含指数的函数（如y = e x +ax +b ，及y = (ax 2 + bx + c )e x ）
一、课前准备： 【自主梳理】
1． 曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处切线方程为 ． 2．'()x e = ；'()x a = . 3．①求导数的四则运算法则：
'
(()())f x g x ±= .'
(()())f x g x = .
'
()()f x g x ??
= ???
(()
0)
g x ≠. 【自我检测】
1. 函数x y x ln 22-=的导函数为 .
2. 函数x xe y =的导函数为 .
3. 函数()x
e
f x x
=
的导函数为 .
4. 曲线x y e =在0x =处的切线方程 .
5. 直线12
y x b =
+为函数x
y e =的切线方程，则切点坐标为 .
6.函数()x
f x e =的递增区间为 . 7. 函数()x
f x e x =-的递减区间为 . 8.函数ex e y x
-=的极值为 . （说明：以上内容学生自主完成） 二、课堂活动： 【例1】填空题：
（1）曲线x
x y 3?=在点P (1,3)处的切线方程方程为 .
（2）曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 . （3）函数()x y x k e =-的单调递增区间为 .
（4）设函数2
()1x
e
f x ax
=
+当43
a =
时，()f x 的极值点为 .
【例2】已知函数()e 1x f x ax =+-(a ∈R ，且a 为常数)．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a <时，若方程()0f x =只有一解，求a 的值； （3）若对所有0x ≥都有()()f x f x -≥，求a 的取值范围．
【例3】 已知函数2()(2),x f x ax x e =-其中a 为常数，且0a ≥。
(I)当1a =时，求函数()f x 的极值点；
(II)若函数()f x 在区间(2,2)内单调递减，求a 的取值范围。
课堂小结
三、课后作业 1．函数x
x
e
e y -+=的导函数为 .
2．函数??? ?
?
+=x x e y x 1ln 的导函数为 .
3．直线y kx =是曲线x y e =的一条切线，则k 的值为 . 4．曲线12++?=x e x y x
在点(0,1)处的切线方程为 . 5．已知点P 在曲线1
1+=x
e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围
为 .
6.函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间为 .
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________.
8.设P: 2()ln 21x f x e x x m x =++++在(0,)+∞内单调递增，q: 5m ≥，则p 是q 的 （填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件其中之一） 9．设函数f(x)=21x e x ax ---.
（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;
（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.
10．已知函数2()(33)x f x x x e =-+?定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.
（1）试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； （2）求证:n m >；
（3）求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足
0'
2
0()2(1)3
x f x t e
=
-,并确定这样
的0x 的个数. 四、纠错分析
错题卡
题 号 错 题 原 因 分 析
参考答案：
【自我检测】 1. 2'2ln 2x
y x
=-
.2. '(1)x
y e x =+.3. 2
(1)
'()x
e x
f x x
-=
.4. 1y x =+.5. 11ln
,22?
?
??
?
. 6. (,)-∞+∞.7. (,0)-∞.8. 0y =. 【例1】
(1).() 31ln 33ln 30x y +--=. (2). 2
12e
.(3) .() 1,k -+∞
(4) 132
x =
是极小值点，212
x =
是极大值点．
【例2】（1）()x f x e a '=+，
当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数． 当0a <时，
由()0f x '>，得ln()x a >-，()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调增函数； 由()0f x '<，得ln()x a <-，()f x 在(,ln())a -∞-上是单调减函数． 综上，0a ≥时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞．
0a <时，()f x 的单调增区间是(ln(),)a -+∞，单调减区间是(,ln())a -∞-.
（2）由（1）知，当0a <，ln()x a =-时，()f x 最小，即m in ()(ln())f x f a =-， 由方程()0f x =只有一解，得(ln())0f a -=，又考虑到(0)0f =， 所以ln()0a -=，解得1a =-． （3）当0x ≥时，()()f x f x -≥恒成立，
即得x x e ax e ax -+-≥恒成立，即得20x x e e ax --+≥恒成立， 令()2x
x
h x e e
ax -=-+（0x ≥），即当0x ≥时，()0h x ≥恒成立．
又()2x x
h x e e
a -'=++，且()2222x x h x e e a a -'?+=+≥，当0x =时等号成立．
①当1a >-时，()0h x '>，
所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立． ②当1a =-时，若0x =，()0h x '=， 若0x >，()0h x '>，
所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立． ③当1a <-时，方程()0h x '=的正根为2
1ln(1)x a a =-+
-，
此时，若1(0)x x ∈，，则()0h x '<，故()h x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0h x h <=，与0x ≥时，()0h x ≥恒成立矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是[1,)-+∞．
【例3】解：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x
f x x '=-，
令()0f x '=，得2x =±，
()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：
x
(,2)-∞-
2
-
(2,2)
-
2
(2,)+∞
()f x ' －
+
－
()f x
极小值
极大值
由上表可知，2x =-是函数()f x 的极小值点，2x =是函数()f x 的极大值点.
（Ⅱ） 22()[(22)2]e ax
f x ax a x a '=-+-+,
由函数()f x 在区间(2,2)上单调递减可知：()0f x '≤对任意(2,2)x ∈恒成立， 当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意(2,2)x ∈恒成立；
当0a >时，()0f x '≤等价于22
(22)20ax a x a ---≥，
因为(2,2)x ∈，不等式22
(22)20ax a x a ---≥等价于2
222a x x
a
--≥
,
令2(),[2,2]g x x x x
=-
∈，
则2
2()1g x x
'=+
，在[2,2]上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在[2,2]单调递增，
所以()g x 在[2,2]上的最小值为(2)0g =，
由于()0f x '≤对任意(2,2)x ∈恒成立等价于2
222a x x a
--≥对任意(2,2)x ∈恒成立，
需且只需2
m in 22()a g x a
-≥
，即2
220a a
-≥
，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤.
综合上述，若函数()f x 在区间(2,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤. 课后作业
1. x x e e y --='.
2. 2
21'(ln )x
y e x x
x
=+
-
.3. k e =.4. 13+=x y .5. ??
?
???ππ,43. 6. ),2(+∞.7. 1
1()2
e e -+.8. 必要不充分条件.
9.解：（I ）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =- 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x > 故()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增 （II ）'()12x f x e ax =--
由（I ）可知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，故'()2(12)f x x ax a x ≥-=- ∴当120a -≥，即12
a ≤
时，'()0(0)f x x ≥≥，(0)0f =
∴当0x ≥时，()0f x ≥由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x
e x x ->-≠
则当12
a >
时，'()12(1)(1)(2)x x
x
x x
f x e a e
e
e e a --<-+-=--
∴当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =
∴当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x < 综上得a 的取值范围为1
(,]2
-∞
10. 解: (Ⅰ)因为2()(33)(23)(1)x x x
f x x x e x e x x e '=-+?+-?=-?
由()010f x x x '>?><或；由()001f x x '
增,在(0,1)上递减 ,欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤
(Ⅱ)证明:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e 又2
13(2)f e e
-=
<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f -
从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <
（Ⅲ）证:因为
'
2
00
0()x f x x x e
=-,
'
2
0()2(1)3
x f x t e
=
- 即为2
2
002(1)3x x t -=
-,
令2
2
2()(1)3
g x x x t =---,从而问题转化为证明方程2
2
2()(1)3
g x x x t =--
-=0
在(2,)t -上有解,并讨论解的个数 因2
22(2)6(1)(2)(4)3
3
g t t t -=-
-=-
+-,2
21()(1)(1)(2)(1)3
3
g t t t t t t =--
-=
+-,
所以 ①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -?<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解 ②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于2
2(0)(1)03
g t =--<,
所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解
③当1t =时,2
()001g x x x x x =-=?==或,所以()0g x =在(2,)t -上有仅有一解；
当4t =时,2
()6023g x x x x x =--=?=-=或,
所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解
综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足
0'
2
0()2(1)3
x f x t e
=
-,
且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意； 当14t <<时,有两个0x 适合题意