2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23
t =-，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则
11
2b a
-= （ ） .A 1
2
.B 32 .C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书
30本，那么不同的购书方案有 （ ）
.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3
3
3
3
21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数2
1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当
a b -为整数时，ab = （ ）
.A 0 .B 14 .C 3
4
- .D 2-
4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若
8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 （ ）
.A 12 .B 15 .C 16 .D 18
5.如图，在四边形ABCD 中，0
90BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==
1CD =,对角
线的交点为M ，则DM = ( )
.
A 3.
B 5
.
C 2 .
D 12
6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )
.A 12 .B 23 .C 3
4
.D 1 二、填空题（本题满分
28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ?的顶点A 、C 在反比例函数y x
=
（0x >）的图象上，0
90ACB ∠=,0
30ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .
1(B).已知ABC ?的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，
AD =则AM = .
2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，
,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知,a b 为正整数，求2
2
324M a ab b =---能取到的最小正整数值.
二、（本题满分25分）
(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,
AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.
(B ).已知：5,a b c ++= 2
2
2
15,a b c ++= 333
47.a b c ++=
求222222
()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.
三、（本题满分25分）
(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
4x y y z z x xy yz zx
------++= .
(1) 求
111
xy yz zx
++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
(B ).如图，在等腰ABC ?中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线
AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ?的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知
t =
，a 是
t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则
11
2b a
-= （ ）
.A 1
2
.B 2 .C 1 .D 【答案】A .
【解析】22,
t =
=< 3 1.a t ∴=-= 又 221,t -=---<-423,∴-<-<- (4)2b t ∴=---=11211, 2222b a ∴ -==-=故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图 书30本，那么不同的购书方案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C . 【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30 101520500x y z x y z ++=?? ++=? ， 即30341002y z x y z x +=-?? +=-?，解得20210y x z x =-??=+? 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数）， 故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都 有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C . 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3 3 3 3 21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B . 【解析】[]3322 (21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ??+--=+--+++-+-?? 22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由2 2(121)2016k +≤得，9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为 33333333333 1(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.??--+-+-++-+-=+=??L 故选B . 3(B ）.已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ） .A 0 . B 14 . C 3 4 - .D 2- 【答案】B . 【解析】依题意知0,0,10,2b a a b a <- <++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+< 又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =- =1 4 ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E , 若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为（ ） .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+ OD AB ⊥Q 于,C 1 4,2 AC CB AB ∴== = 在Rt OAC ?中，2 2 2 ,OC AC OA += 即2 2 2 4(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图） OC Q 为ABE ?的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,B ∴∠=o 11 4612.22 BCE S CB BE ?∴=?=??= 故选A . 5.如图，在四边形ABCD 中，0 90BAC BDC ∠=∠=，5AB AC == 1CD =,对角线 的交点为M ，则DM = ( ) . A 32 . B 53 . C 22 . D 12 （第5题答案图） 【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ?～,CMD ?,AH AM CD CM ∴ =1,CD =Q ,AM AH CM ∴= 设,AM x = 则5,5CM x AH x =∴= -在Rt ABM ?中，2225,BM AB AM x = +=+ 则2 55 AB AM x AH BM x ?= =+ 2555 x x x = -+显然0x ≠，化简整理得2255100x x -+= 解得5 x = （5x =，故 5CM = 在Rt CDM ?中，221 2 DM CM CD =-=,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ) .A 12 .B 23 .C 3 4 .D 1 【答案】C . 【解析】 22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++ 22 22 11122332222y x y x x x x ????????=-+-+--++-?? ? ? ??????????? 222 211113322222244y x x x y x x ??? ???=-+--++=-+---+≤ ? ? ???? ??? 当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 3 4 M = ，故选C . 二、填空题（本题满分 28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ?的顶点A 、C 在反比例函数3 y x = （0x >）的图象上，0 90ACB ∠=,0 30ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 . 【答案】322?? ? ??? . 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ?中，cos 33BC AB ABC =?∠= 在Rt BCD ?中，33 sin 2 CD BC B =?= （第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =?=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ?? ? ???， 依题意知0,n m >>故33 ,CD n m AD =-= ，于是 332 333 2n m m n ?-=??-=? 解得323m n ?=???=?，故点C 的坐标为322?? ? ? ??. 1(B).已知ABC ?的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分， 3AD =则AM = . 【答案】2. 【解析】 （第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2） 依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,0 90,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ?≌,ADB ?1 ,2 BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴ ==在Rt DAC ?中，即1 cos ,2 DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=. 在Rt ADC ?中，tan 3tan 603,CD AD DAC =?∠==o 1.DM = 在Rt ADM ?中，222AM AD DM = +=. (2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点， ,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= . 【答案】126o . 【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=, CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=, BC Q ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=, ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, Q ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠= ,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o Q 2,2180,βααβ∴=+=o 解得36,72αβ==o o ，72DBC BCD ∴∠=∠=o , ,BD CD AD ∴==18054,2 ABD BAD β -∴∠=∠= =o o 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】16733 4. 【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，① 31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数）， 代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴= x Q 是三位数，10001003t x t +∴=≥，解得 1000 ,299 t ≤ t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334. 3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340q p --=得，34,p q =-2 224(34)343,33pq q q q q q ? ?∴=-=-=-- ?? ? 因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值. 又111p q +<，34111,q q ∴-+<3 28 4 q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==?不是质数，舍去. 当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==?=. 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10. 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值. (1)若5个1分布在同一列，则5M =； (2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤?+?=,故10M ≤; (3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤?+?+?=,故10M ≤; (4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤ 另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10. 第二试 (3月20日上午9:50 — 11:20) 一、（本题满分20分） 已知,a b 为正整数，求2 2 324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 【解析】解：因,a b 为正整数，要使得2 2 324M a ab b =---的值为正整数，则有 2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =. 当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑：2 2 324M a ab b =---的值能否为1？) （反证法）假设1M =，则2 2 3241a ab b ---=，即2 2 325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ① 因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则 22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ??-=++-=+--+?? 即2 (3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2. 二、（本题满分25分） (A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上， ,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =. (第2(A)题答案图) 【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D 90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o ,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴??∽ ,AC AB AD AC ∴ =2AC AD AB ∴=? 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF === ,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴??∽ ,AN AB AD AM ∴ =,AD AB AM AN ∴?=?2,AC AM AN ∴=? ,AE AC =Q 2AE AM AN ∴=? 以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E , 即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2 AE AM AP =? AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE ∴==. (注：上述最后一段得证明用了“同一法”) (B ).已知：5,a b c ++= 2 2 2 15,a b c ++= 333 47.a b c ++= 求222222 ()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52 ab bc ca a b c a b c ??++= ++-++=?? 由恒等式3 3 3 2 2 2 3()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得， 4735(155),abc -=?-1abc ∴=- 又2 2 ()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得2 2 2 2 5(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=- ∴原式=[]3 5(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=?-?+?--= 【注：恒等式3 2 ()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】 三、（本题满分25分） (A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1) 4x y y z z x xy yz zx ------++= . (3) 求 111 xy yz zx ++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【解析】（1）解：由等式 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1) 4x y y z z x xy yz zx ------++=， 去分母得2 2 2 2 2 2 (1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=， 222222222222 ()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ??++-+++++++++-=?? ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=， ∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ， ()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y z xyz ++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数, 9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥ ∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【注：2 2 2 2 2 2 ()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++ 222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++ 222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】 (B ).如图，在等腰ABC ?中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线 AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ?的值. （第3（B ）题答案图） 【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠ Q 点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠ ,AFB ABD ∴??∽,AB AF AD AB ∴=2 2 5.AD AF AB ∴?== = （注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
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