文章编号:0427-7104(2006)05-0561-06
收稿日期:2006-02-13
基金项目:教育部人文社会科学研究规划基金资助项目(05JA 630009)
作者简介:方曙红(1965 ),男,博士,副教授,E -mail:shfang @https://www.doczj.com/doc/eb9012167.html,.套利组合及其收益率的概念研究
方曙红
(复旦大学管理学院财务金融系,上海 200433)
摘 要:通过比较投资、套利这两个极其基本的金融概念及其相关的一些概念,严格导出了套利组合和套利组合收益率的概念,进而讨论了明确这些概念的理论及实际意义.
关键词:投资组合;套利组合;套利组合收益率
中图分类号:F 275 文献标识码:A
套利组合(Arbitrage portfolio),又称作自融资组合(Sel-f financing portfolio),无论是理论研究还是实务操作都经常涉及这一概念[1~3]
,如果考虑到与之等同的概念,如保证金交易组合、对冲组合、互换等等,这一概念的出现频率可说是并不低于投资组合.但令人诧异的是,尽管套利组合得到广泛的应用,最优套利组合及其分析性质、实证检验、套利组合可行集的几何性质却依然少有研究,这与以诺贝尔经济学奖获得者M arkowitz,Merton 和Sharpe 等为代表的对标准投资组合的研究[4~6]形成鲜明对比.事实上,与投资组合的概念相比,即使是套利组合的定义目前也可谓相当含糊,现有规范教程,如文献[7,8]及研究文献中,往往将之定义为对各种资产投资权重总和为零的资产组合(为了避免平凡情形,往往还要求至少有一种资产的投资权重非零),而其最大的问题正是一些研究者所欣赏的套利组合性质 现有定义意义下的套利组合与规模无关.这种概念上的含糊不清不仅反映出金融理论对套利组合本身的收益与风险研究的稀少,而在实务上也使人们对对冲基金之类的金融机构的风险管理和套利操作风险的认识不足,一定意义上,笔者甚至认为巴林银行的倒闭、美国长期投资公司的失败等,都是这一事实的反映.
不多的与之相关的研究有Jobson 和Korkie [9]对标准投资组合的可行集的展拓与边际有效集的考察,Roll [10]对拟合基准组合的分析,Jorion [11]在外汇组合最优化时对外汇对冲的成本分析,Gourieroux 和Jouneau [12]对选择受到一定限制的投资组合进行的均值-方差分析所进行的统计检验,以及Korkie 和Tur -tle [13]在均值-方差的框架下对套利组合可行集的分析性质与前沿套利组合的几何性质的讨论和统计检验等.
本文首先对与投资及套利这两个极其基本的金融概念相关的一些概念进行比较,并在此基础上严格导出套利组合和套利组合收益率的概念,然后讨论明确这些概念的理论及实际意义,由此说明这一概念及其相关金融理论进一步研究的必要性.作者由衷希望这一文稿引起更多的研究者关注套利组合的收益与风险,并对之展开更为广泛的深入研究.1 套利组合及其收益率
考虑一个有着N 种金融资产的金融市场,其中资产j 的收益率为r ~
j ,期望收益率为r j ,j =1,2, ,N.
经济人投资就是对资产投入资金的行为,其所投入的资金总额就是所谓的投资规模.显然,经济人的投资对应着一个对各种资产投入量所成的N 维向量(W 1,W 2, ,W N ),其中W j 为经济人对资产j 的投资量,j =1,2, ,N.如果市场不允许卖空,则对所有的j =1,2, ,N ,总有W j 0.设经济人的投资规模
第45卷 第5期2006年10月复旦学报(自然科学版)Journal of Fudan Unive rsity (Natural Science )Vol.45No.5Oct.2006
为W 0,则W 0= N j =1W j ,而经济人投资就意味着W 0>0.金融经济学理论往往在投资者为 价格接受者
的假设下研究投资的收益率,因此更多的是考虑投资组合.所谓投资组合,就是对不同资产所投入的资金占投资规模的比重所组成的向量,也就是投入资金在不同资产上的投资权重所组成的向量.投资组合的收益率就是其所对应的投资的收益率,即初始投资额所带来的财富增额与初始投资额的比值.设对资产j 投入W j 后期末所得的收入为W ~j ,j =1,2, ,N ,则此投资(组合)的收益率为
r ~=
N
j=1W ~j -W 0W 0.
设投资组合为(w 1,w 2, ,w N ),则显然有 N j =1
w j =1,此时,容易知道r ~= N j=1w j r ~
j .市场中存在投资机会,也就是存在某种资产(组合),其期望收益率不低于同等风险的资产(组合)应有的收益率 .
不过,实际应用中,有时投资就仅限于对投资机会中的资产(组合)投入资金的行为,譬如对应的概念就有 投机 和 赌博 的概念.投机和赌博都是资金的使用行为,但前者是指经济人个人无视客观的现实,而对个人盲目乐观判断所认定的投资机会投入资金的行为;而赌博则是经济人为博取某种发生概率很小但量值令人垂涎的高额收入,而对总体期望收益率(远远)低于同等风险的资产(组合)的收益率的资产(组合)投入资金的行为.生活中,往往有人会说到投资彩票,但彩票所提供的全部中奖金额完全来自于彩民的投入资金,且要从中扣除彩票的发行费用以及向彩票筹资目的投向所投入的资金,实际发放的奖金金额远低于彩票的发行额.因此,购买彩票所能得到的期望收益率远低于0,事实上完全只是一种赌博行为,有关彩票的购买情况使用 投注 而非投资的确是一种相当恰当的方式.
经济人套利就是同时买入卖出资产,且净使用资金量为零的经济行为.经济人套利同样对应着一个对各种资产投入量所成的N 维向量(W 1,W 2, ,W N )(为避免平凡情形,假设此向量取非零向量,即至少对某一资产投入的资金量非零),且套利意味着 N
j=1W j =0.现有的金融经济学教程及研究文献就将此向
量定义为套利组合,并据此认为套利组合与规模无关.
然而,比较投资组合的概念,我们不难发现套利组合的定义相当含糊,而其根本原因就在于研究者们相当清楚但却不以为然,甚至非常欣赏的 套利组合 性质 与规模无关.因为一般认为,套利组合的投资净额为零,根本就没有规模、收益率可言,而这在实务操作中,往往使人难以正确认识甚至完全忽视套利操作的风险.事实上,既然没有规模,又何来权重,怎么可能将套利组合定义成权重总和为零的资产组合呢?况且,同时买进卖出1亿资产获得100万元的套利与同时买进卖出10亿资产获得100万元的套利相比,两者的效率显然不同,其风险往往也并不相同.因此,我们还是应该类比投资组合概念,首先引入套利规模的概念,进而明确套利组合及其收益率的概念.
考虑到套利的效率,套利规模的一种自然定义当然就是套利中买入资产所用资金的总额,也就是套利中卖出资产所得资金的总额.因此,对给定的一个套利(W 1,W 2, ,W N ),其规模就应定义为W 0= N
j =1W j S(W j ),其中函数S 定义如下:
S (x )=1
x >0,0 x 0,于是,套利对资产j 的投资权重定义为w N =W j /W 0,而套利组合则定义为套利在不同资产所投入的资金权重所组成的向量,套利组合的收益率就是其所对应的套利的收益率,即初始套利规模所带来的财富增额
562 人们谈论 投资机会 ,有时就是指能够使用资金的地方,作者则认为投资判别准则就是在资金使用对象中选取投资机会.
复旦学报(自然科学版)第45卷
与初始套利规模的比值.设对资产j 投入W j 后期末所得的收入为W ~j ,j =1,2, ,N ,则因套利(组合)的
初始投资净额为0,故其带来的财富增额为
N j =1W ~j ,收益率为
r ~= N j=1W ~j W 0.对应于投资机会的定义,市场中存在套利机会,就应当定义为存在套利组合,其期望收益率不低于同等风险的套利组合所应有的收益率 .那么,什么是 同等风险的套利组合所应有的收益率 呢?这就是金融界尚在探讨的问题,一定意义上,同等风险的投资组合所应有的收益率也都在争论之中 .不难看出,我们有如下结果.
命题1 (1)(w 1,w 2, ,w N ) R N 为套利组合的充分必要条件是
N j=1w j =0, N j=1w j S (w j )=
1; (2)套利组合的收益率满足r ~= N j=1w j r ~
j ; (3)设市场中风险资产期望收益率的最大值与最小值分别为r m ax 和r m i n ,则套利组合的期望收益率E [r ~
]= N j=1w j E [r ~
j ],满足
r min -r max E [r ~] r max -r min ; (4)N =1时,不存在套利组合;N =2时,套利组合只有两个,即(1,-1)和(-1,1).
(5)市场中存在无风险套利机会的充分必要条件是存在套利组合,其收益率r ~ 0,且r ~ 0.
推论1 如果(w 1,w 2, ,w N ) R N 为套利组合,则必有w j [-1,1].
这里结论(5)直接由无风险套利机会的定义(见脚注2)得到.如果与投资组合相比较,这一命题除此结论没有相应的结论外,其余结果的相应结论则是
(1 )(w 1,w 2, ,w N ) R N 为投资组合的充分必要条件是
N j=1w j =1;(2 )投资组合的收益率满足r ~=
N j =1w j r ~j ;(3 )投资组合的期望收益率E [r ~]=
N j =1w j E[r ~
],取值可能为任意实数;(4 )N =1时,投资组合唯一;N =2时,投资组合无穷多.
这里有两点特别值得注意,其一是套利组合的定义中特别增加了正权重之和为1,相应地,负权重之和为-1;其二则是套利组合期望收益取值范围的有限性,而投资组合的期望收益理论上可以为任意实数.
2 均值-方差分析下的最优套利组合
对于厌恶风险的经济人,如果其进行套利组合操作,一种合理的选择目标是在给定的期望收益率(r [r min -r max ,r max -r min ])下,最小化套利组合收益率的方差为 2,即其面临的套利组合的选择问题就是要选取适当的(w 1,w 2, ,w N ) R N ,满足563 一种较为广泛接受的指标是由CAPM 导出的资产 ,但近年来对之已有太多的反面例证.
现有的套利机会(Arbi trage opportunity)定义,只认可无风险套利,即存在套利组合,其在未来的收入不小于0,且在某种经济状况下有大于零的收入,还有极限式套利机会(Limit arbitrage opportunity)的概念.毛二万和宋逢明[14]也曾引入过一种 风险套利 的概念,但其本质还是为了强调无风险套利.此外,一些学者以及实务操作者所说的套利就是进行套利机会中的套利组合操作的经济行为.
第5期方曙红:套利组合及其收益率的概念研究
E [r ~A ]=r ,
N j=1w j =
0, N j=1w j S (w j )=1,使得m in 2=
N i,j=1w i w j cov (r ~i ,r ~j ).
用向量符号表示,就是选取w R N ,满足we T =r , w 1T =0, wS (w )T =1,
使得
min 2=wVw T ,
(AMV)其中e =(E [r ~1],E [r ~2], ,E [r ~
N ]),S (w )=(S (w 1),S (w 2), ,S (w N )),w T 为w 的转置列向量,V 为市场证券收益率的方差-协方差矩阵V =(cov (r ~i ,r ~j ))N N .
容易基于凸分析理论证明均值-方差分析下最优套利组合的存在性,因此,从数学上说,这里最优套利组合问题已经解决,但其在金融上的具体应用却值得深入研讨.笔者将在另文中对这一模型本身进行更加详细的讨论,本文主要是为了明确套利组合及其收益率的概念,说明最优套利组合的基本性质及其研究意义.Korkie 和Turtle(2002)也曾讨论过套利组合在均值-方差意义下的最优组合,但他们所考虑的套利组合是通常意义下的,即净投资额为零的证券交易,因此,其对应模型为选取w R N ,满足
we T =r , w 1T =0,
使得
min 2=wVw T .
(KT)容易证明,存在我们这里的优化问题的某一套利组合解w ,Korkie 和Turtle 所讨论的优化问题解可表为 w , (- ,+ ).
不难看出,(AMV)较(KT)远为复杂,前者为非光滑的凸边界条件,因此得不到整体光滑解,而后者却是光滑边界条件,有完整的解的解析表达式.因此,为了能在实际中运用最优套利组合,就要寻找(AM V)的较好的计算方法.对此,现有的对投资前沿组合的研究已经为最优套利组合的寻取奠定了基本的技术手段[15,16].
3 风险-收益权衡的最优套利组合的研究意义
套利组合无论是理论研究还是实务操作都经常涉及,如果考虑到与之等同的概念,这一概念的出现频率可说是并不低于投资组合.现代定价理论的重要基石之一的套利定价(如套利定价模型、期权期货等衍生产品的定价等)就是要构造无风险套利组合,以得到市场无套利机会时的定价.Black 和Scholes [17]建立了期权定价模型,Ross [18]开启了套利定价模型的研究.近年来,利用套利组合来研究违背金融市场有效
性假设或CAPM 的金融异象的甚多,如DeBondt 和T haler [19]发现较长时期内股票价格运动存在相当程度
的收益反转现象,French 和Fama [20]对公司规模及账值-市值比效应的研究,而Jegadeesh 和T itman [21]发现较短时期中存在相当程度的收益惯性现象.我国学者也对股市的金融异象进行了较为深入的实证研究,尽管对这些异象的解释甚多,如对证券市场过度反应的理论研究.不过,我们相信通过套利组合的风险与收益的权衡,合理考虑套利的成本及其资本保障,重新审视这些异象,将会引起一些新的思考.
套利组合收益与风险的研究不仅有着极其重要的理论意义,而且对金融机构的实务操作有着极其重要的意义.实务操作中,商业银行是利用存户资金投资盈利,保险公司是保费收入投资创收, ,这些金融机构的运作本质上也是进行套利操作.一些金融运作方式,如卖空股票实际上是向券商借入股票卖出获利,这本质上也是套利操作.实际进行的套利是不可能无风险的,因此考虑套利的风险与收益的权衡,研究金融机构的资本保障、金融操作的保证金要求无论是在理论上还是对实际经济生活都有极其重要的意义.随着我国社会主义市场经济的健康发展,金融市场也更加丰富多彩,卖空、信用交割等新的金融操作必会进入实际经营,金融期货期权等衍生金融产品市场也会发展起来,金融机构的资产负管理将更加复564
复旦学报(自然科学版)第45卷
杂,更需科学化、现代化,更好地研究认识套利组合的风险收益对我国金融市场的健康发展无疑会有一定的帮助.
以银行资本保障要求为例,巴塞尔委员会资本协议对银行业的风险管理特别设定了资本保障要求,而其计算过程涉及到银行资产的VAR [22],这就需要深入分析银行资产的具体情况,但实际操作的困难往往使外部人难以真正把握银行资产负债状况,为此我们认为从给定收益率的套利组合的最低保障出发来重新考虑金融机构资产负债管理和一些金融操作的最低保障问题,无疑是一种更为科学、便当的方法.
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Some Notes on Arbitrage Portfolio and Its Return
FAN G Shu -hong
(D ep ar tment of Finance,School of M anagement ,Fudan Univer sity ,Shanghai 200433,China)
A bstract:Based on the comparison of two basic financial concepts,investment and arbitrage,the definitions for the arb-i trage portfolio and its return are introduced,then their theoretical and pract ical implications are presented.
Keywords:portfolio;arbitrage portfolio;return of arbitrage portfolio
(上接第560页)
The Competition Strategies between Regional
Container Terminals
ZH U Dao -li,JI A -bing
(School of M ana gement ,Fudan Univer sity ,Shanghai 200433,China)
A bstract:Based on the theory of customer choice,the behavior of shippers was discussed and a super network of export was built.After that the Hotelling model w as used to express the choice of port.The proof of existence of solution in Nash equilibri um condition was given.Especially a dashed line w as used to describe the process conducted by ports.Conclusions revealed could be used to interpret some behaviors used by ports.
Keywords:super network;port competition;Hotelling model;customer choice;Nash equilibrium 566 复旦学报(自然科学版)第45卷
排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何
一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
排列组合常见题型 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、 3 8 A D、 3 8 C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排
法种数有 【解析】：把A,B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排 法数是52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（数字作答） 【解析】： 1 11789A A A =504 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600 【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A ＝20种不同排法。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
选修2-3：排列组合常见题型 可重复的排列（求幂法） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）4 3（2）34 （3）3 4 相邻问题（捆绑法） 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【解析】：C 相离问题（插空法 ） 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法 【解析】： 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。
— 典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 9A 个； 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439=+=??+A A A A 个． 典型例题二 例2 三个女生和五个男生排成一排 — （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法 （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法 （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法 （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法 解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6 6A 种不同排法．对于其中的每一种排法， 三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=?A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有5 5A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位 置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=?A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有6 6A 种排法，所以共有 144006625=?A A 种不同的排法． （4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受 条件限制了，这样可有7715A A ?种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就 只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有6 6A 种不同的排法， 这样可有661513A A A ??种不同排法．因此共有360006615137715=??+?A A A A A 种不同的排法．
种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他
流动比率=流动资产/流动负债 速动比率（酸性测试比例）=（流动资产－存货）/流动负债 保守速动比率（超速动比率）= （现金＋短期证券＋应收票据＋应收账款净额）/流动负债营业周期=存货周转天数＋应收账款周转天数 存货周转率（存货的周转次数）=销售成本/平均存货 存货周转天数=360/存货周转率 原材料周转率=耗用原材料成本/平均原材料存货 在产品周转率=制造成本/平均在产品存货 应收账款周转率=销售收入净额/平均应收账款（含应收票据，减除坏账准备） 应收账款周转天数=360/应收账款周转率 流动资产周转率=销售收入/平均流动资产 总资产周转率=销售收入/平均资产总额 资产负债率（举债经营比率）=（负债总额/资产总额）*100 %产权比率（债务股权比率）=（负债总额/股东权益）*100 %有形净值债务率=[负债总额/（股东权益－无形资产净值）]*100 %已获利息倍数（利息保障倍数）=息税前利润/利息费用 销售净利率=（净利润/销售收入）*100 %销售毛利率=[（销售收入－销售成本）/销售收入]*100 %资产净利率=（净利润/平均资产总额）*100%＝销售净利率*资产周转率 净资产收益率（净值报酬率、权益报酬率、权益净利率）=净利润/平均净资产*100%＝资产净利率*权益乘数＝销售净利率*资产周转率*权益乘数加权平均净资产收益率计算表其计算公式为： 净资产收益率=净利润/平均净资产×100% 其中，平均净资产=(年初净资产+年末净资产)/2 该公式的分母是“平均净资产”，也可以使用“年末净资产”。如公开发行股票公司的净资产收益率可按下面公式计算：
净资产收益率=净利润/年度末股东权益×100% ROE(杜邦公式)=净利润/净资产=销售利润率×资产周转率×权益乘数(财务杠杆)。销售利润率=利润总额/销售收入(盈利能力) 资产周转率=销售收入/总资产(营运能力) 权益乘数=总资产/净资产(偿债能力)
排列组合题型总结 一．直接法 1．特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书 三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法 四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种 五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。
练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法（） 六．平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法 七．合并单元格解决染色问题 练习1将3种作物种植 在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答） 2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）． 图3 图4 3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数． 4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种 图5 图6
排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题： 1. 从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2. 从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动，已知共有 90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ） A.男同学2人，女同学6人 B. 男同学3人，女同学5人 C.男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4. 一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58 种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有（） A.12个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 答案：1、 2 2 72 3 、选 B. 设男生n 2 1 3 2 2 9 9 n 8 n3 。、mn m C 362、A 人，则有C C A 904 A A58 选 C. 二、相邻问题： 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？ 2. 有8本不同的书，其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这 些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为() A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1. 2 4 3 2 5 2 4 3 2 5 AA 48(2)选BAAA1440 三、不相邻问题： 1. 要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？ 1
排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 （1）分类计数原理与分步计算原理 （1）分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m 1 种不同的方法，在第二类办法 中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这 件事共有N= m 1+ m 2 +…+ m n 种不同的方法。 （2）分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2 种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N= m 1 × m 2×…× m n 种不同的方法。 （2）排列 a)定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，记为 . b)排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=
特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！=1 b)排列数的性质： （Ⅰ） =（Ⅱ）（Ⅲ） （3）组合 a)定义 a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 b)组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示） 特例： b)组合数的主要性质： （Ⅰ）（Ⅱ）
（4）排列组合的区别与联系 （1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。 例2、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法 （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法 （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法 （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术
共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例 5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法 例7 7名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法 (2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必
须在后排，有多少种不同的排法 (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法 (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法 例8计算下列各题： (1) 2 15 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、
教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的
净资产收益率，总资产报酬率，速动比率，现金流动负债率概念及计算公式是什么？ 最佳答案 1、流动比率=流动资产合计/流动负债合计*100% 2、速动比率=速动资产/流动负债。速动资产是指流动资产扣除存货之后的余额, 3、现金流动负债比率=年经营现金净流量/年末流动负债×100% 4、资产负债率=（负债总额/资产总额）*100％。 5、产权比率也称资本负债率=负债总额/所有者权益总额*100% 6、或有负债比率=或有负债余额/所有者权益总额*100% 或有负债余额=已贴现商业承兑+对外担保+未决诉讼、未决仲裁（除贴现与担保引起的诉讼与仲裁）+其他或有负债。 7、已获利息倍数=息税前利润总额/利息支出。 其中：息税前利润总额=利润总额+利息支出。利息支出，实际支出的借款利息、债券利息等。 8、带息负债比率=（短期借款+一年内到期的长期负债+长期借款+应付债券+应付利息+）/负债总额*100%。 9、劳动效率=营业收入或净产值/平均值工人数 10、生产资料运营能力： 周转率=周转额÷资产平均余额； 周转期=计算期天数÷周转次数。=资产平均余额*计算期天数/周转额 11、应收账款周转率（次）=销售收入÷平均应收账款 周转数（周转天数）=计算期天数/周转次数=资产平均余额*计算期天数/周转额12、①存货周转率(次)＝销售成本÷存货平均余额②存货周转天数=计算期天数/存货周转次数 13、流动资产周转率（次）=主营业务收入净额/平均流动资产总额X100% 14、固定资产周转率（次数）=营业收入÷平均固定资产净值 固定资产周转期（天数）=平均固定资产净值×360/营业收入。 15、总资产周转率（次）=营业收入÷平均资产总额。 16、不良资产比率=（资产减值准备余额+应提未提和应摊未摊的潜亏挂账+未处理资产损失）÷（资产总额+资产减值准备余额）。 17、资产现金回收率=经营现金净流量/平均资产总额。 18、营业利润率=营业利润/营业收入(商品销售额)×100% 19、销售净利率=净利润÷销售收入*100%。 20、销售毛利率=（销售收入-销售成本）÷销售收入*100% 21、成本费用利润率=利润总额/成本费用总额×100% 式中的利润总额和成本费用用总额来自企业的损益表。成本费用一般指主营业务成本和三项期间费用 营业税金及附加。 22、盈余现金保障倍数＝经营现金净流量／净利润 23、总资产报酬率=（利润总额+利息支出）/平均资产总额X100%， 息税前利润总额=利润总额+利息支出 24、加权平均净资产收益率＝报告期净利润÷平均净资产×100%
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
《公开发行证券的公司信息披露编报规则第9号——净资产收益率和每股收益的计算及披露》（2010年修订） （中国证券监督管理委员会公告〔2010〕2 号，2010年1月11日） 现公布《公开发行证券的公司信息披露编报规则第9号——净资产收益率和每股收益的计算及披露》（2010年修订）。上市公司自2009年年度报告起应按照本规则要求编制并披露。拟上市公司的申报报表审计截止日为2009年12月31日及之后的适用本规则。 中国证券监督管理委员会 二○一○年一月十一日 《公开发行证券的公司信息披露编报规则第9号 ——净资产收益率和每股收益的计算及披露》 （2010年修订） 第一条为规范公开发行证券的公司(以下简称―公司‖)的信息披露行为，真实反映公司的盈利能力，提高净资产收益率和每股收益指标计算的合理性和可比性，特制订本规则。 第二条公司招股说明书、年度财务报告、中期财务报告等公开披露信息中的净资产收益率和每股收益应按本规则进行计算或披露。
第三条 公司编制以上报告时，应以如下表格形式，列示按加权平均法计算的净资产收益率，以及基本每股收益和稀释每股收益。 公司编制和披露合并财务报表的，―扣除非经常性损益后归属于公司普通股股东的净利润‖以扣除少数股东损益后的合并净利润为基础，扣除母公司非经常性损益（应考虑所得税影响）、各子公司非经常性损益（应考虑所得税影响）中母公司普通股股东所占份额；―归属于公司普通股股东的期末净资产‖不包括少数股东权益金额。 第四条 加权平均净资产收益率的计算公式如下： 加权平均净资产收益率=P 0/(E 0＋NP÷2＋E i ×M i ÷M 0– E j ×M j ÷M 0±E k ×M k ÷M 0) 其中：P 0分别对应于归属于公司普通股股东的净利润、扣除非经常性损益后归属于公司普通股股东的净利润；NP 为归属于公司普通股股东的净利润；E 0为归属于公司普通股股东的期初净资产；E i 为报告期发行新股或债转股等新增的、归属于公司普通股股东的净资产；E j 为报告期回购或现金分红等减少的、归属于公司普通股股东的净资产；M 0为报告期月份数；M i 为新增净资产次月起至报告期期末的累计月数；M j 为减少净资产次月起至报告期期末的累计月数；E k 为因其他交易或事项引起的、归属于报告期利润 加权平均净资产收益率 每股收益 基本每股收益 稀释每股收益 归属于公司普通股股东的净利润 扣除非经常性损益后归属于公司普通股股 东的净利润
排列组合的常见题型及其解法 排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。 一. 特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的 任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法， 故站法共有：A A 415 5?＝480（种） 解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两 人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 4 4种，故站法共有：A A 5244480?=（种） 二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再 进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 6633 4320?=（种）。 三. 相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？ 解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440?=（种） 四. 定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n 个元素进行
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入