例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
1.教学椭圆的参数方程时，要注意些什么？
答：①使学生弄清椭圆参数方程的来源，明确椭圆的参数方程，是表示椭圆的又一种方程，它是相对于直接给出曲线上动点的坐标x ,y 的关系的普通方程而言的，是一种通过第三个量中间接表示x ,y 之间关系的形式.
②熟练掌握椭圆参数方程?
??==??sin cos b y a x 与标准方程的关系，做到互化并灵活应用. 2.椭圆的参数方程在证明问题中的应用
［例1］设A （x 1,y 1）为椭圆1222
=+y x 上一点，过A 作一条斜率为-1
12y x 的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，r 1,r 2分别是A 点到椭圆两焦点的距离，求证：21r r ?·d 为常数. 分析：可利用椭圆参数方程.
证明：设椭圆参数方程为：
???==θθsin cos 2y x (θ为参数) ∵A (x 1,y 1)在椭圆上 ∴???==1
111sin cos 2θθy x ∴直线l 的方程为： 2cos θ1·x +2sin θ1·y -2=0
∴d =121212cos 22sin 4cos 22
θθθ-=+
1
211
2211cos 2)2(cos sin )1cos 2(θθθθ-=-=+-=r 又 12112212cos 2)2(cos sin )1cos 2(θθθθ+=+=++=r ∴2cos 22
cos 2121221=-?-=??θθd r r (常数)
∴得证 注意：由于本题涉及到椭圆上一点到焦点的距离问题，所以可使用“焦半径”公式进行推理和运算，请读者自行完成.
［例2］AB 是椭圆22
22b
y a x +=1的任意一条弦，P 为AB 的中点，O 为椭圆的中心. 求证：k AB ·k OP 为定值.
证明：设A 、B 两点坐标分别为(a cos θ,b sin θ)(a cos φ,b sin φ)
∵P (x ,y )是AB 的中点
∴x =2
a (cos θ+cos φ) y =2
b (sin θ+sin φ) ∴k AB =)
cos (cos )sin (sin ?θ?θ--a b
k OP =)
cos (cos )sin (sin ?θ?θ++a b ∴k AB ·k OP =)
cos (cos )sin (sin 222222?θ?θ--a b ∵sin 2θ-sin 2φ=1-cos 2θ-1+cos 2φ=-(cos 2θ-cos 2
φ) ∴k AB ·k OP =-22
a
b 3.椭圆的参数方程在与椭圆有关的最值问题中的应用.
［例3］若实数x ,y 满足25
162
2y x +=1，试求：v =y -3x 的最大值. 解：设椭圆上一点的坐标为(4cos θ,5sin θ)，则
v =y -3x =5sin θ-12cos θ=13sin(θ－φ)(arctan
512=φ) ∴当θ=2
π+φ时，v max =13. 评述：(1)本题是利用椭圆的参数方程设出动点坐标，再运用三角函数式的变换，通过讨论三角函数式的最值而得解的.
(2)以上方法让我们体会到了巧用椭圆参数方程所带给我们的简单和明快.
［例4］已知x ,y 满足14
22
=+y x ，求 f (x ,y )=x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值. 解：将22
4y x +=1转化成参数方程 即?
??==θθsin cos 2y x ∴f (x ,y ) =(x 2+4y 2)+(2xy +x +2y )
=4+(2·2cos θsin θ+2cos θ+2sin θ)
=4cos θsin θ+2(cos θ+sin θ)+4
令t=cos θ+sin θ
则2sin θcos θ=t 2-1
∴f (x ,y )=2(t 2-1)=2t +4=2(t 2+t +1)
∵t =cos θ+sin θ=2sin(θ+
4
π)≤2 ∴f (x ,y )有最大值为:
2［(2)2+2+1］=2(3+2) 评述：运用椭圆的参数方程于求最值问题中，其解法的巧妙简单令人陶醉，数学中一定要注重培养学生的技巧能力.
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值
例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。 直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。 用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。 此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。
椭圆的参数方程教学设计 一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高三 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 5、学时数：45 分钟 二、教学设计 （一）、内容分析 1、内容来源 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程 2、地位与作用 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。 （二）、教学目标 1、知识与技能： （1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 （2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 （3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 2、过程和方法： （1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。 （2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。 3、情感、态度和价值： 通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“联系”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的联系，培养学生学好数学的信心。 （三）、教学重点、难点 重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点：巧用椭圆的参数方程解题 （四）、学情分析： “坐标法”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。
椭圆的参数方程 教学目标： 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22 221(0)y x a b a b +=>> 二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为22()()1x y a b +=，又22 cos sin 1??+= 设cos ,sin x y a b ??==，即a cos y bsin x ??=??=? ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 2.参数?的几何意义 问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径 作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。 过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当 半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(x, y)。 那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角? 的终边上，由三角函数的定义有 ||cos cos x OA a ??==， ||sin cos y OB b ??==。 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 a cos y bsin x ??=??=? 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 () ?为参数
1 / 3 椭圆的参数方程教学设计 王丽萍 一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高二 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A 版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 二、教学设计 （一）、内容分析 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。 （二）、教学目标 （1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 （2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 （3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 （三）、教学重点、难点 重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点：巧用椭圆的参数方程解题 （四）、学情分析： “坐标法 ”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。 （五）、设计思路： 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。教师首先应通过实例展示在建立椭圆方程过程中，引进参数的意义和作用。使学生体会到有时用参数方程表示曲线比用普通方程表示更方便，理解参数的几何意义。 根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“复习导入发现法”。通过具体实例问题，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握椭圆参数的深层实质。教学流程为：复习回顾圆的参数方程和三角函数知识→创设情境引入新知→实例探究启发思维→例题讲解运用新知→课堂实践巩固新知→归纳总结完善→课外强化提升能力。 （六）、教具准备： PowerPoint 课件、《几何画板》 （七）、教学过程： 一、复习回顾 1.圆的参数方程知识 圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程是：????=?=θ θsin cos a y a x
+ = > > + = > > + ? ? 椭圆的参数方程 教学目标： 1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： y a 2 二、椭圆参数方程的推导 x 2 b 2 1(a b 0) 1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程 x y 因为( )2 ( )2 = 1，又cos 2 + sin 2 = 1 a b x y ?x = a c os 设 = cos , a b = sin ，即?y = bsin ，这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。 2. 参数 的几何意义 问题、如下图，以原点 O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作 两个圆。设 A 为大圆上的任意一点连，接 OA,与小圆交于点 B 。过点 A 作 AN ⊥ox ，垂足为 N ，过点 B 作BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为 ，点 M 的坐标是(x, y)。 那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y 。由于点 A,B 均在角 的终边上，由三角函数的定义有 x =| OA | cos = a cos ， y =| OB | sin = b cos 。 当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是 ?x = a c os ? y = bsin (为参数) 2 2
椭圆参数方程的应用 【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线 C 1的参数方程为????? x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ? ?? ??θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2 ＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12). 在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2 ＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为
? ????22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标； (2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为? ?? ??32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用 【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线 C 1的参数方程为????? x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (22022 0=-+-的参数方程是? ??α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是A （ααsin b cos a ，）（2 0π<α<），矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π=时，22m a x b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，22max b a 4L +=，此时α存在。 二、求轨迹
例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++=cos 82 11021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921sin 6211y 21y y B A +α=+?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则5553arcsin sin 53 4|5sin 4cos 3|d 22-??? ??+α=+-α+α=。 当5 3arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 四、求解有关离心率等入手比较困难的问题
圆、椭圆的参数方程的应用 1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质． 2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题． [基础·初探] 1．圆的参数方程 圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a ＋r cos α， y ＝b ＋r sin α(α为参数)．其中，参数α的几何 意义是以圆心A (a ，b )为顶点，且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角． 2．椭圆的参数方程 椭圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a cos θ， y ＝b sin θ(θ为参数)． [思考·探究] 1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？ 【提示】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2 普通方程都是平方和等于1的形式， 故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同． 2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？ 【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令????? x ′＝1a x ，y ′＝1 b y ， 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2 ＝1.
利用圆x ′2＋y ′2 ＝1的参数方程 ????? x ′＝cos φ，y ′＝sin φ (φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程??? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 圆的参数方程的应用 在圆x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5＝0的距离最大． 【自主解答】 圆的方程x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0可化为(x ＋1)2 ＋y 2 ＝1，所以设圆的参数方程为 ? ?? ?? x ＝－1＋cos θ， y ＝sin θ. 设P (－1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线2x ＋3y －5＝0的距离为 d ＝ |2 －1＋cos θ＋3sin θ－5| 22＋3 2 ＝ |2cos θ＋3sin θ－7| 13 ＝ |13sin θ＋α－7|13 (其中sin α＝213 13， cos α＝313 13 )． 当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝3π 2 ，
椭圆的参数方程及其应用 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： ① 椭圆22 221x y a b +=（a >b>0）的参数方程是 cos ,(2sin x a y b θθθπθ=?≤>的参数方程是cos ,(,02).sin x b y a θθθπθ =?≤
椭圆的参数方程及其应用 蒋明权 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆 1b ) y y (a ) x x (2 2 02 2 0=-+ -的参数方程是? ? ?α+=α +=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，） 。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是???α +=α+=sin r y y cos r x x 00（α 是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆 )0b a (1b y a x 222 2>>=+ 的内接矩形的面积及周长的最大值。 ） ， 例2 已知点A 在椭圆 136 y 144 x 2 2 =+ 上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且 2 1MB AM = ， 试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则， α=+ ?+ α= ++ = cos 82110 21cos 12211x 2 1x x B A 3sin 42119 2 1sin 62 11y 21y y B A +α=+ ?+α= + += ，
动点M 的轨迹的参数方程是???+α=α=3 sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得 116 )3y (64 x 2 2 =-+ 。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19 y 16 x 2 2 =+ ，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最 大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆 19 y 16 x 2 2 =+ 上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，） ， 则5 5 53arcsin sin 53 4 | 5sin 4cos 3|d 2 2 -??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3arcsin 2-π= α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 2 2 =+与直线05y x =-+相切；当5 3 arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 ≠0且α a cos a cos a -αα解得1cos =α（舍去），或2 2 2 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 122 2 <-<-。可转化为1e e 1122 <-<-，解得2 1e 2 > ，于 是1e 22 <<。故离心率e 的取值范围是??? ? ??122，。
椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ????x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ 是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ????x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ 是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)． (3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为 (x －h ) 2 a 2 ＋ (y －k ) 2 b 2 ＝1，则其参数方程为 ? ????x ＝h ＋a cos φ y ＝k ＋b sin φ(φ是参数)． 1．椭圆? ????x ＝sin θ 2y ＝cos θ(θ为参数)的一个焦点坐标为( ) A.? ????22，0 B ．? ? ???0，22 C.? ?? ?? 32，0 D ．? ?? ??0， 32 解析：选C.椭圆的普通方程为x 2 ＋(2y )2 ＝1，即x 21＋y 2 14＝1.c 2＝a 2－b 2 ＝1－14＝34 ，焦点 为? ?? ?? ± 32，0.故选C. 2．曲线C ：???x ＝3cos φy ＝5sin φ ，(φ为参数，0≤φ<2π)的离心率为( ) A.23 B ．35 C.32 D ． 53 解析：选A.由???x ＝3cos φ y ＝5sin φ得?????x 3＝cos φy 5＝sin φ ， 所以x 29＋y 2 5＝1，所以a ＝3，b ＝5，c ＝2，e ＝2 3 .
3．曲线? ????x ＝2cos θ y ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的最大距离为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 解析：选C.曲线? ????x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的距离为4cos 2θ＋sin 2 θ＝ 1＋3cos 2 θ≤2，当且仅当cos θ＝±1时，取得最大值．故选C. 4．椭圆x 24＋y 2 2＝1的参数方程是____________；椭圆(x －1)225＋(y ＋1) 2 16＝1的参数方程是 ____________． 解析：因为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ????x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))， 所以x 24＋y 2 2＝1的参数方程是???x ＝2cos φ y ＝2sin φ (φ为参数，φ∈[0，2π))， 同样可知(x －1)2 25＋(y ＋1)2 16＝1的参数方程是? ????x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0， 2π))． 答案：???x ＝2cos φ y ＝2sin φ (φ为参数，φ∈[0，2π)) ? ????x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π)) 利用椭圆的参数方程求最值 (2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ?x ＝3cos α y ＝sin α (α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ? ????θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 2 3 ＋y 2 ＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，
椭圆的参数方程的几点应用椭圆的参数方程是（α是参数，）。 特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r>0）。下面就应用做一些归纳。 1.参数方程在求最值上的应用 例1 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值。 分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。 解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（ ），矩形的面积和周长分别是S、L。 ， 当且仅当时， ，此时α存在。， 点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。 例2 设点P（x，y）在椭圆 大值和最小值。 ，试求点P到直线的距离d的最 分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程（1），然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。 解：点P（x，y）在椭圆 上，设点P（）（α是参数且）， 则 。
当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当 时，距离d有最大值2。 点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度。 2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用 例3 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 分析：如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。 解：设椭圆 α≠π），A（a，0）。 上的点P 的坐标是（）（α≠0且 则 。而OP⊥AP， 于是，整理得 解得 （舍去），或。 因为，所以。可转化为，解得，于是 。故离心率e的取值范围是。 点评：有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。
椭圆的参数方程的几点应用 贵州省习水县第一中学袁嗣林 椭圆的参数方程是（α是参数， ）。 特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r>0）。下面就应用做一些归纳。 1.参数方程在求最值上的应用 例1 求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。 分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。 解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积和周长分别是S、L。
， 当且仅当时，， ，此时α存在。 点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。 例2 设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。 分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程（1），然后利用点到直 线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。 解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（α是参数且），则。 当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。
点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度。 2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用 例3 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 分析：如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。 解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。 则。而OP⊥AP， 于是，整理得
椭圆的几何性质(5) ——椭圆的参数方程（教案） 一． 齐鲁石化五中 翟慎佳 目的要求： 1．了解椭圆参数方程，了解系数a 、b 、?含义。 2．进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3．培养理解能力、知识应用能力。 二． 教学目标： 1．知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2．能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。 3．德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三． 重点难点： 1．重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2．难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四． 教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五．教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。 （二）预备知识（复习相关） 1．求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2．举例：含参数的方程与参数方程 例如：y =kx +1（k 参数）含参方程，而???+==1 42t y t x （t 参数）是参数方
程。 3．直线及圆的参数方程？各系数意义？ （三）推导椭圆参数方程 1．提出问题（教科书例5） 例题．如图，以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆。点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥O x ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M 。求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。 2． 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法——参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1）动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2）如何设出恰当参数？ 设∠AOX=?为参数较恰当。 3．解决问题（板演） 解：设点M 的坐标(x,y)，?是以Ox 为始边，OA 为终边的正角， 取?为参数，那么 x=ON=|OA|cos ?， y=NM=|OB|sin ? 即 ? ? ?==?? sin cos b y a x ① 引为点M 的轨迹参数方程，?为参数。 4．更进一步（板演：化普通方程） 分别将方程组①的两个方程变形，得?????==?? sin cos b y a x 两式平方后相加， 消去参数得方程122 22=+b y a x 由此可知，点M 的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。?为参数，为离心角，常数a 、b 分别是椭圆长半轴和短半轴长。