第1章 高阶统计量的定义与性质
§1.1 准备知识
1.随机变量的特征函数
若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称
??∞
∞
-∞
∞
-===Φdx x f e x dF e
e
E x j x
j x
j )()(][)(ωωωω
为x 的特征函数。其中)(x f 为概率密度函数。
离散情况：}{,
][)(k k k k
x j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω
* 特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。
例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为
dx e e x j a x ?
∞
∞
---=Φωσσ
πω2
2
2/)
(21)(
令σ2/)(a x z -=，则
dz e
a
j z j z ?
∞
∞
-++-=
Φωσωπ
ω221
)(
根据公式：A
B A
C Cx
Bx Ax
e
A
dx e 2
2
2--
∞
∞
--±-=
?π
，则
2
22
1
)(σωωω-=Φa j e
若0=a ，则222
1
)(σωω-=Φe
。
2.多维随机变量的特征函数
设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为
)
,,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ??
∞∞
-+++∞
∞
-+++==Φωωωωωωωωω
令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则
?=ΦdX f e T
j )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x j
n dx dx x x f e
k
n
k k ,,),,(),,,(11211
??
∞
∞-∞
∞
-∑=Φ=ωωωω 标量形式
其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。
例：设n 维高斯随机变量为
T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a
????
?
?????=nn n n n c c c c c c
2
1
11211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --==
x 的概率密度为
?
??
???---=
)()(21exp )2(1)(2
/12/a x c a x c
x T n P π x 的特征函数为
?
??
???-=Φc ωωωa ωT T j 21e x p )( 矩阵形式
其中，T n ],,,[21ωωω =ω,
?
??
???-=Φ∑∑∑
===n i n
j j i ij n
i i i n C a j 111
2121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3.随机变量的第二特征函数
定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ
(1)单变量高斯随机过程的第二特征函数 222
2
1
ln )(2
2σωωωσωω-==ψ-a j e a j
(2)多变量情形
j n i i n
ji ij i n
i i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ111
2121),,,(
§1.2 高阶矩与高阶累积量的定义
1.单个随机变量情形 （1） 高阶矩定义
随机变量x 的k 阶矩定义为
?∞
∞
-==dx x p x x E m k k k )(][
显然10=m ，][1x E m ==η。随机变量x 的k 阶中心矩定义为
?∞
∞
--=-=dx x p x x E k k
k )()(])[(ηημ (1)
由式(1)可见，10=μ,01=μ,22σμ=。
若),,2,1(n k m k =存在，则x 的特征函数)(ωΦ可按泰勒级数展开，即
)()(!
1)(1n k n
k k
O j k m ωωω++=Φ∑
= (2)
并且k m 与)(ωΦ的k 阶导数之间的关系为
n k j d d j m k k k
k k
k ≤Φ-=Φ-==),0()()
()(0
ωωω
（2）高阶累积量定义
x 的第二特征函数)(ωψ按泰勒级数展开，有
)()(!
)(ln )(1n k n
k k
O j k c ωωωω+=Φ=ψ∑
= (3) 并且k c 与)(ωψ的k 阶导数之间的关系为
n k j d d j d d j
c k
k k
k k k k k
k ≤ψ-=??????ψ=??????Φ===),0()()(1)(ln 10
0ωωωωωω
k c 称为随机变量x 的k 阶累积量，实际上由1)0(=Φ及)(ωΦ的连续性，存在0 δ，使δω 时，0)(≠Φω，故第二特征函数)(ln )(ωωΦ=ψ对δω 有意义且单值（只考虑对数函数的主值），)(ln ωΦ的前n 阶导数在0=ω处存在，故k c 也存在。
(3)二者关系
下面推导k c 与k m 之间的关系。形式地在式(2)与式(3)中令∞→n ，并利用
??
????=+=Φ∑∑∞=∞
=k k k k
k k j k c j k m )(!exp )(!1)(11ωωω
+??
????++??????++=∑∑∑∞=∞=∞
=n
k k k k k k k k k j k c n j k c j k c )(!!1)(!!21)(!11211ωωω
比较上式中各),2,1()( =k j k ω同幂项系数，可得k 阶累积量与k 阶矩的关系如下： η===][11x E m c
22222122]])[[(])[(][μ=-=-=-=x E x E x E x E m m c
333233
12133]])[[(])[(2)][(][3][23μ=-=+-=+-=x E x E x E x E x E x E m m m m c
4441221312
244]])[[(61243μ=-≠-+--=x E x E m m m m m m m c
若0][==ηx E ，则 011==m c ][222x E m c ==
][333x E m c == 2242
2
44])[(3][3x E x E m m c -=-= 由上可见，当随机变量x 的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累积
量与相应的高阶矩不相同。
2.多个随机变量情形 (1)高阶矩
给定n 维随机变量),,,(21n x x x ，其联合特征函数为
)]([exp ),,,(221121n n n x x x j E ωωωωωω+++=Φ (4)
其第二联合特征函数为
),,,(ln ),,,(2121n n ωωωωωω Φ=ψ (5)
可见，联合特征函数),,,(21n ωωω Φ就是随机变量),,,(21n x x x 的联合概率密度函数
),,,(21n x x x p 的n 维付里叶变换。
对式(4)与(5)分别按泰勒级数展开，则阶数n k k k r +++= 21的联合矩可用联合特征函数),,,(21n ωωω Φ定义为
21212
1
212
12121),,,()(][====???
??????Φ?-==n n n n
k n k k n r r
k n
k k k k k j x x x E m ωωωωωωωωω (2)高阶累积量
同样地，阶数n k k k r +++= 21的联合累积量可用第二联合特征函数),,,(21n ωωω ψ定义为
21210
212121
2
121
2
121)
,,,(ln )()
,,,()(========???Φ?-=???ψ?-=n n n n n
k n
k k n r r
k n
k k n r
k k k j j c ωω
ωωω
ωωωωωωωωωωωωω
(3)二者关系
联合累积量n k k k c 21可用联合矩n k k k m 21的多项式来表示，但其一般表达式相当复杂，这里不加详述，仅给出二阶、三阶和四阶联合累积量与其对应阶次的联合矩之间的关系。
设n x x x ,,,21 和4x 均为零均值随机变量，则
][),(212111x x E x x cum c == (6a)
][),,(321321111x x x E x x x cum c == (6b)
),,,(43211111x x x x cum c =
][][][][][][][3241423143214321x x E x x E x x E x x E x x E x x E x x x x E ---= (6c)
对于非零均值随机变量，则式(6)中用][i i x E x -代替i x 即可。与单个变量情形类似，前三阶联合累积量与前三阶联合矩相同，而四阶及高于四阶的联合累积量则与相应阶次的联合矩不同。注意，式(6)中采用)(?cum 表示联合累积量的方法在以后将时常用到。
3.平稳随机过程的高阶累积量
设)}({n x 为零均值k 阶平稳随机过程，则该过程的k 阶累积量),,,(121,-k x k m m m c 定义为
随机变量)}(,),(),({11-++k m n x m n x n x 的k 阶联合累积量，即
))(,),(),((),,,(11121,--++=k k x k m n x m n x n x cum m m m c
而该过程的k 阶矩),,,(121,-k x k m m m m 则定义为随机变量)}(,),(),({11-++k m n x m n x n x 的k 阶联合矩，即
))(,),(),((),,,(11121,--++=k k x k m n x m n x n x mom m m m m
这里，)(?mom 表示联合矩。
由于)}({n x 是k 阶平稳的，故)}({n x 的k 阶累积量和k 阶矩仅仅是时延121,,,-k m m m 的函数，而与时刻n 无关，其二阶、三阶和四阶累积量分别为
)]()([)(,2m n x n x E m c x +=
)]()()([),(2121,3m n x m n x n x E m m c x ++=
)()()]()()()([),,,(32,21,2321321,4m m c m c m n x m n x m n x n x E m m m c x x x --+++= )()()()(21,23,213,22,2m m c m c m m c m c x x x x ----
可以看出，)}({n x 的二阶累积量正好就是其自相关函数，三阶累积量也正好等于其三阶矩，而)}({n x 的四阶累积量则与其四阶矩不一样，为了得到四阶累积量，必须同时知道四阶矩和自相关函数。
§1.3 高阶累积量的性质
高阶累积量具有下列重要特性：
（１） 设),,2,1(k i i =λ为常数，),,2,1(k i x i =为随机变量，则 ),,(),,(1111k k
i i k k x x c u m x x c u m ∏==λλλ
（２） 累积量关于变量对称，即
),,,(),,(211k i i i k x x x c u m x x c u m = 其中),,(1k i i 为),,1(k 中的任意一种排列。
（３） 累积量关于变量具有可加性，即
),,,(),,,(),,,(1010100k k k z z y c u m z z x c u m z z y x c u m +=+
（４） 如果α为常数，则
),,,(),,,(2121k k z z z c u m z z z c u m =+α
（５） 如果随机变量),,2,1(k i x i =与随机变量),,2,1(k i y i =相互独立，则
),,(),,(),,(1111k k k k y y c u m x x c u m y x y x c u m +=++
（６） 如果随机变量),,2,1(k i x i =中某个子集与补集相互独立，则
0),,(1=k x x cum
§1.4 高斯过程的高阶累积量
1.单个高斯随机变量情形
设随机变量x 服从高斯分布),0(2σN ，即x 的概率密度函数为 2221)(σσ
πx e
x p -=
故有 2
2
2)(ωσω-=Φe
x 的第二特征函数为
2
)(ln )(2
2ωσωω-
=Φ=ψ (7)
利用累积量k c 与)(ωψ的关系式(3)，并比较(3)与(7)两式，可以得到随机变量x 的各阶累积量为
01=c ， 22σ=c ， 2,0 k c k =
由此，我们有下列结论：
(1)高斯随机变量x 的一阶累积量1c 和二阶累积量2c 恰好就是x 的均值和方差。 (2)高斯随机变量x 的高阶累积量)2( k c k 等于零。 (3)由于高斯随机变量x 的各阶矩为
?
?
?
?
?-???==为奇数
，为偶数k k k x E m k k k 0,)1(31][σ
可见，高阶累积量与高阶矩不一样。由于高斯随机变量x 的高阶矩并不比其二阶矩多提供信息，它仍取决于二阶矩的统计知识2σ，所以人们宁愿选择高阶累积量这一统计量，直接把多余的信息用零来处理。
2.高斯随机过程情形
先讨论n 维高斯随机矢量T n x x x ],,,[21 =x ，设其均值矢量为T n a a a ],,,[21 =a ，协方差矩阵为
?
????
????
???=nn n n n n c c c c c c c c c 2
1
22221
11211c
其中
n k i a x a x E c k k i i ik ,2,1,)]
)([(=--=
n 维高斯随机变量x 的联合概率密度函数为
?
?????---=
-)()(21exp )2(1)(12
/12/a x c a x c
x T n p π x 的联合特征函数为
?
??
???-=Φc ωωωa ωT T j 21e x p )(
其中，T n ],,,[21ωωω =ω
x 的第二联合特征函数为
∑∑∑===-=-=Φ=ψn
i n i j i n
j ij i i T T
c a j j 1
112121)(ln )(ωωωc ωωωa ωω
由于阶数n k k k r +++= 21的联合累积量n k k k c 21可由第二特征函数定义为 0
21212
121)
()(====???ψ?-=n n n
k n
k k r r
k k k j c ωωωωωωω
于是，n 维高斯随机变量),,,(21n x x x 的各阶累积量为：
（1）1=r ，即n k k k ,,,21 中某个值取1(设1=i k )，而其余值为零，于是 ][)()
(0
01021
i i i x E a j c n ==?ψ?-=====ωω
ωωω
（2）2=r ，这有两种情况：
1）),,2,1(n i k i =中某两个值取1(设j i k k j i ≠==,1)，其余值为零，这时 j i a x a x E c j c j j i i ij j
i n ≠--==??ψ?-=====)]
)([()()
(0
20
11021ωωωωωω
上式利用了关系式ji ij c c =。
2)),,2,1(n i k i =中某个值取2（设2=i k ），其余值为零，这时 ])[()
()
(20
222
2021
i i ii i a x E c j c n -==?ψ?-=====ωω
ωωω
（3）3≥r ，由于)(ωψ是关于自变量),,2,1(n i i =ω的二次多项式，因而)(ωψ关于自变量的三阶或三阶以上（偏）导数等于零，因而x 的三阶或三阶以上联合累积量等于零，即
3,
02121≥+++=n k k k k k k c n
由上一节关于随机过程的累积量的定义可知，对于高斯随机过程)}({n x ，其阶次大于２的k 阶累积量),,,(121,-k x k m m m c 也为零，即
3,
0),,,(121,≥=-k m m m c k x k
由于高斯过程的高阶累积量（当阶次大于２时）等于零，而对于非高斯过程，至少存在着某个大于２的阶次k ，其k 阶累积量不等于零。因此，利用高阶累积量可以自动地抑制高斯背景噪声（有色或白色）的影响，建立高斯噪声下的非高斯信号模型，提取高斯噪声中的非高斯信号（包括谐波信号）。正因为这样，高阶累积量这一统计量已日益受到人们的重视并已成为信号处理中一种非常有用的工具。因此，文中在今后的算法研究中均代用高阶累积量而不采用高阶矩。 §1.5 双谱及其性质
1.高阶谱的定义
设)}({n x 为零均值平稳随机过程，则其k 阶累积量),,,(121,-k x k m m m c 的)1(-k 维付里叶变换定义为)}({n x 的k 阶谱(kth-order spectrum)，即
∑∑∑∞
-∞=-=-∞-∞=--??
?
???-=1111121,121,exp ),,,(),,,(k m k i i i k x k m k x k m j m m m c S ωωωω (8)
通常，),,,(121,-k x k S ωωω 为复数，其存在的充分必要条件是),,,(121,-k x k m m m c 绝对可和，即
∑∑∞
-∞
=-∞-∞
=-∞11),,,(121,k m k x
k m m m m c
高阶谱又称作多谱(Polyspectrum)，通常k 阶谱对应于)1(-k 谱。例如三阶谱对应双谱(Bispectrum)，四阶谱对应于三谱(Trispectrum)，今后我们大多数采用多谱这一概念。
取4,3,2=k 时，式(8)分别简化为功率谱、双谱和三谱公式，即
2=N ，为功率谱
]e x p [)()(1,2,2m j m c
S m x
x ωω-=
∑∞
-∞
= (9)
3=N ，为双谱
[]∑∑∞
-∞
=∞
-∞=+-=
21)(exp ),(),(221121,321,3m x
m x m m j m m c
S ωωωω
4=N ，为三谱
[]∑∑
∑∞
-∞=∞
-∞
=∞-∞=++-=
231)(exp ),,(),,(332211321,4321,4m x m m x m m m j m m m c S ωωωωωω
容易看出，式(9)就是维纳-辛钦定理。可见，功率谱也是高阶谱的一种特殊形式。
2.双谱的性质
在高阶谱中，双谱处理方法最简单，且含有功率谱中所没有的相位信息，是高阶谱研究中的“热点”。因此下面着重研究双谱及其性质。
设)}({n x 为零均值、三阶实平稳随机过程，其自相关函数和功率谱分别为 )]()([)()(,2m n x n x E m c m r x x +== ]e x p [)()()(,2m j m r S S m x
x ωωω-==∑∞
-∞
=
而其三阶累积量和双谱分别为
)]()()([),(2121,3m n x m n x n x E m m c x ++= (10)
)](exp[),(),(),(221121,321,32121m m j m m c
S B m x
m x ωωωωωω+-=
=∑∑∞
-∞
=∞-∞= (11)
由式(10)可知，三阶累积量),(21,3m m c x 具有如下对称性：
),(),(),(),(112,3212,312,321,3m m m c m m m c m m c m m c x x x x --=--== ),(),(121,3221,3m m m c m m m c x x --=--= (12) 由式(11)双谱的定义及式(12)三阶累积量的对称性可知：
(1)),(21ωωB 通常是复数，即包含幅度和相位。 )],(exp[),(),(212121ωωφωωωωB j B B =
(2) ),(21ωωB 是以π2为周期的双周期函数，即 )2,2(),(2121πωπωωω++=B B
(3) ),(21ωωB 具有如下对称性
),(),(),(),(21*12*1221ωωωωωωωω--=--==B B B B ),(),(211221ωωωωωω--=--=B B ),(),(212121ωωωωωω--=--=B B 此外，双谱在实际应用中还具有如下重要特性：
(1) 高斯过程 如果)}({n x 为零均值、高斯平稳随机过程，则对于所有21,m m ，都有
0),(21,3=m m c x ，因此0),(21=ωωB 。
(2)非高斯白噪声过程 如果)}({n w 是具有0)]([=n w E ，)()]()([m Q m n w n w E δ=+，
),()]()()([2121m m m n w m n w n w E βδ=++的非高斯白噪声过程，则其功率谱和双谱分别为一直线与一平面，即Q S =)(ω，βωω=),(21B 。
(3) 非高斯白噪声通过线性系统 设线性系统的传递函数为)(z H ，系统的输入为零均
值非高斯白噪声{})(n w ，且0)]([=n w E ，2
2)]([w n w E σ=，w n w E 33)]([γ=，则系统输出)}({n y 的
功率谱与双谱分别为
2
2
)()(ωσωH S w
= )()()(),(21*21321ωωωωγωω+=H H H B w
设 )](exp[)()(ω?ωωj H H =
)](exp[),(),(212121ωω?ωωωω+=B j B B 则
)()()(),(2121321ωωωωγωω+??=H H H B w )()()(),(212121ωω?ω?ω?ωω?+-+=B
由上可见，双谱的幅度谱和功率谱均由)(ωH 决定，因而双谱的幅度谱与功率谱的信息一样多。但功率谱不含相位信息，而双谱则包含相位信息，这就使双谱在信号处理领域得到
越来越多的应用，因为有些场合如对图像处理来说，相位信息比幅度信息还重要。
(4) 非最小相位系统的辨识 双谱含有相位信息，因此在非最小相位系统辨识中变得十分有用，现用一个简单的例子加以说明。设输入为非高斯平稳白噪声过程)}({n w ，它有
0)]([=n w E ，2
2)]([w
n w E σ=，w n w E 33)]([γ=。线性系统为下列三种情形的二阶FIR 系统。 1) 最小相位系统
10,10),1)(1()(111 b a bz az z H ----=
系统输出为
)2()1()()()(1-+-+-=n abw n w b a n w n y
2) 最大相位系统
)1)(1()(2bz az z H --= 系统输出为
)2()1()()()(2++++-=n abw n w b a n w n y
3) 混合相位系统
)1)(1()(13---=bz az z H 系统输出为
)1()()1()1()(3--+++-=n bw n w ab n aw n y 输出)}({1n y ，)}({2n y 及)}({3n y 具有相同的自相关序列，即
)]()([)]()([)]()([)(332211m n y n y E m n y n y E m n y n y E m r +=+=+=
2
222])(1[)0(w b a b a r σ+++= 2)]1)(([)1(w ab b a r σ++-=
2
)2(w
ab r σ= 3,0)(≥=m m r
这就意味着它们具有相同的功率谱，因此利用功率谱无法将三个系统区分开来。然而利用双谱则可以区分，因为)}({1n y ，)}({2n y 及)}({3n y 具有不同的三阶累积量，见表1.1。这表明三阶累积量可以用来辨识非最小相位系统，这在地震信号反褶积及数据通信中有重要的应
用。
(5) 混合高斯和非高斯系统的辨识 设一过程的功率谱为)(ωS ，双谱为),(21ωωB 。若与
)(ωS 相匹配的线性系统的传递函数为)(z H ，即
2
)()(ωωH S = (13) 而与),(21ωωB 相匹配的线性系统的传递函数为)(z T ，即
)()()(),(21*2121ωωωωωω+=T T T B (14)
当由式(13)求得的)(ωH 与由式(14)求得的)(ωT 不同时，可用来辨识高斯与非高斯分量组合的系统。下面就来研究这个问题。
考虑如图1-1所示的过程n z ，它由两个过程组成：一为高斯白噪声)(n ε通过AR 滤波器的输出)(n x ，另一为非高斯白噪声)(n w 通过AR 滤波器的输出)(n y 。设)(n ε与)(n w 相互独立，
)(n ε )(n x
)(n
)(n w )(n y
图1-1 混合高斯和非高斯系统
因此)(n x 与)(n y 相互独立。为方便起见，设12
2==w σσε，13=w γ。于是)(n z 的双谱是)(n x 和
)(n y 各自双谱的和，因为)(n x 是高斯过程，其双谱为零，故)(n z 的双谱就是)(n y 的双谱。)(n y 的双谱可由式(14)确定，其中 )
(1
)(ωωA T = 而
∑=-+=p
k k k j a A 1
)exp(1)(ωω
)(n z 的功率谱为)(n x 与)(n y 各自功率谱的和，它由式(13)确定，其中
2
2
222
)
()()()()(ωωωωωB A B A H ?+=
而
∑=-+=q
k k k j b B 1
)e x p (1)(ωω
这个例子表明，描述过程双谱的模型不同于描述过程功率谱的模型。双谱的这一特征使双谱在辨识高斯与非高斯分量组合系统时起着关键作用，这也是我们利用双谱及多谱（或高阶累积量）进行随机信号建模以及有色噪声中谐波恢复的理论依据。
双谱还具有其它一些性质，如可用来检测二次相位耦合，辨识系统的非线性等，这里就不再详述。
§1.6 系统中的高阶累积量
对于单输入单输出线性时不变系统，输入与输出的高阶累积量及多谱之间的关系如下。
定理1 设线性时不变系统的单位脉冲响应为)(n h ，传递函数为
∑∞
=-===0
)()()(n n
j e z e
n h z H H j ωωω，系统是稳定的，即单位脉冲响应绝对可和∑∞
=∞0
)(n n h ，输
入过程)(n x 的k 阶累积量),,,(121,-k x k m m m c 存在且满足平稳和绝对可和的条件，则
(1)输出过程
∑∞
=-=0)()()(i i n x i h n y
的k 阶累积量),,,(121,-k y k m m m c 存在，且为
),,,(),,,(),,,(121,121,121,---*=k x k k h k k y k m m m c m m m c m m m c
其中
)()()(),,,(110121,-∞
=-++=∑k n k h k m n h m n h n h m m m c
(2))(n y 的多谱为
),,,()()()(),,,(121,1111121,-------=k x k k k k y k S H H H S ωωωωωωωωωω
特殊地，若)(n x 为独立地服从同一分布的(i.i.d.)非高斯白噪声，即
),,,(),,,(121,121,--=k x k k x k m m m m m m c δγ，则
)()()(),,,(110,121,-∞
=-++=∑k n x k k y k m n h m n h n h m m m c γ (15)
))()()(),,,(1111,121,------=k k x k k y k H H H S ωωωωγωωω (16) 公式(15)和(16)是我们文中进行非最小相位随机信号建模的基础。
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
顺序统计量的分布及其应用探究 学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民 摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数： 1.离散型随机变量子样最小值的分布律为 )(])1()!(!![)(11 ) 1(I r pi r p l n l n x X P n l l n r l l r ∈--==∑∑=-= 2.离散型随机变量子样最大值的分布律为 )(])1()!1()!1(([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i （5.24） 例5.3 设母体ξ有密度函数 ? ??<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)2 1()3(>ξP 。
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()123231111001 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000000 n n n a a a a D a a ?? --- ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
几个关于次序统计量的典型例题 摘要：次序统计量作为一类重要的统计量在很多领域中都有关泛的应用。本文 在前人研究的基础上总结了有关次序统计量若干重要的例题，主要包括：特殊形 式的多个次序统计量联合密度函数的求法；均匀分布样本极差的密度函数的求法；有关次序统计量独立性的证明。希望对读者学习研究次序统计量起到微薄的帮助。 关键词：次序统计量雅可比行列式次序统计量独立性 一、引言 次序统计量是一类很重要的统计量，被广泛地应用在统计推断、可靠性理论、应用概率等很多领域。其优点在于次序统计量有一些性质不依赖母体分布，且计 算量较小，这样可以根据相关的理论快速得到目标统计量的分布情况。现有的理 论研究已经非常充分，如，文章[3]中，作者描述了均均分布及指数分布的相关统 计量性质；文章[4]中，作者就几个常见分布次序统计量的随机比较进行了详细地 说明。文章[5]中，作者详细描述了均匀分布的次序统计量的性质；本文旨在前人 的基础上对次序统计量几个常见但没有被系统总结的例题做一详细说明。 二、次序统计量的基本知识 定义1：设x1,x2…,xn是取自总体x的样本，x(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。（x(1),x(2)…，x(n)）称为该样本的次序统计量。其中，x(1)是该样本的最小次序统计量，x(n)是 该样本的最大次序统计量。R=x(n)-x(1)称为样本极差。 引理1：设总体x的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2…，xn为样本， 则第k个次序统计量x(k)的密度函数为： f（x(k)）=[F（x）]k-1[1-F（k）]n-kf（x） 引理2：（x(1),x(2)…，x(n)）是总体样本的次序统计量，f（x(k)）是第k个次 序统计量（x(k)）的密度函数，则次序统计量xk的联合密度函数为：f（x(1),x(2)…，x(n)）=n!f（x(k)） 引理3：设总体x的密度函数为f（x），分布函数为F（x），x1，x2， (x) 为样本，则次序统计量（x(i)，x(j)）(i 第一讲 行列式 一、内容提要 （一）n 阶行列式的定义 ∑-=????? ? ??????= n n j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212211) (2 1 2222111211) 1(τ （二）行列式的性质 1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号； 3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零； 5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即 nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D 212 21 111211+++=， 则 nn n n in i n nn n n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D 2 1 121112112 1 121 11211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。 （三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式 （1）余子式的定义 去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M （2）代数余子式的定义 ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=) 1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式 ∑ =?? ?≠==n j kj ij k i k i D A a 1 （2）按列展开公式 线性代数之行列式的性质及计算 第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 行列式及其在初等数学中的应用 【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用 【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组 引言 行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。 1 行列式的定义和性质 1.1行列式的定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。 例1 n n D n 00000010 020 100 -=计算行列式 . 解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!) 1(2 ) 2)(1(n D n n n ---= 1.2行列式的性质 行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。 例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称反对称行 关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 32 2311332112312213a a a a a a a a a ---32 21133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=d c b a =ad-bc , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ?,交换i,j 两列记作C i ?C j 。 性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值 等于零。 性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ?） 推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行 列式符号的前面。 推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行 列式值等于零。 推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列 式值等于零。 定义1 由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i ,称为一个n 级排列. 例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列. 显然, n 级排列共有!n 个. 排列12n 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序. 定义2 在n 个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n 级排列12t s n i i i i i 中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若t s i i >,则称这两个数,t s i i 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12()n i i i τ 或τ. 例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4τ=. 根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数： 设在一个n 级排列12n i i i 中，比(1,2,,)t i t n = 大的且排在t i 前面的数共有i t 个，则t i 的逆序的个数为i t ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即 12121 ().n n n i i i i i t t t t τ==+++=∑ 例1 计算排列45321的逆序数. 解 因为4排在首位,故其逆序数为0； 比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3； 比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4． 可见所求排列的逆序数为 (45321)002349τ=++++=． 定义3 如果排列12n i i i 的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12n i i i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列. 例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12n 的逆序数是0，因此是偶排列. 2.对换 定义1 在排列12t s n i i i i i 中,将任意两数t i 和s i 的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换. 例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325. 经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实.第一讲A 行列式的基本内容和行列式的几种形式
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