变量与函数的概念
这节课，我们学习变量与函数的概念。在初中我们学习过函数的一些知识，请同学们回忆一下什么是函数。（学生回答：在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）初中的时候学习了函数的概念，而生活中我们会经常遇到一些函数问题。比如：
问题一：在加油站为汽车加油，油价为每升4.16元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停下，若加油量是x升、金额为y元。那么：1）在加油过程中过，有两个变量x、y，若给定一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，则称y是x的函数。
2）金额y元与加油量x升之间的关系式是什么？
y=4.16x，0≤x≤12。
用变量的观点来描述函数，虽然生动形象，但有一定的局限性。我们在现实生活中遇到的函数问题是不是能用更准确的语言来描述它呢？现在我们看课本的第31-32页的实例（1）-（3），回答下列问题：
1）你从例题中了解到哪些信息？
2）自变量的取值范围是什么？
3）自变量与因变量之间有何关系？
4）因变量的取值范围是什么？
好了，我们一起来看这几个例题。
例（1）：从例题中了解到好奇心指标随年龄的变化而变化，自变量的取值范围为10、11、12、13、14、15组成的集合，自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量，因变量的取值范围为图中各点纵坐标所组成的集合。
例（2）：从例2里了解到植株高度随着增长时间的增加而增加，自变量的取值范围为1-32整数所组成的集合，自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量，因变量的取值范围为图中各点纵坐标所组成的集合。
例（3）：从例3里了解到国内生产总值随年份的变化而变化，自变量的取值范围为1998-2002所组成的集合，自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量，因变量的取值范围为五个生产总值构成的集合。
好了，在上述的每个例题中，都指出了自变量的变化范围、由自变量确定因变量的对应法则，以及由此确定的因变量的取值范围。这就是说，一个函数关系必须涉及到两个数集和一个对应法则。由此可见，函数关系实际上是表达两个数集的元素之间，按照某种法则确定的一种对应关系。这种”对应关系“反应了函数的本质。因此，我们可以用集合语言来更确切地刻画函数。
下面看教材上用集合的观点给出函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作y=f(x)，x∈A。其中x叫做自变量，自变量x的取值范围（数集A)叫做这个函数的定义域。
大家回想本节课刚开始的时候提到的给汽车加油的问题，这个问题里的定义域是什么，对应法则是什么？（定义域是0≤x≤12，对应法则是自变量的4.16倍。
如果函数自变量取值为a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f（x）或y|x=a（当x=a时，y的值）。所有函数值构成的集合｛y|y=f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域。在函数的概念中，对集合A中任意x按照法则f都有唯一确定数值y和它对应，也就是说一个x对应唯一的一个y。这里的f(x)中f是英文function的首字母，因此，我们通常记为f(x)。通过函数的概念我们知道它包括定义域、值域和对应法则。现在我们看几个例题，来更进一步的理解函数的概念。
1、下列对应法则是否是在给定集合上的一个函数（判断下列对应是否为函数）？
（1）R，g：自变量的倒数；（2）R+，h：自变量的平方根；（3）R，s：自变量的平方减2。第一个不是，因为0没有倒数，所有不能构成函数；第二个也不是，因为任意一个大于正数的的平方根会有两个值，而定义要求是确定唯一的数值。第三题是，根据定义域和法则，可以找到唯一一个值与之相对应。
看第二题，2、下面一组函数，是否为相同的函数？
（1）f(x)=x2，x∈R；（2）s(t)=t2 ，t∈R；(3)g(x-2)=(x-2)2，x∈R
这三个是相同的函数，因为三个函数的定义域都是R，对应法则都是自变量的平方。说一下第三个，这里x-2是自变量，而且它的定义域也是全体实数。
函数的概念包括了定义域、值域、对应法则。现在，我们总结一下函数的基本概念，小结：
1.确定一个函数的两要素：定义域和对应法则。
2.两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
（1）定义域和对应法则是否给出；
（2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。
3.未明确指出定义域的函数，约定其定义域就是：不使函数式失去意义、不使实际问题失去意义的自变量取值范围。
刚才我们对函数的概念进行了学习，现在我们研究函数的定义域、对应法则、值域进行具体的研究，下面我们看几个例题。
（1）求函数f(x) = 1
1+x 的定义域。 （2）求函数f(x) =
112+x ，x ∈R ，在x=0,1,2处的函数值和值域。 （3）1）已知函数f(x) = x 2，求f(x-1)；
2）已知函数f(x-1) = x 2，求f(x)。
好了，我们一起来看这几个题。
（1）：解：要使函数有意义，当且仅当x+1>0，
所以，这个函数的定义域是｛x|x>-1}。
（2）解：解法一：f(0) = 11012=+，f(1) = 211112=+，f(2) = 5
11212=+ 当x=0时，函数取得最大值1，当自变量x 逐渐变大时，函数值也逐渐趋于0，但永远不会等于0。
于是这个函数的值域为｛y|0 解法二：∵x 2+1≥1， ∴ 0< 11 12≤+x 。 ∴ 0< y ≤1。 即函数的值域为｛y|0 （3）分析：函数f(x)的定义域为R ，对应法则是“自变量平方” f(x-1)中自变量为x-1这个整体。 ∴ f(x-1)= (x-1)2 。 解：1） f(x-1) = (x-1)2 = x 2-2x+1 分析：函数 f(x-1)的定义域为R ， f(x-1)=x 2，找出 f(x)的对应法则，为此把x 2用x-1表示出来。 解：∵ f(x-1) =x 2=(x-1)2+2(x-1)+1， ∴f(x)=x2+2x+1。 解法二：令x-1=t，则x=t+1。 ∵f(t)=（t+1)2=t2+2t+1 ∴f(x)=x2+2x+1。 好了，给大家几分钟时间整理一下这几道题。整理完的同学把教材上33页练习A中的第4题做一下。 这节课，我们学习了函数的基本概念，它包含了三个方面的问题，即定义域、对应法则、值域。因此，我们要理解函数的概念，会求简单函数的定义域、值域、对应法则。课下作业是52页习题2-1A第4题；53页习题2-1B第1题。 变量与函数练习题 一、填空 1、一根蜡烛原长a（cm），点燃后燃烧的时间为t（分钟），所剩余的蜡烛的长y(cm)，其中是变量的，常量是。 2、在圆的周长公式C=2πr中，常量是，变量是。 3、《新文化报》每份0.5元，购买《新文化报》所需钱数y（元）与所买份数x之间的关系是，其中是常量，是变量。 4、（1）用总长为60（m）的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S（m2）与一边长为x（m）之间的关系式为 (2)用总长为L（m）的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为60（m2），一边长为x（m）。则L与x之间的关系式为 5、在判断变量之间的关系是不是函数关系时，应满足两个特征：①必须有个变量， ②给定其中一个变量（自变量）的值，另一个变量（因变量）都有与其相对 应。 6. 设地面气温是20°C,如果每升高1km,气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(km)的关系是__________________，其中常量是，变量是。对于每一个确定的h值都有的t值与其对应；所以自变量，是因变量，是的函数 7、购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元),与铅笔数n(个)的函数关系是___________. 8、等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的函数关系式是_______________. x的取值围是___________. 9、周长为10 cm的等腰三角形,腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系为______________ 自变量x的取值围是_____________ 10、一弹簧，不挂重物时，长6cm，挂上重物后，重物每增加1kg，弹簧就伸长0.25cm，但所挂重物不能超过10kg，则弹簧总长y（cm）与重物质量x（kg）之间的函数关系式为__________ _。（注明自变量的取值围） 11、A,B两地相距30千米,小飞以每小时6千米的速度从A地步行到B地,若设他与B地的 距离为y千米,步行的时间为x小时,则y与x之间的关系式为________ 12．已知5x＋2y－7＝0，用含x的代数式表示y为______；用含y的代数式表示x为______．13、据调查，某公园自行车存放处在某一星期日的存放量为4000辆，其中变速车存放车费是每辆次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元．若普通车存放车数为x辆次，则变速 考点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时， （a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>? y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=? y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上，y 0=?x 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y ?轴上x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于 x （3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 ：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 函数的概念学案 学习目标 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的图像、定义域、值域 3、理解区间的概念，能准确地利用区间表示数集 4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括能力 教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 教学难点函数的概念、符号y=f(x)的理解、 教学流程 一、问题1、在初中，甚至在小学我们就接触过函数，在实际生产生活中，函数也发挥着重要的作用，那么，请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题，阅读课本实例（1）、（2）、（3），进一步体会函数的概念问题3、在实例（1）、（2）中是怎样描述变量之间的关系的？你能仿照描述一下实例（3）中恩格尔系数和时间（年）之间的关系吗？ 问题4、分析、归纳上述三个实例，对变量之间的关系的描述有什么共同点呢？ 函数的概念 一般地，设、是，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的一个数，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 问题5、在实例（2）中，按照图中的曲线，从集合B到集合A能不能构成一个函数呢？请说明理由 练习1、 1、在下列从集合到集合的对应关系中，不可以确定是的函数的是（）（1），对应关系 （2），对应关系 （3），对应关系 （4），对应关系 2、下图中，可表示函数的图像只能是（） 三、区间的概念 八年级数学上册：变量与函数练习（含答案） 一、选择题: 1．下列关于圆的面积S与半径R之间的函数关系式S=πR2中,有关常量和变量的说法正确的是（） A．S,R2是变量,π是常量 B．S,R是变量,2是常量 C．S,R是变量,π是常量 D．S,R是变量,π和2是常量 2．据调查,?北京石景山苹果园地铁站自行车存车处在某星期日的存车量为4000次,其中电动车存车费是每辆一次0。3元,普通车存车费是每辆一次0。2元．?若普通车存车数为x 辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是（） A．y=0。1x+800（0≤x≤4000） B．y=0。1x+1200（0≤x≤4000） C．y=-0。1x+800（0≤x≤4000） D．y=-0。1x+1200（0≤x≤4000） 3．某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函数关系,就此他与同学们选择了一种类型的体温计,经历了收集数据、分析数据、得出结论的探索过程．他们收集的数据如下： 请你根据上述数据分析判断,水银柱的长度L（mm）与体温计的读数t℃（35≤t?≤42）之间存在的函数关系式为（） A．L= 1 10 t-66 B．L= 113 70 t C．L=6t- 307 2 D．L= 3955 2t 二、填空题 4．小明带10元钱去文具商店买日记本,已知每本日记本定价2元,?则小明剩余的钱y（元）与所买日记本的本数x（元）?之间的关系可表示为y=?10-?2x．?在这个问题中______是变量,_______是常量． 5．在函数y= 1 2 x- 中,自变量x的取值范围是______． 6．某种活期储蓄的月利率是0。16%,存入10000元本金,按国家规定,?取款时应缴纳利息部分20%的利息税,则这种活期储蓄扣除利息税后,实得本息和y（元）与所存月数x之间的函 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 18.1变量与函数学案 Ⅰ、教学目标 1、知识与技能目标： 运用丰富的实例，使学生从具体的问题情境中了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，领悟函数的概念，了解自变量与函数的意义。 2、过程与方法目标： 通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现与函数的形成过程，感受获取知识的成功体验，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度价值观目标： 在引导学生探索实际问题的数量关系中，培养学生学习数学的兴趣并积极参与数学活动的热情，在解决问题的过程中体会数学的应用价值。 Ⅱ、教学重点 了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。Ⅲ、教学难点 函数概念的理解；函数关系式的确定 Ⅳ、教学过程 一、自主探究 （一）提出问题，创设情景 问题一：汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为 s 千米，行驶时间为 t 小时。 问题二：电影票的售价为10元∕张。第一场售出150张票，第二场场售出205张票，第三场场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x 张，票房收入y元．?怎样用含x的式子表示y ? 问题三：你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为 10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？S的值随r的变化而变化吗？ 问题四：用100 cm长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x 分别为 30 cm，35 cm，40 cm，45 cm 时，它的邻边长y 分别为多少？y的值随x的变化而变化吗？ 小结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如……），有些量的数值是始终不变的（如……）。 （二）归纳总结： 1、在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________； 2、在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为________； （三）快速抢答： 练习1 指出下列问题中的变量和常量： （1）某市的自来水价为 4 元／t。现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x t，月应交水费为 y 元。 （2）某地手机通话费为 0.2 元／min ，李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为 t min ，话费卡中的余额为 w 元。 二、合作探究 （一）合作交流： 1、在研究的每个问题中，都出现了两个变量，它们之间是相互影响，相互制约的． 2、同一个问题中的变量之间有什么联系？（请同学们自己分析“问题一”中两个变量之间的关系，进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的关系．） 归纳：上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有________确定的值与其对应。 （二）归纳概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x?的每一个确定的值，y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们就说x?是______，y是x的_______． 如果当x=a时y=b，那么b?叫做当自变量的值为a时的_________． 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数的解析式． （三）巩固练习 练习2下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式。 （1）改变正方形的边长x，正方形的面积S 随之变化； （2）每分向一水池注水0.1 m3，注水量y（单位：m3）随注水时间x（单位：min）的变化而变化； 变量与函数练习题4 1、 判定下列哪些为y 是x 的函数，假如是，找出x 的取值范畴 （1）12-=x y （2） x y -= 11 （3） x y 2±= （4） 112-=x y （5）2-= x y （6）22+=x x y （7） 12+-=x x y （8） x y =2 (9) 53--=x x y (10) 321+-=x x y (11) x x y -+-=53 1 2、 写出下列的函数关系式，并指出自变量的范畴 （1） 一支蜡烛长20cm ，每分钟燃烧2cm ，写出剩余蜡烛y 与时刻x 之间的函数关系式， 并求出x 的范畴。 （2） 某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米，挂上重物后的长度y(厘米) 与所挂上的重物x(千克)之间的关系式； （3）某种饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.2升水，饮水机中剩余水量y(升)与放水时刻x(分)之间的关系式。 (5)周长为60cm的等腰三角形的腰长y是底边长x的函数关系式 (6) 汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米／时，求汽车距沈阳程s （千米）是行驶时刻t(时)的函数，写出自变量的取值范畴 (7) 出租车收费按路程运算，3千米内(包括3千米)收费10元，超过3千米每增加1千米加收1.6元，则路程x≥3(千米)时，车费y(元)是x(千米)的函数 （8）某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内所挂物体的质量x每增加某1千克，弹簧长度y增加0.5厘米，弹簧长度y是质量x的函数 （9） 每台月租费28元，市区内 （三分钟以内）每次020元，若某台 每次通 话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）是市内 通话次数x 的函数 (10) 同学购一本代数教科书，书的单价是2 元，总金额Y （元）是学生买书本数x 的函 数 (11) 游泳池内有清水123m 现以每分钟2 3 m 的流量往池里注水,45分钟可将池灌满 (1) 求池内水量y(3m )与注水时刻t(分)之间的函数关系式,并指出自变量t 的取值范畴; (2) 当游泳池水注满后,以每分钟4 3m 的流量放出废水,求池内剩余量w(3m )与放水时刻x(分)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范畴 （12）已知某商店买一种瓜子能够零卖也能够按包卖，若按包卖每包2元，若零卖每斤6元，小明要去买瓜子； ①若按包买，小明所付金额y 是所买包数x 的函数 第6课时函数的概念 1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域、函数值. 我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长. 问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢? 从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有. 问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的. 问题3:在研究函数时常会用到区间的概念,区间的表示如何规定? 注:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”. 问题4:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分? (2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识? (1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应. 一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素. (2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等. 1.下列四个函数:(1)y=x+1;(2)y=x3;(3)y=x2-1;(4)y=. 其中定义域相同的函数有(). A.(1)(2)(3) B.(1)(2) C.(2)(3) D.(2)(3)(4) 变量与函数练习题（1） 预备知识代数式，方程，统计图． 知识要点现实生活中的函数关系． 1．有一天小王感冒了，这一天的体温曲线如图所示．假设体温37度时为基本正常，那么 你能看出他是从什么时候开始发烧的？体温最高时达到多少度？什么时候基本恢复正 常了？ 2．小刘在过14岁生日的时候，看到了爸爸为他记录的以前各周岁时的体重数值（如下表）， 你能看出小刘各周岁时的体重是如何变化的吗？在哪一段时间内体重增加最多？ 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重 9.3 11.8 13.5 15.4 16.7 18.0 19.6 21.5 23.2 25.0 27.6 30.2 32.5 （千克） 3．在课本§17．1的几个问题中，说出： （1）银行存款时，存五年期，随着存入金额（本金）x的变化，相应的利息y的变化规律； （2）圆的半径r与圆的面积S之间满足的关系中，随着圆的面积S的变化，半径r?的变化规律． 4．如图，长方形ABCD，试指出，当点P在边AD上从A向D移动时，?哪些线段的长度始终保持不变，哪些则发生了变化？哪些三角形的面积始终保持不变，?哪些也发生了变化？试分别举出如上述情况的两条线段与两个三角形． 变量与函数练习题（2） 预备知识变量及函数，代数式，不等式，三角形面积． 知识要点分析实际问题中的数量关系，列函数关系式；自变量量的取值范围． 1．试指出上一个同步练习第1～4题各个函数关系中，哪个是自变量，哪个是因变量（函 数），自变量可以取哪些数值． 2．写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值： （1）y=1235x +； （2）y=53 10 t -； （3） 3．列出下列问题的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （1）如图，直角三角形ABC ，∠C=90°，锐角∠A 的度数y 与另一锐角∠B 度数x?的 奇趣数学：一次函数： 变量～函数 (第一课时 变量、函数的概念) 知识点归纳： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：（取值范围）一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 练习： 例 若一个等腰三角形的周长是24. （1）写出其底边长y 随腰长x 变化的关系式. （2）指出其中的常量与变量，自变量与函数. （3）求自变量的取值范围.（4）底边长为10时，其腰长为多少？ ◆仔细读题，一定要选择最佳答案哟！ 1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化.在这一问题中，自变量是（ ）. A.沙漠 B.体温 C.时间 D.骆驼 2.长方形的周长为24cm ，其中一边为x （其中0>x ），面积为y 2 cm ，则这样的长方形中y 与x 的关系可以写为（ ）. A.2 x y = B.()2 12x y -= C.()x x y ?-=12 D.()x y -=122. 3.函数11 2 ++--= x x x y 的自变量x 的取值范围为 ( ) . A ．x ≠1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ≥－1且 x ≠1 一次函数 19.1 变量与函数（1） （时间：25分，满分60分） 班级姓名得分 1．（6分）以21m/s的速度向上抛一个小球，小球的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间的关系是h=21t﹣4.9t2．下列说法正确的是（） A．4.9是常量，21，t，h是变量B．21，4.9是常量，t，h是变量 C．t，h是常量，21，4.9是变量D．t，h是常量，4.9是变量 【答案】B 【解析】解：A、21是常量，故A错误； B、21，4.9是常量，t，h是变量，故B是正确； C、D、t、h是变量，21，4.9是常量，故C、D错误； 故选：B． 2．（6分）小王计划用100元钱买乒乓球，所购买球的个数W（个）与单价n（元）的关系式中（） A．100是常量，W，n 是变量B．100，W是常量，n 是变量 C．100，n是常量，W是变量D．无法确定 【答案】A 3．（6分）自由下落物体下落的高度h与下落的时间t之间的关系为h=gt2（g=9.8m/s2），在这个变化中，变量为（） A．h，t B．h，g C．t，g D．t 【答案】A 【解析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量进行分析．在这个变化中，变量为h、t． 故选：A 4．（6分）球的体积V与半径R之间的关系式为V=πR3，下列说法正确的是（） A．变量为V，R，常量为π，3 B．变量为V，R，常量为，π C．变量为V，R，π，常量为D．变量为V，R3，常量为π 5．（14分）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： （1）时间是8分钟时，水的温度为； （2）此表反映了变量和之间的关系，其中是自变量，是因变量； （3）在时间内，温度随时间增加而增加；时间内，水的温度不再变化． 【答案】（1）100℃（2）温度，时间，时间，温度；（3）0至8分钟，8至12分钟． 【解析】（1）第8分钟时水的温度为100℃； （2）反映的温度随着时间的变化而变化的，时间是自变量，温度是因变量； （3）观察表格发现在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化．6．（10分）观察图，回答问题： （1）设图形的周长为L，梯形的个数为n，试写出L与n的函数关系式（提示：观察图形可以发现，每增加一个梯形，周长增加3）； （2）n=11时图形的周长是． 【答案】（1）L=4n+1 （2）45 【解析】（1）根据图，分析可得：梯形的个数增加1个，周长为L增加4； 故L与n的函数关系式L=5+（n﹣1）×4=4n+1． （2）n=11时，代入所求解析式为：L=4×11+1=45． 7．（12分）说出下列各个过程中的变量与常量： （1）我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟， t分钟内卫星绕地球的周数为N，N=； （2）铁的质量m（g）与体积V（cm3）之间有关系式； （3）矩形的长为2cm，它的面积为S（cm2）与宽a（cm）的关系式是S=2a． 【答案】（1）N和t是变量，106是常量； （2）m和V是变量，ρ是常量； （3）S和a是变量，2是常量． 知识点1函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。 2高中数学 变量与函数的概念学案 新人教B 版必修1 一、三维目标： 1.理解函数的概念，明确函数的两要素，即定义域和对应法则； 2.能正确使用区间表示数集； 3.会求一些简单函数的定义域，复合函数的定义域； 二、学习重、难点： 重点：函数的概念，定义域的概念和求法； 难点：抽象函数的定义域的求法； 1、函数的定义： 设集合A 是一 个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 ______________与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。 2、函数的定义域、值域： 函数的定义域对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 . 3、函数的值域： 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 成为函数在a 处的__________,记做_____,所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 . 3、函数的两要素：_______________________； 。