21.3实际问题与一元二次方程（1）
【学习目标】
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
【教学重点】列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题
【教学难点】发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系
【学习过程】
一、知识回顾
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
二、新知探究
问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程
，
解得
即平均一个人传染了个人。
思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元．
依题意，得
解得：x1≈，x2≈。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为。
②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，
列方程：
解得：
答：两种药品成本的年平均下降率．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
三、巩固练习
1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
2.青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200kg，2013年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均
增长率.
四、课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.你还有什么疑问？
五、当堂清
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x
名同学，那么根据题意列出的方程是（）
A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182
C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=182×2
2．一个小组若干人，新年互相发送祝福短信，若全组共发送祝福短信72条，则这个小组共（）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
3.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
4某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？
六、教后反思
21.3实际问题与一元二次方程(2)
【教学目标】
知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
过程与方法：通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【教学重难点】
教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
教学难点：发现问题中的等量关系
【教学过程】
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3.平行四边形的面积公式是什么？
二、探索新知
【探究3】
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，?应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
问题：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
解：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，?由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，?则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的1
4
，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=3
4
×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
注意关注学生：
（1）对几何图形的分析能力；
（2）在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；
（3）在讨论中能否互相合作；
（4）解答一元二次方程的能力；
（5）回答问题时的语言表达是否准确．
说明：使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
【探究4】
如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
问题：
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？
（3）由这些数量关系如何列方程？
三、巩固练习
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路
四、小结作业
本节课应掌握：
小结：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
作业：
一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研
初中数学 第一课时 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相关问题 一、回顾思考： 一元一次方程是只含有 未知数，并且未知数的最高次数为 的 方程。 它的一般形式是 。 二元一次方程是含有 未知数，并且含未知数的项的最高次数是 的 方程。 它的一般形式是 。 二、观察归纳： 观察课件上面的方程，思考它们与我们所学的一元一次方程、二元一次方程有什么异同？ 1、 。2 。3 。 猜想：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫 。 注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑： （1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程； 思考：怎么才能判断是否是一元二次方程？ 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数, a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 三、一元二次方程的一般形式 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成c b a c bx ax 、、(02=++是常数0a ≠）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2分别叫_________、________和______，b a 、分别叫做_________和_________。 练习：把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项538)1(2+=x x （2）)2(2)2(3-=-x x x 注意： （1）二次项系数0a ≠ （2）一元二次方程地一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。 （3）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般
配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.
2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
2010-2011学年度 第一学期初三数学电子备课 第 四 章 导 学 案 （总计13教时） 备课人：
一元二次方程（1） 一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 二 、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三 、学习内容 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。 设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。
实际问题与一元二次方程—比赛问题 教学目标 知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述. 解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识. 情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点: 体育比赛场次中的数量关系。 教学难点:发现问题中的等量关系. 教学过程设计 回顾引入：解下列方程 x （x －1）=90 x(10－x)=24 x （x+2）=168 452)1(=-n n 202 )3(=-n n 新课讲授 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？ 分析思考：1、什么是单循环？ 2、什么是双循环？ 解：设邀请x 个球队参加比赛。
拓展变形： 举办一次足球联赛，赛制为双循环形式，一共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 归纳总结 当个体为x 个，总数为n 时 单循环公式：n x x =-2 )1( 双循环公式：x （x －1）=n 做题时先判断是单循环还是双循环，再套公式 变式练习，巩固强化 1、在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20条信息，则n 为 （ ） （思考：这题是 循环） A 、10 B 、6 C 、5 D 、4 2、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送了 72 张，则这个 小组共有多少人？ （思考：这题是 循环） 3、一次开会时，同事们见面后，倍感亲切，相互握手恭贺，这次共握手 28 次，一共有多少人参加开会？（思考：这题是 循环） 小结：1、怎样判断单、双循环。 2、套用公式 作业：各教师自定
一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable
一元二次方程的解法教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 教学建议： 一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析 （1）熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。 （2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：
二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数
c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求
24、2因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、会灵活选择合适的方法求解一元二次方程 学习重点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 学习难点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、根据方程特征选择适当的方法解一元二次方程 温故而知新 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 (1) x2-x (2) x2-4 (3) x2-2x+1 (4) x2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为零。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程 （1）x(x-1)=0 （2）(x-3)(x-5)=0 （3） (x+1)(x-4)=0 5、思考：试试这个吧！（要求群学） 解方程：x2=3x
闪亮登场 1、试一试 （群学）试着用上面的方法求解一元二次方程 x 2 =3x （请一名同学上台演示，必须说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义（投影) 先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。 3、总结因式分解的步骤 （学生总结） （投影展示）【右化零，左分解，两因式，各求解】 4、把关练习（师傅把关） (1)x(x-2)+x-2=0 (2)(x －1)(x ＋2)=2(x ＋2) (3)5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 (4)x 2-12x+35=0 5、找找茬 （对学） 有一个很爱动脑筋的同学，又发现了一种更简洁的解法，大家看一看，这样行吗？ x 2 =4x 解：方程同除以x ，得 x=4
一元二次方程的实际问题 一、传播问题 例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 归纳总结：按这样的感染速度，n轮后有多少台电脑被感染？ 第1轮：（1+x） 第2轮： 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（） A．5 B．6 C．7 D．8 二、变化率问题 例：2010年某市出口贸易总值为22.52亿美元，至2012年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来该市出口贸易的高速增长． （1）求这两年这个市出口贸易的年平均增长率； （2）按这样的速度增长，请你预测2013年这个市的出口贸易总值．（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563） 2、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为． 三、数字问题
1、有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，则原来的两位数为． 2、已知有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 3、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数． 四、销售利润问题 1、百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 2、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y=kx+b．且当x=7时，y=2000；x=5时，y=4000． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实
《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 学习过程 一、课前预习： （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、课内探究 1、自主学习： 思考下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2、合作交流： 先自己完成，后小组对照答案，改正错误 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式 解：（1） （2）移项，得
22.3实际问题与一元二次方程（第1课时） 启东市合作初级中学：董燕飞
当 堂 反 馈（10分钟） 一、选择题 1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）2 2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，?所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）． A ．（1+25%）（1+70%）a 元 B ．70%（1+25%）a 元 C ．（1+25%）（1-70%）a 元 D ．（1+25%+70%）a 元 3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，?售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）． A ．100p p + B ．p C ．1001000p p - D ．100100p p + 二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，?第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，?那么预计2004年的产量将是________． 3．?我国政府为了解决老百姓看病难的问题，?决定下调药品价格，?某种药品在1999年涨价30%?后，?2001?年降价70%?至a?元，?则这种药品在1999?年涨价前价格是__________． 三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，?从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，?求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量． 3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（?用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金 ×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
补充：十字相乘法解一元二次方程（林） 第一部分：用十字相乘法因式分解 一、复习导入 1、计算 （1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答： （1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项 系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。 二、典例分析 例1：分解因式 （1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。 十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________
公式法解一元二次方程导学案 主备人： 组长： 包科领导： 学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 学习重点： 求根公式的推导，公式的正确使用 学习难点： 求根公式的推导 预 习 案 1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能 否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解： 移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况： （1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得： 即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。 （3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取
任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 探 究 案 一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0， 当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。 （2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。 当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。 （4） 一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的 判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根 三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写） （1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：
实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+（1+x）x=81 整理得： X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为： 1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x小分支，依题意得 1+x（x +1）=91 解得：X1=9 x2=-10(舍去) 答：每个支干长出9小分支
单（双）循环问题 1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？ 解：设共有x队参加依题意列方程得 x（x -1）=90 解得：X1=10 x2=-9(舍去) 答：共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得：X1=12 x2=-11(舍去) 答：共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得：X1=8 x2=-7(舍去) 答：应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解：有x人，依题意列方程得
第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(
《一元二次方程复习》导学案 5. 一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下 一、填空题： 1、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④ +x2=1中，是一元一次方程的是_____。 2、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m=______。 3、若关于x 的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常项为0，则m=________。 4、关于x 的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是__________。 5、写出两个一元二次方程，使每个方程都有一根为0，并且二次项系数都为1：________；______________。 6、三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________。 7、解方程5（x- ）2=2(x- )最适当的方法是_____________。二、填空题：（每题3分，共24分） 8．一元二次方程02=-x x 的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ； 9. 方程042=-x x 的解为
10．已知关于x 一元二次方程02=++c bx ax 有一个根为1，则 =++c b a 11．当代数式532++x x 的值等于7时，代数式2932-+x x 的值是 ； 12．关于0132=+-x x 实数根（注：填“有”或“没有”）。 13．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两 位数为 ； 14．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ． 15. 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下 关系：12b x x a +=-，a c x x =?21．根据该材料填空：已知1x ， 2x 是方程2630x x ++=的两 二、选择题：（每题3分，共30分） 1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ） A 、a ＞0 B 、a ≠0 C 、a ＝0 D 、a ≥0 2．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是
一元二次方程的应用题 （一）传播与球赛问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 第一轮后共有人患流感；第二轮后共有人患流感。 等量关系： 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 分析：设每个支干长出x个小分支。 主干长出支干的数量个，支干总共长出小分支的数量个。 等量关系： 解：设每个支干长出x个小分支。 3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 第一轮后被感染的电脑共有台，第二轮后被感染的电脑共有台。 等量关系： 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？ 分析：此比赛是循环比赛。 设共有x个队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。A队与B队的比赛和B队与A队是同一场，所以全部的比赛是场。 等量关系： 解：设共有x个队参加比赛
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？ 分析：此比赛是循环比赛。 设共有x队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。 等量关系： 解：设共有x队参加比赛 6.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会? 分析：设有x个人参加聚会，每人要与其他个人握手一次 等量关系： 解：设有x个人参加聚会 7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72，这个小组共有多少人？ 分析：设这个小组共有x个人，每人要与其他个人互送贺卡 等量关系： 解：这个小组共有x个人 （二）面积问题 1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。 2.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用
万全区第三初级中学九年级(上)数学学案 姓名_______ 年级_____ 班级_____教师________ 课题 21.2.1 解 一元二次方程（2） 课时 授课时间 月 日 节 主备人 学习 目标 1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方 2、理解配方法的根据就是直接开平方。 3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解 重点 会用配方法解一元二次方程。 难点 变形形式的求解 学习过程及内容 学教记录 自主学习 1、若x 2 =a (a ≥0)，则x =_______. 若（x +1）2 =a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________. 直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。 2、解方程：（1）、2 3270x -= （2）、2 (3)25x += 3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系 （1）、26925x x ++= （2）、2 616x x += 合作探究： 1、 象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法； 配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。 2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ， 再用直接开平方法求解。 3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。 （1）、2 6x x -+ =(x - ）2； （2）、2 x + +25=(x + ）2 （3）、2 36x x -+ =3(x - ）2 （4）、2 23x x -+ =2(x - ）2 代数式 写成22 2x xy y ±+形式 x y 写成2 ()x y ±形式 28x x -+ 22244x x -??+ x 4 2(4)x - 23b b -+ 25x x ++ 23 2m m -+ 22 3 y y -+ 2x ax ++