方程无解，

③ 写出解集。

【典型例题】

例1. 解不等式

（1）（2）

（3）

解：（1）因为。所以，原不等式的解集是。

（2）因为。

所以，原不等式的解集是。

（3）整理，得。

因为无实数解，

所以不等式的解集是。

从而，原不等式的解集是。

例2. 解关于x的不等式

分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。

解：

（1）当有两个不相等的实根。

所以不等式的解集是：

（2）当有两个相等的实根，

所以不等式，即；

（3）当无实根

所以不等式解集为。

例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。

解：∵

（∵4x2+6x+3恒正），

∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。

∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01

∴k的取值范围是（1，3）。

小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分

例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。

分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。

解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，

即

a<－。

∴a的取值范围是a∈（－，－）。

说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。（想想为什么？）

例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。

（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。

（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。

命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题。

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。

解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得

∴。

（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组

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