江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第二次考试数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、未知
1．已知集合{
}2
340,{12},A x
x x B x x =+->=-<∣则(
)R
A B =（ ）
A ．{11}x
x -<∣ B ．{13}x x -<<∣ C ．{13}x
x <<∣ D ．{11}x x -<<∣
2．已知复数z 满足((2)55i z i +=-，则z =（ ） A ．33i -
B ．13i -
C ．13i +
D ．33i +
3．已知a ，b 都是实数，则“2211
log log a b
<”是“22a b >”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．函数ln ||
()e e
x x
x f x -=
+的部分图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．点P 为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上一点，直线2x p =交抛物线C 于M ，N 两点，若PMN 的面积为20，则p =（ ）
A ．1
B C ．2
D 6．已知1sin ,123πθ??
-= ???则sin 23πθ?
?+= ???
（ ） A ．29
-
B ．
29
C ．79
-
D ．7 9
7．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=?，AP AB
?
的取值范围是（ ） A ．[2,4]-
B ．(2,4)-
C ．[2,2]-
D ．(2,2)-
8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为球心，面1111D C B A 的交线长为（ ）
A ．
2
π B C
D ．π
9．已知向量(1,3),(2,1),(3,5),a b c ==-=-则（ ） A ．(2)//a b c + B ．(2)a b c +⊥
C ．||10a c +=+
D ．||2||a c b +=
10．已知实数x ，y 满足322,124,x y x y -<+<-<-<则（ ） A ．x 的取值范围为(1,2)- B ．y 的取值范围为(2,1)- C ．x y +的取值范围为()3,3-
D ．x y -的取值范围为(1,3)-
11．已知函数()2sin()||2,f x x πω?ω?+?
?
=+∈<
??
?
N 的图象经过点A ，
且()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω= B ． 6
π
?=
C ．()f x 在,03π?-
?
???
上单调递增 D ．()f x 在(0,2)π上有3个极小值点
12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都
只有一个对称中心点()()
00,x f x ，其中0x 是()0f x ''
=的根，()'f x 是()f x 的导数，
()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等
式e
e (ln 1)x
mx x -+e
32()3e f x x x x ??--+??对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）
A ．3a =
B ．1b =
C ．m 的值可能是e -
D ．m 的值可能是
1
e
- 13．在等差数列{}n a 中，1242,8a a a =+=-，则数列{}n a 的公差为_________. 14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所
得几何体的表面积为_________.
15．已知双曲线22
18:8
x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，
当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为_________.
16．已知函数2
()1f x x x =--，若关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是_________.
17．在ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c .已知3
B π
=.
（1）若4,3a c ==，求sin A 的值
（2）若ABC
的面积为ABC 周长的最小值.
18．在①1120(2)n n n a a a n +--+=且151,25a S ==，②2
35,n a S n tn ==+，③
121,3a a ==，且122,,n n n S S S ++-成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中，并作答.
问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，_________.若1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .
19．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ω?ω?π=+>><<的部分图象如图所示.
（1）求()f x 的解析式
（2
）设()()216g x f x x π??
=+-+
???
若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.
20．已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线l
与椭圆C 交于A ，B 两点，
点M 在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，
||2AB =
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF t AF BF +=恒成立.若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.
21．已知函数1
2
1()(1)e (0)2
x f x x a x ax x -=---
+>. （1）讨论()f x 的单调性.
（2）当2a 时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.
二、解答题
22．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，ACD ?是边长为1的等边三角形.
（1）求证：CD ⊥B 1D ；
（2）若BC B —C 1D —B 1的大小.