命题与证明
1、如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，3AB =，4AC =，将ABC △沿直线BC 向
右平移 2.5个单位得到DEF △，连结AD AE ，，则下列结论：①AD BE
∥，②A B E D E F ∠=∠，③ED AC ⊥，④ADE △为等腰三角形，正确．．
的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
答案：D
2、如图，在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E 、F 分别在线段AB 、CD 上），记它们的面积 分别为ABCD S 和BFDE S . 现给出下列命题：
①若
22
ABCD BFDE S S +=
，则tan EDF ∠=；②若2
·DE BD EF =，则DF ＝2AD . 那么，下面判断正确的是（ ）
A ．①是真命题，②是真命题
B ．①是真命题，②是假命题
C ．①是假命题，②是真命题
D ．①假真命题，②假真命题
答案：A
3、数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
A ．代入法
B ．换元法
C ．数形结合
D ．分类讨论 答案： C
4.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个
第10题图
答案：B
二、解答题
1、已知二次函数25y x kx k =-+-．
⑴求证：无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点； ⑵若此二次函数图像的对称轴为1x =，求它的解析式；
答案（1）证明：令y =0, 则
052
=-+-k kx x , ∵△=
)5(42
--k k =2042
+-k k
=16)2(2
+-k
∵
2
)2(-k ≥0, ∴
16)2(2
+-k ＞0
∴无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点. -------------4分 (2).∵对称轴为x =12
2==--
k
k ， ∴k =2 ∴解析式为322
--=x x y ---------7分
：
2、（本题满分10分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC =∠ADC =90°，则该损矩形的直径是线段 ． （2）在线段AC 上确定一点P ，使损矩形的四个顶点都在以P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不
要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB ＝3，BD
＝BC 的长．
答案：（1）该损矩形的直径是线段AC ……1分
（2）取AC 中点O ，以O 为圆心、
1
2
AC 为半径作圆……3分 E
F
D
A
（3）正方形
理由：构造⊙O ，使点A 、B 、C 、D 都在圆上 ∵∠ABC ＝90°且BD 平分∠ABC ∴∠1=∠CBD ＝∠ABD ＝45° 又∵菱形ACEF
∴AE 平分∠CAF ∴∠CAF ＝90° ∴菱形ACEF 是正方形……7分 过点A 作AG ⊥BD 于G BC =5……10分
3、在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°
＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ．
（1）如图（1），当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ．
证明：△A ′CD 是等边三角形；
（2）如图（2），连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △ACA ′ 和S △BCB ′．求证：S △ACA ′ ：S △BCB ′ =1：3；
图 1
A
θ A ′
B ′
B
C
A
B
C
D
图
1
答案：（1）∵AB ∥CB ′，∴∠B =∠BC B ′=30°，∴∠A ′CD =60°， 又∵∠A ′=60°，∴∠A ′CD =∠A ′=∠A ′DC =60°， ∴△A ′CD 是等边三角形；…………4分 （2）∵AC =A ′C ，BC =B ′C ，∴ C
B'C
A'=BC AC 又∵∠ACA ′=∠BCB ′，
∴△ACA ′∽△BCB ′，…………6分 ∵
3
3
30t =
= an BC AC 相似比为3:1， ∴S △ACA ′ ：S △BCB ′ =1：3；…………8分
解2：选择结论② …………1分
证法1：∵BC ∥EF
∴∠ABC ＝∠E …………3分 ∵∠A+∠C+∠ABC ＝180°,∠EDF+∠F+∠E ＝180°,∠C ＝∠F
∴∠A ＝∠EDF …………7分 ∴ AC ∥DF …………8分
证法2:与解法1同，证△ABC ≌△DEF …………6分 ∴∠A ＝∠EDF …………7分
∴ AC ∥DF
A ′
B ′
B
C
图2
A
θ